最优性原理及证明
最优化原理与方法
2h 4r 2rh 0 2r r 2 0 r 2 h 4 3 0
2 3
解得： r 3
, h 23
2 3
此时圆柱体的表面积是 6 2 3 3
2
以上都是微积分中典型的求极值问题。二次大战前，人们把优化狭隘地理解为，取 导数求极值，但是有些函数难以求导，或根本不可能求导，但又明显地具有极大值或极 小值，所以这种古典的极值理论或古典微分法就无能为力了。二次大战时，由于军事业 的需要，产生了运筹学，从而产生了解决多变量大型问题的新的最优化理论和方法，我 们把它称为近代最优化理论与方法，与此相对，我们把古典的极值理论或古典微分法就 称为经典最优化理论与方法。 二者之间的差别在于： 函数是否可微 变量个数的多少 带不带约束方程，特别是带不带不等式约束方程。 最优化是一门崭新的学科，有关的理论和方法还很不完善，有许多问题有待解决， 目前正处于迅速发展之中。
向量式：
(1-2)
min f (X) X h ( X ) 0 s.t s( X ) 0
(1-3)
式中 f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)。 优化过程就是优选 X，使目标函数达到最优值：f(X)->Optimization si(X)称为不等式约束，它的向量表示法可以写成： T s(X)=[ s1(X), s2(X), …,sm(X)] hj(X)称为等式约束 n X∈Ω,称为集约束，在我们的问题中集约束是无关重要的，这是因为有时Ω≡ R , 不然的话，Ω也可以用不等式约束表达出来，如：
*
f (X * ) min f (X) 。
对问题（1-3）的求解是指，在容许集中找一点 X ，使得目标函数 f(X)在该点取极 小值，即
最优化理论学习心得体会
最优化理论学习心得体会最优化理论学习心得一、引言最优化理论是运筹学和应用数学的一门重要学科，研究的是如何在给定的约束条件下，找到使目标函数取得极值的最优解。
最优化问题广泛存在于经济、工程、物理、计算机科学等领域，具有重要的理论和实际意义。
通过学习最优化理论，不仅能够掌握优化算法的理论基础，还可以应用于实际问题的建模和解决。
在本次的学习中，我主要学习了最优化理论的基本概念、最优性条件、线性规划、整数规划、非线性规划等内容。
通过学习，我深刻体会到了最优化理论的重要性和应用价值，并对最优化算法的原理和方法有了更深入的了解。
下面我将总结学习过程中的体会和心得，包括最优化理论的基本原理、最优性条件的推导和应用、各类规划问题的求解方法等。
二、最优化理论的基本原理最优化理论的核心思想是在给定的约束条件下寻找使目标函数取得极值的最优解。
最优化问题可以分为无约束优化问题和有约束优化问题两种情况。
无约束优化问题是指在没有约束条件下，寻找使目标函数取得极值的最优解。
常见的求解方法有牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
这些方法通过迭代的方式来逼近最优解，从而不断优化目标函数的值。
有约束优化问题是指在存在一些约束条件下，寻找使目标函数取得极值的最优解。
常见的求解方法有拉格朗日乘子法、KKT条件、对偶问题等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子或者对偶变量，将原问题转化为等价的无约束优化问题，从而可以利用无约束优化问题的方法求解。
最优化理论的基本原理包括目标函数、约束条件、最优性条件等概念的引入和定义，以及最优解的存在性和唯一性等性质的证明。
通过学习这些基本原理，我深刻理解了最优解的概念和意义，以及如何通过数学方法来寻找最优解。
三、最优性条件的推导和应用最优性条件是判断一个解是否为最优解的重要依据。
在最优化理论中，有很多最优性条件的推导和应用，其中最为经典的是一阶和二阶条件。
一阶条件是指关于目标函数的导数和约束条件的导数等于零的条件。
牛顿法无约束最优化证明
牛顿法无约束最优化证明牛顿法是一种常用的非线性优化方法，它通过逐步逼近最优解来求解无约束最优化问题。
本文将介绍牛顿法的数学原理及其证明过程。
首先，我们考虑一个无约束的最优化问题，即：min f(x)其中，f(x)为目标函数，x为优化变量。
我们的目标是找到一个x，使得f(x)最小。
牛顿法的基本思想是通过求解目标函数的局部二次近似来逐步逼近最优解。
具体来说，我们首先选取一个初始点x0，然后利用目标函数的一、二阶导数信息，计算出目标函数在x0处的局部二次近似：f(x) ≈ f(x0) + f(x0)·(x-x0) + 1/2(x-x0)T·H(x0)·(x-x0) 其中，f(x0)为目标函数在x0处的梯度，H(x0)为目标函数在x0处的黑塞矩阵。
我们将局部二次近似表示为：Q(x) = f(x0) + f(x0)·(x-x0) + 1/2(x-x0)T·H(x0)·(x-x0) 然后，我们将Q(x)的导数置为零，得到如下方程：H(x0)·(x-x0) = -f(x0)接着，我们解出上述方程的解x1，将x1作为新的近似点，重复上述步骤，迭代求解，直到收敛于最优解。
接下来，我们来证明牛顿法的收敛性。
我们假设目标函数f(x)满足如下条件：1. f(x)是二次可微的凸函数。
2. H(x)是正定的。
在这种情况下，我们可以证明牛顿法是线性收敛的。
具体来说，设xk为牛顿法第k次迭代的近似解，x*为最优解，则有：f(xk+1) - f(x*) ≤ C·(f(xk) - f(x*))2其中，C>0是一个常数。
这个式子表明，每次迭代后，算法的误差都会平方级别的减小。
证明过程比较复杂，需要利用函数的泰勒展开式、中值定理等工具。
具体证明过程可以参考相关数学文献。
综上所述，牛顿法是一种有效的无约束最优化方法，其收敛速度较快，但需要满足一定的条件才能保证收敛性。
经济学中的数学分析方法——12 最优控制与动态最优化
动态最优化的问题， 在自然科学和社会科学的很多领域中有着十分广泛的应用。 在经济 学中， 尤其在博弈论和宏观经济学中有着大量的应用。 研究动态最优化的数学工具有好几种， 如变分法、动态规划和最优控制理论等。我们在第十章中简要地介绍过动态规划，但是没有 介绍它的最优化原理。在本章我们来介绍变分法、动态规划的最优化原理和最优控制，重点 是最优控制理论。最优控制理论是数学上一个独立的学科，包含的内容很丰富。在本章我们 只 能 简要 地最 优控 制理 论的 框架 和主 要 的 结论 ： Bellman 最 优 化原 理， 庞 得 里亚 金 (Pontryagin) 极大值原理及其在宏观经济学中的应用。
故整个时段的总成本为：
J (u) = ∫ L( t , x ( t ), u( t ))dt
t0
T
（12.9）
于是问题就归结为：求生产速率 u(t)，使其满足约束条件（12.6） ， （12.7） ，且库存量 x(t)满 足（ 12.8） ，并使作为“性能指标”的总成本 J( u)为最小。 最优控制问题的一般提法 通过以上两个实例，可以看出最优控制问题有许多共同点。归纳起来，它们都具有如下 四个要素： （1） 受控对象的数学模型。 受控对象，即状态变量，都是由所谓状态方程描述的动态系统。一般可表为一个微分方 程：
t0 T
最优控制问题是要求一个容许控制 u( t ) ∈ U, t ∈ [ t0 , T ] ，使系统由初始状态 x0 出 发，在某一时刻 T > t 0，达到目标集 S，并使性能 J(u) 达到最小（或最大）值。
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x∈[ x1 , x2 ]
最优控制课程课件II-5.HJB方程
Jie, Zhang (CASIA)
Optimal Control
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最优控制的数学理论
. .. . . ..
4 / 67
回顾：Bellman 方程 回顾：Bellman 方程
离散时间最优控制问题
问题 1 (离散时间最优控制问题)
13 / 67
Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 HJB 方程是最优控制的必要条件
4/4 HJB 方程必要性-取极限
两边同除 ∆t，取 ∆t → 0，即可得对于 t ∈ [t0, tf ] 都有 HJB 方程
∂V −
(x(t),
t)
=
min{g(x(t),
u(t),
t)
+
∂V [
(x(t),
t)]T f (x(t),
u(t),
t)}
∂t
u(t)
∂x
令 t = tf ，得到边界条件
V (x(tf ), tf ) = h(x(tf ), tf ).
(11)
Jie, Zhang (CASIA)
Optimal Control
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最优控制的数学理论
. .. . . ..
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Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 HJB 方程是最优控制的必要条件
1/4 HJB 方程必要性-最优性原理
将性能指标分成 [t, t + ∆t] 和 [t + ∆t, tf ] 两段
动态规划-最优化原理和无后效性
动态规划-最优化啊原理和无后效性上面已经介绍了动态规划模型的基本组成，现在需要解决的问题是：什么样的“多阶段决策问题”才可以采用动态规划的方法求解?一般来说，能够采用动态规划方法求解的问题必须满足.最优化原理和.无后效性原则。
(1)动态规划的最优化原理。
作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优，即问题具有最优子结构的性质，也就是说一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，非最优解对问题的求解没有影响。
在例题1最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。
下面来讨论另外一个问题。
【例题2】余数最少的路径。
如图所示，有4个点，分别是A、B、C、D，相邻两点用两条连线C2k，C2k-1(1≤k≤3)表示两条通行的道路。
连线上的数字表示道路的长度。
定义从A到D的所有路径中，长度除以4所得余数最小的路径为最优路径。
求一条最优路径。
【分析】在这个问题中，如果还按照例题1中的方法去求解就会发生错误。
按照例题1的思想，A的最优取值可以由B的最优取值来确定，而B的最优取值为(1+3) mod 4 = 0，所以A的最优值应为2，而实际上，路径C1－C3－C5可得最优值为(2+1+1) mod 4 = 0，所以，B的最优路径并不是A的最优路径的子路径，也就是说，A的最优取值不是由B的最优取值决定的，即其不满足最优化原理，问题不具有最优子结构的性质。
由此可见，并不是所有的“决策问题”都可以用“动态规划”来解决，运用“动态规划”来处理问题必须满足最优化原理。
(2)动态规划的无后效性原则。
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。
也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
(财务知识)《管理经济学》笔记
管理经济学学习笔记绪论重点概念和原理一、管理经济学的基本方法：边际分析法：体现了向前看的思想。
边际成本：额外增加的成本在边际分析中的应用。
二、边际分析法和最优化原理边际分析法的规则：1、适用于无约束条件下的最优业绩量的确定无约束：产品的产量、资源的投入、价格和广告费等的支出不受约束2、适用于有约束条件下，业务量怎样最优分配的问题约束是指，被分配的业务量是有限的，既定的。
当各种要素的使用方向上每增加单位业务量所产生的边际效用相等时，业务量的分配能使总效益最大；当每种使用方向上每增加单位业务量所引起的边际成本相等时，业务量的分配能使总成本最低。
3、重点计算企业利润：会计利润、经济利润会计利润=销售收入-会计成本经济利润=销售收入-机会成本（会计成本+内涵成本）（注意和会计上的利润区别）内涵成本=机会成本-会计成本。
例：材料1000，现市价1500，机会成本1500，会计成本1000，在内涵成本500。
说明：经济利润是资源优化配置的指示器，机会成本：对经济学家来说只有机会成本才是真正的成本。
几种经济情况下的机会成本：（1）业主自己筹资开办企业的机会成本=这笔钱借给别人所得到的收益。
（2）业主自己兼任经理（自己管理企业）的机会成本=等于如果他在别处从事工作可能得到的薪水收入。
（3）机器原来是闲置的，重新开工机会成本为0。
（4）机器原来生产a现在生产b的机会成本=生产a所带来的收入。
（5）过去进的料，现在市价变了，其机会成本按照现在的市价计。
（6）使用现在市价的料、工资水平以及贷进的资金的机会成本=会计成本；（7）机器折旧产生的折旧成本=期初价值-期末净残值注意：经济利润为0，并不是说企业没有利润。
即是企业利润=销售收入-机会成本（正常利润是企业的主要机会成本，企业付给投资者的基本利润）。
第一章市场供应及运行机制知识结构：需求量：1、需求影响因素：产品的价格、消费者的收入、相关产品的价格、消费者的偏好、广告费用、消费者对未来价格的期望。
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最优性原理及证明
最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
这个最优性原理是动态规划的基础。
这个重要原理从概念上讲很好理解，它
的意思是：如果给定从A到C的最优路线(如
下图所示)那么从最优路线上任意一点B到C
的路线Ⅱ必须是由B到C的最优路线。
如果路线弧AB+ 弧BⅡC是A到C的最优路线，则最优性原理表明：弧BⅡC一定是从B到C的最优路线。
这一点可以用反证法证明。
证明如果存在另一条路线弧BIC是从B到C的比弧BⅡC有更小代价的最优路线。
那么沿弧AB+ 弧BIC就比弧AB+ 弧BⅡC有更小代价的最优路线。
但是这个结论恰好与路线弧AB + 弧BⅡC是由A到C的最优路线(即代价最小)的假设矛盾，这个矛盾说明，没有比从B到C沿弧BⅡC的代价更小的路线。
也就是说，路线弧AB + 弧BⅡC是由A到C的最优路线。