不定积分定义
积分的定积分与不定积分
积分的定积分与不定积分积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面积、函数的平均值、变化率等问题。
在积分中，我们常常会遇到定积分和不定积分两种形式。
本文将从定义、性质、计算方法等方面介绍定积分和不定积分的基本知识。
一、定积分的定义与性质定积分是对函数在给定区间上的积分，它的定义如下：设函数f(x)在区间[a, b]上有界，将[a, b]分成n个小区间，其中第i 个小区间为[x_(i-1), x_i]，对于任意一个小区间，取其左端点上的函数值f(x_(i-1))作为近似值，求所有小区间上的近似求和，然后令n趋向于无穷大，即可得到定积分的值。
定积分的性质如下：1. 定积分的值和积分的区间有关，即[a, b]上的积分与[b, a]上的积分相差一个负号，表示积分的方向。
2. 一个区间上的定积分可以分割成多个子区间的积分之和，即[a, b]上的积分等于[a, c]上的积分加上[c, b]上的积分。
3. 函数的常数倍不影响定积分的值，即k∫f(x)dx = ∫(k*f(x))dx。
4. 定积分有加法原理，即∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
二、不定积分的定义与性质不定积分是求解函数的原函数的过程，它的定义如下：设函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，则F(x)+C称为f(x)在I上的不定积分，其中C为任意常数。
不定积分的性质如下：1. 函数的不定积分是原函数的集合，因为对于任意一个原函数F(x)，都有F(x)+C是f(x)的不定积分，其中C为任意常数。
2. 不定积分具有线性性质，即∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
3. 不定积分有积分微分的逆运算性质，即函数f(x)在[a, b]上可积的充分必要条件是它在[a, b]上有连续的原函数。
三、定积分与不定积分的关系在计算上，定积分和不定积分是相互联系的。
下面是一些常见的关系：1. 定积分可以通过不定积分来求解，即∫(a, b)f(x)dx = F(x)∣_(a, b) = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
不定积分的概念与性质ppt课件
例4 求 tan2 xdx
例6 求
1 sin2 x cos2 x dx
22
小结
一、不定积分的概念
（原函数、不定积分的定义及几何意义）
二、不定积分的性质
（互逆性质、线性性质）
三、直接积分法
可导函数F(x),使对任一 x I 都有F ( x) f ( x)
➢唯一性
(F(x)) f (x) (F(x) C) f (x)
若函数f(x)在区间I上存在原函数，则原函数不唯一
➢结构
F(x)的一个原函数
{f (x)的原函数} {F(x)+C} 设( x)是f (x)的另一个原函数任,则意常数( x) F( x) C
三、直接积分法举例
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot x C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arc cot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arc cos x C
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
ln a
不定积分常用的16个基本公式
不定积分常用的16个基本公式近年来，随着数学研究的深入发展，不定积分及其应用在许多领域发挥着重要作用。
它不仅可以在数学方面发挥重要作用，而且可以在工程，物理，经济学等多个学科中得到应用。
不定积分可以根据它的定义和它的公式来求解，其中有16个主要的基本公式。
首先，不定积分的定义是什么？它是用来表示一个函数的增量的定义，就是说，它是一个函数f（x）的“梯形”，得到这个梯形的面积，可以用不定积分法来进行计算。
其中，有16个主要的基本公式，分别是：1）不定积分公式：intf（x）dx=f（x）+ c2）乘积公式：intu（x）v（x）dx=intu（x）dx intv（x）dx 3）反函数公式：int（1/U）dx=ln|U（x）|+c4）倍拆公式：int（f（x）+g（x））dx=intf（x）dx+intg（x）dx5）定积分公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b6）分部积分公式：intf（x）dx=f（x）intf（x）dx+c7）牛顿-洛克（N）公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b + (b-a) intf（x）dx|_a^b8）级数积分：int[f（x）+ fi（x）]dx= intf（x）dx+ intf （x）dx|_a^b9）变量变换：intu（x）dx= intu（u）du10）定积分变换：int_a^bf（x）dx= int_a^bf（u）du11）约瑟夫-马尔科夫（J-M）公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f （x） intf（x）dx|_a^b12）奇拆公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f（x） intf（x）dx|_a^b 13）展开与积分公式：intu（x）v（x）dx= intu（x）dx intv （x）dx+intv（x）dx intu（x）dx14）矩形公式：int_a^bf（x）dx=frac{f（a）+f（b）}{2} int_a^b1dx 15）双曲函数公式：intfrac{1}{u（x）}dx=intfrac{1}{u（x）}dx+c 16）椭圆曲线公式：intfrac{1}{u（x）v（x）}dx= intfrac{1}{u （x）}dx+ intfrac{1}{v（x）}dx上述16个基本公式，构成了不定积分的基础，是解决不定积分问题不可缺少的重要部分。
不定积分的定义和性质
F ( x) G( x) C（C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间 I 内，函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数 称为 f ( x )在区间 I 内的不定积分，记为
f ( x)dx 。
即：
积分号
f ( x)dx F ( x) C
积分常数
被积 函数 积分 变量
求不定积分的中心问题是 寻求被积函数f ( x ) 的一个 原函数。
（1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，例如， 曲线 y F ( x) 沿y轴平行移 C 位而得到。当 C 0 时向上移动； 当 C时，向下移动。 0 y f ( x) （2）由于 [ F ( x) C ]' F ' ( x) f ( x) ，即横坐标相同点x处， o x f (x) 每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于 ，从而 使相应点的切线平行。
现证(1) f ( x)dx g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx f ( x) g ( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例5
求积分 (
3
2
3
2
1 x 2
x x
(6)
cos xdx sin x C; sin xdx cos x C;
cos
sin
dx
2 2
(12)
(7)
(13)
a dx
x
a
x
C;
ln a
(8)
x
sec xdx tan x C ;
csc xdx cot x C;
不定积分与变限积分的关系
不定积分与变限积分的关系【原创实用版】目录一、不定积分与变限积分的定义及关系二、不定积分与变限积分的几何意义三、利用变限积分法求解不定积分四、结论正文一、不定积分与变限积分的定义及关系不定积分是指对一个函数进行积分，但不限定积分上下限的一种积分方式。
其主要目的是求解函数在某一特定区间内的积分，该区间通常在求解过程中被视为变量。
不定积分的结果是一个函数，其导数等于被积函数。
变限积分是指在积分过程中，对积分上下限之一进行替换或者调整的一种积分方式。
通过变限积分，我们可以求解一系列具有相同被积函数的不同积分问题。
变限积分与不定积分的关系在于，变限积分可以看作是不定积分的特例，即当变量取某个固定值时，变限积分便转化为不定积分。
二、不定积分与变限积分的几何意义不定积分的几何意义是：满足牛顿 - 莱布尼兹公式的所有函数曲线族。
简单来说，就是求解一条曲线下的面积，但这个面积并不固定，而是随着曲线的形状和位置而变化。
变限积分的几何意义是：由变量作为积分限，另有一参数作为被积变量，目标函数值是由变限量决定参数变量积分的面积。
也就是说，变限积分表示的是一个参数范围内的积分面积，这个面积会随着参数的变化而变化。
三、利用变限积分法求解不定积分变限积分法是一种求解不定积分的有效方法。
通过变限积分法，我们可以将不定积分转化为定积分，进而求解。
具体操作是：先对被积函数进行求导，得到原函数，然后将原函数中的自变量替换为变量，最后进行定积分运算。
这样，我们就可以利用定积分的性质，求解原本较为复杂的不定积分问题。
四、结论总之，不定积分与变限积分在定义和几何意义上存在一定的差异，但它们之间也存在紧密的联系。
利用变限积分法，我们可以将不定积分转化为定积分，从而简化求解过程。
5.1不定积分的概念
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
F ( x )dx F ( x ) C ,
dF ( x ) F ( x ) C .
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
思考 1、 （1）求 （2）求 （3）求
若f ( x)的一个原函数为sin x
f ( x)dx
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x x dx 1 C ( 1);
C kdx kx 1
( k是常数);
dx x ln | x | C ;
（sin x） cos x
/
（cos x） sin x
/
1 2 （tan x） sec x 2 cos x 1 / (cot x) 2 csc 2 x sin x
W W W B W B Cv y ( ln ), 2 g C C W B
令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出
y= 238.4 (英尺)＜300(英尺)
问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做 法是极其危险的，必须改变.
数学是有用的
应用2
洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体。 当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
解：
Q i (t ) lim Q / (t ) t 0 t
Q / (t ) i (t ), 且Q(t ) t 0 0
Q(t ) － 时域的电容电路
+
（ 3
）
2
16
（
） 16 4
27
（
开方.
） log 3 27 3
不定积分、定积分与反常积分及定积分的应用
不定积分、定积分与反常积分及定积分的应⽤不定积分、定积分与反常积分不定积分⼀、不定积分概念1.定义\begin{align} &原函数：设对于区间I上的任意⼀点x均有F'(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的⼀个原函数\\ &不定积分：设函数f(x)于区间I上有原函数,则其余原函数的全体称为f(x)于区间I上的不定积分,记为\int{f(x)dx}\\ &线性：\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}2.计算\begin{align} &计算⽅法\begin{cases}&1.基本公式\\&2.线性\\&3.积分法\begin{cases}&1.换元法\\&2.分部积分法\\\end{cases}\\\end{cases}\\ \end{align}(1)第⼀换元法(凑微分)\begin{align} &设F'(u)=f(u),则\int{f(\Phi(x))\Phi'(x)}dx=\int{f(\Phi(x))d(\Phi(x))}=F(\Phi(x))+C\\ &注解：找到合适的凑微分\Phi'(x)dx=d(\Phi(x)) \end{align}常见凑微分：\begin{align} &1.\int{f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int{f(ax+b)d(ax+b)}}(a\neq0)\\ &eg1.\int{\sin (2x+3)}dx=\frac{1}{2}\int\sin (2x+3)d(2x+3)=\frac{1}{2}\cos{(2x+3)}+C\\\ &2.\int{f(ax^n+b)x^{n-1}dx}=\frac{1}{na}\int{f(ax^n+b)d(ax^n+b)}\\ &eg2.\int{\cos(2x^4+3)x^3dx}=\frac{1}{4*2}\int{\cos(2x^4+3)d(2x^4+3)}=\frac{1}{8}\cos{(2x^4+3)}+C\\ &3.\int{f(a^x+c)a^xdx}=\frac{1}{\ln{a}}\int{f(a^x+c)}d(a^x+c)\\ &eg3.\int{\sin(2^x+3)2^xdx}=\frac{1}{\ln2}\int{\sin{(2^x+3)}d(2^x+3)}=\frac{1}{\ln 2}\cos{(2^x+3)}\\ &4.\int{f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}}dx=-\int{f(\frac{1} {x})}d(\frac{1}{x})\\ &eg4.\int{\ln(\frac{1}{x})}\frac{1}{x^2}dx=-\int\ln (\frac{1}{x})d({\frac{1}{x}})+C\\ &5.\int{f(\ln |x|})\frac{1}{x}d(x)=\int{f(\ln{|x|)}}{d(\ln|x|)}\\ &eg5.\int{\sin ({\ln{|x|}}})\frac{1} {x}dx=\int{\sin(\ln(|x|)d(\ln{|x|})}=\cos(\ln x)+C\\ &6.\int{f(\sqrt x)\frac{1}{\sqrt x}}dx=2\int{f(\sqrt x)}d(\sqrt x)\\ &7.\int f(\sin x)\cos xdx=-\int{(\sin x)}d(\sin x)\\ &8.\int{f(\cos x)\sin dx}=\int{f(\cos x)d(\cos x)}\\ &9.\int{f(\tan x)\sec^2 xdx}=\int{f(\tan x)d(\tan x)}\\ &10.\int{f(\cot x)\csc^2xdx}=-\int{f(\cot x)d{(\cot x)}}\\ &11.\int{f{(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}}dx=\int{f(\arcsin x)d({\arcsin x})}\\ &12.\int{f(\arccos x)(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}})dx=\int{f(\arccos x)d(\arccos x)}\\ &13.\int{f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx}=\int{f(\arctan x)d(\arctan x)}\\ &14.\int{f(\sqrt{x^2+a})}\frac{x} {\sqrt{x^2+a}}dx=\int{f(\sqrt{x^2+a})}d(\sqrt{x^2+a})\\ &注解：(\sqrt{x^2\pm a})'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}},(\sqrt{a^2-x^2})'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ \end{align}(2)第⼆换元法\begin{align} &设F'(u)=f(\Phi(u))\Phi'(u),则\\ &\int{f(x)dx}\overset{x=\Phi(u)}{=}\int{f(\Phi(u))\Phi'(u)du}=F(u)+C=F(\Phi^{-1}(x))+C\\ &注解：找到合适的x=\Phi(u)\\ \end{align}1)三⾓换元\begin{align} &x=a\sin u,x=a\tan u,x=a \sec u\\ &\sqrt{a^2-x^2}\overset{x=a\sin u}{=}a\cos u,u\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],x\in[-a,a]\\ &\sqrt{a^2+x^2}\overset{x=a\tan u}{=}a\sec u,u\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})},x\in{(-\infty,\infty)}\\ &\sqrt{x^2-a^2}\overset{x=a\sec u}{=}a\tan u,u\in(\frac{\pi}{2},\pi]\cup(0,\frac{\pi}{2}]\\ \end{align}2)倒变换\begin{align} &x=\frac{1}{u}常⽤于含\frac{1}{x}的函数\\ \end{align}3）指数(或对数)变换\begin{align} &a^x=u或x=\frac{\ln u}{\ln a}常⽤于含a^x的函数\\ \end{align}4）⽤于有理化的变换\begin{align} &\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}⽤x=u^6\\ &\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}⽤u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}或x=-\frac{du^n-b}{cu^n-a}\\ \end{align}(3)分部积分法\begin{align} &\int{u(x)v'(x)dx}=\int{u(x)d(v(x))}=u(x)v(x)-\int{v(x)u'(x)dx}\\ &注解：找到合适的u(x),v(x)\\ \end{align}1)降幂法\begin{align} &\int{x^ne^{ax}dx},\int{x^n\sin axdx},\int{x^n\cos ax dx}\\ &取u(x)=x^n\\ \end{align}2)升幂法\begin{align} &\int{x^a\ln xdx},\int{x^a\arcsin xdx},\int{x^a\arccos x dx},\int{x^a\arctan x dx}\\ &取u(x)=\ln x\\ \end{align}3)循环法\begin{align} &\int{e^{ax}\sin ax dx},\int{e^{ax}\cos {ax} dx}\\ &取u(x)=e^{ax}或\sin{ax} \end{align}4)递推公式法\begin{align} &与n有关的结果I_n，建⽴递推关系I_n=f(I_{n-1})或f(I_{n-2})\\ \end{align}定积分⼀、定积分概念1.定义\begin{align} &定义:设函数f(x)在区间[a,b]上有定义且有界\\ &(1)分割：将[a,b]分成n个[x_{i-1},x_{i}]⼩区间\\ &(2)求和：[x_{i-1},x_{i}]上取⼀点\xi_{i},\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Deltax_i},\lambda=\max{\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}}\\ &(3)取极限：若\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x}\exist,且极值不依赖区间[a,b]分发以及点\xi_{i}的取法,则称f(x)在区间[a,b]上可积,\\ &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{f(\xi)\Delta x_{i}} &\\ &注解：\\ &(1)\lambda \rightarrow0 \rightarrow \nleftarrow n\rightarrow \infty\\ & (2)定积分表⽰⼀个值,与积分区间[a,b]有关,与积分变化量x⽆关\\ &\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}\\ &(3)如果积分\int_{0}^{1}{f(x)dx}\exist,将[0,1]n等分，此时\Delta{x_{i}}=\frac{1}{n},取\xi_{i}=\frac{i}{n},\\ &\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\\ \end{align}\begin{align} &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum^{n}_{i=1}f(\xi_i)\Delta_i=\begin{cases}&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+(i-1)\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},左侧\\&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+i\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},右侧\\\end{cases}\\ &中点：\Phi_i=a+(i-1)\frac{b-a}{n}+\frac{b-a}{2n}\\ \end{align}Processing math: 0%定理：(线性)\begin{align} &\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}注解：积分⽆⼩事\begin{align} &\int{e^{\pm x^2}dx,\int{\frac{\sin x}{x}}}积不出来\\ &F'(x)=f(x),x\in I,连续函数⼀定存在原函数，⽆穷多个\\ &[F(x)+C]'=f(x) \end{align}2.定积分存在的充分条件\begin{align} &若f(x)在[a,b]上连续,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上有上界,且只有有限个间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上只有有限个第⼀类间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ \end{align}3.定积分的⼏何意义\begin{align} &(1)f(x)\geqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S\\ \end{align}\begin{align} &(2)f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-S\\ \end{align}\begin{align} &(3)f(x)\geqslant{0}\cup f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S_1+S_3-S_2\\ \end{align}注解：\begin{align} &（1）当f(x)\geq0时,定积分的⼏何意义是,以区间[a,b]为底,y=f(x)为曲边的曲边梯形⾯积\\ &（2）定积分是⼀个常数，只与f和区间[a,b]有关,与积分变量⽤什么字母⽆关\\ &\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(t)dt}\\ &（3）\int_a^bdx=b-a\\ &（4）\int_{a}^{a}f(x)=0,\int_a^bf(x)dx=-\int_b^a{f(t)}dt \end{align}⼆、定积分的性质1.不等式性质\begin{align} &(1)保序性：若在区间[a,b]上f(x)\leqslant{g(x)},则\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{\int_a^{b}{g(x)dx}}\\ &推论：\\ &(1)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq0\\ & (2)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],且[c,d]\subset[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq\int_c^d{f(x)dx}\\ &(3)|\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b{|f(x)|dx}\\ &-|f|\leq f\leq |f|\Rightarrow \int_a^b-|f|\leq \int_a^bf\leq \int_a^b|f|\Rightarrow |\int_a^bf|\leq\int_a^b|f|\\ &如：x^2\leq x^3,x\in[0,1],则\int_0^1{x^3dx}\leq\int_0^1{x^2dx}\\ \end{align}\begin{align} &(4)(估值不等式)若M及m分别是f(x)在[a,b]上的最⼤值和最⼩值,\\ &则m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}\\ \end{align}\begin{align} &证明：M(b-a)=S_{AFDC}=S_1+S_2+S_3\\ &m(b-a)=S_{EBDC}=S_3\\ &\int_a^{b}{f(x)dx}=S_{ADBC}=S_2+S_3\\ &S_3\leqslant{S_2+S_3\leqslant{S_1+S_2+S_3}}\\&\Leftrightarrow{m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}}\\ \end{align}\begin{align} &(3)|\int_a^{b}{f(x)dx}|\leqslant{\int_a^{b}{|f(x)|dx}}\\ \end{align}2.中值定理\begin{align} &(1)若f(x)在[a,b]上连续,则\int_a^{b}{f(x)dx}=f(\xi)(b-a),(a<\xi<b)\\ &称\frac{1}{b-a}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}为函数y=f(x)在区间[a,b]上的平均值}\\ &注解：F'(x)=f(x),F(b)-F(a)=\int_a^b{f(x)dx},f(\xi)(b-a)=F'(\xi)(b-a)\\ &(2)若f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号,则\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_a^b{g(x)dx}\\ \end{align}注解：\begin{align} &\int_0^1{\frac{x}{\sin x}}dx\\ &f(x)=\begin{cases}&\frac{x}{\sin x},x\in[0,1]\\&1,x=0\\\end{cases}\\ &结论：有限处点的函数不影响定积分\\ &f(x)={\begin{cases}&x+1,[1,2]\\&x, [0,1]\\\end{cases}}\\ &\int_0^2{f(x)dx}=\int_0^1{xdx}+\int_1^2{(x+1)dx}\\ \end{align}\begin{align} &证明：\frac{1}{2}\leq\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^n}}dx\leq\frac{\pi}{6}\\ &估值积分：x\in[0,\frac{1}{2}]\\ &\\ \end{align}例题：\begin{align} &1.求极限\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\\ &根据积分容易知道0\leq\frac{x^ne^x}{1+e^x}\leq x^n,x\in[0,1],n\in N^*\\ &⽤积分的保号性\\&0\leq\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\leq \int_0^1{x^n}dx=\frac{1}{n+1}\\ &⽤夹逼定理\\ &\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0\\ &\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}=0\\ \end{align}\begin{align} &2.设I_1=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{\tan x}{x}dx,I_2=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{x}{\tan x}dx则\\ &(A)I_1>I_2>1(B)1>I_1>I_2(C)I_2>I_1>1(D)1>I_2>I_1\\ &解：⽤保序性a<b,f(x)\leq g(x),\int_a^b f(x)\leq \int_a^b g(x)\\ &\tan x>x,x\in[0,\frac{\pi}{2}]\\ &\frac{\tan x}{x}>1>\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &根据保序性\\ &\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}dx>\int_0^{\frac{\pi}{4}}1dx=\frac{\pi}{4}>\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &证：\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}与1的关系\\ &积分中值定理\\ &\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}=f(\xi)(\frac{\pi}{4}-0)=\frac{\tan \xi}{\xi}*\frac{\pi}{4},\xi\in{[0,\frac{\pi}{4}]}\\ &根据\frac{\tan x}{x}在x\in[0,\frac{\pi}{4}]上单调递增\\ &0<f(\xi)<\frac{4}{\pi},0<\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}<1\\ &选(B)\\ \end{align}三、积分上限函数\begin{align} &如果f(x)在区间[a,b]上连续,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且\int_a^b{f(t)dt})\\ &(\int_a^xf(t)dt)'=f(x),(\int_a^{x^2}f(t)dt)'=f(x^2)*2x\\ &如果f(x)在区间[a,b]上连续,\phi_1(x),\phi_2(x)为可导函数,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}{f(t)dt})'\\ &=f[\phi_2(x)]*\phi_2'(x)-f[\phi_1(x)]*\phi_1'(x)=(\int_{\phi_1(x)}^0{f(t)dt}+\int_{\phi_2(x)}^0{f(t)dt})'\\ &设函数f(x)在[-l,l]上连续,则\\ &如果f(x)为奇函数,那么\int_0^xf(t)dt必为偶函数\\ &如果f(x)为偶函数,那么\int_0^xf(t)dt必为奇函数\\\end{align}\begin{align} &任取x\in[a,b),取\Delta x>0,使x+\Delta x\in[a,b)\\ &\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}[\int_a^{x+\Delta x}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt]=\frac{1} {\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(x+\sigma\Delta x)\rightarrow f(x)(\Delta x\rightarrow 0^+)\\ \end{align}推论：\begin{align} &若f(x)、\phi'(x)、\psi(x)于[a,b]上连续,则\\ &(1)(\int_a^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)\\ &(2)(\int_b^{\psi(x)}f(t)dt)'=-f(\psi(x))\psi'(x)\\ &(3)(\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)\\ \end{align}例题\begin{align} &1.设函数f(x)在R上连续,且是奇函数,则其原函数均是偶函数.当f(x)是偶函数时？是周期函数？\\ &证：\\ &令F_0(x)\int_0^xf(t)dt,x\in R\\ &F_0(-x)=\int_0^{-x}f(t)dt\overset{t=-u} {=}\int_0^xf(-u)d(u)=\int_0^xf(u)du=F_0(x)\Rightarrow F_0(x)为偶函数\\ \end{align}\begin{align} &求变现积分导数\\ &(1)F(x)=\int_x^{e^{-x}}f(t)dt\\ &(2)F(x)=\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt\\ &(4)设函数y=y(x)由参数⽅程\begin{cases}&x=1+2t^2\\&y=\int_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du\\\end{cases}(t>1),求\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=9}\\ &解:\\ &(1)F(x)'=(\int_x^{e^{-x}}f(t)dt)'=f(e^{-x})(-e^{-x})-f(x)\\ &(2)F(x)'=(\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt)'=(\int_0^{x^2}x^2f(t)dt-\int_0^{x^2}tf(t)dt)'\\ &=2x\int_0^{x^2}f(t)dt+x^2f(x^2)2x-x^2f(x^2)2x=2x\int_0^{x^2}f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt=-\frac{1}{2}\int_0^xf(x^2-t^2)d(x^2-t^2)\overset{u=x^2-t^2}{=}-\frac{1}{2}\int_0^xf(u)du\\ &F(x)'=\frac{1}{2}f(x^2)2x=xf(x^2)\\ &(4)\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{e^{1+2\ln t}}{1+2\ln t}\frac{2}{t}}{4t^2}=\frac{e}{2(1+2\ln t)}\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{e}{2}(-\frac{\frac{2}{t}}{(1+2\ln t)^2})\frac{1}{4t}\\ \end{align}\begin{align} &2.求变现积分的积分:\\ &(1)设f(x)=\int_0^x{\frac{\sin t}{\pi -t}dt},求\int_0^\pi{f(x)}dx\\ &解:\\ &\int_0^\pi{f(x)}dx=\int_0^{\pi}\int_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}dt\space dx\\&=x\int_0^x\frac{\sin t}{\pi t}|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}x\frac{\sin x}{\pi -x}dx\\ &=\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{\pi t}+\int_0^{\pi}\frac{[(\pi-x)-\pi]\sin x}{\pi-x}dx=\int_0^{\pi}\sin xdx=2\\ &(2)\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(\int_0^x{e^{t^2}}dt)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(2\int_0^{x}e^{t^2}dt)e^{x^2}}{e^{2x^2}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2\int_0^{x}e^{t^2}}{e^{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2x}=0\\ \end{align}\begin{align} &(3)设f(x)连续,\phi(x)=\int_0^1{f(tx)dt},且\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=A(常数),求\phi'(x)并讨论\phi'(x)在x=0处的连续性\\ &当x\neq0时\\ &令u=tx,t\in[0,1],u=tx\in[0,x],\phi(x)=\int_0^1f(tx)dt\overset{tx=u}{=}\int_0^x{f(u)d(\frac{u}{x})}=\frac{\int_0^xf(u)du}{x}\\ &\phi'(x)=\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}\\ &当x=0时,f(0)=0,\phi(0)=f(0)=0,\phi'(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\phi(x)\phi(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_0^xf(u)du}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}=\frac{1}{2}A\\&\lim_{x\rightarrow0}\phi'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}}=A-\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}A=\phi'(0)\Leftrightarrow\phi'(x)在x=0处连续\\ \end{align}注解：\begin{align} &注意变限积分进⾏正逆运算时上下限的映射\\ &例如F(x)=\int_0^x{f(t)dt}\overset{t=-u}{=}\int_{-a}^{x}f(-u)d(-u)\\ \end{align}四、定积分的计算1.⽜顿莱布尼茨公式\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)2.换元积分法\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta{f(\Phi(t))\Phi'(t)dt}3.分部积分法\int_a^budv=uv|_a^b-\int_a^bvdu4.奇偶性和周期性\begin{align} &直接使⽤奇偶性周期性定义证明\\ &(1)设f(x)为[-a,a]上的连续函数(a>0),则\\ &\int_{-a}{a}f(x)dx=\begin{cases}0,&f(x)奇函数\\2\int_0^af(x)dx,&f(x)偶函数\end{cases}\\ &证：\int_{-a}^0{f(x)dx}\overset{x=-t}{=}\int_0^a{f(-t)d(-t)}=-\int_{0}^{a}f(t)d(t)=-\int_0^a{f(x)dx}\\ \end{align}\begin{align} &(2)设f(x)是以T为周期的连续函数,则对\forall A，有\int_a^{a+T}f(x)=\int_0^T{f(x)dx}\\ &\int_a^{a+T}f(x)dx\overset{x=a+t}{=}\int_0^T{f(a+t)d(a+t)}=\int_0^{a+t}f(a+t)dt\\\end{align}\begin{align} &\Phi:x\in[a,b]\rightarrow y\in[c,d],令\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-c}{d-c},y=c+\frac{d-c}{b-a}(x-a)\\ \end{align}\\5.奇偶函数积分后的奇偶性(奇偶函数求导后的奇偶性)1.奇偶函数求导后的奇偶性\begin{align} &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrowf'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为奇函数\\ \end{align}2.奇偶函数求积分后的奇偶性\begin{align} &设F(x)为f(x)的原函数\\ &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=-F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为奇函数\\ \end{align}3.奇偶函数复合后的奇偶性\begin{align} &\exist f(x),g(x),F(x)=f(g(x))\\ &设f(x)为奇函数\\ &(1)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-F(x),F(x)为奇函数\\ &设f(x)为偶函数\\ &(1)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &注解:外偶全偶,外奇奇偶\\\end{align}例题：\begin{align} &1.设M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1+x^2}\cos^4xdx},N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin x^3+\cos^4x)dx},P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx,则\\ &(A)N<P<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N\\ &根据对称性判断\\ &M:f_M(x)为奇函数，F_M(x)为偶函数\\ &N:N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sinx^3+\cos^4x)dx}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos ^4xdx\geq 0,\Rightarrow N\geq 0\\ &P:P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4xdx\geq0,\Rightarrow P\leq0\\ &\Leftrightarrow P<M<N,\space\space选(D)\\\end{align}\begin{align} &2.设f(x)=\begin{cases}&kx,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&c,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases},求F(x)=\int_0^xf(t)dt,x\in[0,a]\\ &F(x)=\begin{cases}&\int_0^xktdt=\frac{1}{2}kt^2|_0^x=\frac{1}{2}kx^2,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&\int_0^{\frac{1}{2}a}ktdt+\int_{\frac{1}{2}a}^c cdt=\frac{1}{8}ka^2+c^2-\frac{1}{2}ac,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases}\\ \end{align} \begin{align} &3.证明：\int_0^{2\pi}f(|\cos x|)dx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(|\cos x|)dx\\ \end{align}6.已有公式\begin{align} &(1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2},&n为偶数\\\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{2}{3},&n为⼤于1的奇数\\\end{cases}}\\ &(2)\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx(f(x)为连续函数)\\ \end{align}7.与定积分有关的证明8.经典例题：例题1:\begin{align} &\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}\\ &法1：夹逼定理+基本不等式\\ &\frac{1}{1+x}<\ln(x+1)<x\\ &令x=\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+1}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}<\ln(\frac{1}{n}+1)=\ln(n+1)-\ln(n)<\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+2}<ln(n+2)-ln(n+1)<\frac{1}{n+1}\\ &得\frac{1}{n+n}<\ln(n+n)-\ln(n+n-1)<\frac{1}{n+n-1}\\ &得\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<ln(2n)-ln(n)=ln2\\ &法2：\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}中\\ &\frac{1}{n+1}中n为主体，1为变体\\ &\frac{变体}{主体}\rightarrow^{n \rightarrow{\infty}}\begin{cases}0,次(夹逼定理)\\A\neq 0,同(定积分)\end{cases}\\ &\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Deltax_i}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(b-a)}=\int_0^1\frac{1}{1+x}=\ln(1+x)|_{0}^{1}=\ln2\\ \end{align}例题2\begin{align} &设f(x)=\int_0^{\pi}{\frac{\sin x}{\pi-t}dt},计算\int_0^{\pi}f(x)dx.\\ &法1：分部积分+换元法\\ &原式=xf(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}dx}\\ &=\pi{\int_0^{\pi}{\frac{\sin{t}}{\pi-t}dt}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}}dx}\\ &=\int_0^{\pi}{\frac{(\pi-x)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法2：\\ &原式=\int_0^\pi{f(x)d(x-{\pi})}=(x-\pi)f(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{(x-\pi)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法3：⼆重积分转化为累次积分\\ &原式=\int_0^{\pi}{\int_0^{\pi}\frac{x\sin t}{\pi-t}dt}dx\\ \end{align}例题3\begin{align} &法1：构造辅助函数\\ &根据题意f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1\Rightarrow f(x)为偶函数,f最低点函数值为-1\\ &可以构造符合题意的辅助函数f(x)=2x^2-1\\ &法2：根据函数的性质直接判断 \end{align}例题4\begin{align} &因为\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=c(c\neq 0)\\ &所以\lim_{x\rightarrow 0}{ax-\sin x}=0并且\lim_{x \rightarrow 0}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}=0\\ &化简,使⽤洛必达法则上下求导\\ &\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{\frac{\ln{1+x^3}}{x}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{x^2}}\\ &\Rightarrow a=1,c=\frac{1}{2},b=0\\ \end{align}反常积分⼀、⽆穷区间上的反常积分\begin{align} &(1)\int_a^{+\infty}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty}{\int_{a}^{t}f(x)dx}\\ &(2)\int_{-\infty}^{b}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow -\infty}{\int_{t}^{b}f(x)dx}\\ &(3)\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx和{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}都收敛,则{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}收敛\\ &且{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}=\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx+{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}\\ &如果其中⼀个发散,结果也发散\\ &常⽤结论：\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}\begin{cases}&p>1,收敛\\&p\leq1 ,发散\\\end{cases},(a>0)\\ \end{align}⼆、⽆界函数的反常积分\begin{align} &如果函数f(x)在点a的任⼀领域内都⽆界,那么点a为函数f(x)的瑕点(也称为⽆界点).⽆界函数的反常积分也成为瑕积分\\ &(1)设函数f(x)在(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.如果极限\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\exist,\\ &则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的反常区间,记作\int_{a}^{b}f(x)dx,即\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\\ &这时也称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,如果上述极限不存在，则反常积分\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &(2)设函数f(x)在[a,b)上连续,点b为函数f(x)的瑕点,则可以类似定义函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}{\int_a^tf(x)dx}\\ &设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续,点c为函数f(x)的瑕点,如果反常积分\int_a^c{f(x)dx}和\int_c^b{f(x)dx}都收敛\\ &则称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,且\int_a^b{f(x)dx}=\int_a^c{f(x)dx}+\int_c^b{f(x)dx}\\ &如果⾄少⼀个发散,则称\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &常⽤结论：\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ \end{align}三、例题例题1\begin{align} &\int\frac{1}{\ln^{\alpha}x}d(\ln x)\rightarrow^{\ln x=u}\int{\frac{du}{u^{\alpha+1}}}\begin{cases}&{\alpha-1< 1}\\&{\alpha+1>1}\\\end{cases}\Rightarrow 0<\alpha<2\\\end{align}定积分的应⽤⼀、⼏何应⽤1.平⾯图形的⾯积\begin{align} &(1)若平⾯域D由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x)),x=a,x=b(a<b)所围成,则平⾯域D的⾯积为\\ &S=\int_a^b{[f(x)-g(x)]dx}\\ &(2)若平⾯域D由曲线由\rho=\rho(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta(\alpha<\beta)所围成,则其⾯积为S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}{\rho^2(\theta)d\theta} \end{align}2.旋转体的体积\begin{align} &若区域D由曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成,则\\ &(1)区域D绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_x=\pi\int_a^b{f^2(x)dx}\\ &(2)区域D绕y轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_y=2\pi\int_a^b{xf(x)dx}\\ &(3)区域D绕y=kx+b轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V=2\pi\int_D\int{r(x,y)d\sigma}\\ &例如：求y=x,y=x^2在第⼀象限的封闭图形绕转轴的体积\\ \end{align}\begin{align} &V_x=2\pi\int_D\int yd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}ydy\\ &V_y=2\pi\int_D\int xd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}xdy\\ &V_{x=1}=2\pi\int_D\int (1-x)d\sigma\\ &V_{y=2}=2\pi\int_D\int (2-y)d\sigma\\ \end{align}3.曲线弧长\begin{align} &(1)C:y=y(x),a\leq x\leq b,s=\int_a^b{\sqrt{1+y'^2}dx}\\ &(2)C:\begin{cases}&x=x(t)\\&y=y(t)\\\end{cases},\alpha \leq t\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{x'^2+y'^2}dx}\\ &(3)C:\rho=\rho(\theta),\alpha \leq \theta\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}dx}\\ \end{align}4.旋转体侧⾯积\begin{align} &曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成的区域绕x轴旋转所得到的旋转体的侧⾯积为\\ &S=2\pi\int_a^b{f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx}\\ \end{align}⼆、物理应⽤1.压⼒2.变⼒做功3.引⼒（较少考）例题1\begin{align} &分析题意可知,该容器由x^2+y^2=1的圆和x^2+(y-1)^2=1的偏⼼圆组成\\ &根据图像的对称性可以避免不同表达式带来的困难\\ &对圆的⼩带⼦进⾏积分，带⼦长度为x，积分区间为-1到\frac{1}{2}，\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{\pi x^2dy}\\ &由于图像的对称性，将积分结果乘⼆\\ &(1)V=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{x^2}dy=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{(1-y^2)dy}=\frac{9\pi} {4}\\ \end{align}\begin{align} &(2)W=F*S=G*S=mg*S=\rho VSg\\ &上部为W_1=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(2y-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &下部为W_2=\int^{\frac{1}{2}}_{-1}(1-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &W=W_1+W_2\\ \end{align}例题2\begin{align} &F_p=P*A=\rho gh*A\\ &将图像分为上部和下部，上部为矩形区域和下部的抛物线围成的⾯积区域，对其进⾏依次求解\\ &P_1=2\rho gh\int_1^{h+1}{h+1-y}dy=\rho gh^2\\ &P_2=2\rho gh\int_0^1{(h+1-y)\sqrt{y}dy=4\rho g(\frac{1}{3}h+\frac{2}{15})}\\ &\frac{P_1}{P_2}=\frac{4}{5}\Rightarrow h=2,h=-\frac{1}{3}(舍去) \end{align}。
数学《不定积分》讲义
第八章 不 定 积 分1 概念与基本积分公式引入 求导 (微分)运算的逆运算一、不定积分的定义 1、原函数例 1 ( )'211x =+ ( )'2cos x =- ( )'2x = (d dx )sin 2x e x -=-(d )xdx = ( )'arctan x = 21arctan ln(1)2x x x ⋅-+定义 1 设函数F 和f 在区间I 上都有定义. 若在I 上，有()()F x f x '=, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.注1 若f 可导, 则f 为()f x '的一个原函数. 原函数的基本问题1) 什么样的函数存在原函数?2) 若已知原函数存在，是否唯一？ 如何求？ 定理 1 若f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数. 推论1 初等函数在其定义域上都有原函数.问题 定理 1的逆定理是否成立? 即若f 在I 上存在原函数, 则f 是否连续?(答案是否定的, 也就是说间断函数可能具有原函数,). 详细地说, 仅有第二类间断点的函数可能有原函数. 而具有第一类间断点的函数不可能具有原函数.定理2 1) 若()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则对任何常数c ，()F x c + 都是()f x 在区间I 上的原函数.2) 若函数()G x 也是()f x 在区间I 上的一个原函数，则必有常数c ，使得()()G x F x c =+. (任何两个原函数之间相差一个常数c )注2 若()F x 为()f x 的一个原函数, 则()f x 的所有原函数为{(); }F x c c R +∈. 2、不定积分定义 2 f 在区间I 上的全体原函数称为f 的不定积分, 记作()f x dx ⎰或 f dx ⎰, 其中⎰为积分号,f 为被积函数, x 为积分变量, ()f x dx 为被积表达式.例 2 21dxx+⎰arctan x c =+, 323x x dx c =+⎰注 3 若F 为f 在区间I 上的一个原函数，则f 的不定积分为()F x c +，即()f x dx ⎰()F x c =+，这说明求不定积分只需求一个原函数, 再加上常数c 即可. 特别地，()()f x dx f x c '=+⎰, (())()f x dx f x '=⎰或者微分形式 ()()df x f x c =+⎰, (())()d f x dx f x dx =⎰. 在忽略常数的意义下, 求积分与求导数是一对互逆运算.不定积分的几何意义 若()F x 为()f x 的一个原函数，则称曲线()y F x =为f 的一条积分曲线. 这样f 的不定积分在几何上就表示f 的某一条积分曲线沿纵轴(y 轴)方向任意平移所得的一切积分曲线组成的曲线簇.现在我们回到前面的原函数基本问题: 怎么求原函数? 即怎样求不定积分?例 3 设()f x 是有界闭区间[,]a b 上的非负连续函数. 曲线()y f x =与直线,x a x b ==及0y =所围成的平面图形ABCD 称为曲边梯形,下面讨论曲边梯形的面积S (严格论证以后给出).任取[,]x a b ∈. 记曲边梯形AMND 的面积为()S x 则()0, ()S a S b S ==. 当x 变到x x +∆时……0x ∆≈时, ()()()S S x x S x f x x ∆=+∆-≈∆ 因此 '()()S x f x =因而求导的逆问题也称为求积问题,求曲边梯形面积可归结为求原函数问题. 到底该如何求原函数? 求原函数也的确是一个比较困难的问题,即使是一些简单的函数, 如前面的arctan x ,也不能一下看出来, 这就需要引进一些积分方法. 二、不定积分的基本公式 1、设函数,f g 存在原函数, 则1) (())()f x dx f x '=⎰, (())()d f x dx f x dx =⎰; 2)()()f x dx f x c '=+⎰, ()()df x f x c =+⎰; 3) 0α≠，()()f x dx f x dx αα=⎰⎰; 4)()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.由3)、4) 可知不定积分为线性运算，即[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰ 22(,, 0)R αβαβ∀∈+≠. 2、基本积分表1) 0 dx c =⎰ 2) 1 dx x c =+⎰3) 11x x dx c ααα+=++⎰ (1)α≠- 4) 1ln ||dx x c x =+⎰5) xxe dx e c =+⎰ 6) ln xxa a dx c a=+⎰ (0,1)a a >≠7) sin cos x dx x c =-+⎰ 8) cos sin xdx x c =+⎰ 9) 2sec tan xdx x c =+⎰ 10) 2csc cot xdx x c =-+⎰ 11) sec tan sec x xdx x c =+⎰ 12) csc cot csc x xdx x c =-+⎰ 13)tan ln |cos |xdx x c =-+⎰ 14) cot ln |sin |xdx x c =+⎰15) sec ln |tan sec |xdx x x c =++⎰ 16) csc ln |csc cot |xdx x x c =-+⎰ 17)arcsin arccos x c x c =+=-+ 18)2arctan arccot 1dxx c x c x =+=-++⎰19)221arctan dx xc x a a a =++⎰ 20) 221ln ||2dx x ac x a a x a -=+-+⎰21)arcsinxc a=+ 22) ln(x c =++例 4 1) ⎰; 2)⎰;3) 01nn a a x a x dx ++⋅⋅⋅+⎰（）; 4) 221x dx x +⎰;5) 421x dx x +⎰;6) 2(1010)x x dx -+⎰; 7) 2312x x e dx --⎰;8) 2cos 2sin xdx x ⎰; 9) 22cos sin d θθθ⋅⎰;10) cos cos3x xdx ⋅⎰; 11) 22dx x +⎰;12)()()dxx a x b ++⎰; 13)22dx x -⎰;问题: ()f x dx ⎰与()f u du ⎰是否相同?例 5 已知()F x 为()2f x x =的一个原函数, 且(2)5F =, 求()F x .例 6 已知211dy dx x =-, 求()y y x =.例 7 考察21sin , 0;() 0, 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数性质.2 换元积分与分部积分法一、第一类换元法----凑微分法544sin 25sin 2(sin 2)10sin 2cos 2d x x x dx x xdx '=⋅=⋅4410sin2cos 25sin 2(sin 2)x xdx x x dx '⋅=⋅⎰⎰45sin 2sin 2xd x =⎰sin 2u x = 45u du ⎰55sin 2u c x c =+=+ 定理 1 若()()f u du F u c =+⎰，()u x ϕ=连续可导, 则(())()(())f x x dx F x c ϕϕϕ'⋅=+⎰，即若被积函数()g x 能够分解为()(())()g x f x x ϕϕ'=⋅, 则()(())()(())()g x dt f x x dt f x d x ϕϕϕϕ'=⋅=⎰⎰⎰()u x ϕ=()()(())f u dx F u c F x c ϕ=+=+⎰例 1 1) ()m ax b dx +⎰ (1,0)m a ≠-≠2) 2sec (53)x dx -⎰3) 1cos3cos 2(cos cos5)2x xdx x x dx ⋅=+⎰⎰凑法1 11()()()()f ax b dx f ax b d ax b f u du a a+=++=例 2 1) 21sin (1cos 2)2xdx x dx =-⎰⎰2)2122dx c x =+⎰ 221[arctan ]dx x c a x a a =++⎰3)22232(1)2dx dx c x x x ==+++++⎰⎰4) 211ln ||23(3)(1)43dx dx x c x x x x x -==++-+-+⎰⎰5) 223xdx x x +-⎰例 3 21xdx x +⎰凑法2 111()()()()k k k k x f x dx f x d x f u du k k-== 如 2221()()2xf x dx f x dx =2f =例 4 1) 4104x dx x+⎰2) 2sin x x dx ⋅⎰3)4) 2c ===⎰⎰或5) 2221ln (1)21dx x c x x x =+++⎰凑法3 (sin )cos (sin )sin f x xdx f x d x ⋅= (cos )sin (cos )cos f x xdx f x d x =- 2(tan )sec (tan )tan f x xdx f x d x = 例 5 1) 3sin cos x xdx ⎰2) 3sin xdx ⎰3) 2cos 11sin sec ln ||cos 21sin x xxdx dx c x x+==+-⎰⎰4) 622sec (1tan )tan xdx x d x =+⎰⎰5) 5342tan sec tan sec sec x xdx x xd x =⎰⎰凑法4 ()()x x x x f e e dx f e de = 例 6 1) 2t dte --⎰2) 2t dt e -⎰凑法5 1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x =例 7 1) 1ln dx x x ⎰ 2)(12ln )dxx x +⎰凑法6(arcsin )(arcsin )dx f x d x =2(arctan )(arctan )arctan 1f x dx f x d x x =+例 82c =+注：第一类换元积分关键在于看被积函数的形式能否凑成(())()f x x ϕϕ'⋅的形式，或看被积函数(复合)哪一部分较复杂，先换元试试看.例 9 1) ln()x x x x x x e e dx e e c e e----=+++⎰ [()ln |()|()f x dx f x c f x '=+⎰]2) ln 1ln x dx x x+⎰ 3)2sec sec tan sec sec tan x x x xdx dx x x +=+⎰⎰4)5)6)2222x dx x x -++⎰ 7) 2223x dx x x -+-⎰8) 分析22Ax Bx C dx ax bx c ++++⎰形式积分9)2222cos sin cos sin x x dx a x b x +⎰ 10) 2222cos sin dx a x b x +⎰11)22sin dx x -⎰ 12) 22sin dx x +⎰13)2sin cos sin cos x x dx x x -+⎰二、第二类换元法----拆微分法sin x t = sin t 21cos 1cos 22tdt tdt ==+⎰⎰11sin 224t t c =++1(arcsin )2x x c =+ 定理 2 设()x t ϕ=是连续可微的,且()0t ϕ'≠. 若(())()f t t ϕϕ'⋅具有原函数()F t , 则有换元公式1()(())()()(())f x dx f t t dt F t c F x c ϕϕϕ-'=⋅=+=+⎰⎰.常见代换：三角代换、无理代换、双曲代换、倒代换、万能代换、Euler 代换等1、 三角代换1) (正) 弦代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令sin x a t =cos cos a t a tdt =⋅, arcsin x t a =. 例 10 1)arcsin x c a =+2)=2) (正) 切代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令tan x a t =sec a t =, 2sec dx a tdt =, arctan x t a =. 例 11 1)2)222()dx x a +⎰ (0)a >3) (正) 割代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令sec x a t =tan a t =, sec tan dx a t tdt =⋅, arccos a t x =.例 12 1)sec ln |sec tan |ln ||...x tdt t t c c a a ==++=++=⎰2)c =2、万能代换 常用于被积函数为三角函数的有理分式形式 令tan 2x t =，则22sin 1t x t=+, 221cos 1t x t -=+, 22tan 1t x t =-, 221dt dx t =+, 2arctan x t =. 例 13 1)2cos dx x +⎰2)1sin cos dx x x ++⎰3)2sin cos sin cos x x dx x x -+⎰4) 1sin sin (1cos )x dx x x ++⎰5)2222sin cos dx a x b x +⎰3、无理代换若被积函数中有⋅⋅⋅形式时，令n 为12,,k n n n ⋅⋅⋅的最小公倍数，作代换t =，则1, n n x t dx nt dt -==，将被积函数转化为t 的有理函数。
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练习：求
2x ex dx
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三、不定积分的运算性质
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1 ) [f(x ) g (x )d ] x f(x)d xg(x)d;x
性质1可以推广到有限多个函数的情形，即
[f1 (x)f2(x) fn(x)d ]x
f1 (x )d x f2 (x )d x fn (x )d . x
[ f ( x ) x g d ( x ) x ] ' d [ f ( x ) x ] ' d [ g ( x ) x ] 'd
=f(x)g(x)，
这说明 f(x)x d 是g (函x)数x d
所以欲证的等式成立. 精品课件
的f不(x定)积g(分x)，
例11 求 (2x35x24x3 )d x . 解 (2x35x24x3)dx
解 设所求的曲线方程为y f(x)
可知
y' x，
所 以 yxdx1 2x2C
把 (2,3)代 入 上 述 方 程 ， 得
C1，
因此所求曲线的方程为
x2
y 1.
2
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,依题意
二、基本积分公式
(1 )kd xkxC
(2)xd x x 1 1C( 1 ).
(3) dxxln|x|C. (4) axdxlanxaC.
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为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算， 我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
若 a已 知 ， b 未 知 ， 由 a
我们熟悉乘方运算：
b,则 称
23 8
（ 3 ）(1)式
为
乘
方
运 算 ， 称 b为 a的 立 方 。
若于是b 已提知出新， 问a 未题知：， 由
b ?3 a 8 , 则 称 （(2 3)） 式 为
性质2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面.
(2) k(fx)d xk f(x)dx. (常k 数 0)
注意：不定积分没有积精品和课件商的运算法则。
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1 ) [f(x ) g (x )d ] x f(x)d xg(x)d;x
证 只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有
(2) F'(x)dxF(x)C 或 dF(x)F(x)C，
先微后积 差一常数
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例 6 验证 sx e等 d c ls n xx e 式 tc a x n C 成 . 立
解 依据不定积分只 的要 定验 义证 ，等式的 右导 端数 函
是左端的被积. 函数即可
当s（ exctaxn） 0时，由于
解
x2(x33)dx
(x53x2)dx 1 6
x
6
x3 C
(2)
求(13x2
2 )d.x
1x2
解
(13x2
2 )dx
1x2
3arcx t a2n arcxsiCn
练习
(x 1)3 x2 dx
x33x23x1
x2
dx
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例13
求
x4 x2
2 1
dx.
解 x x4 2 1 2dx(x21 x )2x ( 21 1)1dx
加任意常数都co是sx
的原函数.
这样就给我们提出了问题： ✓原函数存在的条件？ ✓原函数有多少个？ ✓这些原函数之间有何关系？ ✓如何求出这些原函数？
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原 函 数 存 在 定 理
若函数ƒ(x)在区间I上
连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在.
例2
f (x) x2 CR
F(x) 1x3, 3
解 设曲线方 y程 f(x)
y
则由题意知
f(x)2x
f (x) 2xdx x 2 C
又曲线过(点 1,2),
21C, 即C1 故所求曲线 y为x2 1.
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0
x
不定积分的几何意义
函数f (x)的原函数图形称为f (x) y
的积分曲线,不定积分表示的不是一个
y F(x) C
原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通
2x3dx5x2dx4xdx3dx
2 x 3 d x 5 x 2 d x 4 x d x 3 d x 1 2x45 3x32x23xC .
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
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例12(1) 求x2(x33)dx
[ln(x steax cn )]
1
(sexc taxnse2x c)
ln(sexctanx)
sexc,
所以，已给等式成立 .
当s（ exctaxn） 0时，类似地给 可等 以式 验 . 成 证综上所述来自已给等式成 立.精品课件
例 7 已知某曲线过点 (1,2), 其上 点(x,y)处切线
的斜率为 x的两倍求，其方程
例1 sin xcoxs
s i n x 是 c o s x 的 一 个 原 函 数 ( , )
lnx 1
x
lnx是 1的 一 个 原 函 数 (0, )
x
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例如 在(,)上 sin x 是 cosx 的原函数
而 即 sin x
sin x 1 ,s s in x x 2 1 ,sin x 3也是它的原函数
x(1x2) x(1x2) dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
a rcta nxln|x| C
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例15 求co2txdx 解 cot2 xdx
(c2sxc1)dx
co xtxC
练习：求 tan2 xdx
例解1612s求 i(n122xscidnox2xs2x)ddxx
1 ( x sinx)C 2
(5) exdxexC .
(6 )s in x d x c o sx 精品 课C 件
(7 )c o sxd x s in x C . (8 )sid n x 2x c sc2xd x c o tx C . (9 )co d s x 2xsec2xd x ta nx C .
( 1 0 ) s e c x t a n x d x s e c x C .
常说成一族函数,反映在几何上则是一
族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线 O x
y F(x)
x
族. 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,
因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的
切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f
(x))处的切线斜率.
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练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程.
同样，在下式里
a3b (3)
F (x)f(x) (3)'
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通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以 下先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
定 义 对 于 定 义 在 区 间 I 上 的 函 数 f ( x ) 若 对 x I ,
有 F (x)f(x) 则 称 F (x )是 f(x )在 区 间 I上 的 一 个 原 函 数
(x21)x211dx
(x21)dxx211dx x3xarctxaC n.
3
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例14 求 x12(12xx22)dx.
解
1 2x2 x2(1 x2
dx )
1 x2 x2
x2(1x2)dx
x12dx11x2dx
1arctaxnC x
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练习 求 1x(1xxx2)2dx.
解
1x(1xxx2 )2dx
当x 0时， 有 ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
1 xdxln x()C(x0)
lnx 当x0,
lnx ln(x)
当x0,
所 以 1d xlnxC(x0). x精品课件
不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
(1) [f(x)dx]'f(x)
先积后微
或d f(x)dxf(x)dx， 形式不变
开这方不运是乘算 方， 运称算a ，为 而b 的是它 立的方逆根运算。 —开方运算。
一般来说，在下式里
若 也F熟( x悉)已导知数，运f (算x)未：知 ， 由 F ( x)
fx(2x),则2x称 （ 3）('1 式)'为 求 导 运 算 ，
称 f ( x)为 F ( x)的 导 数 。 若 f ( x)已 知 同， F样(提x)未出知问，题由：f ( x) F ( x), 则 称 这（?3不） '是式2x为求 积导 分运(2 运算)'算，，而称是F它( x的)为 f (逆x)的运原算函—数积。分运算。
积分变量
f(x)dxF(x)C
积 分 号
被 积 函 数
被积表达式
常
数
项
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例3 求 x5dx
解
(x6) x5,
6
x5dx
x6 6
C
例4 求11x2dx
解 arcxtan11x2
11x2dxarctxanC
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例5
求
1 x
dx
解 当 x0时， (ln x有 )'1.
x
1 xdxlnxC(x0)
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作业
P92. （9）
A组 2（1）；3（1）（3）（5）（7） B组 1