高考文科数学练习题概率

专题限时集训(五) 概率

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )

A ．0.5

B ．0.6

C ．0.7

D ．0.8

C [法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x ，则x ＋80－60＝90，解得x ＝70， 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100

＝0.7. 故选C.

法二：用Venn 图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：

易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》

的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100

＝0.7.故选C.] 2．已知定义在区间[－3,3]上的函数f (x )＝2x ＋m 满足f (2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x ，则使得f (x )的值不小于4的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23

B [∵f (2)＝6，∴22＋m ＝6，解得m ＝2.由f (x )≥4，得2x

＋2≥4，即x ≥1，而x ∈[－3,3]， 故根据几何概型的概率计算公式，得f (x )的值不小于4的概率P ＝26＝13

.故选B.] 3．标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( )

A.12

B.15

C.35

D.25

A [5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n ＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种．故抽取的第1张卡

片上的数大于第2张卡片上的数的概率P ＝1020＝12，故选A.] 4．(2019·郑州模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0，y ≥0，

x －a ≤0的点(x ，

y )构成区域的面积大于1的概率是( )

A.18

B.14

C.12

D.34

C [作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0，y ≥0，

x －a ≤0表示的平面区域如图中阴影部分

所示，则阴影部分的面积S ＝12

×a ×2a ＝a 2＞1，∴1＜a ＜2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率为2－12－0＝12

，故选C.] 5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )

A.3π10

B.3π20

C ．1－3π10

D ．1－3π20

D [如图，直角三角形的斜边长为82＋152

＝17，设其内切圆的半径

为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴

豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12

×8×15＝1－3π20.] 6．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

0．98 [x ＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98. 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.]

7．已知实数x ，y 满足|x |≤3，|y |≤2，则任取其中的一对实数x ，y ，使得x 2＋y 2

≤4的概率为________．

π6 [如图，在平面直角坐标系xOy 中，满足|x |≤3，|y |≤2的点在矩形ABCD 内(包括边界)，使得x 2＋y 2≤4的点在图中圆O 内(包括边界)．由

题意知，S 矩形ABCD ＝4×6＝24，S 圆O ＝4π，故任取其中的一对实数x ，y ，

使得x 2＋y 2≤4的概率P ＝S 圆O

S 矩形ABCD ＝4π24＝π6

.] 8．从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．

12

[从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5，即△ABD ，△ACD ，△ACE ，△BCE ，△BDE ，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三

角形的概率P ＝510＝12

.] [能力提升练]

(建议用时：15分钟)

9．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：

停靠时间

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6 轮船数量 12 12 17 20 15 13 8 3

(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．

[解] (1)a ＝1100

×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.

(2)设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，

则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤240＜y ≤24.

若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待，则|y －x |＜4，

符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x ，y 轴)所示．

记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A ，

则P (A )＝24×24－2×12×20×2024×24＝1136

.