(完整word)高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线

一、知识结构

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0；

点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0

两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则

f1(x0,y0)=0

点P0(x0,y0)是C1，C2的交点?

f2(x0,y0) =0

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

2.圆

圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是

(x-a)2

+(y-b)2

=r 2

圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是

x 2

+y 2

=r 2

(2)一般方程

当D 2

+E 2

-4F ＞0时，一元二次方程

x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2

E ），半径是

2

4F

-E D 22+.配方，将方程

x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0化为

(x+2D )2+(y+2

E )2=44

F -E D 22+

当D 2

+E 2

-4F=0时，方程表示一个点

(-2D ,-2

E

); 当D 2

+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则

｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2

02

0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法

(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=

2

2

C Bb Aa B

A +++与半径r 的大小关系来判

定.

椭 圆 双曲线 抛物线

轨迹条件

{M ｜｜MF 1｜+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a} {M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. {M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形

标准方程

22a x +2

2

b y =1(a ＞b ＞0) 22a x -2

2

b y =1(a ＞0,b ＞0)

y 2=2px(p ＞0)

顶 点

A 1(-a,0),A 2(a,0);

B 1(0,-b),B 2(0,b)

A 1(0,-a),A 2(0,a)

O(0,0)

轴

对称轴x=0,y=0

长轴长：2a 短轴长：2b

对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=0

焦 点

F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(

2

P

，0) 焦点对称轴上

焦 距

｜F 1F 2｜=2c ，

c=b2-a2

｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2

准 线

x=±c

a 2

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±c

a 2

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-

2

p

准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

离心率 e=

a c

,0＜e ＜1 e=

a

c

,e ＞1 e=1

曲

线 性 质

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线

5.坐标变换

坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

x=x′+h x′=x-h

(1) 或(2)

y=y′+k y′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

方程焦点焦线对称轴

椭圆

2

2

h)

-

(x

a

+

2

2

k)

-

(y

b

=1 (±c+h,k)x=±

c

a2

+h

x=h

y=k 2

2

h)

-

(x

b

+

2

2

k)

-

(y

a

=1 (h,±c+k)y=±

c

a2

+k

x=h

y=k

双曲线

2

2

h)

-

(x

a

-

2

2

k)

-

(y

b

=1 (±c+h,k)=±

c

a2

+k

x=h

y=k 2

2

k)

-

(y

a

-

2

2

h)

-

(x

b

=1 (h,±c+h)y=±

c

a2

+k

x=h

y=k

抛物线(y-k)2=2p(x-h) (2

p

+h,k) x=-

2

p

+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2

p

+h,k) x=

2

p

+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2

p

+k) y=-

2

p

+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2

p

+k) y=

2

p

+k x=h

二、知识点、能力点提示

(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

三、考纲中对圆锥曲线的要求：

考试内容：

. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；

. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；

. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；

考试要求：

. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；

. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；

. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；

. (4)了解圆锥曲线的初步应用。

四．对考试大纲的理解

高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。

求圆锥曲线的方程

【复习要点】

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0).

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】

【例1】 双曲线2

2

24b y x -

=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点， |OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________.

解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ),则 |PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,

又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜3

17

, 又∵c 2=4+b 2＜

317

,∴b 2＜3

5,∴b 2=1. 【例2】 已知圆C 1的方程为()()3

20

1222=

-+-y x ，椭圆C 2的方程为 12

22

2=+b y a x ()a b >>0，C 2的离心率为

2

2

，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。

解：由

,2,2

2,222222c b c a a c e ====得设椭圆方程为

.122

22

2=+b y b x

设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A .2,42121=+=+∴y y x x

又

,12,

122

222

222

212

2

1=+

=+

b

y b

x b

y b

x

两式相减，得

.022

2

2

212

22

21=-+

-b y y b x x

,0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x

又.1.2.42

12

12121-=--=+=+x x y y y y x x 得

)..2(1--=-∴x y AB 的方程为

直线

即3+-=x y 将得代入

,1232

22

2=++-=b y b x x y

.021812322=-+-b x x

.07224.22>-=?∴b C AB 相交与椭圆直线Θ

由.3

204)(222122121=

-+=-=x x x x x x B A 得.3

203

72

2422=-?

b 解得 .82

=b 故所有椭圆方程.18

162

2=+y x

【例3】 过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2

2

的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =

2

1

x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.

解法一：由e =22

=a c ,得21222=-a b a ,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，

(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(2212

12121y y x x x x y y ++-=--

设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－

2y x , 又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=2

1

x 0,

于是－

2y x =－1,k AB =－1, 设l 的方程为y =－x +1.

右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),

???-='='???????++'-='=-''

b y x b x y b

x y 11 1

22

1解得则

由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=

8

9

,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2

29

1698y x + =1,l 的方程为y =－x +1.

解法二：由e =21

,22222=-=a

b a a

c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0, 则x 1+x 2=

2

2214k

k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－

2

212k

k +.

直线l ：y =21x 过AB 的中点(2,

22121y y x x ++),则2

2

22122121k k k k +?=+-, 解得k =0，或k =－1.

若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一.

解法3：设椭圆方程为

)1()0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x

直线l 不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过2

1

=中点矛盾。 故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为

整理得：

消代入y )1()2()3(02)(2222222222=-+-+b a k a x a k x b a k )()(2211y x B y x A ，，设，2

2222212b a k a k x x +=

+知：

代入上式得：

又k x x k y y 2)(2121-+=+ 21

221=+-x x k k ，212222222=+?-∴a k b a k k k ，2

122=--∴ka b k k ，22=e 又 122)

(2222

222

2-=+-=--

=-

=∴e a c a a b k ，x y l -=∴1的方程为直线，

222b a =此时，02243)3(22=-+-b x x 化为方程，0)13(8)1(241622>-=--=?b b

3

3

>

∴b ，)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆，2222b b a c =-=又， )0(，右焦点b F ∴，)(00y x l F ，的对称点关于直线设点，

则b y x b x y b x y -=-?????

???+-==-11212

100000

，， 得：

在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+，3

3

43>

=∴b ， 1692=

∴b ， 8

9

2=a 所以所求的椭圆方程为：116

9892

2=+y x

【例4】 如图，已知△P 1OP 2的面积为4

27

，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为

2

13

的双曲线方程. 解：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2

22

2b

y a

x -

=1(a ＞0,b ＞0)

由e 2=

2222

)213()(1=+=a b a

c ，得23

=a b . ∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =

23x 和y =－2

3

x 设点P 1(x 1,

23x 1),P 2(x 2,－2

3

x 2)(x 1＞0,x 2＞0), 则由点P 分21P P 所成的比λ=2

1PP P

P =2,

得P 点坐标为(

2

2,322

121x x x x -+), 又点P 在双曲线222

294a y a x -

=1上， 所以

2

2

212

2

219)2(9)2(a

x x a

x x --

+=1,

即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①

,4

271312

41321sin ||||2113

124

91232tan 1tan 2sin 2

13

4

9

||,21349||212121121212222212121121=

??=??=∴=+?

=

+==+==+

=?x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x 1x 2=

2

9

②

由①、②得a 2=4,b 2=9

故双曲线方程为9

42

2y x -

=1. 【例5】 过椭圆C ：

)0(12

22

2>>=+

b a b

x a

y 上一动点P 引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的两条切线

P A 、P B ，A 、B 为切点，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于M 、N 两点。(1) 已知P 点坐标为(x 0，y 0 )并且x 0y 0≠0，试求直线AB 方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且

16

25

||||2

22

2=

+

ON b OM a ，求椭圆C 的方程；(3) 椭圆C 上是否存在点P ，由P 向圆O 所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)

切线P A ：211b y y x x =+，P B ：222b y y x x =+ ∵P 点在切线P A 、P B 上，∴2020220101b y y x x b y y x x =+=+

∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x

(2)在直线AB 方程中，令y =0，则M(02x b ，0)；令x =0，则N(0，0

2

y b )

∴1625

)(||||2222

02202222

22==+=+b

a b x a y b a ON b OM a ①

∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25, b 2 =16

∴椭圆C 方程：)0(116

252

2≠=+xy x y （注：不剔除xy ≠0，可不扣分）

(3) 假设存在点P(x 0，y 0)满足P A ⊥P B ，连接O A 、O B 由|P A |=|P B |知，

四边形P A O B 为正方形，|OP|=2|O A | ∴220202b y x =+ ① 又∵P 点在椭圆C 上 ∴222

0220

2b a y b x a =+ ② 由①②知

x 2

2222

2

22222

0,

)2(b a b a y b a b a b -=

--=

∵a >b >0 ∴a 2 －b 2>0

(1)当a 2－2b 2>0，即a >2b 时，椭圆C 上存在点，由P 点向圆所引两切线互相垂直；

(2)当a 2－2b 2<0，即b

【例6】 已知椭圆C 的焦点是F 1（－3，0）、F 2（3，0），点F 1到相应的准线的距离为

3

3

，过F 2点且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，使得|F 2B|=3|F 2A|. （1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程.

解：（1）依题意，椭圆中心为O （0，0），3=c

点F 1到相应准线的距离为133

3,322

=?=∴=b c b ，

a 2=

b 2+

c 2=1+3=4

∴所求椭圆方程为14

22

=+y x

（2）设椭圆的右准线l '与l 交于点P ，作AM ⊥l '，AN ⊥l '，垂足

分别为M 、N. 由椭圆第二定义， 得|||||

|||22AM e AF e AM AF =?= 同理|BF 2|=e|BN|

由Rt △PAM ～Rt △PBN ，得||2||2||2

1||2AM e A F AB PA ===

…9分

l e

PA AM PAM ?=

?

===

∠∴3

3

2

321

21

||||cos 的斜率2tan =∠=PAM k . ∴直线l 的方程062)3(2=---=y x x y 即

【例7】 已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ?=?

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.

（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.

解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入

x

).

2,5(),5(1

2,0)2()5()2(),14(44

4424:).24,14(4),1(1

2:).24

,14(,242,048

4,4)1(2).2,1(,14)2,()2(222222221222----

=+=+--++---+=++--+=--=--+∴-=

==-+-=-=-∴==过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将x k k y y x k y k k x k

k k k k y DE k k E x y x k

y AE k k

D k y y k

y k y x y x k y AD A m x y m A

),

1,(21

2

12,2,0)2(24),(),,(,,

14)2,()3(212211222211112≠=--?--∴=?=+-+?????=+=+===x x x y x y k k b x kb x k x

y b kx y y x E y x D b kx y DE m x y m A AE AD Θ得由的方程为设直线得代入将 )

2,1(,,),2,1(,2)1(22).2,1(,2)1(22).

2().

2(,)2(,)

2(2,02)2())(22()2(,222

2212

212212122211--∴+-=-+=+=-=---+=-+=+=-=-±=∴-±=∴-==

--=

+=--+++-+-∴+=+=定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且x k k kx y b kx y k b x k k kx y b kx y k b k b k b k b k b x x k kb x x b x x k kb x x k b

kx y b kx y

【例8】 已知曲线3

3

2)0,0(12

22

2=

>>=-e b a b y a x 的离心率，直线l 过A （a ，0）、 B （0，－b ）两点，原点O 到l 的距离是

.2

3 （Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=?，求直线m 的方程.

解：（Ⅰ）依题意，,0,1=--=-+ab ay bx b y a x l 即方程 由原点O 到l 的距离

为2

3，得

2

32

2

=

=

+c ab b

a a

b 又332==a

c e 3,1==∴a b

故所求双曲线方程为13

22

=-y x

（Ⅱ）显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y =k x －1，则点M 、N 坐标（11,y x ）、

（22,y x ）是方程组 ?????=--=13

1

2

2y x kx y 的解

消去y ，得066)31(22=-+-kx x k ① 依设，,0312

≠-k 由根与系数关系，知1

36,13622

1221-=-=

+k x x k k x x

)1)(1(),(),(212121212211--+=+=?=?kx kx x x y y x x y x y x ON OM

=1)()1(21212

++-+x x k x x k =11

3613)1(622

22+---+k k k k =

11

362

+-k

23-=?OM Θ ∴

11

362+-k =－23，k=±

2

1 当k=±

2

1

时，方程①有两个不等的实数根 故直线l 方程为12

1,121--=-=x y x y 或

【例9】 已知动点P 与双曲线13

22

2=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，

且

21cos PF F ∠的最小值为9

1-

． （1）求动点P 的轨迹方程；

（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围． 解：（1）由已知可得： 5=c ，9

1

2)2(2

2

22-

=-+a c a a ∴ 4,

9

2222=-==c a b a

∴ 所求的椭圆方程为 14

92

2=+y x .

(2)方法一：

由题知点D 、M 、N 共线，设为直线m ，当直线m 的斜率存在时，设为k ，则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ① 由判别式 045)94(4)54(22≥?+?-=?k k ，得9

5

2≥k . 再设M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，则一方面有

))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x y x λλλλ，得

??

?-=-=)3(321

2

1y y x x λλ 另一方面有 2

219454k k x x +-

=+，2

219445k x x +=

②

将21x x λ=代入②式并消去 x 2可得

94)1(53242

2

+=+k λλ，由前面知， 5

36

402

≤

81

)1(532492

≤

+<

λλ，解得 551<<λ.

又当直线m 的斜率不存在时，不难验证：55

1

==λλ或, 所以

55

1

≤≤λ为所求。 方法二:同上得 ??

?-=-=)

3(3212

1y y x x λλ

设点M (3cos α，2sin α)，N (3cos β,2sin β)

则有???-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβλα

由上式消去α并整理得

)

(1251813sin 22λλλλβ-+-=

, 由于1sin 1≤≤-β

∴ 1)

(1251813122≤-+-≤

-λλλλ， 解得

55

1

≤≤λ为所求. 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5，最小值为1. 进而推得λ的取值范围为

55

1

≤≤λ。 【求圆锥曲线的方程练习】

一、选择题

1．已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则m 等于( )

A.3

B.－3

C.1

D.－1

2．中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为

2

1

，则椭圆方程为( )

1

25

75D. 17525C.1252752B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x

y x y x y x

二、填空题

3．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

4．已知圆过点P (4，－2)、Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_________.

三、解答题

5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=

3

10

4，试求椭圆的方程.

6．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

7．已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)2=

3

20

,椭圆C 2的方程为2

22

2b y a x +=1(a ＞b ＞0)，C 2的离心率为

2

2

，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.

参考答案

一、1.解析：将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0, 得(3－2y )2+y 2+(3－2y )+m =0.

整理得5y 2－20y +12+m =0,设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2) 则y 1y 2=

5

12m

+,y 1+y 2=4. 又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上，

∴x 1x 2=(3－2y 1)(3－2y 2)=4y 1y 2－6(y 1+y 2)+9 故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6(y 1+y 2)+9=m －3=0，故m =3. 答案：A

2.解析：由题意，可设椭圆方程为：2

22

2b

x a

y +

=1,且a 2=50+b 2,

即方程为

2

22

250b x b y ++=1.

将直线3x －y －2=0代入，整理成关于x 的二次方程. 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75. 答案：C

二、3.解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),2a =|PF 1|+|PF 2|.

欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P .使|PF 1|+|PF 2|最小，利用对称性可解. 答案：4

52

2y x +

=1 4.解析：设所求圆的方程为(x －a )2+(y －b )2=r 2

则有???

?

???=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(r a r b a r b a ?????===?????===?2745130122r b a r b a 或

由此可写所求圆的方程.

答案：x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=0

三、5.解：|MF |ma x =a +c ,|MF |min =a －c ,则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2, ∴b 2=4,设椭圆方程为

142

22

=+y a x ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m

② 将②代入①得：(4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0

③

设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2),M 1M 2的中点为(x 0,y 0),

则x 0=21 (x 1+x 2)=224a m a +,y 0=－x 0+m =

2

44a m

+. 代入y =x ,得

2

2

2444a

m a

m a +=

+,

由于a 2

＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2

244a a +,

又|M 1M 2|=3

10

44)(221221=

-+x x x x , 代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2

=5,故所求椭圆方程为：4

52

2y x +

=1. 6.解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4),解得p =12.5, 于是抛物线方程为x 2=－25y .

由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0.16,从而|EE ′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.解：由e =22

,可设椭圆方程为22222b

y b x +=1,

又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 又

2

222

222

212

212,

12b y b x b y b x +=+=1,两式相减，得

2

2

2212

2

2212b y y b x x -+

-=0,

即(x 1+x 2)(x 1－x 2)+2(y 1+y 2)(y 1－y 2)=0. 化简得

2

12

1x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3,

代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0.

有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3

20

4)(221221=

-+x x x x , 得3

20

9722422=-?b ，解得b 2=8. 故所求椭圆方程为8

162

2y x +

=1.

直线与圆锥曲线

【复习要点】

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.

1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 【例题】

【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=

2

10

，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2) 由????

?=++=1

1

2

2ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0, 由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴

n

m n

n m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①

又2

)2

10()(4=+-+n m mn n m 2

,

将m +n =2,代入得m ·n =4

3

②

由①、②式得m =

21,n =2

3或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +2

3y 2

=1或23x 2+21y 2=1.

【例2】 如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为

4

π

的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.

解：由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组????

?=+=x

y m

x y 42

,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0……………① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)

设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =

2

5m +.

∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(

3

5522m m m ++++-)3

=128.

∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为82.

【例3】 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)。(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在.

解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1, 与曲线C 有一个交点.

当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1), 代入C 的方程，并整理得

(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0………………(*)

(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时

Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =2

3

时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜

23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜2

3

时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点.

③当Δ＜0，即k ＞

2

3

时，方程(*)无解，l 与C 无交点.

综上知：当k =±2,或k =2

3

，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜2

3

,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞

2

3

时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)

又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1

即k AB =2

12

1x x y y --=2

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.

【例4】 如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；

(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ， 求m 的取值范围.

解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,

又c =4,所以b =22c a -=3.

故椭圆方程为9

2522y x +

=1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=5

9.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根

据椭圆定义，有|F 2A |=

54(425－x 1),|F 2C |=54(4

25

－x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得

54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×5

9

,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=

2

2

1x x +=4. (3)解法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.

得??????=+?=+25

92592592592

2222121y x y x

①

②