实数知识点题型归纳
第六章实数
知识讲解+题型归纳
知识讲解
一、实数的组成
1、实数又可分为正实数，零，负实数
2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应
二、相反数、绝对值、倒数
1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为
3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1
a
. 0没有倒数。4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0）
特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四、实数的运算
有理数的加法法则：
a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
a
| |a
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：
a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．
b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正
c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0
4.有理数除法法则：
a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。
b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在a n中，a叫底数，n叫指数
a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0
b）a0=1（a不等于0）
6.有理数的运算顺序：
a）同级运算，先左后右
b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。五·实数大小比较的方法
1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则a 3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b；a/b<1则a B.两个数均为负数时，a/b>1则a C.一正一负时，正数>负数 4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相反 5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负） ●题型归纳 ●经典例题 类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π， ，，其中，无理数的个数有（） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中， 1.010010001…，3π，是无理数 故选C 举一反三： 【变式1】下列说法中正确的是（） A 、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1 D、 是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵=9，9的平方根是±3，∴A正确． ∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D 都不正确． 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A 表示的数是（） A、1 B、1.4C 、D 、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A 表示数为，故选C． 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴ 类型二．计算类型题 2．设，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________. 【答案】1）；.2）-3. 3），， 【变式2】求下列各式中的 （1）（2）（3） 【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合 3. 点A 在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______ 解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三： 【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）． A ．－1 B．1－C．2－D ．－2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示： 化简 【答案】： 类型四．实数绝对值的应用 4．化简下列各式： (1) |-1.4|(2) |π-3.142| (3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3) (5) |x2+6x+10| 分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。 解：(1) ∵=1.414…＜1.4 ∴|-1.4|=1.4- (2) ∵π=3.14159…＜3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π (3) ∵＜, ∴|-|=- (4) ∵x≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)| =|2x-3| = 说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对 这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。 (5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| ∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10 举一反三： 【变式1】化简： 【答案】 =+-= 类型五．实数非负性的应用 5．已知：=0，求实数a, b的值。 分析：已知等式左边分母 不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0， 由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b的值。 解：由题意得 由(2)得a2=49 ∴a=±7 由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。 ∴只取a=7 把a=7代入(1)得b=3a=21 ∴a=7, b=21为所求。 举一反三： 【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。 解：∵(x-6)2++|y+2z|=0 且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0, 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。 ∴解这个方程组得 ∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式2】已知那么a+b-c的值为___________ 【答案】初中阶段的三个非负数：， a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2 类型六．实数应用题 6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。 解：设新正方形边长为xcm， 根据题意得x2=112+13×8 ∴x2=225 ∴x=±15 ∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去， ∴只取x=15(cm) 答：新的正方形边长应取15cm。 举一反三： 【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠） （1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？ （2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长. 解析：（1）如图，中间小正方形的边长是： ，所以面积为= 大正方形的面积=， 一个长方形的面积=。 所以， 答：中间的小正方形的面积， 发现的规律是：（或 ） (2) 大正方形的边长：，小正方形的边长： ，即， 又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2 所以有， 化简得： 将代入，得： cm 答：中间小正方形的边长2.5 cm。 类型七．易错题 7．判断下列说法是否正确 （1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15. （3）当x=0或2时，（4）是分数 解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故 （2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根， 故的平方根是. （3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义， 发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0. （4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数. 类型八．引申提高 8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值. （2）把下列无限循环小数化成分数：①②③ （1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分． 解：由得 的整数部分a=5, 的小数部分， ∴ （2）解：(1) 设x=① 则② ②-①得 9x=6 ∴. (2) 设① 则② ②-①，得 99x=23 ∴. (3) 设① 则② ②-①，得 999x=107， ∴. （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）