数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)
数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

数列通项与求和

一.求数列通项公式

1.定义法(①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。) 例.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,255a S

=.求数列{}n a 的通项公式. 答案:35

n a n = 2.公式法:已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n

a ,用作差法:11,(1),(2)n n

n a n a S S n -=?=?-≥? 例.设正整数数列{}n a 前n 项和为n S ,满足21(1)4

n n S a =+,求n a 答案:21n a n =-

3.作商法:已知12()n a a

a f n =求n a ,用作商法:(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 如数列}{n a 中,,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ,则=+53a a ; 答案:6116

4.累加法:若1()n n a a f n +-=求n a :11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

例.已知数列,且a 1=2,a n +1=a n +n ,求a n .

答案:242

n n n a -+= 5.累乘法:已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:121121

n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥ 例.已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 1

1+=+,求n a 。 答案:23n a n

= 6.已知递推关系求n a ,用构造法(构造等差.等比数列)。

(1)形如()n f pa a n n +=+1只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异.其中()n f 有多种不同形式 ①()n f 为常数,即递推公式为q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。

解法:转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中p

q t -=1,再利用换元法转化为等比数列求解。 例. 已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .

答案:123n n a +=-

②()n f 为一次多项式,即递推公式为s rn pa a n n ++=+1

例.设数列{}n a :)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ,求n a .

答案:1631n n a n -=?--

③ )(n f 为n 的二次式,则可设C Bn An a b n n +++=2;

(2)递推公式为n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。(或1n n n a pa rq +=+,

其中p ,q , r 均为常数)

解法:该类型复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以1+n q ,得:q q a q p q a n n n n 111+?=++ 引入辅助数列{}n b (其中n n n q

a b =),得:q b q p b n n 11+=+再应用类型(1)的方法解决。 例.已知数列{}n a 中,651=a ,11)2

1(31+++=n n n a a ,求n a 。 答案:113()2()23

n n n a =?-?

(3)递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法:先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ,t 满足??

?-==+q st p t s ,再应用前面类型(2)的方法求解。

例. 已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3

13212+=++,求n a 。 答案:1731()443

n n a -=-- 7. 形如11n n n a a ka b --=

+或11n n n n a ba ka a ---=的递推数列都可以用倒数法求通项。 例.1,1

3111=+?=--a a a a n n n 答案:132n a n =

- 8.利用平方法、开平方法构造等差数列

例1.数列{}n a

的各项均为正数,且满足11n n a a +=+,12a =,求n a 。

答案:2(1)n a n =

例2

.已知()f x x =<,求:

(1)1()f x -;(2)设111

11,()()n n a f a n N a -++==-∈,求n a 。 答案:(1

)1()0)f x x -=>(2

)n a = 9.r n n a p a ?=+1型

该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。 两边取对数得

)lg(lg 1r n n a p a ?=+

n n a r p a lg lg lg 1+=+

设n n a b lg =∴原等式变为p rb b n n lg 1+=+即变为基本型。

例.已知3

,2211n n a a a ==+,求其通项公式。 答案:1

22

3()3n n a -=? 练习:

1.已知11a =且1122n n n a a ++=+,求n a 答案:1()22

n n a n =-

2.已知13a =且132n n n a a +=+,求n a 答案:1532n n n a -=?-

3.已知数列{}n a 中,3

11=a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。

解:⑴当n =1时,有:S 1=a 1=2a 1+(-1)? a 1=1;

当n =2时,有:S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2?a 2=0;

当n =3时,有:S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3?a 3=2;

综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2;

⑵由已知得:1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----

化简得:1122(1)n n n a a --=+- 上式可化为:1122(1)2[(1)]33

n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3

a +-为首项, 公比为2的等比数列. 故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333

n n n n n a --=--=-- 数列{n a }的通项公式为:22[2(1)]3n n n a -=

--. 4.设数列{}n a 满足211233333

n n n a a a a -++++=…,n ∈*N .求数列{}n a 的通项; 解:由1n 2a a n 1n ++=+得1n 2a a n 1n +=-+则

112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---

1)1n (2

n )1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21

)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-?=+-++++-+-=++?++?+++-++-=

所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =

5. 已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点,其导函数为'

()62f x x =-,数列{}n a 的前n 项和为n S ,

点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上.求数列{}n a 的通项公式;

解:因为)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=- ①

所以n 1n 3211n na a )1n (a 3a 2a a +-++++=-+ ②

所以②式-①式得n n 1n na a a =-+

则)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+ 则)2n (1n a a n

1n ≥+=+ 所以22

32n 1n 1n n n a a a a a a a a ????=--- 22a 2

!n a ]34)1n (n [?=????-= ③ 由)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=- ,取n=2得212a 2a a +=,则12a a =,又知1a 1=,则1a 2=,代入③得2

!n n 5431a n =?????= 6. 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+,2a 1=,求数列}a {n 的通项公式。

已知n n n a a a 3,311==+,求通项a n .

答案:1(31)2n n a n -=-?

7. 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+,,求数列}a {n 的通项公式。

答案:31n n a n =+-

8.已知113

a =-且113n n n S S a ++?=,求n a 答案:1(33)

n a n n =-

9.已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+?+=+,,求数列}a {n 的通项公式。 答案:13

1(2)322

n n a n -=+?- 10.已知数列}a {n 满足413n n a a +=,7a 1=,求数列}a {n 的通项公式。 答案:11431

3(73)

3n n a -?=

11.已知数列{a n }的首项a 1=35

,a n+1=n n 32+1a a ,n=1,2,…,求{a n }的通项公式; 答案:332

n

n n a =+ 12.设数列{}n a 满足10a =且

11111n n n a a +-=--,求n a 答案:2212

n a n n =--+ 13.已知等比数列{}n b ,11b =,等差数列{}n a (0d ≠)中,2514,,a a a 为{}n b 中连续的三项,求n

b 答案:1

3n n b -=

14.已知各项为正数的数列{}n a 满足2223121(4)3

n a a a n n ++???+=-,求n a 答案:21n a n =-

15.已知11a =,且113n n n a S S ++=-,求n a

答案:21,1

2,2n n n a n -=?=?≥?

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 (1)若已知数列的第1项(或前项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. (2)数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系,可以用一个公式()n a f n =来表示,那么n a 就是数列 的通项公式. 注:①并非所有的数列都有通项公式; ②有的数列可能有不同形式的通项公式; ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式; ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等,通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法:形如1()n n a a f n +=+的解析式,可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法:形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式, 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列:通过变换递推公式,将非等差(等比)数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系,求其通项公式,可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?,求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等,通过观察分析数列各项的变化规律,求其通项.使用观察法时要注意:①观察数列各项符号的变化,考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式: (1)325374 ,,,,,,;751381911 - --L

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法:等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法:由数列前几项猜测出数列的通项公式,再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。解法(待定系数法):把原递 推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中p q t -=1,转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ) 。 (或1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 解法:先在原递推公式两边同除以1 +n q ,得:q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b (其中n n n q a b =),得:q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法:1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 (1)等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列,数列{}n b 是等差数列,则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 (1)1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n (2))121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为 几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法 类型一:公式法1(或定义法) 例1. 已知数列{}n a 满足11a =, 12n n a a +-=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =,13n n a a += *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足12a =, 110n n a a +-+=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-, 13n n a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =,2 1 2=a , 11112n n n a a a -++=(2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =,13n n a a +=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 类型二:(累加法))(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈, 11a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ,n a a n n 21+=+, * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =,11 (1) n n a a n n -=+-, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+, * ()n N ∈,13a =,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中,12a =,11 ln(1)n n a a n +=++, 求数列{}n a 的通项公式。 类型三:(叠乘法)n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解 例:在数列{}n a 中,已知11a =,1(1)n n na n a -=+, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 1 1+=+,* ()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 类型四:递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法:这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =且 12n n S a +=(2)n ≥.求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,42n n S a =+, 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S =+, 求数列{}n a 的通项公式。 类型五:待定系数法 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数, )0)1((≠-p pq ) 解法:构造新数列{}n b ; p a a n n =+++λ λ 1解出λ,可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例:已知数列{}n a 中,11=a ,121+=+n n a a ,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已知数列{}n a 满足13a =,121n n a a +=- *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中,11=a ,6431+=+n n a a ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且 232n n S a n =-*()n N ∈.求数列{}n a 的通项公式。 类型六:交叉项问题 解法:一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例:已知数列{}n a 满足11a =, 122 n n n a a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足11a =, 1(1)n n na n a +=++(1)n n +, *()n N ∈,求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b (0n b ≠*n N ∈),满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=,令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七:(公式法2) (n n n p pa a ?+=+λ1)p>0; 解法:将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11,即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列; 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ,11=a ,求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+,11=a ,求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一:公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ,求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中,12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二:分组求和法 例. 求数列的前n 项和: 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ,… 变式练习 1.已知数列}{n a 中,n n n a 32+=,求n S . 2.已知数列}{n a 中,n n n a 21 )12(++=,求n S . 类型三:倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(,求)3()2()1(f f f ++ 类型四:错位相减法: 例.数列}{n a 中,12)12(-?-n n n a ,求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =,}{n b 为等比数列, 且.)(,112211b a a b b a =-= (1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;

数列求通项公式及求和9种方法

【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 亠、S n 是数列{a n }的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况 [例 U . ( 1)已知正数数列{a n }的前n 项的和为S n , 且对 任意的正整数n 满足2\金 如1 ,求数列{a n }的 通项公式。 (2)数列{a n }中,印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『, 求数列 {a n } 的通项公式 【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n )

型一:a n a n 1 f (n),用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二:|电f(n),用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2,亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2),检验n 1的情a1 况 【小结】一般情况下,“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2,a n a n1 ■n^[(n 2),求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n,且a1 n 2 3 求a n .

数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法 类型一:公式法1(或定义法) 例1. 已知数列{}n a 满足11a =,12n n a a +-=* ()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =,1 3n n a a += *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足12a =,110n n a a +-+=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-,13n n a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =,2 1 2=a , 11112n n n a a a -++=(2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =,13n n a a +=* ()n N ∈,求数 列{}n a 的通项公式。 类型二:(累加法))(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈, 11a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ,n a a n n 21+=+,* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =,11 (1) n n a a n n -=+-, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+, * ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,求数列{}n a 的通项公式。 类型三:(叠乘法)n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解 例:在数列{}n a 中,已知11a =,1(1)n n na n a -=+, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 1 1+=+,*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ,n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 类型四:递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法:这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =且 12n n S a +=(2)n ≥.求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,42n n S a =+, 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S =+, 求数列{}n a 的通项公式。 类型五:待定系数法 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq ) 解法:构造新数列{}n b ; p a a n n =+++λ λ 1解出λ,可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例:已知数列{}n a 中,11=a ,121+=+n n a a ,求数列{} n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已知数列{}n a 满足13a =,121n n a a +=- *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中,11=a ,6431+=+n n a a ,求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且 232n n S a n =-* ()n N ∈.求数列{}n a 的通项公式。 类型六:交叉项问题 解法:一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例:已知数列{}n a 满足11a =,122 n n n a a a += +*()n N ∈, 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =, 1(1)n n na n a +=++(1)n n +, * ()n N ∈,求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b (0n b ≠* n N ∈),满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=,令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七:(公式法2) (n n n p pa a ?+=+λ1)p>0; 解法:将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11,即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列; 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ,11=a ,求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+,11=a ,求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一:公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ,求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中,12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二:分组求和法 例. 求数列的前n 项和: 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ,… 变式练习 1.已知数列}{n a 中,n n n a 32+=,求n S . 2.已知数列}{n a 中,n n n a 2 1 )12(+ +=,求n S . 类型三:倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(,求)3()2()1(f f f ++ 类型四:错位相减法: 例.数列}{n a 中,12)12(-?-n n n a ,求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =,}{n b 为等比数列, 且.)(,112211b a a b b a =-= (1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式; (2)设n n n b a c = ,求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五:裂项相消法 例.已知数列}{n a 中,) 2(1 += n n a n ,求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中,1 1211++???++++=n n n n a n , 又1 2 +?=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a (1)若12n n a a +=+,则n a =__________; (2)若12n n a a +=,则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足,求数列的通项公式

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝}的前n项为S n,且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列{a n}的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列{a n}的前n项和记为S n,已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列{§L}是等比数列; n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列{a n}的前n项为S n,S n = —@n -1)(门,N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证:数列{a n}是等比数列.

1 1 已知数列{a n }满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 {an } 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?}中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列{a n }满足:a n 色^ , a , =1,求数列{a n }的通项公式 3色」+1 { } 2 十2十2+…十2 等比数列 {a n } 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和:5, 55, 555, 5555,…,9 练习4 练习

练习10 求和: + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和: 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 {a n } 是等差数列, {b n } 是各项都为正数的等比数列,且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 {a n } , { b n } 的通项公式;(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21

数列求通项公式及求和9种方法

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数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a 的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1-1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈,求数列{}n a的通项公式. (二).累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥,12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??,检验1n =的情况 【小结】一般情况下,“累加法”(“累乘法”)里只有1n -个等式相加(相乘). 【例2】. (1) 已知2 11=a ,)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ,求 n a . (2)已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+,且32 1=a ,求n a .

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1- 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈,求数列{}n a的通 项公式.

(二).累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比 数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥, 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??

数列通项公式与求和的常见解法

数列通项公式的十种求法 {a n }的通项公式。 二、累加法 例2已知数列{a n }满足a n 1 a n 2n 1, 3 (n 1)(n 2 n 、公式法 例1已知数列{a n }满足a n 1 2a n 3 2n , a i 2,求数列{a n }的通项公式。 解:a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1,得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2,人」2门1歹 2, 得鱼 2n 以岂 2 1为首项,以-为公差的等差数列,由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列{》}是 1(n 丐, 3 1 所以数列{a n }的通项公式为a n ( n -)2n 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3,进而求出数列 -,说明数列 2 解:由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列{a n }的通项公式 为 a n 评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1,进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1,即得数列{a n }的通项公 式。 求数列{a n }的通项公式。 1) 1

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法:等差数列,等比数列。 例1、(1)若{}n a 是等差数列,公差0d ≠, 236,,a a a 成等比,11a =,则n a =_________。 (2)若{}n a 是等比数列,243,,a a a 成等差, 13a =,则n a =_________。 二、已知n S 求n a :11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、(1)已知2 1n S n n =++,求n a 。 (2)已知101n n S =-,求n a 。 类型2、(1)已知32n n S a =-,求n a ; (2)已知3 32 n n S a =-,求n a ; (3)已知22n n S a +=,求n a 。 类型3、(1)2 24n n n a a S +=,0n a >,求n a ; (2)2 1056n n n S a a =++,0n a >,求n a ; (3)2111 424 n n n S a a = ++,0n a >,求n a 。 类型4、(1)11a =,12n n a S +=,求n a ; (2)11a =,12n n S a +=,求n a ; (3)13a =,11n n S a +=+,求n a 。

类型5、(1)122n n a a a ++???+=,则n a =_____ (2)123n a a a a n ?????=,则n a =_____ (3)12323n a a a na n +++???+=,则n a =_____ (4) 3 12123n a a a a n n +++???+=,则n a =_____ (5)231233333n n a a a a n +++???+=,n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式,使用累加法。 例1、(1)数列{}n a 中满足12a =,1n n a a n +=+,求n a 的通项公式。 (2)已知数列{}n a 中满足13a =, 12n n n a a +=+,求n a 的通项公式。 (3)求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式,使用累乘法。 例1、(1)数列{}n a 中满足15a =,12n n n a a +=?, 求n a 的通项公式。 (2)数列{}n a 中满足14a =,11 n n n a a n +=?+,求n a 的通项公式。 (3)112a = ,111 n n n a a n --=+(2n ≥),求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、(1)14a = 2=,求n a ; (2)14a =,22 12n n a a +-=,求n a ; (3)14a =, 144 2n n a a +-=,求n a ; (4)12a =,112(1)n n a a +-=-,求n a ; (5)11a =,1(1)3n n n a na ++=,求n a ; (6)11a =,121n n a a n n +-=+,求n a 。

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥,等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且*1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项 公式? 12n n a ?? = ??? . 反思:利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系:11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件,建立递推关系,是本题求解的关键. 2.累加法:利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法(()f n 可求前n 项和). 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.

4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ,n n a a n n ++ =+211 ,求n a 1131122n a n n =+-=- 解: 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ,n n a n n a 11+= +,求n a 。23n a n = 解: 变式:(全国I,)已知数列{a n },满足a 1=1,1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解

数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧 关键词:数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式: 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1+x 2+x 4+x 6+…x 2n+4(x≠0) 解: ∵x≠0 ∴该数列是首项为1,公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2=1 即x =±1时 和为n+3 评注: (1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x 是否为0进行讨论. (2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n 项. 对应高考考题:设数列1,(1+2),…,(1+2+1 2 2 2-?+n ),……的前顶和为 n s ,则 n s 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方

求数列通项公式累乘和累加法

全国名校高中数学优质学案、专题汇编(附详解) 1 专题:求数列的通项公式——累加法和累乘法 学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法:累加法和累乘法; 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法,明确不同的方法适用不同的前提、形式,使学生形成解决数列通项公式的通法; 3. 感受知识的产生过程,通过方法的归纳,形成事物及知识间联系与区别的哲学观点,体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究:回顾等差、等比数列的通项公式推导过程,完成下列任务。 例:已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。 变题1:把①式改为;11+=+n n a a 变题2:把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1:通过求解上述几个题,你得到什么结论? 变题3:把①式改为;11n n a n n a += + 变题4:把①式改为;21 n n a a =+ 小结2:通过求解上述2个题,你得到什么结论? 挑战高考题: 1.(2015.浙江.17)已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+,)*∈N n (。 (1)求n a 2.(2008.江西.5)在数列{}n a 中,)11ln(,211n a a a n n ++==+,则=n a ( ). A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2)(+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题? 通过本节课的学习你收获了什么?

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的11种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法、 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法 二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 解法一:由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二:13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +,得 111 21 3333n n n n n a a +++=++, 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+,故 11223211 2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1 333333 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法 总述:一.利用递推关系式求数列通项的11种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法(少用) 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法 二.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 解法一:由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=++ +++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二:13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +,得 11 121 3333 n n n n n a a +++=++, 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+,故

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