数列经典题型总结

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已

知37S =，且123334a a a ++，

，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列．

（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．

练习：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *

,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

二、错位相减法

例2（07高考天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*

+==++-∈N ，，

其中0λ>．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

．

例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且

111a b ==，3521a b +=，5313a b +=

（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ??

????

的前n 项和n S ．

三、逆序相加法

例4（07豫南五市二联理22.）设函数2

22)(+=x x

x f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2,

y 2)，若)(2

12

1OP +=,且点P 的横坐标为21

. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（II ）若;求,),()3()2()1(*n n S N n n

n f n f n f n f S ∈+?+++=

四、裂项求和法 例5 求数列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为

'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *

∈均在函数()y f x =的图

像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；

五、分组求和法

例7数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*

+∈+==N n b a b b n n n .

（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。

例8求2222121234(1)n S n -=-+-++-（n N +∈）

六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

例9 求

1

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(91

99999111111

1

-=????=???k k k

个个 （找通项及特征）

∴

1

1111111111个n ???+???+++ ＝

)110(9

1

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和）

＝

)1111(91

)10101010(911

321 个n n +???+++-+???+++ ＝9110)110(1091n

n ---?

＝)91010(81

11n n --+ 例10 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）

＝])4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n （设制分组）

＝)4

1

31(8)4121(4+-+++-+?n n n n （裂项）

∴ ∑∑∑∞

=∞=∞=++-+++-+=-+1

111)41

31(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）

＝4

18)4131

(4?++? ＝

3

13 类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。

变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

类型4 n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1n

n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：

q

q a q p q a n n n n 1

11+?=++引入辅助数列{}n b （其中n

n n q a b =

），得：q b q p b n

n 1

1+=+再待定系数法解决。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3

2211

+?=?++n n n n a a

令n n

n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3

2(23-=所以

n

n n

n n b a )31(2)21(32

-== 类型5递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-)2()

1(11n S S n S a n n

n 与

)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去 n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和22

1

4---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项

公 式n a .

解：（1）由2

2

14--

-=n n n a S 得：1

112

14-++-

-=n n n a S 于是

)2121(

)(1

2

11--++-

+-=-n n n n n n a a S S

所以11121-+++-=n n n n a a a n

n n a a 2

1

211+=?+. （2）应用类型4（n

n n q pa a +=+1

（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））

的方法，上式两边同乘以1

2

+n 得：222

11

+=++n n n n a a 由

12

1412

1111=?-

-==-a a S a .于是数列{}n n

a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n

2)1(222=-+=12

-=?n n n a

类型6b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得

[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

??????+-=-=∴13323A B B A A ?

??==11B A

1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故 n n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n n 说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设 C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由

1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为 n n n qb pb b +=++12求之.