最新高中数学必修4《平面向量》教案精品版
高中数学平面向量优秀教案
高中数学平面向量优秀教案
教学内容：平面向量
教学目标：学生能够掌握平面向量的概念，运用向量进行计算，并解决相关问题。
教学重点：向量的基本概念、向量的加减法、向量的数量积、向量的夹角等。
教学难点：向量的叉乘、向量的投影、向量的几何应用等。
教学准备：教案、幻灯片、黑板、彩色粉笔、教学实物等。
教学步骤：
1.导入：通过引入日常生活中的例子，引出向量的概念。
通过图示向学生展示平面向量的
定义和表示方法。
2.向量的表示：通过具体的例子，向学生展示向量的表示方法，包括向量的起点、终点、
模长和方向。
3.向量的加减法：通过具体的例子，向学生介绍向量的加减法，包括平行向量和共线向量
的相加、相减及其性质。
4.向量的数量积：引入向量的数量积的概念，通过具体的例子，向学生介绍数量积的定义
和性质，并进行相关计算。
5.向量的夹角：引入向量的夹角的概念，通过具体的例子，向学生介绍向量的夹角的定义、计算及其性质。
6.课堂练习：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
7.课堂总结：对本节课的内容进行总结，概括向量的基本概念、运算规律及其应用，鼓励
学生多做题多练习，加深对向量的理解。
课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
教学反思：在教学过程中，要注重引导学生探究，激发学生的学习兴趣，同时要及时调整
教学方法，帮助学生克服学习难点，提高学习效果。
以上是针对高中数学平面向量的一份优秀教案范本，希望对您有所帮助。
人教版高中必修4《平面向量》教学设计
人教版高中必修4《平面向量》教学设计《人教版高中必修4《平面向量》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、单元教学内容分析本章节内容教学安排在人教版必修四三角函数章节后，和差公式前，这为后面的和差公式的学习做好铺垫，又为解三角形问题和平面几何中的许多计算问题提供便利工具。
向量既有代数特征，又有几何特征，是沟通代数与几何的桥梁。
向量具有代数特征，运算及其规律是代数学研究的基本问题，向量可以进行多种运算，如向量加、减、数乘和数量积等。
向量运算具有一系列运算性质。
向量具有几何特征，它不仅可以描述，刻画几何中的点、线、面及其位置关系，数量关系，还可以表示空间中的曲线与曲面，是研究几何问题的基本工具。
本教材从学生熟悉的实例出发，经过观察、分析、归纳等方法概括出向量的相关概念，比以往的教材更能使学生产生自然而亲切的感觉，有助于激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，使他们真正认识到数学的应用价值，从而提高学生应用数学的意识。
教材结合向量的几何背景——有向线段，引入向量的表示法，规定了向量的长度的概念。
定义了零向量，单位向量、平行向量、相等向量、相反向量、共线向量等概念。
对于许多旧有的知识利用向量方法去处理，就会变得简单易懂，从而有助于学生对这些知识有更深刻的理解，更牢固的记忆，更自如的应用。
二、单元学生情况分析1、学生在初中阶段接触过物理学中的矢量，已具备基本的认知水平和运算能力。
2、学生已基本掌握函数和三角函数的基础知识，会运用数形结合法、整体代换法、分类讨论法等解决实际问题。
3、学生已具备基本的分析为和解决问题的勇气和智慧。
三、教学目标1、知识与技能目标(1)理解并掌握平面向量的基本概念。
(2)通过实例，掌握向量的加、减、数乘和数量积运算，并理解其几何意义。
(3)理解并掌握向量共线和垂直问题，理解平面向量基本定理及其意义。
会用坐标表示向量的加、减、数乘和数量积运算。
(4)掌握数量积的坐标表示，能运用数量积表示两个向量的夹角，能解决两个向量的垂直问题，投影问题。
高中数学平面向量教案
高中数学平面向量教案主题：平面向量教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的加法、减法和数量积的计算方法。
3. 能够应用平面向量解决几何问题。
教学重点：1. 平面向量的定义和表示方法。
2. 平面向量的加法、减法和数量积。
3. 平面向量在几何问题中的应用。
教学难点：1. 数量积的计算方法和应用。
2. 题目分析和解题能力的培养。
教学内容：一、平面向量的定义和表示方法1. 什么是平面向量？2. 平面向量的表示方法：用坐标表示和以有向线段表示。
二、平面向量的加法和减法1. 平面向量的加法规则：三角形法则和平行四边形法则。
2. 平面向量的减法：减去一个向量等于加上其相反向量。
三、平面向量的数量积1. 数量积的定义和性质。
2. 数量积的计算方法：内积和外积。
3. 数量积的应用：平面向量的夹角、垂直和平行性等问题。
教学步骤：一、导入通过一个几何问题引入平面向量的概念，并与学生讨论问题的解决方法。
二、讲解1. 介绍平面向量的定义和表示方法。
2. 讲解平面向量的加法和减法规则。
3. 解释平面向量的数量积及其计算方法。
三、示范通过几个例题演示平面向量的加法、减法和数量积的计算过程。
四、练习让学生进行练习，巩固所学知识，培养解题能力。
五、拓展引导学生思考平面向量在实际问题中的应用，并引入相关拓展知识点。
六、总结对本节课所学内容进行总结，并布置相关练习作业。
七、作业1. 完成课堂练习题。
2. 阅读相关教材，预习下节课内容。
教学手段：1. 讲解与示范。
2. 练习与检查。
3. 互动与讨论。
教学资源：1. 课本和教学课件。
2. 讲义和练习题。
评价与反思：通过本节课的学习，学生应掌握平面向量的基本概念和运算方法，能够灵活应用平面向量解决几何问题。
在教学过程中要注重引导学生思考和讨论，培养其解决问题的能力和创新思维。
同时，要及时对学生的学习情况进行评价和反馈，以促进其学习效果的提升。
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点) B （终点）aO A B a a a b b b §2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=.４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）aA B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b -a. O ab B a b a -b２）若a ∥b ， 如何作出a - b§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa =02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量a -b A A B B B’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -b§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ§2.4平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.C4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0C3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
高中数学 第二章 平面向量教案 新人教版必修4
第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．1.1 向量的物理背景与概念2．1.2 向量的几何表示2．1.3 相等向量与共线向量●三维目标1．知识与技能(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．过程与方法通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．3．情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．●重点、难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．●教学建议1．本节的教学应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，还可以要求学生自己举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点．2．本节介绍了两种向量的表示方法：几何表示和字母表示．几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则利于向量运算，这两种方法需要学生熟练掌握．教科书用黑体字母表示向量，如a ，在手写时可用a →表示．用有向线段表示向量时，要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．3．相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合． 任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(见学生用书第34页)课标解读1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)向量及其几何表示1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 【提示】 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ 【提示】 利用有向线段来表示． 1．向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示，向量AB →的大小也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.向量也可以用字母a 、b 、c …表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如AB →、CD →.3．向量的有关概念 零向量 长度等于0的向量，记作0 单位向量 长度等于1的向量 平行向量 (共线向量)方向相同或相反的非零向量 向量a ，b 平行，记作a ∥b 规定：零向量与任一向量平行 相等向量长度相等且方向相同的向量 向量a ，b 相等，记作a ＝b(见学生用书第34页)向量的有关概念的判断下列说法正确的有________．(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； (3)向量AB →与BA →是平行向量； (4)任何两个单位向量都是相等向量．【思路探究】明确向量的有关概念，根据定义进行判定．【自主解答】(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．(3)正确．向量是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．【答案】(3)1．单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．2．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．判断下列说法是否正确，并简要说明理由：(1)零向量只有大小没有方向；(2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；(3)若向量a与向量b同向，|a|＞|b|，则a＞b；(4)若a＝b，b＝c，则a＝c.【解】(1)不正确，零向量的长度为零，方向是任意的，并不是没有方向．(2)正确，相等向量的方向相同，因此必是平行向量，但平行向量的长度不一定相等，因此不一定是相等向量．(3)不正确，向量不能比较大小．(4)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.向量的表示及应用一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地图2－1－1(1)画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的位置向量．【思路探究】 按要求用直尺作出向量，解答时既要考虑向量大小，又要考虑其方向及起点．【自主解答】 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形．∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．1．作向量的一般步骤是：首先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．2．用向量知识解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型，然后解决数学问题．在某军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km 到达B 地，然后又改变方向向北走了120 km 到达C 地，最后又改变方向，向南偏东45°突进80 2 km 到达D 处，完成了对蓝军的包围．(1)在如图2－1－2所示的坐标纸上，用直尺和圆规作出向量AB →，BC →，CD →；图2－1－2(2)求出|AD →|.【解】 (1)向量AB →，BC →，CD →如图所示：(2)|AD →|＝202＋402＝20 5 (km).相等向量与共线向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且O A →＝a ，O B →＝b .图2－1－3(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b 相等的向量．【思路探究】 借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断．【自主解答】 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有O D →，B C →，A O →，F E →.(3)与a 共线的向量有E F →，B C →，O D →，F E →，C B →，D O →，A O →，D A →，A D →.(4)与a 相等的向量有E F →，D O →，C B →；与b 相等的向量有D C →，E O →，F A →.1．寻找相等向量，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线；寻找共线向量，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．2．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．若将本例中的正六边形ABCDEF 改为如图2－1－4所示的▱ABCD ，则图2－1－4(1)与O A →的模相等的向量有多少个？(2)与O A →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与A B →共线的向量．【解】 (1)与O A →的模相等的向量有O C →，A O →，C O →三个向量．(2)与O A →的模相等且方向相反的向量为O C →，A O →.(3)与A B →共线的向量有D C →，C D →，B A →.(见学生用书第36页)对向量的有关概念理解不清致误下列说法正确的个数是( )①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4【错解】向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．【答案】B或C或D【错因分析】对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．【防范措施】正确理解共线向量、相等向量以及非零向量的概念及其性质是关键．【正解】事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b 都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．【答案】 A1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念，两个共线向量不一定要在同一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小.(见学生用书第36页)1．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＞|b |，则a ＞b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a 与b 共线 D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线【解析】 A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a |＞|b |，但a 与b 的方向不确定，不能说a ＞b ，A 不正确；同理B 错误；D 中，a ≠b ，a 可与b 共线．故选C.【答案】 C2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆【解析】 由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线．【答案】 B3．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|，则四边形ABCD 为________．图2－1－5【解析】 ∵AB →＝DC →， ∴AB 綊DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 是菱形． 【答案】 菱形4．如图所示四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．图2－1－6(1)写出与向量AB →共线的向量；(2)写出与向量A B →相等的向量．【解】 (1)与向量AB →共线的向量是BA →，DE →，ED →，DC →，CD →，CE →，EC →；(2)与向量AB →相等的向量是CE →，DC →.一、选择题1．下列各量中是向量的是( ) A ．密度 B ．电流 C ．面积 D ．浮力【解析】 只有浮力既有大小又有方向． 【答案】 D2．(2013·杭州高一检测)下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反 B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 【解析】选项 对否 原因分析 A 、B × 当b ＝0时均错误C × 两个单位向量平行但方向不一定相同 D√本结论实际是向量相等的传递性【答案】3.图2－1－7如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( ) A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →|C.AB →＞DC →D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 【答案】 B4．如图所示，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－8A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示． 【答案】 B5．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，则与E F →的模相等的向量共有( )图2－1－9A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. 【答案】 B 二、填空题6．如图所示，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC →相等的向量是________．图2－1－10【解析】 以AD 的13为单位长度，则|AC →|＝2，由图知|BD →|＝2且与AC →的方向相同．【答案】 BD →7．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．图2－1－11(1)与向量ED →相等的向量为________； (2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．【解析】 (1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中，∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)知，ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 【答案】 (1)AB →，DC →(2)68．(2012·榆林高一检测)把平面上一切单位向量归结到共同的始点O ，那么这些向量的终点所组成的图形是________．【解析】 单位向量的长度是一个单位，方向任意，若单位向量有共同的始点O ，则其终点构成一个单位圆．【答案】 以O 为圆心的单位圆 三、解答题 9.图2－1－12O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2－1－12所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量； (3)找出与AO →模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ 【解】 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →. (4)向量AO →与CO →不相等，因为它们的方向不相同．10．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.【证明】 如图所示，连接AC .在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ＝12AC ，EF ∥AC ，同理HG ＝12AC ，HG ∥AC .所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，所以EF →＝HG →.11．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．图2－1－13【解】 如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．【教师备课资源】1．向量在实际问题中的应用如图，半圆的直径AB ＝6，C 是半圆上的一点，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且AD ＝1，BE ＝4，DE ＝3.(1)求证：向量AC →∥DE →； (2)求|AC →|.【思路探究】 (1)先证AC ∥DE ，再证AC →∥DE →； (2)根据平行线分线段成比例求|AC →|.【规范解答】 (1)证明：∵AB 是半圆的直径，C 是半圆上的点， ∴AC ⊥BC .① ∵AB ＝6，AD ＝1， ∴DB ＝5.又∵BE ＝4，DE ＝3， ∴BE 2＋DE 2＝DB 2，∴△BED 是直角三角形，且∠BED 为直角， ∴DE ⊥BC .②由①、②知，AC ∥DE ， ∴AC →∥DE →.(2)由(1)知，AC ∥DE ， ∴BD ∶BA ＝DE ∶AC ， ∴AC ＝BA ·DE BD ＝185， ∴|AC →|＝185.1．解答本题的关键是平面几何知识在解题中的应用．2．解决此类问题，首先理解平面几何知识及实际问题与向量的联系，然后准确作出几何图形，转化为几何问题求解．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又|AB →|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200 km. 2．知识拓展易错环节的避免与方法技巧归纳(1)书写符号出错，如向量a 误写成a ，零向量0误写成数字0等．(2)向量的方向把握不好，如a ∥b ，应有a 、b 方向相同或相反或二向量中至少有一个为零向量三种情况．(3)向量的问题与线段问题相混淆，把无方向的线段问题不加思考地搬到向量中，如|a |＝|b |误推为a ＝±b 等．(4)向量不同于我们以前学过的数量，学习时应结合实际明确它是一种新的量，它是既有大小又有方向的一种量．(5)从实际出发，明确平行向量、相等向量、共线向量的基本性质． (6)平行向量可以平行移动，因此任意一组平行向量都可以移到同一直线上．(7)非零向量a 与b 相等，则必有|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，反之也成立． (8)两个非零向量方向相同或相反，则它们共线，但要注意零向量与任一向量共线，零向量的方向是任意的．(9)长度等于一个单位的向量叫做单位向量．对于任意非零向量a 的单位向量是a|a |，这实质上告诉了求任意非零向量a 的单位向量的方法．(10)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能共线．(11)相等向量不但模相等，方向还要相同，两非零平行向量方向相同或相反． (12)零向量在共线向量问题中是一个特别的对象，应按照平行向量的补充规定来判断；考查向量应考查其大小和方向，二者缺一不可，对于一个向量只要不改变其大小与方向是可以任意平行移动的，即我们研究的向量是自由向量；平行向量与向量的模无关，而方向包含相同和相反两种情形．3．动态课件制作一个动态课件，展示在平面内的一个向量AB →平移至A ′B ′→后，仍然有AB →＝A ′B ′→，但此时两条有向线段不等价．从而说明向量只与大小、方向有关，而有向线段与大小、方向、起点位置均有关.2.2平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义●三维目标 1．知识与技能(1)掌握向量的加法运算，并理解其几何意义．(2)会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力．2．过程与方法通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的加法运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到特殊的认识事物规律，培养探索精神与创新意识．(2)通过本节的学习，学会用数学的方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自己的文化修养．●重点、难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．难点：理解向量加法的定义．●教学建议首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只有引入了运算，数的威力才得以充分展现．类比数的运算，向量也能够进行运算．运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥．实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题．数学中，教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算．1．教学中，应以熟悉的位移的合成和力的合成为背景，引导学生进行实验，使学生形成感知：“既有大小，又有方向的量可以相加，并且可以依据“三角形法则”来进行”．在此基础上，给出向量加法的定义．2．向量加法运算主要是向量加法的三角形法则和平行四边形法则．教科书从几何角度具体给出了通过三角形法则或平行四边形法则作两个向量和的方法．教学中要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则所对应的物理模型．另外，使学生体会两种加法法则在本质上是一致的．对任意向量与零向量相加，教科书中给出了规定．3．为了让学生认识数的加法与向量加法的区别及联系，可引导学生探究有关向量加法中模的大小关系加强理解，只不过两个数的和是一个数，两个向量的和仍是一个向量．4．引导学生类比数的运算律，通过画图验证向量加法的交换律与结合律．●教学流程创设问题情境，引出问题：对比数的加法运算，如何求出两个向量的和呢？⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(见学生用书第37页)课标解读1.理解向量的加法及其运算法则、运算律．(重点)2.理解向量加法的几何意义．(难点)3.数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000 N ，F 2＝2 000 N ，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．1．从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？ 【提示】 后面的一次位移叫前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC →表示的力是OA →与OB →表示力的合力．体现了向量的加法运算．2．上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ 【提示】 三角形法则和平行四边形法则． 1．向量加法的定义图2－2－1定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，如图2－2－1.对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a .2．向量求和的法则角形法则已知非零向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作A B →＝a ，B C →＝b ，则向量A C →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b A B →＋B C →＝A C →行四边形法则已知两个不共线向量a ，b ，作A B →＝a ，A D →＝b ，以A B →，A D →为邻边作▱ABCD ，则对角线上的向量A C →＝a ＋b向量加法的运算律实数的运算律有哪些？向量的加法是否也有相似的运算律？ 【提示】 交换律和结合律、有.交换律 结合律a ＋b ＝b ＋a(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(见学生用书第38页)向量的加法运算化简下列各式：(1)MB →＋AC →＋BM →； (2)PA →＋PB →＋AO →＋OP →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.【思路探究】 多个向量相加，可尝试运用向量加法的三角形法则，也可以观察向量的字母直接运算．解题时要灵活运用运算律，以达到化简的目的．【自主解答】 (1)MB →＋AC →＋BM →＝(MB →＋BM →)＋AC →＝0＋AC →＝AC →. (2)PA →＋PB →＋AO →＋OP →＝(PA →＋AO →)＋(OP →＋PB →)＝PO →＋OB →＝PB →. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝0.1．进行向量的加法运算时常常用到向量平移，还要运用运算律来调整顺序． 2．当运算结果为零向量时，不要写成数字0，因为向量的和仍为向量．化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →.【解】 (1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →. (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OC →＋CO →＋OA →＝BA →.利用向量证明几何问题如图所示，已知E 、F 分别是▱ABCD 的边DC 、AB 的中点，求证：四边形AECF 是平行四边形．图2－2－2【思路探究】 要证四边形AECF 为平行四边形，只需证AE →＝FC →. 【自主解答】 在▱ABCD 中，AD →＝BC →， 又由E 、F 分别是DC 、AB 的中点，得DE →＝FB →. 所以AE →＝AD →＋DE →＝FB →＋BC →＝FC →， 又A 、E 、C 、F 四点不共线， 故四边形AECF 是平行四边形．1．用向量证明几何问题的一般步骤： (1)把几何问题中的边转化成相应的向量；(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系； (3)还原成几何问题．2．要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．已知：如图，四边形ABCD 中，AO ＝OC ，DO ＝OB .图2－2－3求证：四边形ABCD 为平行四边形． 【证明】 ∵AO ＝OC ，DO ＝OB ， ∴AO →＝OC →，DO →＝OB →. ∴DO →＋OC →＝OB →＋AO →， ∴DC →＝AB →.即DC ∥AB 且|DC →|＝|AB →|， ∴四边形ABCD 为平行四边形.向量加法的实际应用如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．图2－2－4【思路探究】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解Rt △ABC ，求出|AC →|和∠BAC ，最后结合图形作答．【自主解答】 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.向量加法的实际问题的解题步骤如下：(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和； (3)利用直角三角形知识解决问题．为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.图2－2－5(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示)． 【解】 (1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示水速． 易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ，。
高中数学 第二章平面向量教学设计教案人教版必修4
第二章平面向量教学设计人教A版数学必修4一、教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用．在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力．1．本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
本章知识结构如下：平面向量、实际背景向量及其基本概念线性运算向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.课标要求的具体化和深广度分析①平面向量的实际背景及基本概念《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．如：用向量a，则-a表示____．一辆汽车从A地出发向西行驶了100km，到达B地，可以用向量a表示，那么从B地出发到A达地应如何表示？向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的是（）（A）向量a与b反向，则向量a+b与向量a的方向可能相同（B）向量a与b反向，则向量a+b与向量b的方向可能相同（C）向量a与b反向，且a b>，则向量a+b与向量a的方向可能相同（D）向量a与b反向，且a b<，则向量a+b与向量a的方向可能相同理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量②向量的线性运算《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的①如：若向量a表示向东走了2km，b表示向南走了1km，则a-b表示___________．已知下列各式①AB BC CA++；②AB MB BO OM+++；③OA OB BO CO+++；④AB AC BD CD-+-；①掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义．②掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件．③会进行向量的线性运算．线性运算性质及其几何意义．其中结果为零向量的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4②已知向量a，b满足AB =a+2b，BC =-5a+6b，CD =7a-2b，则一定共线的三点是（）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D③如：在ABC∆中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设AB =a，AC =b，用a，b表示向量AO．③平面向量的基本定理及坐标表示《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．①如：某人在静水中游泳，速度为每小时3km，水流的速度为每小时4km，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．③如：已知(0,1)A，(3,4)B-且点C在AOB∠的平分线上，若2OC=，则向量OC=_________．④已知向量(,12)OA k=，(4,5)OB=，(,10)OC k=-且A，B，C三点共线，则k=_________．①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件④平面向量的数量积《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．①如：用两根夹角为120角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是_________．②如：已知点(0,1)A-，(2,2)B，(4,6)C-，则AB在AC上的投影的值为_________．③如：a=（-3，2），b=（-4，k），若（5a-b）⋅（3a-b）=55，求实数k的值．④如：两单位向量a，b的夹角为60，则两向量p=2a+b与q=3a+2b的夹角为_________．换垂直的题①明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义②明确向量b在向量a的方向上的投影③掌握数量积的公式，能进行数量积的运算④明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件．⑤向量的应用《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算如图，在平行四边形ABCD中，13DE DC=，AE与BD交于F，用向量的方法证明：14DF DB=．掌握平面两点间的距离公式、掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题能力和解决实际问题的能力．ABCD E F实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为0.4km ，一艘船从一岸边的A 处出发驶向对岸，已知船速为15kmv h =，水速为23kmv h =，欲使航行最短，则所用时间为_________．（2）本单元变化之处①删繁就简，降低了知识的难度 ②调整章节，凸显了知识的框架 ③贴近生活，重视了知识的应用 （3）人教B 版向量一章的教材特点强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形 的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(=+a b b +a )又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形AB ∥CD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，ABD ∆≌CBD ∆).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为 [形到数]——[数的运算]——[数到形]， 则向量方法可简单地表述为[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修1，必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。
高中数学 第二章 平面向量示范教案 新人教B版必修4
第二章平面向量示范教案整体设计知识网络1．本章知识网络结构如下：2．本章知识归纳整合(1)基本概念与运算①向量既有大小，又有方向，这两者缺一不可．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．②在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度，因为向量的加(减)实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加(减)法是数量的加(减)法．⑤向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：数与向量的积仍是一个向量；要特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0；向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．(2)基本定理及其坐标表示①平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的．平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．②在利用平面向量基本定理时，一定要注意不共线这个条件．③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理．在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合．④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．(3)平面向量的数量积①平面向量a与b的数量积a·b＝|a||b|cosθ是数量，其中θ的取值范围是0≤θ≤π.②由a≠0，且a·b＝0不能推出b＝0.③由a·b＝b·c不能推出a＝c.④平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c与a(b·c)不一定相等．⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：(4)平面向量的应用①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．②平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来．③用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．教学分析向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算，数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题． 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)前面一段时间，探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，来进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课知识巩固提出问题 1回忆向量的概念：向量的表示，零向量，相等的向量，共线向量. 2回忆向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质. 3回忆本章学过的重要定理、公式.活动：(1)本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法：几何表示法为AB →，a (手写时为a →)，坐标表示法为a ＝x i ＋y j ＝(x ，y)．有哪些特殊的向量：a ＝0⇔|a |＝0.单位向量：a 0为单位向量⇔|a 0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同，a ＝b ⇔ (x 1，y 1)＝(x 2，y 2) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 2，y 1＝y 2等等．(2)指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容．λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λba∥b a＝λb(b≠0)(3)本章的重要定理及公式：a．平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.b．两个向量平行的充要条件：a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb；若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．c．两个向量垂直的充要条件：当a、b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.讨论结果：(1)～(3)略．应用示例例 1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，(1)k a＋b与a－3b垂直？(2)k a＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么，怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．解：(1)k a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)·10＋(2k ＋2)·(－4)＝0，解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解这个方程组，得k ＝－13，λ＝－13，即当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b .因为λ＝－13<0，所以－13a ＋b 与a －3b 反向． 点评：共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活地选择．在本例中，也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k ＝－13，然后再求λ. 变式训练设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i 、j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线．解：方法一：假设满足条件的m 存在，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，i －2j ＝λ(i ＋m j )，{ λ＝1，λm＝－2.∴m＝－2，即当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．方法二：假设满足条件的m 存在，根据题意可知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，故1·m－1·(－2)＝0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线.例 2如图1，已知在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c .若a·b ＝b·c ＝c·a ，求证：△ABC为正三角形．图1活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识，串联方法，使学生在探究过程中掌握孤零知识，提高思维能力，提高复习效率．证法一：由题意，得a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )．又∵b·c ＝c·a ，∴c·(a －b )＝0.∴－a 2＋b 2＝0.∴|a|2＝|b |2，即|a|＝|b |.同理可得|c|＝|b |，∴|a|＝|b|＝|c |.∴△ABC 为正三角形．证法二：由题意得a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，b ＝－a －c.∴a 2＝b 2＋c 2＋2b·c ，b 2＝a 2＋c 2＋2a·c .而b·c ＝c·a (已知)，∴a 2－b 2＝b 2－a 2.∴a 2＝b 2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b |.同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c |.∴△ABC 为正三角形．证法三：如图2，以AB 、BC 为邻边作ABCD ，则AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →，∴BD →＝a －c .图2又∵a·b ＝b·c ，∴b·(a －c )＝0.∴b ·BD →＝0.∴b ⊥BD →.∴平行四边形ABCD 为菱形．∴AB＝BC.同理可得BC ＝AC ，∴△ABC 为正三角形．证法四：取BC →的中点E ，连接AE ，则AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )， ∴AE →·a ＝12(c －b )·a ＝0.∴AE →⊥a .∴AB＝AC. 同理可得BC ＝AC ，∴△ABC 为正三角形．点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况，教师要引导学生善于挖掘. 变式训练若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案：A例 3已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b 且x ⊥y .试求：k ＋t 2t的最小值． 解：由已知，得|a |＝32＋－12＝2，|b |＝122＋322＝1.∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b . ∵x ⊥y ，∴x·y ＝0，即[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简，得k ＝t 3－3t 4， ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74，即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74. 点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.图3课堂小结1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高？对本章的知识网络结构了然于胸了吗？2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．作业本章巩固与提高5、11、12、13、14.设计感想1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点，让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．本节题目一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．备课资料备用习题1．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，若向量a ＋k b 与a －b 垂直，则k 的值为… ( )A.233 B ．7 C ．－113 D ．－2332．已知向量AB →＝(1,2)，OB →＝(0,1)，则下列各点中在直线AB 上的是( )A ．(0,3)B ．(1,1)C ．(2,4)D ．(2,5)3．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 34．若|a |＝2，|b |＝5，|a ＋b |＝4，则|a －b |为( ) A.13 B ．13C.42 D ．425．已知a ＝(2,1)，与a 平行且长度为25的向量b 是( )A ．(4,2)B ．(－4，－2)C ．(2,1)或(－2，－1)D ．(4,2)或(－4，－2)6．已知向量i 、j ，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，与2i ＋j 垂直的向量是( )A ．2i －jB ．i －2jC ．2i ＋jD ．i ＋2j7．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t≤1)，则OA →·OP →的最大值是( )A ．aB ．2aC ．a 2D ．3a8．向量a ＝(n,2)与b ＝(4，n)共线，则n ＝________.9．已知a ＝(2,1)，b ＝(1,2)，要使|a ＋t b |最小，那么实数t 的值是________．10．已知三个非零向量a ，b ，c 中每两个均不共线，若a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，求a ＋b ＋c .11．已知向量AB →＝a ，AC →＝b ，|a |＝4，|b |＝3，∠BAC＝β，(2a －3b )(2a ＋b )＝61.(1)求β的大小；(2)求△ABC 的面积．参考答案：1．A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.±2 2 9.－4510．解：∵a ＋b ，c 共线，∴a ＋b ＝m c .①又∵b ＋c ，a 共线，∴b ＋c ＝n a .②①－②，得a －c ＝m c －n a .∵a ，c 不共线，∴由平面向量的基本定理，得m ＝n ＝－1. ∴①即a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.11．解：(1)原式展开，得4a 2－4a ·b －3b 2＝61， ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6，∴cosβ＝a·b |a ||b |＝－12.∵0≤β≤π，∴β＝2π3.(2)S △ABC ＝12|AB|·|AC|·sinβ＝3 3.。
新课标数学必修4第2章平面向量教案
第二章平面向量第1课时平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力. 【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。
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2020年高中数学必修4《平面向量》教案精
品版
平面向量说课稿
各位评委,老师们:大家好!
我说课的内容是<平面向量>的教学,所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书<数学>必修4,第二章。
针对我校学生基础相对较好.我在进行教学设计时,也充分考虑到了这一点。
下面我从教材分析,教学目标的确定,教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。
一教材分析
(1)地位和作用
平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。
(2)教学结构的调整
将本节教学中认知过程的教学内容适当集中,以突出这节课的主题;例题、习题部分主要由学生依照概念自行分析,独立完成。
(3)重点,难点,关键
重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示
难点：向量的概念
关键：多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深理解
二教学目标的确定
(1)基础知识目标:理解向量、零向量、单位向量、共线向量、平行向量、相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
(2)能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。
(3)情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
三教学方法的选择
Ⅰ教学方法:本节课我采用了“启发探究式”的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点:
(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线
(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法
Ⅱ教学手段
使用多媒体投影仪、计算机辅助教学
四教学过程的设计
Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题,明确学习目标
(1)创设情境——引入概念
(2)观察归纳——形成概念
(3)讨论研究——深化概念
Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念
(1)总结反思——提高认识
(2)即时训练—巩固新知
［练习1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
①向量与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当＝；
⑤若一个向量的模为零，则其方向是不确定的；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
［练习2］下列命题正确的是( )
A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线
B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量
D ．有相同起点的两个非零向量不平行
Ⅲ 知识应用阶段----共线向量,相等向量等概念的初步应用
例 如图所示,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量
,,OA OB OC 相等的向量.(同时思考:向量OA 与FE 相等么?向量OB 与AF 相等么?)
Ⅳ 学习,小结阶段---归纳知识方法,布置课后作业
E F
本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈,组织和指导学生归纳知识,技能,方法的一般规律,为后续学习打好基础。
以上是我对这节课的教学设想,恳请各位老师批评,指正。