最优化问题的数学模型及其分类
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
最优化方法第一章最优化问题与凸分析基础
4.2 凸函数
定义: 设集合 S Rn 为凸集，函数 f :SR， 若 x(1), x(2) S, ( 0 , 1 ) ，均有
f( x(1)＋(1- ) x(2) ) ≤f(x(1))+(1- )f(x(2)) ， 则称 f(x) 为凸集 S 上的凸函数。
hi x 0 等式约束
称满足所有约束条件的向量 x为可行解，或可行点，全体
可行点的集合称为可行集，记为D 。
D {x | hi x 0, i 1, 2, m, g j x 0,
j 1, 2, p, x Rn } 若 hi ( x), g j ( x) 是连续函数，则D 是闭集。
2.3 Hesse矩阵
Hesse 矩阵：多元函数 f (x) 关于 x 的二阶偏导
数矩阵
2
f
X
x12
2
f
X
f
X
2 f X
x1 x2
2
f
X
x1xn
2 f X
x2x1
2 f X
x22
2 f X
x2 xn
2
f
X
xnx1
2
f
X
xnx2
2
f
X
xn2
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称
f(x) 为凸集 S 上的严格凸函数。 当- f(x) 为凸函数（严格凸函数）时，则称 f(x) 为
凹函数（严格凹函数）。
严格凸函数
最优化问题数学模型
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
第一章 最优化问题概述
43
黄金分割法
若第一次选取的试点为x1<x2,则下一步保留的 区间为[a,x2]或[x1,b],两者的机会是均等的. 因此我们选取试点时希望x2-a=b-x1. 设x1=a+p(b-a),则x2=a+(1-p)(b-a). x2 x1 a
26
可行方向
定义1.2.2(可行方向) 已知区域 , x k∈ D , 对于向量pk≠0,若存在实数b >0, 使得对任意的 a∈(0,b ),有:xk+apk∈D, 则称pk为点xk处关于区域D的可行方向. 对于D的内点(存在邻域包含于D),任意方向可 行,对于边界点(任意邻域既有D的点也有不在D 中的点),则有些方向可行,有些方向不可行. 若下降方向关于域D可行,则称为可行下降方向.
29
收敛速度
定义1.2.3 设序列{xk}收敛于x*,而且
若0<b<1,则称{xk}为线性收敛的,称b为收敛比;
若b=0,则称{xk}为超线性收敛的.
定义1.2.4 设序列{xk}收敛于x*,而且
则称{xk}为p阶收敛.
30
终止准则
对于一种算法,应该有某种终止准则,当某次迭代 满足终止准则时,就停止迭代.常用的终止准则有:
21
最优化问题的分类
根据数学模型中有无约束函数分为有约束的 最优化问题和无约束的最优化问题. 根据目标函数和约束函数的函数类型分类:线 性最优化问题,非线性最优化问题,二次规划, 多目标规划,动态规划,整数规划,0-1规划.
22
§1.2 最优化问题的一般算法
23
迭代算法
迭代算法 选取一个初始可行点x0∈D,由这个 初始可行点出发,依次产生一个可行点列: x1,x2,· · · ,xk,· · · , 记为{xk},使得某个xk恰好是问题的一个最优解, 或者该点列收敛到问题的一个最优解x*. 下降算法 在迭代算法中一般要求 f(xk+1)≤f(xk).
最优化问题的数学模型
为凸集．
1,
0 证明： x , y 为超球中的任意两点， 设
则有：
x 1 y
r ???
x 1 y
r r r 1
即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
注： 常见的凸集：空集，整个欧氏空间 超平面： H
T
aR
n
和实数
,
使得： T x a
a y , x D ,
xR a x
n T
即存在超平面 H y 与凸集 D .
严格分离点
注： 点与闭凸集的分离定理。
y.
D
定理
(点与凸集的分离定理)
是非空凸集，x D, 则存在 非零向量 a R n 使成立
DR
n
目标函数
R ( i 1, 2 , , p )
1
• 根据实际问题的不同要求，最优化模型有不同的形式， 但经过适当的变换都可以转换成上述一般形式.
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束条件 分类
m in f ( x ), x R .
n
无约束最优化问题 约束最优化问题 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 混合约束优化问题
设
a xa x
T T
x D . ( D代 表 D 的 闭 包 )
_ _
定理
(两个凸集的分离定理)
n
x
x
设 D1 , D2 是
且 R 的两个非空凸集， D1 D2 ,
则存在超平面分离 D1 和 D2 , 即存在非零向量 n a R 使得 aT x aT y , x D , y D . 1 2
最优化问题数学模型
最优化问题数学模型在我们的日常生活和各种实际应用中，最优化问题无处不在。
从生产线上的资源分配，到物流运输中的路径规划，从金融投资中的资产配置，到工程设计中的参数选择，都需要找到最优的解决方案，以实现效率最高、成本最低、效益最大等目标。
而数学模型就是帮助我们解决这些最优化问题的有力工具。
那么，什么是最优化问题数学模型呢？简单来说，它是将实际问题转化为数学语言和表达式的一种方式，通过建立数学关系式，来描述问题中的各种约束条件和目标函数，然后运用数学方法和算法求解，找到最优的决策变量取值。
举个简单的例子，假设一家工厂要生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品每件需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个小时的工时，生产 B 产品每件需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个小时的工时。
工厂共有 100 个单位的原材料和 80 个小时的工时可用，每件 A 产品的利润是 5 元，每件 B 产品的利润是 4 元。
那么，如何安排生产才能使工厂的总利润最大呢？为了建立这个问题的数学模型，我们首先定义决策变量：设生产 A 产品的数量为 x 件，生产 B 产品的数量为 y 件。
然后，我们确定目标函数，即要最大化的总利润：Z ＝ 5x ＋ 4y 。
接下来，考虑约束条件。
原材料的限制可以表示为：2x ＋3y ≤ 100 ；工时的限制可以表示为：3x ＋2y ≤ 80 ；还有非负约束：x ≥ 0 ，y ≥ 0 。
这样，我们就建立了一个简单的最优化问题数学模型。
通过求解这个模型，就可以得到最优的生产方案，即 x 和 y 的取值，使得总利润Z 最大。
最优化问题数学模型的类型多种多样，常见的有线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
线性规划是最简单也是应用最广泛的一种模型。
它的目标函数和约束条件都是线性的，就像我们上面的例子。
线性规划问题可以通过单纯形法等有效的算法在较短的时间内求解。
非线性规划则是目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
优化问题中的数学规划模型
优化问题中的数学规划模型优化问题中的数学规划模型1．优化问题及其一般模型优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的问题之一。
例如：设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小等等。
一般地，优化模型可以表述如下：minz?f(x)s.t.gi(x)?0，i=1,2,?,m (1.1)这是一个多元函数的条件极值问题，但是许多实际问题归结出的这种优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。
2．数学规划模型分类“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。
在许多情况下，应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划工具。
”[H.P.Williams.数学规划模型的建立]。
数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划等，用数学规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、假设，确定变量与参数，建立适当层次上的数学模型，并求解。
3．建立数学规划模型的步骤当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻求的决策是什么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们，最后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性、定量的分析和必要的检验。
Step 1. 寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。
阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是…… Step 2. 确定决策变量第一来源：Step 1的结果，用变量固定需要回答的决策第二来源：由决策导出的变量（具有派生结构）其它来源：辅助变量（联合完成更清楚的回答） Step 3. 确定优化目标用决策变量表示的利润、成本等。
数学建模第三章
数学建模第三章第三章⾮线性最优化⽅法§3.1 最优化问题与建模⼀. 基本概念：因为⼈类所从事的⼀切⽣产或社会活动均是有⽬的的，其⾏为总是在特定的价值观念或审美取向的⽀配下进⾏的，经常⾯临求解⼀个可⾏的甚⾄是最优的⽅案的决策问题。
可以说，最优化思想是数学建模的灵魂。
⽽最优化⽅法作为⼀门特殊的数学学科分⽀有着⼴泛的实际应⽤背景。
典型的最优化模型可以被描述为如下形式：其中表⽰⼀组决策变量，通常在实数域内取值，称决策变量的函数为该最优化模型的⽬标函数；为维欧⽒空间的某个⼦集，通常由⼀组关于决策变量的等式或不等式刻画，形如：这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式、为约束条件，⽽称满⾜全部约束条件的空间中的点为该模型的可⾏解，称，即由所有可⾏解构成的集合为该模型的可⾏域。
称为最优化模型的（全局）最优解，若满⾜：对均有，这时称处的⽬标函数值的为最优化模型的（全局）最优值；称为最优化模型的局部最优解，若存在，对，均有。
（全局）最优解⼀定是局部最优解，但反之不然，其关系可由下图得到反映：上图为函数在区间上的⼀段函数曲线（由Mathematica绘制），如果考察最优化问题，从图中发现它有三个局部最优解、、，其中是全局最优解，最优值为“”。
⼆. 最优化问题的⼀些典型的分类：优化⽅法涉及的应⽤领域很⼴，问题种类与性质繁多，根据不同的原则可以给出不同的分类。
从数学建模的⾓度，对最优化问题的⼀些典型分类及相关概念的了解是有益的。
根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题为函数优化问题；若⼀个最优化问题的全部决策变量均离散取值，则称之为组合优化问题。
⽐⽅⼀些最优化问题的决策变量被限定只能取整数值，即为组合最优化问题，这类优化问题通常被称为整数规划问题，另外⼤多⽹络规划问题属于组合最优化问题。
当然，也有许多应⽤问题的数学模型表现为混合类型的，即模型的部分决策变量为连续型的，部分决策变量为离散型的；另外当谈论⼀个最优化问题是函数优化问题还是组合优化问题时，还需结合我们对这⼀问题的思考⽅式来进⾏确定，⽐⽅后⾯介绍的线性规划问题的求解，既有将其作为⼀个组合优化问题⽽开发的算法，也有将其作为⼀个函数优化问题⽽开发的算法；另外的⼀种分类⽅式是根据问题中⽬标、约束条件函数的形式或性质来加以划分的：若⼀个最优化问题的⽬标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之为线性规划问题，否则称之为⾮线性最优化问题。
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最优化问题的数学模型及其分类
例1.1.1 产品组合问题
某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。
请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1
设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。
由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤≤0,
18231224212121
x x x x x x 故上述问题的数学模型为
2153max
x x z +=
.
.t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤≤0,
18231224212121
x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，⋅⋅t s 是受约束于（subject to ）的简写。
例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为：
⎪⎩⎪
⎨⎧=⋅
⋅+=ππππ3
422min
22
h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。
通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构：
（１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题
可归结为优选若干个被称为参数或变量的量
n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构
成了一个方案。
（２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策
变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1,
0,,,,,2,1,
0,,,2121l j x x x h m i x x x g n
j n i ===≥
（３） 目标函数（objective function ）和目标：如使
利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21
因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。
注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化
()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可
表示为：
()
()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧===≥⋅⋅l
j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121
若记()T
n x x x x
,,21=，则（1.1.1）又可写成：
()()()
()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=='
=≥⋅⋅l
j x h m i x g t s x f j i ,,2,1,01.1.1,,2,1,0min
其中
()()
m i x g i ,2,10
=≥称为不等式约束；
()()l j x h j ,,2,10 ==称为等式约束。
()()m i x g i ,,2,1 =与
()()l j x h j ,,2,10 ==称约束函数（constraint function ）。
＊ 当目标函数和约束函数均为变量x 的线性函数时，问题（1.1.1）称为线性规划问题（linear programming problem ）。
＊ 当目标函数和约束函数中至少有一个函数是x 的非线性函数时。
问题（1.1.1）称为非线性规划问题（nonlinear programming problem ）
＊ 当目标函数为x 的二次函数，约束函数均为x 的线性函数时，问题（1.1.1）称为二次规划问题（guadratic programming problem ）
＊ 如果要求某些决策变量或全部决策变量取非负整数值时，问题（1.1.1）称为整数规划问题（integer programming problem ） ＊ 若目标函数不止一个，即
()()()()()2,,,21≥=p x f x f x f x f T
p ，
＊ 则问题()'1.1.1为多目标规划问题（multiobjective
programming problem ）
＊此外，根据决策变量、目标函数和约束函数的不同特点，最优化问题还可以划分为许多其它分支。
例如：动态规划（dynamical programming）
网络规划(network programming)
几何规划(geometric programming)
非光滑优化 (non-smooth optimization )
随机规划(stochastic programming)
目标规划(goal programming)
模糊规划(fuzzy programming)。