RLC电路分析

于是通解变为： 于是最终的解为：
s2 = −α − α 2 − ω02 vch = A1e s1t + A2e s2t vc = Vs + A1e s1t + A2e s2t
（1.21）
（1.22） （1.23） （1.24） （1.25） （1.26） （1.27） （1.28） （1.29）
参数 A1 和 A2 为常数，可应用系统初始条件求得：vc(t=0)和 dvc(t = 0) 。 dt
−t
vc(t) = Vp + [−Vp −Vp]eRC
= Vp[1− 2e
−t
]
RC
第二个半个周的初值则为：
(1.12)
−T / 2
vc(T / 2) = Vp[1− 2e RC ]
第二个半个周期全响应变为：
−T / 2
−t
vc(t) = −Vp + [Vp[1− 2e RC ] +Vp]eRC
(1.13) (1.14)
类似地，第二个周期的第一部分响应的初始值为在 t=T 时 vc 的值，进而得到 Vp 的值。
如果时间常数同方波周期相比小得多的话，响应将达到图 7 所示的方波的最大与最小 值。
此时 RC=1×10−4 sec ,因此 T/2=10RC。
图7
当时间常数 RC 增加时，达到最大值的响应时间就会变长。图 8 示出了 T/2=RC 时的响 应的波形。注意响应并没有达到输入信号的最大值，响应的平均值等于输入信号的平均值。
(e RC
)
RC
（1.6）
Vptp 的乘积是脉冲的面积，因此响应同面积成正比。如果脉冲变窄（例如 tp→0）, 等 式（1.6）简化为：
(1.7)
如果我们设定脉所占的面积为常数 A=Vptp，脉冲变窄时，Vp 的幅值就会增加，生成一 个冲击强度为 A 的脉冲。因此冲击强度为 A 的脉冲的响应为：
vc =
图8
图 9（a）与图 9（b）所示为系统对 RC=5T/2、幅值为 0V、5V、占空比为 50%方波的响 应。注意经过一系列震荡后达到了平均值，平均值有纹。纹波的幅值大小与时间常数 RC 成 反比。
这是将交流信号转化为直流信号的第一步，后面我们将学习二极管，以便更深入地了解 这个电路。
图9
二阶电路 RLC 串联电路
（1.36） （1.37） （1.38） （1.39）
电流值为
i = C dvc dt
= −CVoω0 sin(ω0t)
（1.40）
电感上的电压值可由 KVL 求出或由电感上伏安关系求出： vL = L di dt
vL = −vc = −Vo cos(ω0t)
（1.41）
图 13 为 vc(t)，vL(t)和 i(t)的曲线图，注意观察 180°时 vc(t)和 vL(t)的区别及 90°时 vc(t)和 vL(t)的区别。
RC、RL 电路暂态过程举例 RLC 串联电路
RC 电路的脉冲响应 分析图 1 所示电路的脉冲响应，电压源 Vs 的波形如图 2 所示。
图 1. RC 电路
图2
我们研究以τ p 和 Vp 为变量的函数响应 vc(t).
响应可以由下面的式子给出：
（1.1）
如果
，电容在 t = tp 时的电压等于 Vp。因此当 t > tp 时响应变为：
（1.20）
通解满足下式：
d 2vch dt 2
+
R L
d vch dt
+
1 LC
vch
=0
假设特解具有形式如 Ae st ，将其代入式（1.21）可得特征方程：
定义 并定义
s2 + R s + 1 = 0 L LC α= R 2L
ω0 =
1 LC
特征方程变为： 特征方程的根为：
s 2 + 2αs + ω02 = 0 s1 = −α + α 2 − ω02
v
=
L
Δi Δt
=
0.011×21.04−6
=
24kV
方波输入时的 RC 电路响应 让我们现在考虑一下图 6 所示的 RC 电路，输入的方波信号由图 6（b）所示。
图6
响应 vc(t) 表达式如下：
−t
响应=稳态值+[初值-稳态值] e τ
(1.11)
假定电容电压的初值为 -Vp, 则方波的第一个半个周期的响应为
电感两端的电压为：
i(t
)
=
Vb
(1
−
e
−t L/R
)
R
(1.9)
−t
vL(t) = Vbe L/ R
(1.10)
当开关断开时时，电流的通路被阻断，因此电流的瞬时变化率非常大。由于电压同 di 成 dt
正比，电感两端的电压会变得非常大。
举例说明，让我们假定系统中的电阻为 5 Ω ，与 12 伏电池相连的电感线圈为 10mH。那
（1.2）
当
时，响应的波形如图 3 所示。
图3 如果脉冲变窄，vc 的值就不会达到最大值。 将方程（1.1）指数展开后，我们得到，
当
时，高阶部份可以忽略，于是得到：
脉冲结束（t = tp）时, 电压变为
(1.3) (1.4) (1.5)
当 t > tp 时，响应变为
vc
=
Vptp
− (t −tp )
A
−t
e RC
RC
（1.8）
图 4. RC 电路的脉冲响应
汽车中的火花塞（一个简单的例子）
考虑图 5 所示的电路。电池 Vb 相当于 12 伏的汽车电池。火花塞同电感并联，只有当 火花塞间隙两端电压超过一个很大的值（大约 20KV）时电流才会通过它。
图5
当开关闭合时，电流通过电感达到最大值 Vb/R。当开关闭合后电流变化的关系可由下 式表述：
振荡。 欠阻尼系统
RLC 串联电路中需重点观察的有：
y 由于电阻增加引起α 值增加，从而系统变为过阻尼响应状态。
y 频率 ω0 =
1 (弧度 / 秒) 被称作是系统自然频率或共振频率。 LC
y L 的值具有和电阻相同的单位。 C
图 11 展示了在 RLC 串联电路中 L=47mH,C=47nF 而取不同的 R 值时的响应，其中系统分 别为欠阻尼，临界阻尼和过阻尼。我们将在实验室中搭建这个电路以更加详细地研究它的特 性。
么需要多长时间线圈电流达到最大值的 99%值？如果开关在 1us 内断开，线圈两端的电压将 会是多少？
系统的时间常数为：
L = 0.01 = 0.002 sec R5
系统中流过的最大电流为 12 A = 2.4 A 。达到最大值 99%的时间为： 5
开关断开时线圈上的电压为：
−t
0.99 = 1− e0.002
由于 vc(t
=
0)
=
V0
且
dvc(t = dt
0)
=
0
（初始状态电路中无电流），从式（1.34）可得：
和 式中，如 则根为：
A1 + A2 = Vo
jω0 A1 − jω0 A2 = 0
A1 = A2 = Vo 2
vc(t) = Vo (e jω0t + e− jω0t ) 2
= Vo cos(ω0t)
α 2 − ω0 2 这一项决定着响应的行为，总共有三种类型的响应：
1，α = ω0 则 s1 和 s2 相等且都为实数：无振荡。
临界阻尼系统
2，α > ω0 则 s1 和 s2 都为实数但不相等：无振荡。
过阻尼系统
vc = Vs + A1e s1t + A2e s2t
3，α < ω0 则 s1 和 s2 为复数： s1 = −α + j ω02 − α 2 ， s2 = −α − j ω02 − α 2 ，系统
图 14 是电容和电感中储存的能量随时间变化的函数曲线。注意在这个无损耗系统中能 量在电容和电感之间互相交换。
（a）电容上的电压
（b）电感上的电压
（c）电路中的电流 图 13
（a）电容中储存的能量
（b）电感中的能量 图 14
dt
dt 2
将式（1.17）、（1.18）代入方程（1.15）中，我们得到
d 2vc + R dvc + 1 vc = 1 Vs dt2 L dt LC LC
方程（1.19）的解法为同类项线性合并，通解为 vc = vcp + vch
特解为
vcp = Vs
(1.15) (1.16) (1.17) (1.18) (1.19)
s1 = + jω0 s2 = − jω0
由欧拉公式上式可写作
vc(t) = A1e jω0t + A2e− jω0t
vc(t) = B1cos(ω0t) + B2sin(ω0t)
常数 A1,A2,B1,B2 由系统初识条件可求得。
（1.30） （1.31）
（1.32） （1.33） （1.34） （1.35）
图 11
LC 电路
当 RÆ0 时 RLC 电路简化为图 12 所示的 LC 电路。
描述该电路响应的方程为：
图 12
d 2vc + 1 vc = 0 dt 2 LC
假设解的形式为 Ae st ，特征方程为：
s2 + ω02 = 0
式中 ω0 =
1 LC
于是两个根分别为：
而根是 A1e s1t 和 A2e s2t 的线性组合
图示所示的电路为 RLC 串联电路。我们分析这个电路来得到开关 S 闭合后的暂态特性。
图 10 根据网孔的 KVL 方程，得到系统响应方程。