高中数学——猿题库——满分之路——导数--286

1. 求函数3

21()3

f x x x mx c =

+++的单调区间。 P4

2. 求函数32

11()32

f x mx x x c =

+++的单调区间。 P6

3. 求函数3

21()(21)3

f x x mx m x c =

++-+的单调区间。 P7

4. 求函数3211

()(1)32

f x mx m x x c =

++++的单调区间。 P9

5. 求函数32

11()(1)32

f x ax x a x c =

-+-+在区间

0+∞（，）上的单调区间。 P12

6. 若函数32

11()(1)132

f x x ax a x =

-+-+在区间

1,4（）上为减函数，在区间6+∞（，）上为增函数，试求实数a 的取值范围。

P13

7. 若函数3211()232f x x x ax =-

++在2,3??

+∞ ???

上存在单调递增区间，求a 的取值范围。 P14

8. 已知函数()(1)()f x x x x a =--，（1a >）。

（1）求导数()f x '，并证明f x （）

有两个不同的极值点1x ，2x ；（2）若不等式120f x f x +≤（

）（）成立，求a 的取值范围。 P15

9. 已知函数23

2()4()3

f x x ax x x =+-

∈R 在区间[]1,1-上是增函数（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设关于x 的方程3

1()23

f x x x =+

的两个非零实根为1x ，2x 。试问：是否存在实数m ，使得不等式2

121m tm x x ++-…对任意a A ∈及1[]1t ∈-，恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由

P17

10. 已知函数2

()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >。

（1）讨论f x （）

在其定义域上的单调性；（2）当]1[0x ∈，时，求f x （

）取得最大值和最小值时的x 的值。 P18

11. 求函数3

()(0)f x x kx x k =-+<在[]k k -，上的最小值m 和最大值M 。

P19

12. 求函数3

22()2(2)13

f x x x a x =

-+-+在区间[2]3，

上的最大值和最小值。 P20

13. 求函数2

()||f x x x a =-在区间[1]2，上的最小值。

P21

14. 求函数3

()|3|g x x ax =-在区间[11]-，上的最大值F a （）

的解析式。 P22

15. 已知函数3

()f x x ax b =--，x ∈R ，其中R a b ∈,。

（1）求f x （）的单调区间；

（2）若f x （）

存在极值点0x ，且10(())f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；（3）设0a >，函数||g x f x =（）（），求证：g x （）在区间[11]-，上的最大值不小于

。 P24

16. 已知函数3

()8f x x ax bx =++，是否存在实数a ，b ，使得对任意1[]1x ∈-，，均有

||2f x ≤（）。若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由。

P26

17. 已知函数3

()32f x x x ax =-++，曲线y f x =（）在点02（，）处的切线与x 轴交点的横坐标为-2。（1）求a 的值；

（2）求证：当1k <时，曲线y f x =（）与直线2y kx =-只有一个交点。

P27

18. 设2[]0a ∈-，，已知函数332

(5),0

()3,02

x a x x f x a x x ax x ?-+?

=?+-

+>??…。（1）证明f x （）在区间11-（，）上单调递减，在区间1+∞（，）

上单调递增；

（2）设曲线y f x =（）在点,()(1,2,3())i i i P x f x i =处的切线相互平行，且1230x x x ≠，证

明：1231

x x x ++>-

。 P29

19. 设Z a ∈，已知定义在R 上的函数4

()2336f x x x x x a =+--+在区间12（，）内有一个零点0x ，g x （）为f x （）的导函数。（1）求f x （）

的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈U ,)(,，函数0)h x g x m x f m =--（）()(()，求证：00h m h x <()()；

（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且

00[]12p

x x q

∈U ,)(,满足041|

|p x q Aq

-…。 P33

20. 已知函数3

21()3

f x x ax bx =

++，且(1)0f '-=。（1）试用含a 的代数式表示b ，并求f x （）

的单调区间；（2）令1a =-，设函数f x （）在1212x x x x <，（）

处取得极值，记点11M x f x (，())，22(())N x f x ,，(,())P m f m ，12x m x <≤，请仔细观察曲线f x （）

在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解答以下问题：

（i ）若对任意的2]m t x ∈（,，线段MP 与曲线f x （）均有异于M ，P 的公共点，试确定

t 的最小值，并证明你的结论；

（i ）若存在点1Q n f n x n m ≤<(,())()，使得线段PQ 与曲线f x （）有异于P ，Q 的公

共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）。

P36

21. 已知函数32

()1f x x ax bx =+++，,a b ∈R 。（1）若2

0a b +=。

（i ）当0a >时，求函数f x （）的极值（用a 表示）；

（ii ）若f x （）有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；

（2）函数f x （）图象上点A 处的切线1l 与f x （）

的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且214k k =，，求a ，b 满足的关系式。

P38

22. 已知函数32

5()2

f x x x ax b =+

++的图象是曲线C 。（1）设函数f x （）

的导函数为f x '（），若存在唯一的实数0x ，使得00f x x =（）与00f x '=（）同时成立，求实数b 的取值范围；

（2）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，

在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k 问：是否存在常数λ，

使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

P40

23. 已知函数32

()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数f x '（）的极值点是

f x （）

的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：2

3b a >；

（3）若f x （）

，f x '（）这两个函数的所有极值之和不小于7

-，求a 的取值范围。 P45

24. 已知函数3

()f x x x =-。

（1）求曲线y f x =（）在点,M

t f t （())处的切线方程；（2）设0a >，如果过点N a b （，）

可作曲线y f x =（）的三条切线，证明：a b f a -<<（）。 P47

25. 已知函数3

()23f x x x =-。

（1）求f x （）在区间[21]-，上的最大值；

（2）若过点1P t （，）

存在3条直线与曲线y f x =（）相切，求t 的取值范围；

（3）问过点12A -（，）

，210B （，），02C （，）分别存在几条直线与曲线y f x =（）相切？（只需写出结论）

P49

26. 已知函数()()()f x x x a x b =--，其中0a b <<，f x （）在x s =及x t =处取得极值，其中s t <

（1）求证：0s a t b <<<<；

（2

）若a b +<，求证：过原点且与曲线y f x =（）

相切的两条直线不可能垂直。 P51

27. （1）已知函数3

f x x x =-（

），其图象记为曲线C 。 ①求函数f x （）

的单调区间； ②证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(P x f x ,())处的切线交于另一点222(P x f x ,())，曲线C 与其在点2P ，的切线交于另一点333(P x f x ,())，线段

12P P ，23P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S ，则

S S 为定值；（2）对于一般的三次函数3

()(0)g x ax bx cx d a =+++≠，请给出类似于（1）②的

正确命题，并予以证明。

P53

28. 已知函数2

()ln x

f x e x x e =--。

（1）求曲线y f x =（）

在点11f (,())处的切线方程；（2）是否存在正整数m ，使得f x mx e ≥-（）在区间0+∞（，）

上恒成立？若存在，求出m 的最大值并给出推导过程；若不存在，请说明理由。

P55

29. （2011·高考课标全国卷）已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++，曲线y f x =（

）在点11f (,())处的切线方程为230x y +-=。（1）求a ，b 的值；

（2）如果当0x >，且1x ≠时ln ()1x k

f x x x

+-，求k 的取值范围。 P58

30. （2010·高考新课标全国卷）设函数2

()1x f x e x ax =--- （1）若0a =，求f x （）

的单调区间；（2）若0x ≥时，0f x ≥（），求a 的取值范围。

P60

31. （2016·宁德模拟）已知函数2

()(1)ln 2

a f x x a x x =-+-+。（1）求函数f x （）的单调区间；（2）若1a >，求证：3

(21)()3e

a a f x --<

P62

32. 已知函数()1x

f x e -=-。（1）证明：当1x >-时，()1

x f x x ≥+；（2）设当0x ≥时，()1

f x ax ≤

+，求a 的取值范围。 P65

33. 已知函数ln(1)

()e 1

x x f x ax +=+-。若对任意1x >-且0x ≠，均有1f x >（

）恒成立，求实数a 的值。

P66

34. （2013·高考全国卷Ⅱ）已知函数()ln()x

f x e x m =-+。

（1）设0x =是f x （）的极值点，求m 的值，并讨论f x （）的单调性；（2）当2m ≤时，证明0f x >（）。

P70

35. 证明：2

2ln x

e x x x ->。

P71

36. 求证：(1)ln 1x

e e x x x +-≥+。

P74

37. 已知函数()1ln(1)ax

f x e x =-++。

（1）若函数f x （）在区间1-+∞（，）上单调递增，求a 的取值范围；（2）若01a <≤，且0x >，求证：2f x ax >（

）。

38. 证明：2e ln 10x x x -->（ln 20.6931≈ 1.649≈）。

P79

39. 已知函数211()ln 2f x a x x x

+。（1）讨论函数f x （）的单调性；（2）证明：2

(1)()2ln 3

x x e x x ---+<

。 P81

40. （★★★）已知函数()ln (1)f x x a x =+-。（1）讨论f x （）

的单调性；（2）当f x （）

有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围。 P82

41. （★★★）设函数2

()24ln f x x ax x x =

-+（）。（1）求函数f x （）

的单调区间；（2）若不等式0f x >（）对1x ≥恒成立，求a 的取值范围。

P83

42. 已知函数2()2(0)(0)x

x f x e

f e f x '=+-。

（1）求f x （）的单调区间；

（2）当0x >时，x

x e x <-（）恒成立，求a 的取值范围。 P84

43. 设函数()ln m

f x x x

（1）讨论函数()()3

g x f x '=-零点的个数；（2）若对任意0b a >>，()()

1f b f a b a

-<-恒成立，求m 的取值范围。

P87

44. 已知函数()ln x

f x ax b x

=-+在点(())e f e ,处的切线方程为2y ax e =-+。

（1）求实数b 的值；

（2）若存在2

[]x e e ∈,，满足1

()e 4

f x ≤

+，求实数a 的取值范围。

45. 设a 为正实数，函数x

f x ae =（

）的图象与y 轴的交点为A ，函数()ln x

g x a

=的图象与x 轴的交点为B ，若点A 到函数g x （）的图象上的任意一点的线段长的最小值为||AB 。（1）求a 的值；

（2）对任意0x >且1x ≠，

()

x m

g x ->m 的取值范围。 P89

46. 已知函数ln f x x x x =+（），若Z k ∈，且2k x f x -<（）（）对任意2x ∈+∞（，）恒成立，求k 的最大值。

P91

47. 已知对任意的0x >，不等式2e

ln 10x

x kx x ---≥恒成立，求实数k 的取值范围。

P93

48. 已知函数22

()ln (1)1x f x x x

=+-+

（1）求函数f x （）

的单调区间；（2）若不等式1

(1)n a e n

++≤对任意的*

n ∈N 都成立（其中e 是自然对数的底数），求a

的最大值。

P96

49. 设函数()(21)x

f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00f x <（

），则a 的取值范围是（） A. 3

[,1)2e

B. 33[,)24

e -

C. 33[

,)24

e D. 3[

,1)2e

P102

50. 已知函数2()x

f x e

ax =-。

（1）讨论f x （）的单调性；

（2）当0x >时，2

1f x ax >+（

），求a 的取值范围。 P104

51. 若对任意的[0x ∈+∞，），不等式2

1(1)ln(1)02

x x ax ax ++-

-…恒成立，

求实数a 的取值范围。

P105

52. （2015·高考山东卷）设函数2

()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R 。（1）讨论函数f x （）极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ?>，0f x ≥（）成立，求a 的取值范围。

P108

53. （2017·全国二模）已知函数sin f x x =（）。

（1）当0x >时，证明：2

()12

x f x '>-；

（2）若当02

x π

∈（，）

时，()

()()

f x f x ax f x +>'恒成立，求实数a 的取值范围。 P109

54. 已知0x >时，ln(1)10x

e a x +--<恒成立，求实数a 的取值范围。

P110

55. 已知函数sin ()2cos x

f x x

+。

（1）求f x （）

的单调区间；（2）如果对任意0x ≥，都有f x ax ≤（

），求a 的取值范围。 P112

56. 已知函数ln f x ax bx =+（

）在点(1,(1))f 处的切线是0y =。（1）求函数f x （）的极值；

（2）当21()(0)x mx e

f x x m e e

-≥+

<恒成立时，求实数m 的取值范围。 P113

57. 已知函数3

()sin 6

x f x x mx =+-。（1）若f x （）在[0+∞，）上单调递增，求实数m 的取值范围；

（2）若对0[x ?∈+∞，），不等式sin cos e 2ax

x x -≤-恒成立，求实数a 的取值范围。

P114

58. 已知函数ln f x x =（），g x （）是f x （）的反函数。

（1）求证：当0x ≥时，2

1(1)2

f x x x +≥-

+；（2）若2

2g x g x g mx +-≤（）（）（）对任意R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

P117

59. 隐极值点代换之降次

（2012·高考大纲全国卷）已知函数3

21()3

f x x x ax =++。（1）讨论f x （）

的单调性；（2）设f x （）

有两个极值点1x ，2x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线y f x =（）

上，求a 的值 P118

60. 隐极值点代换之幂函数代换指、对函数。

（2012·高考课标全国卷）设函数2x

f x e ax =--（

）。（1）求f x （）

的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，10x k f x x '-++>（）（），求k 的最大值。

P122

61. （2015·高考全国卷I ）设函数2ln x

f x e a x =-（

）。

（1）讨论f x （）

的导函数f x '（）零点的个数；（2）证明：当0a >时，2

()2ln

f x a a a

≥+。 P123

62. 隐极值点代换之代换参数

已知函数2

()ln(1)f x x a x =++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <。

（1）求a 的取值范围，并讨论f x （）的单调性；

（2）证明：212ln 2()4

f x ->

。 P124

63. 已知函数2

()2(1)x

f x e mx x b =--++，若对任意的0x >，0m <有0f x >（

）恒成立，求满足条件的最小整数b 的值。

P125

64. 已知函数2

()2()3x f x e x a =--+，当0x ≥时，0f x ≥（）恒成立，求a 的取值范围。

P127

65. 已知函数1

()e 2(1)(0)x a f x a a a x

+=+

-+>。（1）当1a =时，求f x （）

在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若对于任意的0x ∈+∞（，）

，恒有0f x ≥（）成立，求a 的取值范围。 P128

66. 设函数ln f x x =（），是否存在实数a ，使得2(

)(e )()02ax a x

f f f x a

?+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由。

P129

67. 设函数2

()()ln f x x a x =-，a ∈R 。

（1）若x e =为y f x =（）的极值点，求实数a 的值；

（2）若对任意的03]x e ∈（，，恒有2

4f x e ≤（

）成立，求实数a 的取值范围。 P131

68. 已知函数ln ()e x x

f x x x

。（1）求证：函数f x （）

有唯一零点；（2）若0x ?∈+∞（，）

，ln 1x

xe x ax -≥+恒成立，求a 的取值范围。 P132

69. （2016·高考全国卷Ⅱ）（1）讨论函数2()2

x f x e x -=

+的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；

（2）证明：当01[a ∈，）时，函数2

()(0)x e ax a

g x x x

--=>有最小值。设g x （）的最小值为h a （），求函数h a （）

的值域。 P135

70. （2016·山期末）已知函数ln ()x f x x =

，()(ln 1)2

g x x x =--。（1）求y f x =（）的最大值；

（2）当1

[0,]a e

∈，时，函数]()(0)y g x x e =∈（,有最小值。记g x （）的最小值为h a （）

，求函数的值域h a （）

。 P136

71. （2017·福建模拟）已知函数()cos (1)sin f x x x a x =-+，[0,]x π∈

，其中

34a π≤≤ （1）证明：当]2

[0x π

∈，时，0f x ≤（）；

（2）判断f x （）的极值点个数，并说明理由；（3）记f x （）的最小值为h a （），求函数h a （）

的值域。 P138

72. 证明：1

e ln(2)6

x x -+>

。 P139

73. 证明：ln 2x

e x ->。

P141

74. 证明：ln 2.3x

e x ->。

P143

75. 已知函数2

1()2

f x x =

，()ln g x a x =。（1）设h x f x g x =+（）（）（），若对任意两个不相等的正数1x ，2x ，都有

1212

()

()2

h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00001

()()()()

f x

g x g x f x ''+

<-'成立，求实数a 的取值范围。

P145

76. 已知函数()ln a

f x x x x

+，32()3g x x x =--。（1）如果存在122]0[x x ∈,，

，使得12g x g x M -≥（）（）成立，求满足上述条件的最大整数M ；

（2）如果对任意的1[2]2

s t ∈,，都有f s g t ≥（

）（）成立，求实数a 的取值范围。

P146

77. 已知函数ln 1()x f x x

，函数()()e ()x

g x x k k k =-+∈Z ，1(0,)x ?∈+∞，2(0,)x ?∈+∞，不等式1250f x g x +>（）（）成立，求k 的最大值。

P147

78. （2017·资阳模拟）已知函数ln 1f x x ax =++（）（）。（1）当1a =-时，求证：0f x ≤（）；（2）对任意210x ex ≥>，存在1x ∈-+∞（，）

，使212212

(1)(1)(1)()

f x f x a x f x x x x ----->

-成立，求a 的取值范围。

P149

79. 已知函数3

()(1)(2)()f x x a x a a x a =+--+∈R ，191

()63

g x x =

-。

是否存在实数a ，存在11[]1x ∈-，，2]2[0x ∈，，使得1122f x ax g x '+=（）（）成立？若存在，求出a 的取值范

围；若不存在，说明理由。

P150

80. 已知函数247

()2x f x x -=-，]1[0x ∈，。

（1）求f x （）的单调区间和值域；

（2）设1a ≥，函数32

()32g x x a x a =--，]1[0x ∈，。若对于任意1]1[0x ∈，

，总存在0]1[0x ∈，，使得10f x g x =（）（）成立，求a 的取值范围。

P151

81. 已知函数2()mx

f x e

x mx =+-。

（1）证明：f x （）在0-∞（，）

上单调递减，在0+∞（，）上单调递增；（2）若对于任意12[1]1

x x ∈-,，，都有12||1f x f x e -≤-（）（），求m 的取值范围。 P154

82. 已知3x =是函数2

3()()e

()x

f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点。

（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f x （）的单调区间；

（2）设0a >，2()e )25(4

g x a =+

。若存在124]0[x x ∈,，

使得12||1f x g x -<（）（）成立，求a 的取值范围。

P156

83. 已知函数2

()(0)x f x m x m

>+。（1）若存在0x >使ln f x x x m >+（）（），求实数m 的取值范围；（2）证明：存在实数0x ，当0x x >时，2ln f x x >（）。

P157

84. 已知()()e x

f x x a =-?，2

1()2

g x x bx =

-。（1）当3a =时，若函数f x （）在(0,(0))f 处的切线与函数g x （）相切，求实数b 的值；（2）当0a >，1b a =-时，记h x f x ag x =-（）（）（）

。证明：当1

a <<时，存在0(ln ,)x a ∈+∞，使得00h x <（）。

P159

85. 已知函数ln 1f x x x =+-（

）（），ln g x x x =（）。（1）求函数f x （）的最大值；

（2）设0a b <<，证明0()()2(

)()ln 22

a b

g a g b g b a +<+-<-。 P161

86. （2018·朝阳一模）已知函数ln 1

()x f x ax x

-=-。（1）当2a =时，

（i ）求曲线y f x =（）在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数f x （）的单调区间；（2）若12a <<，求证：1f x <-（

）。 P163

87. 已知函数2

()()()x

f x ax x a e a -=++∈R 。

（1）若0a ≥，函数f x （）的极大值为

，求实数a 的值；

（2）若对任意的0a ≤，ln 1f x b x ≤+（）（）在[0x ∈+∞，）

上恒成立，求实数b 的取值范围。

P165

88. 已知函数2

1()ln 2f x x a x =

-。（1）若函数f x （）在1

+∞[，）

上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数f x （）

有两个零点，求实数a 的取值范围，并说明理由；（3）设正实数1m ，2m 满足121m m +=，当0a >时求证：对任意的两个正实数1x ，2x ，

总有11221122f m x m x m f x m f x +≤+（）（）（）成立；

（4）当2a =时，若正实数1x ，2x ，3x 满足1233x x x ++=，求123f x f x f x ++（）（）（）的

最小值。

P167

89. 已知函数()1x

f x e x =--

（1）设g x f x f x =--（）（）（）

，对任意1212R()x x x x ∈<,，恒有2121

()

()g x g x m x x ->-成

立。求实数m 的取值范围；

（2）若正实数1m ，2m 满足121m m +=，1212R()x x x x ∈≠,。试证明：

11221122f m x m x m f x m f x +<+（）（）（）；并进一步判断：当正实数12,,,n m m m L 满足121(,2)n m m m n n +++=∈≥N L ，且12,,,n x x x L 是互不相等的实数时，不等式11221122()()()()n n n n f m x m x m x m f x m f x m f x +++<+++L L 是否仍然成立。

P170

90. 已知函数12

1()(1)e (0)2

x f x f f x x -'=-+

。（1）求函数f x （）的解析式及单调区间；

（2）若不等式2

f x x ax b ≥

++（）恒成立，求(1)a b +的最大值。 P172

91. 已知函数ln f x x ax b =-+（

），其中R a b ∈,。（1）求f x （）的单调区间；

（2）若1a =，]2[0b ∈，，且存在实数k ，使得对任意实数1[]x e ∈,，恒有

ln 1f x kx x x ≥--（）成立，求k b -的最大值。

P174

92. 已知函数2

()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且1

[1]2

m ∈，，求f m f n -（）（）的取值范围。

P175

93. 已知函数x

f x e =（

），1

()ln 22

x g x =+，对任意的R a ∈，存在0b ∈

+∞（，），使得f a g b =（）（）

，求b a -的最小值。 P176

94. 已知函数222(,)2()21x

x f x t e

t e x x t =-++++，t ∈R ，x ∈R ，求f x t （,）的最小值。

P179

95. 已知函数2

1()1x

x f x e x -=

?+。（1）求f x （）

的单调区间；（2）证明：当1212()f x f x x x =≠（

）（）时，120x x +<。 P180

96. 已知函数2

()(2)(1)x

f x x e a x =-+-有两个零点（1）求a 的取值范围；

（2）设1x ，2x 是f x （）的两个零点，证明：122x x +<。

P182

97. 已知函数x

f x e ax a =-+（），其图象与x 轴交于10A x （，），20B x （，）两点，且12x x <。

（1）求a 的取值范围；

（2）证明：0f '<（f x '（）为函数f x （）的导函数）。

P183

98. 已知函数ln g x x bx =+（）。若函数g x （）有两个不同的零点1x ，2x 。

（1）求实数b 的取值范围；

（2）求证：2

12x x e >。

P186

99. 已知函数2()45e x

a f x x x =-+-

。（1）若f x （）

在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围；（2）设()()x

g x e f x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=，且12x m x <<，求证：

122x x m +<。

P188

100. 已知函数ln f x x x =（），()x

g x e =

，记F x f x g x =-（）（）（）。（1）求证：F x （）在区间1+∞（，）

内有且仅有一个实根；（2）用min{}a b ,表示a ，b 中的最小值，设函数()min ),({}()m x f x g x =，若方程

m x c =（）在区间1+∞（，）内有两个不相等的实根1212x x x x <,（）

，记F x （）在1+∞（，）内的实根为0x 。求证：

x x x +>。 P191

101. 已知ln f x x =（），2

g x f x ax bx =++（）（），其中g x （）

的图象在(1,(1))g 处的切线平行于x 轴。

（1）确定a 与b 的关系；

（2）设斜率为k 的直线与f x （）

的图象交于11A x y （,），22B x y （,）12x x <（），求证：21

k x x <<。 P192

102. 已知函数()ln p

F x px x

=+，（0p >）。（1

）当

12p <

，求证：

12111

x x x +++>L P194

103. 已知函数()ln f x x =，()b

g x ax c x

-。

（1）当3b a =-时，若对任意01x ∈+∞（，）和任意03a ∈（，）

，总存在不相等的正实数1x ，2x ，使得120g x g x f x ==（）（）（），求c 的最小值；

（2）当1a =时，设函数y f x =（）与y g x =（）

图象交于11A x y （,），22B x y （,）12x x <（）两点。求证：122121x x x b x x x ?-<

P196

104. 已知函数ln f x x x mx =+（），且曲线y f x =（）在点(1,(1))f 处的切线斜率为1。（1）求实数m 的值；（2）设2

()()2

a g x f x x x a =-

-+在其定义域内有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <（），已知0λ>，若不等式112e x x λλ

P197

105. 已知函数2

f x ae x bx =+-（

）。（1）设0b =，若函数y f x =（）在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（2）设2b =，且0a ≠，点,m n （）是曲线y f x =（）

上的一个定点，是否存在实数00()x x m ≠，使得000(())(

x m

f x f x m n +'=-+成立？证明你的结论。 P199

106. 已知函数2

1()e 2

x f x x ax =-

-。（1）若函数f x （）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；

（2）如果函数21

()()()2

g x f x a x =--恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：

ln 22

x x a +<。 P200

107. 已知函数2

()x f x e x ax =--有两个极值点1x ，2x 12x x <（）。

（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：124x

e e +>。

P201

108. 已知函数x

f x e ax b =--（

），其中R a b ∈,， 2.71828e =???。

（1）当b a =-时，求f x （）

的极小值；（2）当0a >，b a =-时，

设f x '（）为f x （）的导函数，若函数f x （）有两个不同的零点1x ，2x 且12x x <（），求证：12

2(3ln )(

)x x f a f x x '>+。 P203

109. 已知函数2

()ln (2)(0)f x x ax a x a =-+->。若函数y f x =（）

的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：00f x '<（

）。 P204

110. 已知函数x

f x xe -=（）。如果12x x ≠，且12f x f x =（）（）。证明：122x x +>。

P204

111. 已知函数ln f x x x =（）与直线y m =交于11A x y （,），22B x y （,）两点。求证：1221

0x x e

。 P205

112. 已知函数()ln(1)h x x =+，对任意()1212,(1,)x x x x ∈-+∞≠

，证明：不等式

12()

)(x x h x h x ->-

P205

113. 已知函数ln f x x ax =-（）。若函数y f x =（）图象在1x =处的切线平行于x 轴，且

11A x y （,），22B x y （,）12x x <（）是函数y f x =（）的图象上任意两个不同的点，设直线AB

的斜率为k ，证明：

11k x x -<<-。 P206

114. 已知函数ln 1f x x =+（）（），()1x g x x

=+。设*

n ∈N ，比较(1)(2)()g g g n +++L 与n f n -（）的大小，并加以证明。

P207

115. 已知函数(1)

()ln(1)1x x f x x x

λ+=+-

+。

（1）若0x ≥时，0f x ≤（

），求λ的最小值；

（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =+

+++L ，证明：21ln 24n n a a n

-+>。 P208

116. 已知函数ln 1f x x x =-+（）（）

。证明：*12

ln(21)2()21

i n n i =-+<∈-∑N 。 P209

117. 已知2()2sin 2

f x x x x π

=-+，(0,1)x ∈在0x x =处取得极小值，若12f x f x =（

）（），证明：1202x x x +>。

P210

118. 已知函数4

4f x x x =-（

）。（1）求f x （）

的单调性；（2）设曲线y f x =（）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y g x =（）

，求证：对于任意的正实数x ，都有f x g x ≤（）（）

；（3）若方程f x a =（）有两个正实数根1x ，2x ，且12x x <，求证：1

32143

x x --+…。

P212

119. 已知函数()()()(0)x

f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为

(1)10e x ey e -++-=。

（1）求a ，b 的值；

（2）若方程f x m =（

）有两个实数根1x ，2x （12x x <），证明：21(12)

11m e x x e

--+-≤。

P215

120. 已知函数1

()ln ()f x x a x a x

-∈R 。（1）讨论函数f x （）的单调性；

（2）若f x （）有两个极值点1x ，2x ，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线斜率为k 。

问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由。

P217

121. 已知函数2

()(21)ln f x ax a x x =-++。

（1）当0a >时，求函数f x （）的单调区间；

高中数学导数及微积分练习题

底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题

导数的概念、运算及其几何意义黑龙江依兰高中刘岩 A 组基础达标选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（） 4.下列求导数运算错误．．的是（） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为函数y= x -e 的导数为 A x D C x B

高中数学导数经典100题

题401：省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数．（1）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（2）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x = +是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．题402：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六）已知()ln()f x x m mx =+- （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +< 题403：省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学（文）已知函数2()ln (0)f x x a x a =-> （1）讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性；（2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+> 题404：西北师大附中2017届高三校第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2 f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若()0f x ≥对定义域的任意x 恒成立,数a 的取值围; (3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式 111...ln(1)ln(2)ln()() n m m m n m m n +++>++++恒成立.

题405：一中2017-2018学年度高三年级第五次月考数学（理）试已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈ （1）当3k =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x >对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值围. 题406：第一中学2018届高三上学期期末考试数学（理）已知函数()ln 1,a f x x a R x =+-∈ （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值；（2）证明：(ln 1)sin 0x e x x +-> 题407：2017—2018学年度衡中七调理科数学已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln ,g x ax x a R =+∈ （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞恒成立，数a 的取值围（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析已知函数2()x f x e ax =-. （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析：本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。题目解答：（1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.

高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)

高中数学函数的单调性与导数测试题（附答案）选修2-21.3.1函数的单调性与导数一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案] D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2]

C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案] B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案] A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0，当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0

高中数学导数练习题(有答案)

导数练习题（含答案）【编著】黄勇权一、求下函数的导数（1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ）（15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】一、求下函数的导数（1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx

（9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1）（）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分）设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ．【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；当1 12 x -<<-时，()0f x '<；当1 2 x >- 时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少．（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+．方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-．（ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ．当x =时，()0f x '=，

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值．若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值．（ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分）设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3．（Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，

(完整word)高中数学导数练习题

专题8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴

高三数学导数压轴题

导数压轴一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数．（1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立；（2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性；（2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1．（Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围；（Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a；（Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

(完整版)高二数学导数大题练习详细答案

1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．

5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立．

高中数学导数及微积分练习题

1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)

高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ，解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.

高中数学导数题型总结

导数经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。（2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ，则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最小值为()2 9 1= -f 。答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中数学-导数的概念及运算练习

高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A

(完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)

导数复习一．选择题 (1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2）（2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (3) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (4) 函数,93)(2 3-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！（9）曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 .10设函数()1 x a f x x -= -,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个 13. y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 14.经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25 x +y =0 B.x －y =0或25 x +y =0 C.x +y =0或 25 x －y =0 D.x －y =0或 25 x －y =0 15.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又x x f x )(lim 0 '→=－1,则 f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值 D.等于0 16.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0 B.1 C.n n )221(+- D.1)2 ( 4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( ) A 、有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 18.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( ) A 、3 10 B 、3 13 C 、3 16 D 、3 19 19.过抛物线y=x 2 上的点M （4 1,21）的切线的倾斜角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 20.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) a b x y ) (x f y ?=O

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题（每小题5分，共70分．每小题只有一项是符合要求的） 1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对２．已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（）． A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（）． A B ． C ．23 D ．23或0 ４．若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）． A ．[0,]π B ．2[0,)[,)23 ππ π C ．2[,)3ππ D ．2[0,)(,)223πππ ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（）．６．函数3 ( )2f x x ax =+-在区间[1,) +∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（）． A ．[3,)+∞ B ．[3,)-+∞ C ．(3,)-+∞ D ．(,3)-∞- ７．已知函数3 2 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小值分别为（）． '()f x

A ． 427 ，0 B ．0，427 C ．427- ，0 D ．0，4 27 - 8．由直线21=x ，2=x ，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是（）． A. 415 B. 4 17 C. 2ln 21 D. 2ln 2 9．函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（）． A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．12 b < 10．21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a 的值为（）． A ．18 B ．14 C ．1 2 D ．1 11. 已知函数()x x x f cos sin +=，则=)4 ('π f （） A. 2 B.0 C. 22 D. 2- 12．函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值是（） A. 32 B. 16 C. 24 D. 17 13．已知（m 为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为（） A ． B ． C ． D ． 14.dx e e x x ? -+1 0)(= （） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 二、填空题（每小题5分,共30分） 15．由定积分的几何意义可知? --2 22 4x =_________． 16．函数 )0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是． 17．已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的范围为______________． 18．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________．