有限元分析方法
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种数值分析方法，用于解决物理问题的近似解。
它基于将有限元区域（即解释对象）分解成许多简单的几何形状（有限元）并对其进行数值计算的原理。
本文将深入探讨有限元分析的原理、应用和优点。
有限元分析的原理基于弹性力学理论和数值计算方法。
它通过将解释对象分解为有限个简单的几何区域（有限元）和节点，通过节点之间的连接来建立模型。
这些节点周围的解释对象区域称为“单元”，并且通过使用单元的形状函数近似解释对象的形状。
每个单元都有一个与之相连的节点，通过对每个单元的受力进行计算，可以得到整个解释对象的受力分布。
然后，利用一系列运算和迭代，可以计算出解释对象的位移、应力和变形等相关参数。
有限元分析的应用范围广泛，从结构力学、热传导、电磁场分析到流体力学等各个领域。
在结构力学中，它被用于分析各种结构的静力学、动力学和疲劳等性能。
在热传导领域，它可以用于研究物体内部的温度分布和传热性能。
在电磁场分析中，它可用于计算复杂电磁场下的电场、磁场和电磁场耦合问题。
在流体力学中，有限元方法可以解决各种流体流动、热传递和质量转移问题。
有限元分析的优点之一是可以处理各种复杂边界条件和非线性材料特性。
它可以考虑到不同材料的非线性本质，例如弹塑性和接触等问题。
另外，有限元方法还可以适应任意形状和尺寸的几何模型，因此非常适用于复杂工程问题的建模与分析。
有限元分析的使用需要一定的专业知识和经验。
首先，需要将解释对象抽象成几何模型，并进行细分和离散化。
其次，需要选择适当的几何元素和材料模型，以及合适的边界条件和加载方式。
然后，需要定义求解器和数值方法，并使用计算机程序对模型进行计算。
最后，需要对结果进行后处理和验证，以确保其准确性和可靠性。
总的来说，有限元分析是一种强大的工程分析工具，在解决各种物理问题方面有广泛的应用。
它通过将复杂的问题简化为简单的有限元模型，通过数值计算的方法获得近似解。
有限元分析方法
有限元法的基本概念
• 物体离散化(核心思想)
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算 模型，离散后单元与单元之间利用单元的节点相 互连接起来，用有限元分析计算的结果只是近似 的，划分单元的数目越多而又合理，则所得结果
与实际情况越接近。 ANSYS中的单元举例
有限元法的基本概念
• 单元特性分析
1.选择位移模式 在有限元中，选择节点位移作为基本未知量时
中的关键一步。利用弹性力学中的几何方程和物 理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
有限元法的基本概念
• 单元特性分析
3.计算等效节点力 对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传
递到另一单元中去；物体离散化后，假定力是通 过单元节点从一个单元传递到另一个单元，因而 这种作用在单元边界上的表面力、体积力或集中 力都需要等效的移到节点上去。
有限元法的软件简介
3. ANSYS
ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一 体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分 析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件 接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I－DEAS, AutoCAD等， 是现代产品设计 中的高级CAE工具之一。ANSYS有限元软件包是一个多用 途的有限元法计算机设计程序，可以用来求解结构、流体 、电力、电磁场及碰撞等问题。因此它可应用于以下工业 领域： 航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、 电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等。
有限元法的软件求解步骤
• ANSYS有限元软件模块及功能
• 2分存进分。.求析盘入析解前点结，分选模处击果退析项块理快。出求、AS阶捷解载PONreL段工模荷SUp12345678YrT完 具块数........oS结结结动热电流声IOc成区。据软eN构构构力分磁体场s建的在和件s静动非学析场动分o模S该载提r，力力线分分力析A以阶荷V供点分学性析析学E后段步的_击析分分分D，，选分B实析析析将用用项析用前户户，类菜处可可然型单理以以后如项模在定 开下中块求义始：的生解分有S成o阶析限lu的段类元ti模o获型求n型，得、解 9.压电分析
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析方法是一种在数字计算机上定量分析变形、弹性以及现代结构的受力情况的方法。
有限元分析方法的发展日趋完善，是加强建筑物结构抗震能力的有力工具。
一、有限元分析方法的概念有限元分析方法是一种基于有限元分析原理的数学方法，它是一种用于计算低维受力系统的通用数值方法，尤其是用于非线性力学系统的数值分析方法。
在有限元数值分析中，计算对象由许多有限个结构物构成，这些结构物称为有限元。
每个有限元都有一定的体积和形状，如线元、面元和体元。
有限元分析的基本思想就是将复杂的物理结构模型分解为若干较小的有限元模型，再将这些小的有限元模型组合成一个完整的物理模型，并对其进行连续性研究，从而精确地确定受力构件的变形、位移、应力、变形能量等物理参数。
二、有限元分析方法在工程中的应用有限元分析方法可以用于结构分析、计算机辅助设计和工程校核。
有限元分析方法可以用于预测结构的受力情况、拓扑设计和优化，这对于重要的结构失效的防护和抗震性能的提高有重要意义。
在计算机辅助设计领域，有限元分析方法可以用于几何形状优化，减轻材料重量并提高刚度，这是一种非常有效的技术。
在建筑工程中，有限元分析方法可以用于计算建筑物的受力情况，确定其最大荷载量，为建筑物的改造和重建提供参考。
三、有限元分析方法的发展趋势随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断推进。
近年来，以网格化数值计算为基础的有限元分析方法已经取得了巨大的进展，如实施大型网格化分析、更加准确和可靠的模型细分、更准确的网格分解技术、更有效的数值求解技术等。
这些技术将使有限元分析技术更容易、更有效地应用于计算机辅助设计、工程校核和抗震分析等领域。
总之，有限元分析方法是一种重要的力学分析方法，它在结构分析、计算机辅助设计以及建筑物抗震性能的研究中都起着重要作用。
随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断发展，为实现地震安全建筑的建设做出贡献。
有限元分析法
2个移动自由度 1个转动自由度
3个移动自由度 （平面杆单元2个） 3个移动自由度（平面梁2个） 3个转动自由度（平面梁1个） 3个移动自由度（平面2个） 3个转动自由度（平面1个）
梁结构
弹簧结构
网格划分方法
. . .. . ..
线性
体(三维实体)
. . . . . ... .. .. . ..
二次
低阶单 元
更高阶单元
线单元
• 线单元: 用于螺栓(杆)，弹簧，桁架或细长构件
面单元
• 壳单元: –Shell (壳)单元 每块面板的主尺寸不低于其厚度的10倍。
面单元
-平面应力 分析是用来分析诸如承受面内载荷的平 板、承受压力或远离中心载荷的薄圆盘等结构。
details ignored
Geometric model for FEA
单元类型选择
Element type：
3节点三角形平面应力单元
单元特性定义
Element properties：
材料特性：E, µ 单元厚度：t
网格划分
模型检查 • • • • 低质量单元 畸形单元 重合节点 重合单元
2 nodes
. .
A
. .
..
B
1 node
. .
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
第2节 有限元建模方法
Finite element model
Input data
材料力学中的有限元方法分析
材料力学中的有限元方法分析材料力学是研究物质初始状态至最终破坏状态之间的力学行为及其规律的科学。
有限元分析是一种数值计算方法，可以求解各种工程问题的数学模型。
有限元方法在材料力学研究中有着重要的应用，本文将从有限元方法的基本原理、材料力学中的有限元分析、有限元模拟在材料力学中的应用等方面进行分析。
一、有限元方法的基本原理有限元方法是一种通过建立复杂结构的有限元模型，将一个复杂的连续问题转化为离散问题来求解的方法。
其基本思想是将一个连续物体分割成很多小的单元，使用一些简单的解析方法求解每个小单元内的力学问题，然后将所有小单元的解组合在一起来求解整体力学问题。
有限元方法求解的过程分为以下基本步骤：1.建立有限元模型2.离散化3.施加约束4.建立刚度矩阵和荷载向量5.求解未知量二、材料力学中的有限元分析材料力学中的有限元分析是指通过有限元方法对材料力学问题进行分析、计算和评估的方法。
材料力学问题中的目标是通过施加荷载或外界力，来得到物体内部的应力和应变状态，以及其随时间和载荷变化的规律。
在建立材料力学有限元模型时，需要考虑以下因素：1.应力集中和应变集中的位置和程度2.物理边界和几何结构3.材料的力学性质和力学参数材料力学中的有限元分析包含以下几个方面：1.静态分析：研究物体在静态等效荷载下的应力状态，计算物体的静态变形。
2.动态分析：研究物体在动态载荷下的应力和应变状态，计算物体的动力响应。
3.疲劳分析：研究物体在周期性载荷下的损伤状态、损伤机理和寿命预估。
4.热力耦合分析：研究物体在温度场和应力场的共同作用下的应力和应变状态。
5.多物理场分析：研究物体在电、磁、声、液、气、红外、光、辐射等多个物理场的共同作用下的应力和应变状态。
三、有限元模拟在材料力学中的应用有限元模拟在材料力学中的应用范围非常广泛，包括了以下几个方面：1.材料的结构设计和分析2.材料的性质和参数的测试和评估3.材料的制造和加工工艺的模拟4.材料的破坏和损伤机理的研究5.材料的寿命评估和振动疲劳分析最终，有限元分析的结果可以在材料设计、材料优化和制造流程等方面提供准确的数据支持，帮助人们更好地理解材料的力学行为和性质，促进材料科学的发展。
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析是一种工程数值分析方法，它通过将复杂的结构分割成许多小的有限元素，然后利用数学方法对这些元素进行计算，最终得出整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
有限元分析方法的基本思想是将一个连续的结构分割成有限个小的单元，每个单元都是一个简单的几何形状，比如三角形、四边形等。
然后在每个单元内部建立一个数学模型，利用数学方法对这些单元进行计算，最终将它们组合起来得到整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法的核心是建立数学模型。
在建立数学模型的过程中，需要考虑结构的材料性质、边界条件、加载情况等因素。
通过合理地选择单元类型、网格划分、数学模型等参数，可以得到准确的分析结果。
有限元分析方法的优点之一是可以处理复杂的结构。
由于有限元分析方法将结构分割成小的单元，因此可以处理各种复杂的结构，比如曲面、异形、空腔等。
这使得有限元分析方法在工程设计中有着广泛的应用。
另外，有限元分析方法还可以进行结构优化。
通过改变单元类型、网格划分、边界条件等参数，可以对结构进行优化，使得结构在满足强度、刚度等要求的前提下，尽可能地减小材料消耗，降低成本。
当然，有限元分析方法也有一些局限性。
比如，在处理非线性、大变形、大变位等问题时，需要考虑材料的非线性特性、接触、接触、摩擦等效应，这会增加分析的复杂度。
另外，有限元分析方法的结果也受到网格划分、单元类型等参数的影响，需要谨慎选择这些参数。
总的来说，有限元分析方法是一种强大的工程数值分析方法，它在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
通过合理地建立数学模型、选择合适的参数，可以得到准确的分析结果，为工程设计和科学研究提供有力的支持。
有限元分析方法
k1 k1k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0 0 u2 0 0k4uu4300 k4 u5 P
写成一般形式，可得：
[R ][K ]U [][F]
即： [反作]用 [总 力 体 矩 ]刚 位 [阵 度 移 ] [负 矩 矩荷 阵 阵 ]
引入边界条件，根据本题要求，节点1
有限元分析方法
第一章 概述
一、有限单元法的基本概念
一变横截面杆，一 端固定，另一端承受负 荷 P，试求杆沿长度方 向任一截面变形大小。 其中杆上边宽度为 w1 下边宽度为 w 2 ，厚度
为 t ，长度为 L，弹性
模量为 E。
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ，平均应力
来，重新对上述五个方程进行变换，得：
节点1： k1u1k1u2R1
节点2： k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0
节点3： k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4： k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
节点5： k4u4k5u5P
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
有限元分析-(FEA)方法
是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
还利用简单而又相互作用的元素，即
将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节
物理系统
每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。
作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。
真实的二次曲线
是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。
此处，假设单元中
有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点
，则对结点2，3，
首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用
可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系
代入边界条件后，经。
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v i 0 0 0 1 xi v j 0 0 0 1 x j vm 0 0 0 1 xm
a1 a2 a3 yi a 4 y j a5 yj a6
假定
位移在此处易弹性变形：
u a1 a2 x
u f ( x)
（1）
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有限元分析方法
在结点1、2上，式（1）应分别有结点位移
u1 a1 a2 0
u2 a1 a2l
式中：l —— 单元长度 由式（2）解得：
（2）
a1 u1
a2 u 2 u1 l
飞机、船体等复杂结构进行应力、变形分析）
平衡问题 → 稳定问题与动力问题（对结构在地震力与波浪力作
用下的动力反应进行分析） 弹性问题 → 弹塑性与粘弹性问题，疲劳与脆性断裂问题 固体力学 → 流体力学、热传导与热应力问题（如焊接残余应力、 原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分 析），以及建筑声学与噪音问题。 工程力学 → 力学的其它领域（如冰川与地质力学、血管与眼球 力学等）
0 a1 a 0 2 0 a3 yi a 4 y j a5 yj a6
（15）
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有限元分析方法
式（14）~（15）：
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j u m a1 a2 xm a3 ym
（8）
表示为矩 阵形式：
f1 EA 1 1 u1 f l 1 1 u 2 2
（9）
f
单元刚度：
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e
K
e
式中： K
e
（10）
EA K l
e
k k
k k 2014-12-27
ui 1 x i u 1 x j j u m 1 xm yi a1 a yj 2 ym a3
vi a4 a5 xi a6 yi v j a4 a5 x j a6 y j vm a4 a5 xm a6 ym
由式（15）解得 a1 ~ a6，再代入式（14），得到：
u N i ui N j u j N m u m v N i ui N j u j N m u m
（17）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中 Ni，Nj，Nm ——是（x,y）和单元三结点坐标的函数。
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有限元分析方法
有限元分析方法
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有限元分析方法
一、绪论
问题的提出
均态连续变化的、复杂几何形状等问题难以用传统解析法、实验法解决
有限元法——数值解法
研究对象 离散 多个单元体 分析 代数方程组 求解
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有限元分析方法
（1）有限元法特点
整体
离散
单元
综合
整体
多至成千上万
（2）有限元法应用的发展
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（16）
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有限元分析方法
ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm
yi yj yj
0 0 0 a1 a 0 0 0 2 0 0 0 a3 a4 a5 a6
• • • 先将弹性连续体离散化，变为有限个三角形 单元在角点铰接的组合体； 分析每一个三角形单元受力与变形的关系， 列方程； 将各单元再进行组装，将全部关系式综合为 代数方程组。
现代有限元法的条件：计算机应用
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有限元分析方法
（3）有限元法应用的范围
弹性力学平面问题 → 空间问题和板壳问题（对拱坝、涡轮叶片、
x bi 1 y 2A 0 xy ci ui u 0 j um cm vi bm v j vm
F K
构件整体刚度矩阵：
k1 k1 K k2 k k 1 1 k2 0
0 k2 k2
（13）
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有限元分析方法
刚度叠加原理： 构件中若干单元间公共结点的刚度等于该结点在各相关独立单元中相应刚 度项之和。
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有限元分析方法
（4）近来研究较多的问题
新型单元的研究 有限元法的数学基础：变分法（把有限元法归结为求泛函的极值问题）、加
权余数法（直接从基本微分方程出发） 向新领域的扩展：专门化问题 通用程序编制，设计自动化的研究
（5）本课主要讲授内容
有限元位移法——取结点位移作为基本未知量 一维（杆件）有限元数学模型 二维（平面）有限元数学模型 刚度矩阵及线性方程组解法 有限元建模：单元网格划分、边界条件、载荷的简化 有限元计算程序
（14）
ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm v i 0 0 v j 0 0 vm 0 0
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yi yj yj 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 xi
1 xj 1 xm
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有限元分析方法
（1）单元位移插值函数
设单元内一点的位移（ u, v）与其坐标值（x, y）成线性关系
u a1 a2 x a3 y v a4 a5 x a6 y
式中a1~a6为为待定系数 将点 i, j, m的坐标值和位移值分别代入上式，有：
10
有限元分析方法
•多单元杆件：
根据式（9）有： 单元1有：
f11 k1 k1 u1 f k 12 1 k1 u2
f 22 k 2 f k 23 2 f 32 k3 f 33 k3 k 2 u 2 k2 u3 k 3 u3 k3 u 2
观察式（11）：
力F1只对单元1有作用，所以其相对结点位移u1、u2的刚度不变。 力F3只对单元3有作用，所以其相对结点位移u2、u3的刚度不变。 力F2作用在单元1、2的公共结点上，其大小要使两单元都在该点上产生位 移，所以其相对u2的刚度值等于原两独立单元的相应刚度之和。 观察式（13）： 构件整体刚度矩阵等于各单元刚度矩阵的组装。
（5）
（3）单元应力与结点位移的关系
E x E x (u2 u1 ) l
杆单元的轴向力为：
（6）
E——弹性模量
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EA F xA (u2 u1 ) l
（7）
A——横截面积
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有限元分析方法
（4）单元结点力与结点位移的关系——单元刚度矩阵
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有限元分析方法
三、二维弹性平面问题的有限元分析
二维弹性平面问题——构件呈平板状，且厚度很小，另外所受外力均作 用在其平面内。 以三结点三角形为例（其它有矩形单元、六结点三角形等）
已知单元三结点坐标为 [ xi yi xj yj xm ym ]
单元三结点位移为 {δ}e = [ui vi uj vj um vm] T
（3）
（3）代入（1）得单元位移插值函数：
u2 u1 u u1 x l
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（4）
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有限元分析方法
（2）单元应变与结点位移的关系
应变——单元长度的伸长 将（4）式对x求导得应变:
du u 2 u1 x dx l
应力：产生单位应变所需的力。 根据虎克定律：
古代：圆周率的近似算法 近代：力学中的刚架位移法
要点：
刚架
拆
杆件
组合
刚架
将复杂刚架的计算问题转化为简单杆件的 分析与综合问题
现代有限元法： 上述思路
推广应用
弹性力学平面问题
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有限元分析方法
弹性力学：
外力 作用 物体 变形 产生 应力
外力去除 全部或部分恢复
分析过程：
f11 k1 (u1 u2 )
F2 f12 f 22
3
矩阵形 F1 式
结点3： F 即：
f 23 k2 (u3 u2 )
k1 k F 2 1 F3 0
（12）
k1 k1 k 2 k2
0 u1 u (11） k2 2 k2 u3
在式（7）中，F表示杆件的轴力（内力），规定其正负号为：拉力为正，压力为负。
图示结点力f1、f2表示结点1、2对单元的作用力，其符号为：与坐标轴x方向相同为正， 相反时为负。
f1 F
则有：
EA EA (u2 u1) (u1 u2 ) l l
EA f2 F (u 2 u1 ) l
vi 1 x i v 1 x j j vm 1 xm yi a 4 a yj 5 ym a6
ui , j ,m a1 a2 xi , j ,m a3 yi , j ,m v i , j ,m a4 a5 xi , j ,m a6 yi , j ,m