选修2-1数学椭圆综合知识点+大量例题
椭圆的性质
▓椭圆的范围 椭圆上的点都位于直线x=±a 和y=±b 围成的矩形内，所以坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. ▓椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c c
e a a
=
=。②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1。e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2
+y 2
=a 2
。
▓椭圆122
22=+b
y a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）12
2PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2
122||||a PM PM c
+=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+；（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1；
▓椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2
=b 2
+c 2
。
▓椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2
、y 2
的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
▓平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x,y ），若点M （x,y ）在椭圆上，则有
22221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆内，则有22
221x y a b +<(0)a b >>；若点M
（x,y ）在椭圆外，则有22
221x y a b
+>(0)a b >>.
▓直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则
22
121212||()()
PP x x y y =-+-=
22
121212
()[1(
)]y y x x x x --+-=
2121||
k x x +-同理可得
12122
1
||1||(0)PP y y k k =+
-≠这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212||()4x x x x x x -=--;2121212||()4y y y y y y -=--
▓例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且
2
cos 3
OFA ∠=
，求椭圆的方程。 【解析】 椭圆的长轴长为6，2
cos 3
OFA ∠=
，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c ，
||3AF a ====，233
c =，所以c=2，b 2=32－22
=5，故椭圆的方程为22195x y +
=或22
159
x y +=。 ▓【变式3】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x
轴上，离心率为2．过点1F
的直
线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ?的周长为16，那么C 的方程为______ 【答案】22
1
168x y +=。
▓例2.（1
的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】 （1）
由题意得()()a c a c +-=∶
即
11e e +=
-
解得5e =-（2）由题意得104
a c a c +=??-=?，解得73
a c =??=?，故离心率3
7c e a ==。
▓【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
1
1
.
.5
2
A B C D 【答案】D ▓【变式2】椭圆22
221x y a b
+=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、
、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿ 【答案】
1
2
▓例3. 设M 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆
的离心率。【解析】 在△MF 1F 2中，由正弦定理得
12122112
||||2sin sin sin MF MF c
F MF MF F MF F ==∠∠∠
即
12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==???∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==??+??+?
，∴
1sin15sin 75c e a =
==?+?。 ▓【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
1
▓【变式2】已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，求离心率____。
【解析】 根据题意，|AB 2
|=a 2
+b 2
，|BF|=a ，|AF|=a+c ，所以在Rt △ABF 中，有(a+c)2
=a 2
+b 2
+a 2
，化简得c 2
+ac ―a 2
=0，
等式两边同除以a 2
，得e 2
+e ―1=0
，解得12e -±=
。又∵0＜e ＜1
，∴1
2
e =。 ▓例4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223
F PF π
∠=，求其离心
率e 的取值范围。
【解析】△F 1PF 2中，已知1223
F PF π
∠=
，|F 1F 2|=2c ，|PF 1|+|PF 2|=2a ，由余弦定理：4c 2
=|PF 1|2
+|PF 2|2
-2|PF 1||PF 2|cos120°①又|PF 1|+|PF 2|=2a ②联立① ②得4c 2
=4a 2
-|PF 1||PF 2|，∴
2212|PF ||PF |4a 4c =-2
222222122a |PF ||PF |(
)a 4a 4c a 3a 4c 02
≤=?-≤?-
≤c e 1a 22?≥
?≤< ▓【变式】已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>，以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程2
0ax bx c ++=无实根，求其
离心率e 的取值范围。
【答案】由已知，240b ac ?=-<，所以2
2
()40a c ac --<，即2240c ac a +->，不等式两边同除2
a 可得
2410e e +->，解不等式
得2e <
或2e >.由椭圆的离心率(0,1)e ∈，所以所求椭圆离心
率2,1)e ∈.
▓例6. 已知椭圆1222=+y x ，求过点??
?
??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 【解析】解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?
?
-=-
2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 (
)
(
)
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k x k ．
由韦达定理得22212122k k k x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2
1
-
=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ． 解法二：设过??
? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
?
??????
?
?=+=+=+=+④
1.
③1
②12
①1221212
2222
12
1y y x x y x y x ，，， ①－②得
022
2212
221=-+-y y x x ．将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2
1-．所求直线方程为0342=-+y x ．
▓【变式1】已知点P （4，2）是直线l 被椭圆
22
1369
x y +=所截得线段的中点，求直线l 的方程. 【答案】直线l 的方程为x+2y －8=0
▓【变式2】若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围。 【答案】51≠≥m m 且时，直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点 ▓ 椭圆（2013高考题）▓
▓（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上
的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=o
，则C 的离心率为（ ）
A.
6 B.13 C.1
2
D.3 【解析】选 D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=o ,所
以212tan 30,33
PF c PF ==
=o
。
又1223PF PF a +=
=
，所以c a ==
3，选D. ▓(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:1342
2=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( ) A.1324??????， B.3384??????， C.112??
????，
D.314??
????
，
【解析】选B.设),(00y x P ，则22
00143+=x y ，2002-=x y k PA ，2
00
1+=x y k PA 1PA k 22
2
22003334444-
?
==---PA x y k x x ，故1PA k 2
143PA k -=.因为]1,2[2
--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k ▓（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且错误!未找到引用源。=3,则C 的方程为 ( )
A.
22
12x y += B.22132
x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b
y a x ，由题意知23
2=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或
2
1-=a （舍去）
，而32
=b ，故椭圆得方程为13422=+y x . ▓（2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是
椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A.
4 B. 1
2
C. 2
D. 2 【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得22
2
2
02b c y b a =-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA =，即0y b c a =，解得0bc y a
=，即22222
22b c b c b a a -=
，解得2c e a ==
，故选C. ▓（2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于
2
1
，则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13
42
2=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解析】选 D.设C 的方程为22
2210x y a b a b +=>>，（），
则11,,2,2c c e a b a =====，C 的方程是
13
42
2=+y x . ▓（2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B
两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=
45,则C 的离心率为 ( ) A.35 B.57 C.45 D.6
7
【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2
22
2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又
410,8,cos 5
AB BF ABF ==∠=
解得 6.AF =在三角形ABF 中，222222
1086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以
26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27
c c e a a =
== ▓(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右
焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，
则椭圆C 的离心率为
【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bc
d a =，因F 到l 的距离为2d 故2
2a d c c =-，又126d d =所以2222
226616a bc bc b c a c e e c a a a -=?-=?-=又21b e a
=-解得33e =
▓（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4
π
=
∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .
【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.
)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ?===??=∠==⊥上，且在设38
,34,111)11(,422222222==?+==+=?c b c b a b
a C a 代入椭圆标准方程得，把6342=?c ▓（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同 椭圆Γ: 22
221(0)+=>>x y a b a b
的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若
直线y=错误!未找到引用源。与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 23c ,所以1222312||||31
c c e a MF MF =
===++. ▓（2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B
两点，连接,.AF BF 若4
10,6,cos 5
AB AF ABF ==∠=
，则C 的离心率____.e = 【解析】在三角形ABF 中，由余弦定理得2
22
2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又
410,6,cos 5
AB AF ABF ==∠=
，解得8.BF =在三角形ABF 中，222222
1086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形。
设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27
c c e a a =
== ▓（2013·陕西高考文科·Ｔ20）已知动点M (x ,y )到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1) 求动点M 的轨迹C 的方程; (2) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.
【解析】(1) 点M(x,y )到直线x=4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍，则
13
4)1(2|4|2
22
2
=+?+-=-y x y x x .
所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为13
42
2=+y x .(2) P(0, 3), 设11221212(x ,y ),(x ,y ),2x 0x 2y 3y A B 由题意知：，=+=+，
椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。
3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得： 2
21221224324
,432402424)43k
x x k k x x kx x k +=?+-=
+?=+++（ 23
2
924)43()24(252)(2212221212211221±
=?=?+-?=??-+?+=+k k k x x x x x x x x x x 所以，直线m 的斜率23±=k . ▓（2013·四川高考理科·Ｔ20） 已知椭圆C ：22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且
椭圆C 经过点41
(,)33
P ．
（1）求椭圆C 的离心率； 2）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且
222
211
||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．
【解析】(1)由椭圆定义知,2a =|PF 1|+|PF 2|=
(43+1)2+(13
)2+(43?1)2
+(13
)2=22, 所以a =2,又由已知,c =1,所以椭圆的离心率e =c a =12=22. (2)由(1)知,椭圆C 的方程为x 22
+y 2
=1, 设点Q 的坐标为
(x ,y ).(ⅰ) 当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于(0,1),(0,-1)两点,,此时点Q 的坐标为(0,2?
35
5
).(ⅱ) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y =kx +2,因为M,N 在直线l 上，可设点M,N 的坐标分别为
1122（x ，kx +2），（x ，kx +2）则
|AM |2
=(1+k 2
)x 12
, |AN |2
=(1+k 2
)x 22
, 又|A Q|2
=(1+k 2
)x 2
,
由2
|AQ |2=1
|AM |2+1
|AN |2,得2 (1+k 2)x 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22,即2 x 2=1 x 12+1 x 22=(x 1+x 2)2
?2 x 1x 2 x 12x 12
, ①将y =kx +2代入x 2
2
+y 2=1中,得(2k 2+1)x 2
+8kx +6=0. ②由=(8k )2
?4(2k 2
+1)
6>0,得k 2>3
2.由②可知,x 1+x 2=?8k 2k 2+1,x 1x 2=62k 2+1
, 代入①并
化简得x 2
=
21810k 3
-. ③因为点Q 在直线y =kx +2上, 所以k =y ?2x , 代入③并化简,得10(y ?2)2?3x 2
=18.由③及k 2>32,可知0 2 ,即x (? 62,0)∪(0,62).又(0,2?355 )满足10(y ?2)2?3x 2 =18, 故x (? 62,6 2 ).由题 意,Q(x ,y )在椭圆C 内,所以?1y 1,又由10(y ?2)2=3x 2+18有(y ?2) 2 [95,9 4 )且?1y 1, 则y (12 ,2?355 ].所以,点Q 的轨迹方程为10(y ?2)2?3x 2 =18,其中x (? 62,62), y (12,2?355 ]. 【巩固练习】 1．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ） A.162x ＋92y =1或92 x ＋16 2y =1 B.252x ＋92y =1或252y ＋9 2 x =1 C.252x ＋162y ＝1或252y ＋16 2 x =1 D.椭圆的方程无法确定 2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴为12，离心率为 1 3 ，则椭圆的方程是（ ） A ． 221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．22 13632 x y += 3．若直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆 22 15x y m +=总有公共点，那么m 的取值范围是（ ） A ．（0，5） B ．（0，1） C ．[1，5] D ．[1，5） 4．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现 在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程： 22 1169 x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．以上均有可能 5.椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF 为（ ） A 3 B 3 C ．72 D ．4 6．椭圆 22 1164x y +=上的点到直线220x y +=的最大距离是（ ） A ．3 B 11 C ．22107．椭圆 2214x y m +=的离心率为12 ，则m=________. 8．若圆x 2 +y 2 =a 2 （a ＞0）与椭圆22 194 x y +=有公共点，则实数a 的取值范围是________. 9.若椭圆的两个焦点，短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 10.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为 . 11．已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值. 12.椭圆12222=+b x a y (a>b>0)的两焦点为F 1（0，-c ），F 2（0，c ）(c>0)，离心率e=23 ，焦点到椭圆上点的最短 高二数学选修1－1知识点 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 答案（找作业答案--->>上魔方格） 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题， 原命题与逆否命题具有相同的真假性， 否命题与逆命题具有相同的真假性， ∴真命题的若有事成对出现的， 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 7、若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 若p q 椭圆知识点及经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中 222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数??? ? ??==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和 222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ， )0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把 y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分 别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< （教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标 （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}； 这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10< 椭 圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M 椭圆的简单几何性质 基础卷 1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0 2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为 （A ） 221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22 11625 x y += 3．已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ） 54 （B ）45 （C ）4 17 （D ） 7 4 7 4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ） 23 （B ）33 （C ）3 16 （D ） 6 1 6 5．在椭圆122 22=+b y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有 （A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ） 123111,,r r r 成等差数列 （D ）123 111 ,,r r r 成等比数列 6．椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 （A ）x =± 254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±25 4 7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 8．对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。 圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一?椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c}; 这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。 2 2 2 2?标准方程：c= a- b 2 2 χ+y _ 1 ①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0) a b 2 2 y X ②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C) a b 注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上； 2 2 ②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1 m n 二?椭圆的简单几何性质： 1. 范围 2 2 (1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b a2b2 2 2 (2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a a2b2 2. 对称性 椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点 (1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b) (2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率, 2a a e = O 是圆； e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1 ( e 越大)，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 ?椭圆的的内外部 2 2 x 2 y 2 亠 —x o + y o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2 1 a b a b 2 2 x 2 y 2 亠 X O * y O 彳 (2) 点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1. a b a b 6. 几何性质 (1) 点P 在椭圆上， 最大角? F 1PF 2 max =∕F 1 B 2F 2, (2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法 记作 e ( 0 < e < 1), 椭圆习题课 北京化工大学附属中学李爱惠 教材版本：高中数学人教A版选修2-1，第二章圆锥曲线与方程的第四节 一、教学背景分析 （1）学习内容分析： 已经学习了椭圆的定义、标准方程和几何性质这些基础知识，本节课在学习了这些基础知识和基本方法的前提下，以椭圆的焦点三角形为平台，进一步研究用定义和性质解决椭圆问题的方法，并了解与运用椭圆和其它知识点的联系。为后面学习双曲线、抛物线的概念打下良好的基础，学会利用圆锥曲线的定义来解决相关问题的一般性方法，让学生经历解析法解题的过程；本节椭圆习题课的学习是对其学习内容的进一步深化和提高。 （2）学生状况分析 1．学生水平：所任教的班级是普通理科班，有些学生思维水平相对较好，具有一定的分析、解决问题的能力。但因本班是我校的普通班，学生数学基础弱，计算能力弱，对试题的分析解决要在老师的引导下慢慢训练。 2．认知基础：学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也具备自主利用椭圆定义和性质解决一些简单的椭圆问题，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了进一步自行探索和解决问题的基本能力。 3．可能存在的学习困难：等价转化有一定困难；同时代数运算方面有困难；椭圆与三角、不等式等其它知识点的联系存在困难。 二、教法和学法的选择 解析几何要体现用代数研究几何，要教会学生抓住焦点三角形中的不变量和变量，用定义建立运算关系解决几何问题。学生已经对椭圆的定义、性质有了一定的掌握，所以本节课我采用了“启发引导”式的教学方法，重点突出以下两点： （1）以老师引导与学生探究相结合作为本节的学习方法。 （2）教学过程中突出数形结合、方程等数学思想方法的渗透。 以信息技术演示与学生动手实际操作相结合为主要教学手段。 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 52，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 例5 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内 切，求动圆圆心P 的轨迹方程 例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过()12， A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=?OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程． 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102，求直线的方程． 例9 以椭圆13 122 2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范 例10 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 第1讲 课题：椭圆 课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当10< 上式化为12 2=+C By C Ax ，122=+B C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当 B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以()0122 22>>=+b a b y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=， 即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为a b 2 2. 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数?? ? ?? ?==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、 或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴 的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆练习题 一、选择题 1.椭圆2x m +2 4 y =1的焦距为2，则m 的值为（ ） A .5 B .3 C .5或3 D .8 2.设椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 的离心率为e=12,右焦点为F （c ,0)，方程ax 2+bx -c =0的两 个实根分别为x 1和x 2,则点P （x 1,x 2)（ ） A .必在圆x 2+y 2=2内 B .必在圆x 2+y 2=2上 C .必在圆x 2+y 2=2外 D .以上三种情形都有可能 3．在椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上取三点，其横坐标满足1322x x x +=，三点与某一焦 点的连线段长分别为123,,r r r ，则123,,r r r 满足（ ） A ．123,,r r r 成等差数列 B ． 123 112 r r r += C ．123,,r r r 成等比数列 D ．以上结论全不对 4．椭圆22 1 4x y m +=的离心率e 满足方程2 2520x x -+=，则m 的所有可能值的积为 （ ） A ．3 B ． 316 C ．16 D ．-16 5．已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( ) A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2, 1( D ]2,1( 6. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为 60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 32 B. 22 C. 21 D. 3 2 7.过原点的直线l 与曲线C:13 22 =+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A 656παπ≤≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤ 8.椭圆)10(,2 222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为 ( ) 海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案（真题演练） 海豚教育个性化教案 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e = ． 【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围 例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3 221π =∠PF F ，求 其离心率e 的取值范围。 例2：已知椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ， 求椭圆离心率的取值范围。 例3：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根，求 其离心率e 的取值范围。 题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1：已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 椭圆的基本知识 1．椭圆的定义：把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12 2=+b a （a ＞ b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0) 不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得 x 2 ＋(2y )2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2 ， 即c 2＝a 2－b 2 ． 7.椭圆的几何性质： 椭圆练习题 一.选择题： １.已知椭圆 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ） A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A ４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ） A. B. C. D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A. B. C. D. ６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ） A. B . C . D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 ９．椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3 椭圆的性质 ▓椭圆的围 椭圆上的点都位于直线x=±a 和y=±b 围成的矩形，所以坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. ▓椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c c e a a = =。②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值围是0＜e ＜1。e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2 +y 2 =a 2 。 ▓椭圆122 22=+b y a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）12 2PF PF a +=，1212 ||||||||PF PF e PM PM ==，2 122||||a PM PM c +=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+；（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1； ▓椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2 =b 2 +c 2 。 ▓椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2 、y 2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 ▓平面点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x,y ），若点M （x,y ）在 椭圆上，则有22 221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆，则有 22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆外，则有22 221x y a b +>(0)a b >>. ▓直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则 22 121212||()() PP x x y y =-+-= 22 121212 ()[1( )]y y x x x x --+-= 2121|| k x x +-同理可得 12122 1 ||1||(0)PP y y k k =+ -≠这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212||()4x x x x x x -=--;2121212||()4y y y y y y -=-- ▓例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且 2 cos 3 OFA ∠= ，求椭圆的方程。 椭圆标准方程典型例题(参考答案) 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 5 2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541= PF ，3 5 22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ?中，2 1 sin 12 21==∠PF PF F PF ， 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴333 1-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的 齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 212 2 21024x x y y x --=- 又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴ ()212125259 x y -= ( ) 2 2 222525 9x y -= ∴ ()()21212 221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得25 36 40- =-x ∴ 4 5 40 590=--=x k BT ． 典型例题五 例5 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．高中数学 命题知识点考点典型例题
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