《统计学》样本容量的确定
总体个体样本和样本容量的例题
总体个体样本和样本容量的例题总体个体样本和样本容量的例题一、概念解释在统计学中，总体是指研究对象的全体，而个体则是总体中的一个个体。
而样本是从总体中选取的一部分个体。
样本容量则是样本的大小，通常用n来表示。
样本容量的大小直接影响着样本的代表性和统计推断的准确性。
二、例题分析假设我们想要调查某地区大学生对网课满意度的调查，总体是所有在该地区的大学生，而个体则是其中的一个学生。
如果我们抽取了100名学生进行调查，那么这100名学生就构成了我们的样本，而样本容量为100。
接下来我们就以样本容量的大小为例，来探讨在调查中的影响。
1. 样本容量过小如果我们只抽取了10名学生进行调查，那么这个样本容量就太小了。
我们很难通过这10名学生的意见来准确地代表所有学生的看法。
可能这10名学生的经历和观点都不具有代表性，从而导致我们得出的调查结论不够准确。
2. 样本容量适中如果我们抽取了100名学生进行调查，那么这个样本容量就相对来说是适中的。
虽然无法完全代表所有学生的看法，但通过一定的统计分析，我们可以对总体的情况有一个相对准确的了解。
3. 样本容量过大样本容量过大则会带来额外的成本和时间开销。
虽然样本容量越大，代表性越强，统计推断的准确性也越高，但是在实际调查中，调查对象可能没有这么多，这时候就需要考虑到资源的投入和效益的平衡。
三、总结和回顾通过上面的例题分析，我们可以看出样本容量的大小对调查结果的影响是非常重要的。
合适的样本容量可以在一定程度上保证调查的准确性，而样本容量过小或过大都会影响我们的调查结论。
在进行实际调查时，我们需要根据具体情况来确定合适的样本容量，同时也需要进行详细的统计分析，以保证调查结果的可靠性。
四、个人观点作为一个统计学爱好者，我认为在进行调查和研究时，样本容量的确定是非常重要的一步。
合适的样本容量可以为我们的研究提供可靠的数据支持，而过小或过大的样本容量则可能影响我们的研究结论。
我们应该在确定样本容量时进行充分的考虑，以确保我们的研究能够得到准确而可靠的结果。
生物统计学8样本容量的确定
即每组需要5个数据。
单因素多组群（单向分组资料）样本含量表
（ n1 = n2 = n3 =……n）
δ/σ n
k
三
四
五
六
七
八
2
50855 4.830 40463 4.236 40165 4.102
3
2.887 2.829 2.823 2.835 2.858 2.881
价值，数据是用配成对的大白鼠作实验而测得的，如果
sd=2.40单位，这是根据以往的数据得出， =1.15单位，这是试验想辨别的差数，
则该试验在0.05的显著水平下，应该至少取多少个配对数据才
能达到要求？
解：现在我们想求n，因为t0.05/2 随着n的改变而改变，必须要找
一些值来作试差，最后求出合理的n值。
9
1.215 1.300 1.363 1.410 1.453 1.485
10
1.142 1.224 1.284 1.332 1.371 1.403
11
1.080 1.158 1.218 1.265 1.299 1.335
12
1.028 1.104 1.163 1.206 1.242 1.275
13
0.979 1.057 1.114 1.154 1.192 1.222
= =1.000， = sd =1.996， 求出 / = 1.000/1.996=0.501，再查表 / =0.5010.497，
所得 n = 18。
双侧试验 δ/σ 2.484 1.591 1.242 1.049 0.925
0.836 0.769 0.715 0.672 0.639
样本容量的确定
都在此范围内 而通过简单随机样本对总体做的估计为实际总体平均值 2 倍标准误差范围 内的概率为 95 在实际总体平均值 3 倍标准误 差范围内的概率为 99.7 5.5.3 点估计和区间估计
当利用抽样要对总体平均值进行估计时 有两种估计方法 点估计和区间估计 点估计 是指把样本平均值作为总体平均数的估计值 观察图 5.3 的平均数抽样分布可知某一特定的 抽样结果 其平均数很可能相对更接近总体平均数 但是 样本平均数分布中的任一个值都 可能是这一特定样本的平均值 有一小部分的样本平均值与实际总体平均值有相当的差距 这种差距就叫抽样误差
在任何确定样本容量的问题中 都必须认真考虑所要分析并要据此做统计推断的总体样 本的各个子群的数目的预期容量 例如 从整体上看样本容量为 400 很符合要求 但若要分 别分析男性和女性被调查者 并且要求男性与女性的样本各占一半 那么每个子群的容量仅
1
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为 200 这个数字是否符合要求 能使分析人员对两组的特征做出预期的统计推断呢 再如 要按年龄和性别分析调研结果 问题就变得更复杂了 假设要按以下方式将总体样本划分为 四组
5
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5.5.2 根据单个样本做出推断 在实际操作中 人们往往不愿从总体中抽出所有可能的随机样本 画出像表 5.3 和图 5.4
那样的频率分布表和直方图来 人们希望进行简单的随机抽样 并据此对总体进行统计推断 问题出现了 通过任一简单的随机样本对总体均数进行的估计 其估计值在总体平均值 1 个标准误差内的概率究竟为多大 根据表 5.2 可知概率为 68 因为所有样本平均数有 68
中心极限定理 样本数 样本容量
中心极限定理样本数样本容量中心极限定理是统计学中一个重要的概念，它对于数据分析和推论有着重要的指导作用。
在这篇文章中，我们将深入探讨中心极限定理以及与之相关的样本数和样本容量的概念，帮助读者更好地理解这些概念的重要性和应用场景。
1. 中心极限定理的定义和意义中心极限定理是指在一些特定条件下，随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
简而言之，它告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
这一定理的重要意义在于，即使原始数据的分布可能不满足正态分布假设，我们仍然可以利用中心极限定理，使用正态分布进行统计推断和假设检验。
2. 样本数和样本容量的定义和关系样本数和样本容量是描述样本大小的概念，它们在统计分析中起着重要的作用。
样本数是指选取的样本的个数，而样本容量则是指每个样本中包含的观测值或数据点的个数。
样本数量的增加可以提高我们对总体的估计的准确性和可信度，而样本容量的增加则可以减小误差和提高精确度。
3. 中心极限定理与样本数的关系中心极限定理告诉我们，当样本数足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
这意味着我们可以使用正态分布来近似描述样本均值的分布，从而进行统计推断和假设检验。
当我们有足够大的样本数时，我们可以更好地对总体进行推断和估计。
4. 中心极限定理与样本容量的关系与样本数类似，样本容量的增加也可以提高我们对总体的估计的准确性和可信度。
当样本容量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布，这使得我们可以使用正态分布来进行统计推断和假设检验。
当我们的样本容量足够大时，我们能够更精确地对总体进行推断和估计。
5. 个人观点和理解中心极限定理是统计学中一个非常重要的概念，它为我们提供了一种极为有用的统计推断方法。
通过使用中心极限定理，我们可以以较小的样本数和样本容量，获得对总体的可靠估计和推断。
这对于实际问题的解决和决策非常有帮助。
中心极限定理也提醒我们，在进行统计分析时，样本的选择和样本容量的确定都需要谨慎考虑，以确保我们对总体的推断能够更加准确和可靠。
总体 个体 样本 样本容量的概念
总体、个体、样本和样本容量是统计学中重要的概念，它们在统计分析和推论中起着至关重要的作用。
在进行统计研究和分析时，研究对象可以分为总体和个体，而样本则是从总体中选取的一部分个体，样本容量则是指样本中包含的个体数量。
下面将对这几个概念进行详细介绍。
一、总体总体是指研究者所感兴趣的所有个体的集合，它通常包括所有可能的观察对象。
总体可以是有限的，也可以是无限的。
在实际研究中，如果研究对象数量较少，那么可以直接对总体进行研究；但如果总体数量较大或是无限的，采用对总体进行全面调查是费时费力的，因此需要采用样本的方式进行研究。
总体是统计推断的基础，通过对总体的研究可以了解整体情况，而且也可以在一定程度上影响样本的选择和研究方法。
二、个体个体是指总体中的每一个成员，它可以是人、物、事物等具体的对象。
在统计研究中，个体是研究和观察的具体对象，研究者的观察和测量对象就是个体。
个体的特征和性质构成了总体的特征和性质，而样本则是总体的一个子集，通过对样本的研究可以对总体进行推断和分析。
三、样本样本是从总体中选取的一部分个体，它是对总体的一种代表性抽样。
在实际调查和研究中，往往很难对总体进行全面调查，因此需要从总体中抽取部分个体进行观察和研究。
通过对样本的研究分析，可以推断出总体的性质和特征，从而得出对总体的结论。
样本的选择需要具有一定的代表性，不能存在抽样偏差，否则对总体的推断就会产生较大的误差。
四、样本容量样本容量是指样本中包含的个体数量，它是样本的大小。
样本容量的大小直接影响着对总体的推断结果，样本容量过小则可能导致推断结果不准确，样本容量过大则可能会造成资源浪费。
在实际研究和调查中，需要根据研究目的、总体规模和资源条件等因素来确定样本容量的大小。
一般来说，样本容量越大，则对总体的推断越准确。
总体、个体、样本和样本容量是统计学中非常重要的概念，它们是统计研究和分析的基础。
在进行统计研究和分析时，需要对这几个概念有清晰的认识，并合理运用于实际研究中，才能得出准确、可靠的结论。
统计学
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
统计学区间估计详细讲解
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
(04)第4章 参数估计
（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
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样本容量确定的两难
样本容量取得较大，收集的信息 就相对多，从而估计精度较高，但 进行观测所投入的费用、人力及时 间就比较多； 样本容量取得较小，则投入的费 用、人力及时间就相对节约，但收 集的信息也较少，从而估计精度较 低； 所以，精度和费用对样本量的影 响和要求是矛盾的，不存在既使精 度最高又使费用最省的样本量 。
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
解: 已知=2000，d=400, 1-=95%， z/2=1.96 置信度为95%的置信区间为：
n ( z 2 )2 2 (1.96 )2 20002
d2
4002
96.04 97
即应抽取97人作为样本。
估计总体比例时样本容量的确定
估计总体比例时ห้องสมุดไป่ตู้本容量的确定
1. 根据比例区间估计公式可得样本容量n为：
• •
重复抽样n
(
z
2
)2
d2
(1
)
•
2.
不重复抽n样
(
N
N( z 2 )2 (1 ) 1)d2 ( z 2 )2 (1
)
d的取值一般小于0.1
其中： d z 2
p(1 p ) n
3. π未知，以样本比例p替代
4. π或p都未知时，可取0.5，这是一种谨慎估计
1. 估计总体均值时样本容量n为：
• •
重复抽样 n
(
z
2
d
)2
2
2
•
不重复抽样
n
(N
N( z 2 )2 2 1)d2 ( z 2 )2 2
其中：d
Z
2
•
n
2. 样本容量n与总体方差成正比，与绝对误差成
反比，与概率度成正比。
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年 薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪 95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽 取多大的样本容量？
n
(
z
2
)2
p(1 d2
p
)
(1.96 )2 0.9(1 0.9 ) 0.052
138.3 139
应抽取139个产品作为样本。
本节结束，谢谢！
样本容量确定的准则
在对精度有要求时，寻求能够 保证精度要求的费用最省的样本 量；
由于费用通常是关于样本量的 正向线性函数，故使费用最省的 样本量也就是使精度得到保证的 最小样本量；
在费用有预算限制的时候，寻 求费用预算范围内使精度达到最 高的样本量。
估计总体均值时样本容量的确定
估计总体均值时样本容量的确定
估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析)
【例】根据以往的生产统 计，某种产品的合格率约 为 90% ， 现 要 求 允 许 误 差 为 5% ， 在 求 95% 的 置 信 区 间时，应抽取多少个产品 作为样本？
解 : 已 知 p=90% ， 1-=95% ，
Z/2=1.96， d =5%
应抽取的样本容量为：