2.3等腰三角形的性质定理
浙教版数学八年级上册《2.3 等腰三角形的性质定理》教案2
浙教版数学八年级上册《2.3 等腰三角形的性质定理》教案2一. 教材分析《2.3 等腰三角形的性质定理》是浙教版数学八年级上册的一个重要内容。
这部分内容主要让学生掌握等腰三角形的性质定理，并能够运用这些性质定理解决实际问题。
在教材中，已经给出了等腰三角形的性质定理，本节课的目标是让学生通过一系列的实践活动，理解和掌握这些定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有一定的了解。
但是，对于等腰三角形的性质定理，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实践活动，加深对等腰三角形性质定理的理解。
三. 教学目标1.让学生理解等腰三角形的性质定理。
2.培养学生运用等腰三角形的性质定理解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习的习惯，提高学生的团队合作能力。
四. 教学重难点1.等腰三角形的性质定理的理解和运用。
2.如何引导学生通过实践活动，加深对等腰三角形性质定理的理解。
五. 教学方法1.实践活动：通过实践活动，让学生直观地感受等腰三角形的性质定理。
2.合作学习：分组进行实践活动，培养学生的团队合作能力。
3.引导式教学：教师引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.教具：等腰三角形模型、直尺、量角器。
2.学具：学生用书、练习本、彩色笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾三角形的基本性质。
然后，引入等腰三角形的性质定理，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现等腰三角形的性质定理。
同时，解释这些定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，每组选择一个等腰三角形模型，用直尺和量角器测量等腰三角形的边长和角度，验证等腰三角形的性质定理。
4.巩固（10分钟）教师选取一些练习题，让学生独立完成。
然后，学生进行分享和讨论，加深对等腰三角形性质定理的理解。
5.拓展（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用等腰三角形的性质定理进行解决。
2.3 等腰三角形的性质定理八年级上册数学浙教版
（1）因为 ， ，所以 平分 ，且 .（2）因为 , ，所以 ，且 平分 .（3）因为 , 平分 ，所以 ，且 .
利用“等腰三角形三线合一”的性质可以解决角相等、线段相等或垂直问题
2.等边三角形三线合一：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分图，分两种情况讨论：
（1）当点 在点 的左侧 处时，
， ， .
（2）当点 在点 的右侧 处时， ， . 是 的外角， ， ， .综上， 的度数是 或 .
链接教材 本题取材于教材第58页作业题第5题，考查了利用等腰三角形等边对等角的性质求角的度数.中考真题两次利用等边对等角求等腰三角形的底角的度数，并且需要分两种情况讨论求解，难度较大.而教材习题是结合平行线及等边对等角求角的度数，也是常考题目.
等腰三角形三线合一
典例3 如图，在 中， ， 为 边上的中线， ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] ， 为 边上的中线， ， . ， .
典例4 如图所示， 是等边三角形， 为 边上的中线， ，求 的度数.
A. B. C. D.
B
[解析] 为等边三角形， ， . ， ， .又 ， .
知识点2 等腰三角形的性质定理2 重点
1.等腰三角形的性质定理2：
性质定理2
几何语言
图示
等腰三角形
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.
第2章 特殊三角形
2.3 等腰三角形的性质定理
学习目标
1.掌握等腰三角形的性质定理：①在同一个三角形中，等边对等角；②等腰三角形三线合一.
2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、计算.
3.掌握“等边三角形的各个内角都等于 ”.
2.3等腰三角形的性质定理
B
D
C
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
A
在△ABC中 12 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠___= ∠___ 2 ，____=____ 1 BＤ CＤ ； （2）∵AB=AC，AD是中线， B D 1 =∠＿， 2 ____ AD ⊥____ ∴∠＿ BC ； （3）∵AB=AC，AD是角平分线， BC ，____ AD ⊥____ ∴____ BD =____. CD
2.3 等腰三角形的性质定理
等腰三角形性质定理1： 等腰三角形的两个底角相等. 这个定理也可以说成： 在同一个三角形中，等边对等角.
已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C
A
方法一：作顶角平分线（SAS） 方法二：作底边上的中线（SSS） 方法三：作底边上的高（HL）
B C
已知：如图，在△ABC中， AB=AC, AD⊥BC于点D，E为AD 上的一， EF⊥AB， EG⊥AC， F，G分别为垂足.求证：EF=EG
求证：PD=PE
C
已知：如图，在△ABC中， AB=AC, AD⊥BC于点D，E为AD 上的一， EF⊥AB， EG⊥AC， F，G分别为垂足.求证：EF=EG
如图，D，E在BC上，AB=AC， AD=AE，则BD与CE相等吗？
A
Hale Waihona Puke BD H EC
例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC， O是△ABC中内一点，且OB=OC.则AO⊥BC 吗？请说明理由。
A
O
B
H
C
例2 已知线段a, h,用直尺和圆规作等腰三 角形ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h. 作法: 1.作线段BC=a. 2.作BC的中垂线m,交BC于点D. 3.在直线 m上截取DA=h,连接AB,AC. △ABC就是所求的等腰三角形. h a
2.3 等腰三角形的性质定理(2)课件(八上)
B
D H E
C
如图，BD，CE是等腰三角形ABC两 腰上的中线。问：BD与CE相等吗？请 说明理由。 A
E D C
B
如图，在⊿ABC中，AB=AC,O是 ⊿ABC内一点，且OB=OC，AO的延 长线交BC于点D，试说明AD⊥BC， BD=CD。 A
1 2
O
B
D
C
1.作业本、课本作业题A组. （B组选做） 2.课外探究题: 等腰三角形的性质在生产、生活中有着 广泛应用。以小组为单位， 对此进行研究， 写成研究报告，于下周一上交评比。
B
练习：
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。 （X） 2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 （X） 钝角都可以。 3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。 （ √） 4、等腰三角形的角平分线、高线和中线的 总数一共能画出9条。 （X） 5、等腰三角形底边上的中线一定垂直于 （ √） 底边。
如图，D，E在BC上，AB=AC， AD=AE，则BD与CE相等吗？
2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线 3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高
A
B
D
C
顶角平分线 底边上的中线 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 底边上的高 和底边上的高互相重合 . 简称“等腰三角形三线合一”
A
B
D
C
A
E
例4 已知线段a, h,用直尺和圆规作等腰三 角形ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h. h 作法: a 1.作线段BC=a. 2.作BC的中垂线m,交BC于点D. 3.在直线 m上截取DA=h,连接AB,AC. △ABC就是所求的等腰三角形. A h a C
在等腰三角Байду номын сангаасABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.
等腰三角形的性质定理
2.3等腰三角形的性质定理（一）〖教学目标〗◆1、经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，◆2、掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；．◆3、会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．4.探索等边三角形的性质。
等边三角形的三个内角都等于60度〖教学重点与难点〗◆教学重点：本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角◆教学难点：等腰三角形性质定理1的证明需添加辅助线。
思路较难形成。
〖教学方法〗可采用学生在任务驱动下的自主学习与教师辅导相结合〖课前准备〗学生：准备一些等腰三角形，预习本节内容教师：教学活动材料，多媒体课件〖教学过程〗一．创设情境，自然引入1.温故检测： 叫做等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 。
［两边相等的三角形叫做等腰三角形。
特殊情况是正三角形。
对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线。
］2.悬念、引子、思考将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？说明：首先这个三角形必须是等腰三角形，要不然三角形就放不平.对于“为什么”学生可能会回答“不知道”，那就进入下一环节“合作学习，探究等腰三角形的性质”；也有可能会回答“等腰三角形三线合一”，因为不能排除有部分学生“预习过”什么的.那就可以追问“等腰三角形三线为什么会合一”，学生会说，就让他说，但不管会说，还是不会说，都要进入下一环节“合作学习，探究等腰三角形的性质”；这是考虑到大多数学生的利益.二．交流互动，探求新知1．等腰三角形的性质合作学习：分三组教学活动材料教学活动材料1：如图2－5，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC,AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，（1）把这个等腰三角形剪下来，然后沿着顶角平分线对折，仔细观察重合的部分，并写出所发现的结论。
（2）你发现了等腰三角形的哪些性质？教学活动材料2：如图2－5，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC,AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，（1）根据我们已经获得的等腰三角形是轴对称图形，图2-5中等腰三角形ABC 的对称轴是什么？△ABD 各个顶点的对称点分别是什么？由此可见，将△ABD 作关于直线AD 的轴对称变换，所得的像是什么？图2-5A BC D（2）根据轴对称变换的性质：轴对称变换不改变图形的形状和大小.找出图中的全等三角形，以及所有相等的线段和相等的角.（3）你有什么发现？能得出等腰三角形的哪些性质？（发给学生活动材料，四人一组先合作学习，再交流讨论，经历等腰三角形性质的发现过程，教师应给学生一定的时间和机会，来清晰地、充分地讲出自己的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行归纳，最后得出等腰三角形的性质.）结论：等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。
2.3.2等腰三角形的性质定理
AD⊥BC.
C
B
A 已知：AB=AC， AD⊥BC ，
求证：BD=CD， ∠BAD=∠CAD.
┓
D
C
△ABD≌△ACD（SAS） △ABD≌△ACD（AAS）
等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的顶角平分线，底边 上的中线和高线互相重合，
A
简称等腰三角形三线合一.
（ （
你能用几何语言来表述这条 性质吗？
能否用一块三角板和一个重锤， 来检查桌面或房梁是否水平？
2.3.2等腰三角形的性质定理
宁波外国语学校 施 伦
A
如图，在△ABC中，
已知：AB=AC，BD=CD ，
求证：AD⊥BC. ∠BAD=∠CAD.
分析：△ABD≌△ACD（SSS）
B
D
A
（ （
B
D
C
已知：AB=AC， ∠BAD=∠CAD，
求证：BD=CD，
求证：DE=DF.
练习2、如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AC 上，点D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE.
求证：DE⊥BC.
证一：延长DE 交BC于点F.
证二：过A作AH平分∠BAC； 过A作AH⊥BC于点H； 作∠BAC的角分线AH交BC于点H.
证三：作平行线
两腰相等 (定义)
等
B
┓
D
C
几何语言：
（
（
A
如图，在△ABC中，
已知∵：AB=AC，BD=CD ，
求证∴： AD⊥BC ，∠BAD=∠CAD.
┓
分析：△ABD≌△ACD（SSS）
B
D
C
（
AБайду номын сангаас
初中数学等腰三角形定理公式
初中数学等腰三角形定理公式等腰三角形定理是初中数学中一个非常重要的概念，它是指具有两边长度相等的三角形。
等腰三角形有很多有趣的性质和公式，下面我们就来具体探讨一下。
1.等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两个边长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，则称三角形ABC是等腰三角形，且BC称为等腰边，∠B=∠C称为底角，而∠A称为顶角。
2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的底角相等：在等腰三角形ABC中，∠B=∠C，即等腰三角形的两个底角相等。
(2)等腰三角形的顶角是底角的一半：在等腰三角形ABC中，顶角∠A是底角∠B的一半，即∠A=1/2∠B。
(3)等腰三角形的高线和底边是垂直的：在等腰三角形ABC中，高线AD和底边BC垂直，即AD⊥BC。
(4)等腰三角形的高线也是中线和角平分线：在等腰三角形ABC中，高线AD既是底边BC的中线，也是底角∠B和∠C的角平分线。
3.等腰三角形的周长和面积：(1)等腰三角形的周长等于两边和底边的和：在等腰三角形ABC中，周长P=AB+AC+BC。
(2)等腰三角形的面积可以用高线和底边的乘积的一半表示：在等腰三角形ABC中，面积S=1/2×AD×BC。
4.等腰三角形的角平分线和中线：(1)等腰三角形的底角的角平分线也是高线：在等腰三角形ABC中，底角∠B的角平分线也是高线。
(2)等腰三角形的角平分线和中线重合：在等腰三角形ABC中，底边BC的中线也是底角∠B的角平分线。
(3)等腰三角形的底角和顶角的角平分线重合：在等腰三角形ABC中，底角∠B和顶角∠A的角平分线重合。
5.等腰三角形的一些特殊性质：(1)等腰三角形的高线也是垂直平分线：在等腰三角形ABC中，高线AD也是底边BC的垂直平分线。
(2)两条高线互相垂直：在等腰三角形ABC中，高线AD和高线BE互相垂直，并且交于顶点O。
(3)等腰三角形的高线和底边上每个点的连线等于底边的一半：在等腰三角形ABC中，连接高线上的任意一点D与底边C和B，有BD=CD=1/2BC。
等腰三角形的性质及计算方法
等腰三角形的性质及计算方法等腰三角形是指两条边相等的三角形。
在数学中，我们经常需要计算三角形的各种属性和特性。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供一些计算等腰三角形的方法。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即AB = AC。
这是等腰三角形最基本的性质。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两个基边所对的角）相等，即∠B = ∠C。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点所对的角）平分底角，即∠A = ∠B = ∠C。
4. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点向底边的垂直距离，记作h。
5. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点与顶点的线段，记作AM。
二、等腰三角形的计算方法1. 计算等腰三角形的周长：等腰三角形的周长可以通过两边的长度和底边的长度来计算。
由于等腰三角形的两边相等，可以使用以下公式计算周长：周长 = AB + AC + BC = 2AB + BC。
2. 计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高和底边的长度来计算。
使用以下公式计算面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高 = 1/2 * BC * h。
3. 计算等腰三角形的高：若已知等腰三角形底边长度BC和两边的长度AB（或AC），可以使用勾股定理计算三角形的高。
假设底边的中点是M，则通过三角形的中线AM可以得到高h，并使用以下公式计算高：h = √(AB² - (1/2 * BC)²)。
4. 计算等腰三角形的底边长度：若已知等腰三角形的两边长度AB 和AC，可以使用以下公式计算底边的长度：BC = 2√(AB² - (1/2 * AC)²)。
5. 计算等腰三角形的顶角和底角：等腰三角形的顶角和底角相等，可以使用以下方法计算角度值：- 计算顶角的度数：∠A = ∠B = ∠C = 180度 / （3 - 1）= 90度。
- 使用正弦函数计算角度的弧度值：sin(∠A) = sin(∠B) = sin(∠C) = (1/2 * BC) / AB。
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标
【解析】连接AO并延长，如图：
在△ABO和△ACO中，
AB=AC BO=CO AO=AO ∴△ABO≌△ACO（SSS）， ∴∠BAO=∠CAO， ∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的顶角的平分线、底边上 的高线、底边上的中线互相重合）．
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标
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点 ，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ B ） A．平行 B．AO垂直且平分BC C．斜交 D．AO垂直但不平分BC
例教题学讲目解
标
A
例3 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC
求证：AD⊥BC 证明：如图，延长AD，交BC于点E。
∵AD平分∠BAC
D
B
C E
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
∴△ABC是等腰三角形（等 腰三角形的定义）
而AD=AD（公共边）
∵AE是等腰三角形ABC顶
∠ADB=∠ADC（已知）
如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD 就是所求的三角形．
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讲教解学新目知
标
2,.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等
腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能
画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）
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DC
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讲教授学新目知
标
证明：等腰三角形中，底边上的高线、中线、顶角的平分 线重合．
已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， A 求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
证明：∵ AB=AC，
否水平，你知道为什么吗？
因为图中的三角尺是等腰三角形.
当重锤线经过三角尺斜边（底边）
的中点时，重锤线（底边上的中线）
与底边上的高叠合（等腰三角形三
线合一），即三角尺的斜边与重锤
线垂直，可以确定三角尺的斜边与
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横梁是水平的。否则梁就不是水平。
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即教时学演目练
标
如图，已知∠α 和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使
它的顶角等于∠α ，底边上的中线等于a。
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a
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角的平分线
∴△ABD≌△ACD（ASA）
∴AE⊥BC（等腰三角形三
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）线合一）
即AD⊥BC
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即教时学演目练
标
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是
AD=AD，
BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
B
D
C
∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
即有AD⊥BC．
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即教时学演目练
标
1. 以线段a为半径,A为顶点画弧交 AM,AM于BC 2.用任意半径,分别以BC点为半径画 弧相交,连接交点与A点,此线为角A 的角平分线.它与上一个圆弧相交于 D点. 3.通过D点做一条直线使其垂直于 直线AD
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标
A
几何语言表述：
12
（1）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴AD⊥BC，BD=CD。
BD C A
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD；
A
BD C
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（3）∵AB=AC，BD=CD， ∴∠BAD=∠CAD ,AD⊥CD； B
例教题学讲目解
标
例4 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，
使底边BC=a，底边BC=a，底边BC上的高线长为h.
作法 如图：
h
1、作线段BC=a；
a
2、作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；
3、在直线 MN 上截取DA=h，连结AB、 AC。
△ABC就是所求作的等腰三角形。
2、等腰三角形性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等.
A
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
几何语言： ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C
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B
C
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标
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线。在图中找出所
有相等的线段和相等的角。由此你发现了等腰三角形还有哪些
性质？
A
相等的线段: AB=AC,BD=CD
相等的角: ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC
等腰三角形性质定理2：
B
D
C
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互 相重合，简称等腰三角形三线合一
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等腰三角形的性质定理
——第二课时
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标
你已经知道等腰三角形的哪些性质？
1、等腰三角形的轴对称性：
等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是顶角平分线所在的直线。