1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(教师版)

1.1 分类加法和分布乘法计数原理1. 分类加法计数原理【基础梳理】完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m ＋n 种不同的方法．2. 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m ×n 种不同的方法．3. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．【典型例题】题型一 分类加法计数原理【例 1-1】（2020·全国高三专题练习）有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有 A ．8 种B ．9 种C ．10 种D ．11 种【答案】B【解析】设四位监考教师分别为 A 㴳B 㴳C 㴳翿，所教班分别为 a 㴳b 㴳c 㴳d ，假设 A 监考 b ，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c ，d 时，也分别有 3 种不同方法，由分类加法计数原理，共有 3＋3 ＋3＝9(种)不同的监考方法，故选 B ．x 2 y 2【例 1-2】 设集合 A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程A ．6 个B ．8 个C ．12 个D ．16 个【答案】 A＋ ＝1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆的有( )m n【解析】 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以 m >n .当 m ＝4 时，n ＝1,2,3；当 m ＝3 时，n ＝1,2；当 m ＝2 时，n ＝1，即所求的椭圆共有 3＋2＋1＝6(个)．【举一反三】1．（2020·重庆高二月考（理））小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( ) A ．7 种B ．8 种C ．6 种D ．9 种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事．买 1 张IC 卡有2 种方法，即买一张 20 元面值的或买一张30 元面值的；买 2 张IC 卡有3 种方法，即买两张 20 元面值的或买两张 30 元面值的或 20元面值的和 30 元面值的各买一张，买 3 张IC 卡有2 种方法，即买两张 20 元面值的和一张 30 元面值的或 3张20 元面值的，故共有 2＋3＋2＝7(种)不同的买法．2．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【解析】选女同学有 3 种选法，选男同学有 2 种选法，所以共有 5 种选法.故选：B.3．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有种不同的方法.【答案】12【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有 8 种方法；一类是乘火车有 2 种方法；一类是乘飞机有 2 种方法，由分类加法计数原理知，共有 8＋2＋2＝12（种）方法.故答案为：12.题型二分步乘法计数原理【例2-1】（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16 种B．18 种C．37 种D．48 种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有 4 种选择，共有4 ×4 ×4 t h4 种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有 3 种选择，共有3 ×3 ×3 t h7 种方案；则符合条件的有h4 — h7 t 37 种，故选：C．【例 2-2】（2020·全国高三专题练习）如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A．72 种B．48 种C．24 种D．12 种【答案】A【解析】先涂 A 的话，有 4 种选择，若选择了一种，则 B 有3 种，而为了让 C 与AB 都不一样，则 C 有2 种，再涂D 的话，只要与 C 涂不一样的就可以，也就是 D 有3 种，所以一共有 4x3x2x3=72 种，故选 A。

【举一反三】1．现有4 件不同款式的上衣和3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A．7 B．12 C．64 D．81【答案】 B【解析】要完成配套，分两步：第1 步，选上衣，从4 件上衣中任选一件，有4 种不同的选法；第2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同的选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．2．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示的不同圆的个数是( )A．6 B．9 C．16 D．24【答案】 D【解析】确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定a，有3 种选法；第二步，确定b，有2 种选法；第三步，确定r，有4 种选法．由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24.3．某运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8 名运动员比赛的方式共有种．【答案】 2 880【解析】分两步安排这8 名运动员．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24(种)方法；第二步，安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这 8 人的方式共有24×120＝2 880(种)．题型三两个原理的综合运用【例3-1】用 0,1,2,3,4 五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？【答案】见解析【解析】(1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有5×5× 5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1) 弄清完成一件事是做什么．(2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解．可以排 0，因此，共有 4×5×5＝100(种)．(3) 被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是 0，则有 4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 2×3×3＝18(种)排法．因而有 12＋18＝30(种)排法．即可以排成 30 个能被2 整除的无重复数字的三位数．【例 3-2】(1)将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有种.【答案】 42【解析】 分别用 a ，b ，c 代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设放入 a ，再安排第二块田， 有两种方法 b 或 c ，不妨设放入 b ，第三块也有 2 种方法 a 或 c. (1)若第三块田放 c ：第四、五块田分别有 2 种方法，共有 2×2＝4(种)方法． (2)若第三块田放 a ：第四块有 b 或 c 两种方法， ①若第四块放 c ：第五块有 2 种方法； ②若第四块放 b ：第五块只能种作物 c ，共 1 种方法．综上，共有 3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．【举一反三】1．（2019·上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级 12 人,高三年级 9 人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？【答案】（1）34；（2）1404；（3）381.【解析】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有 3 种情况，若选出的是高一学生，有 13 种情况，若选出的是高二学生，有 12 种情况，若选出的是高三学生，有 9 种情况，由分类计数原理可得，共有 12+13+9＝34 种选法．（2）根据题意，从高一学生中选出 1 人，有 13 种情况；从高二学生中选出 1 人，有 12 种情况；从高三学生中选出 1 人，有 9 种情况；由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404 种选法．（3）根据题意，分三种情况讨论：若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156 种情况，若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117 种情况，若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108 种情况，由分类计数原理可得，共有 156+117+108＝381 种选法．【强化训练】1．（2020·浙江高三专题练习）空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平面α的2 倍，这样的平面α的个数为（）A．8 B．16 C．32 D．48【答案】C【解析】第一种情况，A，B，C，D点在平面α的同侧.当平面α∥平面BCD时，A与平面α的距离是α与平面BCD的距离的 2 倍.这种情况下有 4 个平面.第二种情况，A，B，C，D中有 3 个点在平面α的一侧，第 4 个点在平面α的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平面α与平面B C D平行，且A与平面α的距离是平面α与平面B C D距离的 2 倍.这时有 4 个平面.5 4 45 4 3 3 4另一种情形如图 a 所示，图中 E ，F 分别是 AB ，AC 的中点，K 是 AD 的三等分点中靠近 A 的分点，A ，B ，C 到平面 EFK （即平面α）的距离是 D 到平面 EFK 距离的一半.∵EF 可以是 AB ，AC 的中点的连线，又可以是 AB ，BC 的中点的连线，或 AC ，BC 的中点的连线， ∴这种情形下的平面α有 3×4=12（个）.第三种情况，如图 b 所示，在 A ，B ，C ，D 四点中，平面α两侧各种有两点. 容易看出：点 A 到平面 E F M N （平面α）的距离是 B ，C ，D 到该平面距离的 2 倍。