1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定【解析版】

1.5.2全称量词命题与存在量词命题否定
1.命题“每一个四边形的四个顶点共圆'啲否定是()
A.存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
B.存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C.所有四边形的四个顶点共圆
D.所有四边形的四个顶点都不共圆
解析：选A•根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆''的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.
2•命题“存在实数X,使x>l''的否定是()
A.对任意实数X,都有x≤l
B.不存在实数X,使x≤l
C.对任意实数X,都有Ql
D.存在实数X,使XSl
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即“存在实数兀，使X>l''的否定是“对任意实数X,都有X≤r.
3.存在量词命题Fxo冋/, p(xo)”的否定是( )
A.∀x∈Jl∕, ~γ(x)
B. ∀x^Λf, P(X)
C. VX毎M, ~p(x)
D. ∀x∈Af, P(X)
解析：由存在量词命题的否定的定义可得C正确.
4.下列四个命题中的克命题为()
A.3x∈Z,l<4x<3
B.mx∈Z,5x+l=0
C. ∀.τ∈R, x 2-l=O
D ・ ∀x ∈R, .Y 2+X +2>0
这样的整数X 不存在，故选项A 为假命题；5x+l=0, x=-⅛Z,故 选项B 为假命题；x 2-l=0, x=±l,故选项C 为假命题；对任意实数X,都有X 2+X +2 = 5•命题“对任意的x ∈R,都有√-2x÷l>0,5的否定是（
） A. 不存在 xo ∈R,使得 A -O -2ΛO ÷1>O
B. 存在 xo ∈R,使得 XO-2AO ÷1<O
C. 存在 xoWR,使得 XO-2ΛO ÷1<O
D. 对任意的x ∈R,都有√-2x+l<0
解析：命题''对任意的x ∈R,都有X 2-2X +1>0"⅛否定是“存在xo ∈R,使得A -0-2A 0+ KO n .故选C.
6. 已知命题卩：mxo 丘R ）2xo+ISO,则命题P 的否定是（）
A. 3xo≡R,2xo÷l>0
B. ∀x ∈R,2x+l>0
C. 3ΛO ∈R,2,Y O +1>O
D. ∀x ∈R,2x+l>0
解析：命题 p ： 3xo ∈R,2xo+l< O 的否定是“ V.x ∈R,2x+l>0,∖ 故选 B
7. 命题“Vx ∈R, M ∈N*,使得必宀的否定形式是（
）
A. ∀.γ∈R, 3/2∈N*,使得 HVX2
B. ∀x ∈R, ∀w ∈N*,使得"d
C. 3x ∈R, 3n ∈N ∖ 使得"Vχ2
D. 3x ∈R, ∀77∈N ∖ 使得 n<x 2 解
析：］＜4K3, 3<-4 + X D 选 故
解析：将'P''改写为“m”，幻”改写为“xr,再否定结论可得，命题的否定为‘仝∈R, VH∈N∖使得E 亠.
8.命题ςς∀.x∈ {x∣l<x<2} , x2—3x+2≤Γ的否定为（）
A.∀x∈{x∣l≤x<2}, X2-3X+2>0
B.Vx^{x∣l<x<2} , x2-3x+2>O
C.3xo∈ {x∣l≤x≤2} , xδ-3xo÷2>O
D.3xo^{x∣l≤x≤2}, xo—3xo÷2>O
解析：由全称量词命题的否定为存在董词命题知，命题U∀X∈{X∣1<A-<2},X2-3.Y+2<0"的否定为
u3xo∈ {x l<x<2}, XO-3xo+2>O,∖故选C・
9.已知命题p: 3xo>O, xo+a—1 = 0,若P为假命题，则实数α的取值范围是（）
A. {α∣αVl}
B. {rt∣σ<l}
C. {a∖a>l}
D. {a∖a>l}
解析：冈为P为假命题，所以綁P为真命题，所以∀x>O, X÷Λ-1≠O,即x≠l-a,所以1一∏<0,即心1,故选D.
10.命题u∀x∈R,3no∈N x,ft得no≥2x+Γ,的否定形式是（）
A.V X∈R,3II0∈N:使得ιι0<2x+l
B.Vx ∈R,Vιιo ≡N*,使得no<2x+l
C.3XO≡R3∏≡N∖使得n<2xo+l
D.3xo∈ R.Vn∈N s*,使得n<2xo÷l
解析：由题意可知,全称量词命题t Vx∈R,3ιio∈N∖f<得ιio≥2x+l"的否定形式为存在量词命题
u3x0∈R,∀π∈N∖使得n<2xo+Γ∖故选D.
11.命题：“对任意k>0,方程x1 2 3 4 5+x-k=0 有实根”的否定
是_____________________________________ •
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题,故原命题的否定是“存在ko>O,使得方程Q+x・
k o=O无实根”.
12.命题“至少有一个正实数X满足方程工+ 2(°— l)x + 2α + 6 = 0”的否定是
(2)命题的否定：∀.Y∈R,有4x-3<x.W为当x=2时，4χ2-3 = 5>2,所以PX∈R,有4x -3Sx''是
解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足''改为“都不满足”得命题的否定••••所有正实数X都不满足方程工+ 2(α-l)x+2α+ 6 = 0
13.命题“对任意实数X,都有工一2x+2>0”的否定为_______________________ •
⅛⅛:存在实数X,满足工一2x+2≤0.
14.设命题p: Vx∈R, A2÷ΛA÷2<0,著为:¢,则实数α的取值范围是 __________________ •
解析：闵为~∏p: 3xo∈R, xo+ατo+2>0为宜，且函数y=x2 + αx+2的图象是开口向上的抛物线，所以6T∈R
15 .已知命题q : “三角形有且只有一个外接圆”，则-I q
为____________________________________________________ ，
答案：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
16.写出下列命题的否定，并判断取假.
2 正方形都是菱形；
3 3x∈R,使4x-3>x;
4 Vx∈R,有x+l=2x;
5 集合/是集合/AB或集合AUB的子集.
解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命題•
假命题.
(3)命题的否定：3x∈R,使x+l≠2x,闵为当x=2时，x+1 =2+1 =3W2χ2,所以u3x∈ R,使
x+lM2x”是真命题.
(4)命题的否定：集合/既不是集合/ClE的子集也不是集合AiJB的子集，是假命題.
17.命题P是“对某些实数兀，有X-QO或x—肚0”，其中α, b是常数.
(1)写出命题P的否定•
(2)当α, b满足什么条件时，命題P的否定为真？
解：(1)命题P的否定：对任意实数X,有X-Λ<0且x-b>0.
(2)要使命题P的否定为克，
%—«<0
则需要使L C的解篥不为空集.
x-b>0
α, b应满足的条件是b<a.
18.已知命题P∀x∈R,x2+(a-1 )x+1 >0成立,命题qι3xo∈R,aXQ-2axo-3>O不成立,著P假q真,求实数a的取值范围.
解：因为命题PVx∈R,x2+(a-l)x+l>O是假命题，
所以命题pι3xo∈R^÷(a-l)x0+KO是宜命題，
则Δ=(a-l)2-4>0,Bp(a-l)2>4,
故a-l<-2 或a-l>2,即a<-l 或a>3.
W为命题q：mxoER.ax：・2axo・3>O不成立,所以命题q:VXeR,ax'∙2ax∙3≤0成立，
当a=0时,∙3<0成立;
当a<0时,必须A=(∙2a)2+12aW0,即a2+3a<O,解得-3<a<O,故・3纟三0・综上所述,-3<a<-l.
所以实数a的取值范围是卜3厂1).。