2020中考数学命题趋势分
2020年中考“综合与实践”专题命题分析
一、内容分析《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授.它是教师问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动.“综合与实践”是实现积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识等目标的重要和有效的载体.教师要适当的开发出适合本地学生开展的结合实际情境的数学活动，创设层层深入的问题，给学生更多思考和操作的空间，鼓励学生大胆设计活动方案，提倡学生之间进行更多的合作交流，在活动中激发学生进行深度学习，提升数学思维，发展学生的数学学科核心素养，凸显问题性，注重综合性，落实实践性.2020年全国各地区中考“综合与实践”试题从不同的知识与能力角度，体现了《标准》中对此部分内容的学习要求与理念，充分地体现了对《标准》提出的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数学分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识十个关键词的重视，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和学生素质的有效过程.二、命题思路分析依据《标准》，“综合与实践”领域的考查主要关注问题、过程和综合三个层面.教师要创设出有利于提升学生数学思维的恰当问题.情境的设置可以从数学内部知识间的联系与综合、跨学科领域的整合、数学与现实生活的融合等方面去设计，让学生在思考和分析问题的活动过程中，充分利用已有的知识经验和生活经验来解决问题，进而积累丰富的数学活动经验.综观2020年全国各地区中考试卷，“综合与实践”内容的考查呈现形式为选择题、填空题和解答题，分值和题量基本保持稳定，且略有上升趋势.选择题和填空题的分值在4~6分之间；解答题和综合性问题的分值在10~18分之间.试题分值占全卷总分值的20%左右.在研究的109份2020年中考数学试卷中，发现“综合与实践”的相关试题背景丰富，有现实生活中几何图形的研究，有跨学科问题情境的设置，有数学操作问题的探究，呈现出数学问题生活化、热点化、操作化的特点，特别注重数学活动经验的积累和数学思想的渗透.以下将从数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面的数学学科核心素养出发，选取一些具有代表性的试题进行具体分析.2020年中考“综合与实践”专题命题分析祁慧渊收稿日期：2020-10-24作者简介：祁慧渊（1974—），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究.摘要：综合与实践是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的目标和内容要求，梳理2020年全国部分地区中考试卷中有关“综合与实践”内容的试题，从数学六大核心素养的角度对此类试题进行分析，总结“综合与实践”在这六方面体现出来的命题特点，并提供相关模拟试题.关键词：中考试题；综合与实践；命题分析；学科核心素养··411.数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.数学抽象是综合与实践的起点.数感有助于学生理解现实生活中数的意义，对运算结果的估计等方面的感悟；符号意识有助于理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律，知道使用符号进行运算和推理得到一般性结论，这些都是数学抽象的载体.例1（湖南·娄底卷）如图1，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（）.14292632038435a18bx …图1（A ）135（B ）153（C ）170（D ）189例2（黑龙江·齐齐哈尔卷）如图2，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A 1()0，2变换到点A 2()6，0，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A 2变换到点A 3()6，0，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A 3变换到点A 4()10，42，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A 4变换到点A 5()10+122，0，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2020个等腰直角三角形的面积是.【评析】例1和例2从数感和符号意识方面突出对学生数学抽象素养的考查，在探究中体会过程性.例1的设计简洁，通过方格中数的摆放位置来寻找数之间的关系，进而转换为字母间的规律，关注对学生使用符号意识的考查和数感中数量关系的感悟.例2是对等腰直角三角形性质应用的考查，要求学生思考图形中的顶点在翻转变换中的关系，进而发现规律，突出考查学生理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律.此类问题的设计既让学生在解题过程中体会图形顶点坐标的运动变化规律，又激发学生在思考过程中建立符号意识，进而要求教师在数学问题的创设上具有从知识立意转向关注数学学科核心素养立意的意识.2.逻辑推理《标准》中提出，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论.2020年中考“综合与实践”试题更注重通过与生活中的情境结合、跨学科整合来解决具体的实际问题.例3（湖南·娄底卷）如图3，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L 1=L cos α，阻力臂L 2=l cos β，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，杠杆向下运动时的动力变化情况是（）.图3（A ）越来越小（B ）不变（C ）越来越大（D ）无法确定例4（湖南·株洲卷）据《汉书·律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也.”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆.”··42问题：如图4，现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为.（结果用最简根式表示.）【评析】例3借助物理学中撬钉子的情境，利用杠杆原理进行数学的推理分析，动力×动力臂=阻力×阻力臂，当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值大于0，考查了利用锐角三角函数cos α的增减性来说明动力的变化.例4以古代的一种量器为背景命制，将圆与正方形组合，考查图形的推理与计算.此类试题意在让学生体会在不同的问题情境中运用直观的逻辑推理，并综合不同领域的跨学科知识，提升学生分析问题和解决问题的能力.例5（河南卷）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器.图5（1）是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等，DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长.使用方法如图5（2）所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了.为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，试补充完整，并写出“证明”过程.已知：如图5（2），点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB ⊥AC ，垂足为点B ，.求证：.（2）（1）图5【评析】例5以数学知识中“利用尺规作图三等分一个任意角”的问题为情境，将数学中的难题转变为一种简易操作工具——三分角器来解决问题.要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了.在说明了所有的操作过程后，让学生自己填写已知和求证并完成证明过程，既考查了学生推理过程的严谨性、规范性、完整性，又关注了归纳与演绎的综合.此题注重把数学的学习看作是数学活动的学习，在探究过程中提出问题，综合应用所学的知识来分析和解决问题，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀数学活动经验，有效考查了综合与实践的基本要素.3.数学建模《标准》中指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.建立数学模型就是要培养学生在现实活动中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，进而建立模型得出结论，还要验证结果和改进模型，最终解决实际问题.综合与实践活动不仅提升了学生从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维能力，也培养了学生的应用意识和创新意识.数学建模是综合与实践的实施途径之一.例6（山东·青岛卷）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元.图6（1）表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m.（1）按如图6（1）所示的直角坐标系，抛物线可以用y =kx 2+m （k ≠0）表示.求该抛物线的函数表达式.（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房.如图6（2），在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元/m 2.已知GM =2m ，求每个B 型图4··43活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本=每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本.）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B 型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？（2）（1）图6例7（江苏·南京卷）如图7（1），要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A ，B 两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图7（2），作出点A 关于l 的对称点A ′，线段A ′B 与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线l 上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，证明AC +CB <AC′+C′B.试完成这个证明．（2）如果在A ，B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域.试分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图7（3）所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图7（4）所示．l（1）BAC A′C′l l图7（2）（3）（4）l【评析】例6考查学生在实际生活情境中体会变量之间的关系，根据题意建立函数模型来解决问题，考查了学生的数学应用意识.在这个综合实践活动中，学生进行了两次建模：第一次建模是把矩形窗户边框与墙抽象成数学图形，并建立关系，理解数学图形中的点的意义，建构二次函数模型；第二次建模是在第（2）小题中，求每月销售活动板房所获的最大利润，比对二次函数模型，找到顶点坐标，根据函数的增减性和不等式的范围确定最值.例7为模拟真实情境的综合实践活动，通过最短距离问题模型，再次提出生活情境问题，根据不同的方案设计，经过计算确定管道铺设方案，再现了数学探究活动的过程性、实践性和综合性.解决此类问题还是要引导学生多进行真实任务情境下的综合实践活动.4.直观想象直观想象主要是指利用图形进行描述和分析问题，感知事物的形态与变化，理解和解决数学问题.直观想象主要表现为：建立形与数的联系，借助空间形式认识事物的位置关系与形态变化及运动规律，构建数学问题的直观模型分析问题，把复杂的数学问题简单化、形象化，进而探索解决问题的思路.综合与实践重在实践和综合，教师要设置贴近学生的生活情境，充分发挥学生的直观想象、展现学生的思考过程，合作交流收获体会，激发学生创造潜能.例8（湖北·荆州卷）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图8所示的Rt△ABC ，其中∠C =90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km.若tan∠ABC =34，∠DEB =45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了.ADBEC图8例9（山西卷）阅读与思考：下面是小宇同学的··44数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图9所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？AB CD E30cm 50cm 40cm 图9BS Q N R MCA图10办法一：如图9，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出CD =30cm ，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则∠DCE 必为90°.办法二：如图10，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R.然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS =MN ，得到点S ，作直线SC ，则∠RCS =90°.我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是.（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS =90°.（3）①尺规作图：试在图11的木板上，过点C 作出AB 的垂线.（在木板上保留作图痕迹，不写作法.）图11②说明你的作法依据的数学定理或基本事实.（写出一个即可.）【评析】例8通过直观化表达健身运动路径，考查三角函数的概念，根据模型解释实际意义，需要学生运用几何直观促进理解.例9为真实情境的“综合与实践”活动，该活动利用不同方案解决在没有直角尺的情况下作直角的问题，先以阅读材料的方式给出两种具体的操作方法，然后让学生在理解此操作过程的同时写出数学依据，进而思考是否还有其他作出垂线的方法.例9让学生根据图形的特点，借助几何直观观察图形、分析问题、发现解题途径，有效开展综合实践活动，进一步培养学生解决问题的创新意识.5.数学运算《标准》中指出，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题.数学运算在综合实践活动中的应用最常见、最广泛，有助于学生理解运算对象、掌握运算法则、形成程序化思维.例10（四川·自贡卷）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式||x -2的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为||x +1=||x -()-1，所以||x +1的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离.（1）发现问题：代数式||x +1+||x -2的最小值是多少？（2）探究问题：如图12，点A ，B ，P 分别表示数-1，2，x ，AB =3.图12因为||x +1+||x -2的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和，所以当点P 在线段AB 上时，PA +PB =3，当点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时，PA +PB >3.所以||x +1+||x -2的最小值是3.（3）解决问题：①||x -4+||x +2的最小值是；②如图13，利用上述思想方法解不等式||x +3+||x -1>4；图13③当a 为何值时，代数式||x +a +||x -3的最小值是2.【评析】例10以学生非常熟悉的两点之间的距离为情境，让学生去发现问题、分析问题、探究问题、解决问题，这是非常好的综合与实践的学习方式.这些问题要求学生在已经具备一定的数式运算能力的基··45础上，依据法则正确运算，体会运算的算理，转化为熟悉的运算方式，也考查了学生对数学运算法则使用的迁移能力，进一步体现了在学习过程中数学运算素养的重要性，为教学指明方向.6.数据分析数据分析是统计的核心.“综合与实践”在此方面的考查具体表现在数据的收集和整理，对数据信息的理解和处理，提取信息和解释结论.综观2020年中考试题，数据分析类综合试题呈现出情境生活化、热点化的特点，更加重视对统计量意义的理解和利用数据分析结果并进行方案的决策评估和预测.例11（山东·临沂卷）2020年是脱贫攻坚年.为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场.经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售.现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如表1和图14所示.质量/kg0.9≤x<1.11.1≤x<1.3 1.3≤x<1.5 1.5≤x<1.7 1.7≤x<1.9组中值1.01.21.41.61.8频数/只69a158表1/kg图14根据以上信息，解答下列问题.（1）表中a的值为，补全频数分布直方图；（2）这批鸡中质量不小于1.7kg的数量大约有多少？（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标.按15元/kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？【评析】数据分析素养主要体现在“统计与概率”中，其与实际生活联系紧密，能更好地体现综合与实践的考查意图.例11从学生熟悉的生活背景及社会关注的热点问题等方面进行数据分析和处理.对现实生活中的问题先做调查研究、收集数据，通过统计图或表格进行数据分析，做出判断.此类试题突出对抽样调查中分析数据的方法和解决问题能力方面的考查，更加注重对学生获取信息能力和分析决策能力的考查，真正体现出统计的作用.三、复习建议通过对2020年中考试卷中“综合与实践”部分试题的分析，发现这些试题充分体现了《标准》对此部分内容的引领作用.在教学过程中，教师要特别注意问题情境的设计、活动过程的探究和解决问题方法的综合，强化综合与实践活动中知识的整合、延伸与拓展，加强对学生思维能力、运算能力、探究能力和创新能力的培养.在复习教学中，教师要对以下几个方面予以关注：一是创设更贴近生活现实、数学现实和其他学科现实的情境，增强学生的应用意识；二是加强初中数学各部分内容之间的相互联系，体现数学学习的整体性与综合性；三是让学生在探究活动过程中感悟知识的生成和运用，提升解决问题的能力，增强创新意识的培养.针对以上情况，对2021年中考复习提出以下几点建议.1.夯实基础，提升能力在日常教学中，若学生的基础知识不过关，会体现在概念辨析不到位，基本运算算理不清楚，以及解题方法不适当等方面.因此，在教学中，教师一定要回归教材、落实基础，强化对基础知识和基本技能的训练，多研究典型题和易错题，多对比、多变式，引导学生自主建构知识体系，将基础知识的掌握落到实处.一是要让学生对所学的概念、公式、定理进行深度剖析与解读；二是让学生经历知识的生成与生长过程，对问题的解决方法进行归纳梳理；三是通过课堂··46内外综合与实践活动的开展，强化学生的“四基”及知识的融会贯通.2020年全国各地区中考“综合与实践”类试题中都创设了现实生活或跨学科的情境，解题时需要学生具备丰富的知识与问题间的链接能力，这就要求教师在教学中要注重揭示知识发生、发展的过程，使学生的思维得到高密度的训练，能力得到高层次的发展. 2.经历过程，提升思维如果把数学问题的解决看成是“目”，那么数学思维就是“纲”，纲举目张.在教学中，教师要重视引导学生理解知识的形成过程，在活动中让学生通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，经历自主学习、合作交流、探索研究的过程，创设一些能引发学生深度思考的过程性问题，并运用研究方法进行解题思路的迁移，开阔学生的思维视野，拓宽学生的观察角度，促使其自觉养成良好的数学思维品质.教师也可以通过编拟一些贴近生活实际的数学应用问题，让学生在学习中经历更多真实情境问题的探究过程，在活动中不断进行思维碰撞，体会问题解决方法的多样性，从而引导学生充分体会数学与人类社会的密切联系，加强对数学的理解，用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，进而形成学数学、用数学的意识和能力，切实提高学生的思维品质.3.加强阅读，提升素养“综合与实践”类试题中经常会呈现一些阅读材料，提供一些解决问题的知识或方法，需要学生在阅读的过程中获取信息和理解信息，还要应用所学到的思想或方法解答提出的新问题.因此，建议教师在日常教学中补充一些与教材内容相关的阅读材料，通过对教材的例、习题进行整合，挖掘一些综合与实践学习的素材，设计一些相关的综合与实践活动，并要求学生经历活动后尝试写出实践报告和活动反思，让学生经历数学问题设计与解决的探究过程，发现不同解决问题的途径，积累丰富的数学活动经验，进而提升学生的综合解题能力.通过让学生在综合与实践活动中将自主、合作、探究的学习方式融入数学学科核心素养的形成过程，把学生的学习兴趣作为发展数学学科核心素养的推动力，以激发教学创新.我们欣喜地看到，越来越多的教师在“综合与实践”领域的日常教学中进行更深层次的思考与创新，以提升学生的数学学科核心素养为培养目标，真正回归教育本源，实现对人的培养.四、模拟题欣赏1.定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b= ab+a+b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如，2⊕3=2×3+2+3=11.若y关于x的函数y=（kx+1）⊕（x-1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为.参考答案：0或-1.2.图15（1）为一张宽为6cm的平行四边形纸带ABCD，AB=10cm，小明用这张纸带对底面周长为10cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）.小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的侧面展开进行分析.（1）如图15（2），若纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则纸带AD的长度为；（2）如图15（3），若AD=100cm，纸带在侧面缠绕多圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则这个直三棱柱纸盒的高度是.A DB C（1）CDCA（B）（2）A BD C（3）图15参考答案：（1）25cm；（2）60cm.3.某市景区内有一座历史名人塑像，“综合与实践”小组的学生开展了测量这一塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表2所示.··47。
2020年中考数学 有关方程和不等式的实际问题(含答案)-
联系实际问题一、方程问题考试目标导引：1．重点热点： 将与市场经济、成本计算、利润、商品价格等实际生活中的应用题建立为方程（组）模型.2．目标要求：会通过分析数量关系,找出题中的等量关系,列出方程(组).命题趋热分析：例1 (1)我市某企业为节约用水,自建污水净化站,3月份净化污水3000吨,5月份增加到3630吨,则这两个月净化污水的量平均每月增长的百分率为_______.(2)北京至石家庄的铁路长392千米,为适应经济发展,自2001年10月21日起,某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米,使得石家庄到北京的行车时 间缩短了1小时,如果设该列车提速前的速度为每小时X 千米,那么为求X 所列出的方程为________.(3)某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售,其中一台空调价后售出可获利10%(相对于进价),另一台空调价后售出则要亏本10%(相对于进价),而这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出( )A.既不获利也不亏本B.可获利1%C.要亏本2%D.要亏本1%【特色】以上几道题与课本中的基本题型一致,且与实际生活紧密结合.【解答】(1)设平均每月增长的百分率为x ，则依题意列方程3000(1+X)2=3630 解答x 1=0.1 x 2=-2.1(舍去)故平均每月增长的百分率为10%; (2)140392392=+-X X ; (3)设一种型号空调进价为a ，另一种为b ，则1.1a=0.96 得b=a 911 代入下式101.0)(9.01.0-=-=++-+ba b a b a % 故选D. 【拓展】解产销问题时,关键在于理解成本价、销售价、利润、利率之间的关系： 利润=售价-进价，利率=销售利润÷成本×100%等.例2 (2002北京市西城区)(1)据2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面 积达356万平方公里,其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方公里?(2)某省重视治理水土流失问题,2001年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数,到2003年底,使这三年治理的水土流失面积达到1324平方公里.求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.【特色】这是一道贴近社会热点的方程应用题,它不仅可以对学生的阅读理解能力进行考查,而且也是让学生了解我国环境状况的一份很好的资料.【解答】(1)设水蚀造成的水土流失面积为X 万平方公里,依题意得X+(X+26)=356 解得 X=165 ∴X+26=191答:水蚀和风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.(2)设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意得 400+400(1+x)+400(1+x)2=1324整理,得100x 2+300x-31=0 解得x 1=0.1 x 2=-3.1(舍去)答:平均每年增长的百分数为10%.【拓展】增长率问题可归结为a(1±x)2=b 的形式,其中a 为初始数,b 为末数,x 为增长率(或下降率).例3 黄冈百货商品服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每 件盈利40元，为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【特色】在近几年各地中考试卷中常能见到这种类型的问题.【解答】设每件童装应降价x元,依题意得(40-x)(20+2x)=1200整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10 x2=20因要尽量减少库存,故x应取20.答:每件童装应降价20元.【拓展】当用一元二次方程的解法求出两个解后,一定要注意检验是否符合题意. 中考动向前瞻：贴近社会热点的方程应用题,以选择题、填空题的题型出现时，一般都较为基本，而以解答题出现时，具有一定的综合性，主要考查学生收集和处理信息、分析和解决实际问题的能力.中考佳题自测1.(2002南宁市)革命老区百色某芒果种植基地,去年结余为500万元,估计今年可结余960万元,并且今年的收入比去年高15%,支出比去年低10%,求去年的收入与支出各是多少万元?2.(2002武汉市)武汉市某校组织甲、乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动，若甲班做2小时，乙班做3小时则恰好完成全部工作的一半；若甲班先做2小时后另有任务，剩下工作由乙班单独完成，则乙班所用的时间恰好比甲班单独完成全部工作的时间多1小时，问单独完成这项工作，甲、乙两班各需多少时间？3.(2001浙江绍兴)光明中学现有校舍面积20000平方米,为改善办学条件,计划拆除部分旧校舍,建造新校舍,使新造校舍的面积是拆除旧校舍面积的3倍还多1000平方米.这样,计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20%,已知拆除旧校舍每平方米需用80元,建造新校舍每平方米需费用700元,问完成该计划需多少费用?中考新题演练1.两条都是长1.5千米的绿化带上有废弃物,甲、乙两组共青团员在星期日上午各清扫一条,乙组的清扫速度是甲组的1.2倍,乙组比甲组少用半小时就完成任务,求甲、乙两组的清扫速度各是多少.2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象,决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路,为使工程能提前3个月完成,需要将原定的工作效率提高12%.问原计划完成这项工程用多少个月?3.某公园有东、西两个门,开园半小时内东门售出成人票65张,儿童票12张,收票款568元,西门售出成人票81张,儿童票8张,收票款680元,问此公园成人票、儿童票每张售价各几元?4.甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务，开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩624件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用．．．．．.．求原来甲、．．．．．．．．的时间相同乙两人每天各做多少件？每人的全部生产任务是多少？5.小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶,周六再去买时,正好遇上商场搞酬宾活动,同样的酸奶,每瓶比周三便宜0.5元,结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱,却比上次多买了2瓶酸奶,问她上周三买了几瓶酸奶?6.为落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划经过若干年开发“改造后可利用土地”360平方千米，实际施工中，每年比原计划多开发2平方千米，按此进度预计可提前6年完成开发任务，问实际每年可开发多少平方千米？7.美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容,某市城区近几年来,通过拆迁旧房,植草,栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）.(1)根据图中所提供的信息,回答下列问题:2001年底的绿地面积为____公顷,比2000年底增加了_____公顷；在1999年,2000年,2001年这三年中,绿地面积增加最多的是____年.(2)为满足城市发展的需要,计划到2003年底使城区绿地总面积达到72.6公顷,试求今明两年绿地面积的年平均增长率.参考答案中考佳题自测：1.设去年收入是x 万元,支出是y 万元,依题意得5001510(1)(1)960100100x y x y -=⎧⎪⎨+--=⎪⎩,解得20401540x y =⎧⎨=⎩答：去年收入2040万元，支出1540万元.2.设单独完成这项工作,甲班需x 小时,乙班需y 小时, 依题意得2312211x y x x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩, 解得 11812x y =⎧⎨=⎩2212x y =⎧⎨=-⎩答:单独完成这项工作,甲班需8小时,乙班需12小时.3.设拆除旧校舍的面积为x 平方米,依题意得20000-x+3x+1000=20000(1+20%)解得x=15001500×80+(3×1500+1000)×700=3970000这时完成该计划需费用3970000元.中考新题演练：1.设甲组的清扫速度为x 千米/时,根据题意得, 212.15.15.1=-x x解得x=0.5,经检验为原方程的解,当x=0.5时,1.2x=0.6.2.设原计划完成这项工程用x 个月,根据题意得(1+12%)×311-=x x 解得x=28.3.设此公园成人票每张售价x 元,儿童票每张售价y 元.根据题意得6512568818680x y x y +=⎧⎨+=⎩, 得 84x y =⎧⎨=⎩4.设原来甲每天做x 件,则乙每天做(x-4)件,由题意得 22624624=+-x x 解得x 1=24,x 2=-26(舍去)设每人的全部生产任务为y 件,则 22462420624=---y y ,解得y=864.5.设小明的妈妈上周三买了x 瓶酸奶,根据题意得 22105.010++=-x x 解得x 1=4,x 2=-10(舍去).6.设实际每年可开发x 平方千米,依题意得 .63602360=--x x 解得x 1=12, x 2=-10(舍去).7.(1)60,4,2000(2)设今明两年绿地面积的年平均增长率为x.根据题意, 得60(1+x)2=72.6 解得x 1=0.1,x 2=-2.1(舍去).二、不等式问题考试目标导引：1．重点、热点：将与市场经济、成本计算、利润、商品价格，人物分配等应用题建立为不等式（组）模型.2．目标要求：会通过分析数量关系列出不等式(组)命题趋势分析：例1 (1)恩格尔系数表示家庭日常饮食开支家庭经济总收入的比例,它反映了居民家庭的实际生活水平,各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示:则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数__________.(2)(2001荆门市)有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排____________.(3)(2002重庆市)韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A队有出租车（）A.11辆B.10辆C.9辆D.8辆【特色】这几道题都是运用不等式的基本知识解决实际问题的.【解答】(1)40%≤n≤49%(2)设最多只能安排x人种甲种蔬菜,则0.5×3x+0.8×2(10-x)≥15.6 解得x ≤4 ,故x 取4.(3)设A 队有X 辆车,依题意得55664(3)565(3)x x x x <<⎧⎨+<<+⎩ 易得x 取10 故选B.【拓展】求不等式(组)的整数解的方法是:(1)求出不等式(组)的解集;(2)找出适合解集范围的整数解.例2 某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们. 如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m 本课外读物,有x 名学生获奖,请解答下列问题:(1)用含x 的代数式表示m;(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.【特色】本题立意于对学生基础知识的考查.【解答】(1)m=3x+8(2)根据题意得385(1)0385(1)3x x x x +--≥⎧⎨+--<⎩ 不等式组解集为5＜x ≤621∵x 为正整数,∴x=6把x=6代入m=3x+8中,得m=26.【拓展】先根据题意列出不等式组,再求出整数解.例3 香港受潮汐的影响,近日每天24小时港内的水深变化大体如下图:一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货,计划当天卸完货后离港,已知这艘货轮货后吃水深度为2.5m(吃水深度即船底离开水面的距离).该港口规定:为保证航全,只有当航底与港内水底间的距离不少于3.5m时,才能进出该港.根据题目中所给的条件,回答下列问题:(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港,则出港的水深不能少于______m,卸货只能用____小时;(2)已知该船装有1200吨货,先由甲装卸队单独卸,每小时卸180吨,工作了一段后,交由乙队接着单独卸,每小时卸120吨,如果要保证该船能在当天卸完货并出港,则甲队至少应工作几小时,才能交给乙方接着卸?【特色】这是一道很有创意的好题，不仅考查了学生数形结合的解题思想，而且也考查了学生运用不等式的有关知识解决实际问题的能力.【解答】(1)6,8;(2)设甲队工作y小时,令180y+120(8-y)≥1200,解得y≥4,答：甲队至少应工作4小时.【拓展】第(2)小题是在前面提供的数据信息的基础上,利用不等式知识求甲队至少工作的时间,确保该船能在当天卸完货并安全出港.中考动向前瞻：贴近社会热点的不等式(组)应用题,一般很少以选择题、填空题出现，而以解答题出现时，主要考查数形结合以及通过分析数量关系建立不等式（组）模型的解题思想.中考佳题自测1.(2001陕西)乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?2.(2001荆州)在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)3.(2001安徽)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？中考新题演练1．某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么，商店最多降_________元出售此商品.(利润=销售价-进货价,利润率=利润÷进货价×100%).2.某种植物适宜生长在温度为18℃～22℃的山区,已知山区海拔每升高100m,气温下降0.5℃,现测出山脚下的平均气温为22℃,问该植物种在山上的哪一部分为宜(设山脚下的平均海拔高度为 0m).3.商场出售的A 型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B 型节能冰箱每台售价虽比A 型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55度,现将A 型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的101),问商场至少打几折,消费者购买才合算(按使用期为10年,每年365天,每度电0.40元计算)?4.修筑高速公路经过某村,需搬迁一批农户,为了节约土地资源和保护环境,政府统一规划搬迁建房区域.规划要求区域内绿色环境占地面积不得少于区域总面积的20%.若搬迁农户建房每户占地150m 2,则绿色环境面积还占总面积的40%;政府又鼓励其他有积蓄的农户到规划区域建房,这样又有20户农户加入建房,若仍以每户占地150m 2计算,则这时绿色环境面积又只占总面积的15%,为了符合规划要求,又需要退出部分农户.问:(1)最初需搬迁建房的农户有多少户?政府规划的建房区域总面积是多少m 2?(2)为了保证绿色环境占地面积不少于区域总面积的20%,至少需退出农户几户?5.某园林的门票每张10元,一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起,可供持票者使用一年）.年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.(1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使该园林的次数最多的购票方式.(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买A类年票比较合算.6.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室等候检查进站,检查开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,内只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?参考答案中考佳题自测：1.设从甲地到乙地的路程大约是xkm,依题意得16<10+1.2(x-5)≤17.2 解得10<x ≤11.2.设租大船x 只,小船y 只,则5x+3y=48 得y=16-35x 又 x ≥0 ,y ≥0 得0≤x ≤548 费用A=3x+2y=3x+2(16-35x)=32-31x ∴当x=9时, A 最小为29故最佳方案是租大船9只,租小船1只.3.设招聘甲种工种的工人x 人,则招聘乙种工种的工人为(150-x)人,依题意得150-x ≥2x 解得x ≤50于是0≤x ≤50;设所聘请的工人共需付月工资y 元,则有y=600x+1000(150-x)=-400x+150000 易知x=50时,y 最小=130000此时乙种工种的工人为150-x=100(人).中考新题演练：1.设最多降x 元售出此商品,由题意得100010001500--x ≥5% 得x ≤450 故x 取450元 2.设该植物种在海拔高度为x 米为宜,由题意得18≤22-100x ·0.5≤20 得400≤x ≤800 3.设商场将A 型冰箱打x 折出售,则消费者购买A 型冰箱需耗资2190×10x +365×10×1×0.4(元) ; 购买B 型冰箱需耗资 2190(1+10%)+360×10×0.55×0.4(元)依题意得2190×10x +365×10×1×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4 解得x ≤8因此,商场应将A 型冰箱至少打八折出售,消费者购买才合算.4.(1)设最初需搬迁建房的农户有x 户,政府规划的建房区域总面积为ym 2,则有 15040%150(20)15%x y y x y y +=⎧⎨++=⎩, 解得4812000x y =⎧⎨=⎩(2)设至少需退出z 户,则有12000-150(68-z)≥12000×20% 解得z ≥4.5.(1)因为80<120,所以不可能选A 类年票若选B 类年票,则1024080=-(次); 若选C 类年票,则1334080=-(次); 若不购买年票,则81080=(次). 所以计划用80元花在该园林的门票上时,选择购买C 类年票的方法进入园林的次数最多,为13次.(2)设至少超过x 次时,购买A 类年票比较合算,则有不等式组602120403120x x +>⎧⎨+>⎩, 解得 302263x x >⎧⎪⎨>⎪⎩其公共解集为x>30.所以一年中进入该园林至少超过30次时,购买A 类年票比较合算.6.设至少要同时开放n 个检票口,且每分钟旅客进站x 人、检票口检票y 人，依题意得 303010210a x y a x y+=⎧⎨+=⨯⎩解得n ≥3.5∵n 只能取整数，∴n=4.a+5x ≤5ny。
2020年中考数学重难点专练05 几何综合题(解析版)
重难点05 几何综合题【命题趋势】几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，题目数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置．只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动点问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题．【满分技巧】一．熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识．二．掌握分析问题的基本方法﹕分析法、综合法、“两头堵”法﹕1．分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可．2．综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3．“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略．三．注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化、类比、归纳等等．【限时检测】（建议用时：60分钟）1. (2019 湖南省郴州市)如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE 翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把△BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE△△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且△DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．【解析】（1）证明：由折叠的性质可知：△DAE＝△DA1E＝90°，△EBH＝△EB1H＝90°，△AED＝△A1ED，△BEH ＝△B1EH，△△DEA1+△HEB1＝90°．又△△HEB1+△EHB1＝90°，△△DEA1＝△EHB1，△△A1DE△△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：△直线MN是矩形ABCD的对称轴，△点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中△△A1DE△△A1DF（SAS），△DE＝DF，△FDA1＝△EDA1，又△△ADE△△A1DE，△ADF＝90°．△△ADE＝△EDA1＝△FDA1＝30°，△△EDF＝60°，△△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），△G'F＝GE，DG'＝DG，△GDG'＝60°，△△DGG'是等边三角形，△GG'＝DG，△DGG'＝60°，△△DGF＝150°，△△G'GF＝90°，△G'G2+GF2＝G'F2，△DG2+GF2＝GE2，2. (2019 江西省)在图1，2，3中，已知△ABCD，△ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且△EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，△CEF＝°；（2）如图2，连接AF．△填空：△F AD△EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；△求证：点F在△ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．【解析】（1）△四边形AEFG是菱形，△△AEF＝180°﹣△EAG＝60°，△△CEF＝△AEC﹣△AEF＝60°，故答案为：60°；（2）△△四边形ABCD是平行四边形，△△DAB＝180°﹣△ABC＝60°，△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△F AE＝60°，△△F AD＝△EAB，故答案为：＝；△作FM△BC于M，FN△BA交BA的延长线于N，则△FNB＝△FMB＝90°，△△NFM＝60°，又△AFE＝60°，△△AFN＝△EFM，△EF＝EA，△F AE＝60°，△△AEF为等边三角形，△F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，△△AFN△△EFM（AAS）△FN＝FM，又FM△BC，FN△BA，△点F在△ABC的平分线上；（3）△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△AGF＝60°，△△FGE＝△AGE＝30°，△四边形AEGH为平行四边形，△GE△AH，△△GAH＝△AGE＝30°，△H＝△FGE＝30°，△△GAN＝90°，又△AGE＝30°，△GN＝2AN，△△DAB＝60°，△H＝30°，△△ADH＝30°，△AD＝AH＝GE，△四边形ABCD为平行四边形，△BC＝AD，△BC＝GE，△四边形ABEH为平行四边形，△HAE＝△EAB＝30°，△平行四边形ABEN为菱形，△AB＝AN＝NE，△GE＝3AB，△＝3．3. (2019 浙江省宁波市)如图1，△O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF△EC交AE于点F．（1）求证：BD＝BE．（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．（3）设＝x，tan△DAE＝y．△求y关于x的函数表达式；△如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．【解析】证明：（1）△△ABC是等边三角形，△△BAC＝△C＝60°，△△DEB＝△BAC＝60°，△D＝△C＝60°，△△DEB＝△D，△BD＝BE；（2）如图1，过点A作AG△BC于点G，△△ABC是等边三角形，AC＝6，△BG＝，△在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，△BF△EC，△BF△AG，△，△AF：EF＝3：2，△BE＝BG＝2，△EG＝BE+BG＝3+2＝5，在Rt△AEG中，AE＝；（3）△如图1，过点E作EH△AD于点H，△△EBD＝△ABC＝60°，△在Rt△BEH中，，△EH＝，BH＝，△，△BG＝xBE，△AB＝BC＝2BG＝2xBE，△AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，△在Rt△AHE中，tan△EAD＝，△y＝；△如图2，过点O作OM△BC于点M，设BE＝a，△，△CG＝BG＝xBE＝ax，△EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，△EM＝EC＝a+ax，△BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，△BF△AG，△△EBF△△EGA，△，△AG＝，△BF＝，△△OFB的面积＝，△△AEC 的面积＝，△△AEC 的面积是△OFB 的面积的10倍，△，△2x 2﹣7x +6＝0，解得：， △，探究问题4. (2019 辽宁省沈阳市)思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作//CD AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在ABC ∆和ADE ∆中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE ∆的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．△如图2，当ADE ∆在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ； △如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； △当150α=︒时，若3BC =，DE l =，请直接写出2PC 的值．【解析】（1）解：//CD AB Q ，C B ∴∠=∠， 在ABP ∆和DCP ∆中，BP CPAPB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，()ABP DCP SAS ∴∆≅∆，DC AB ∴=． 200AB =Q 米． 200CD ∴=米，故答案为：200．（2）△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知()FBP EDP SAS ∴∆≅∆，PF PE ∴=，BF DE =，又AC BC =Q ，AE DE =，FC EC ∴=，又90ACB ∠=︒Q ，EFC ∴∆是等腰直角三角形，EP FP =Q ，PC PE ∴=，PC PE ⊥．△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥．理由如下：如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同△理，可知()FBP EDP SAS ∆≅∆， BF DE ∴=，12PE PF EF ==，DE AE =Q ， BF AE ∴=，Q 当90α=︒时，90EAC ∠=︒，//ED AC ∴，//EA BC //FB AC Q ，90FBC ∠=， CBF CAE ∴∠=∠，在FBC ∆和EAC ∆中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FBC EAC SAS ∴∆≅∆，CF CE ∴=，FCB ECA ∠=∠， 90ACB ∠=︒Q ， 90FCE ∴∠=︒，FCE ∴∆是等腰直角三角形， EP FP =Q ，CP EP ∴⊥，12CP EP EF ==．△如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH AC ⊥交CA 延长线于H 点， 当150α=︒时，由旋转旋转可知，150CAE ∠=︒，DE 与BC 所成夹角的锐角为30︒，150FBC EAC α∴∠=∠==︒，同△可得()FBP EDP SAS ∆≅∆，同△FCE ∆是等腰直角三角形，CP EP ⊥，CP EP ==， 在Rt AHE ∆中，30EAH ∠=︒，1AE DE ==，12HE ∴=，AH =，又3AC AB ==Q ，3AH ∴=，22210EC AH HE ∴=+=+2212PC EC ∴==．动点问题5. (2019 湖南省衡阳市)如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE△AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在△ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【解析】（1）△△ABC是等边三角形，△△B＝60°，△当BQ＝2BP时，△BPQ＝90°，△6+t＝2（6﹣t），△t＝3，△t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．△BF平分△ABC，BA＝BC，△BF△AC，AM＝CM＝3cm，△EF△BQ，△△EFM＝△FBC＝△ABC＝30°，△EF＝2EM，△t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK△BC交AC于K．△△ABC是等边三角形，△△B＝△A＝60°，△PK△BC，△△APK＝△B＝60°，△△A＝△APK＝△AKP＝60°，△△APK是等边三角形，△P A＝PK，△PE△AK，△AE＝EK，△AP＝CQ＝PK，△PKD＝△DCQ，△PDK＝△QDC，△△PKD△△QCD（AAS），△DK＝DC，△DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′△BM＝CM＝3，AB＝AC，△AM△BC，△AM＝＝3，△AB′≥AM﹣MB′，△AB′≥3﹣3，△AB′的最小值为3﹣3．6. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，△G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ△AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．△如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；△在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．【解析】（1）解：△P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；△当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，△0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH△AB于M，交CD于N，作GE△CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，△△GDC是等腰直角三角形，△DE＝CE，GE＝CD＝10，△GF＝GE+EF＝20，△GH＝20﹣x，由题意得：PQ△CD，△△GPQ△△GDC，△＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，△梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，△当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，△0≤x≤20，△10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，△10≤x≤20，二次函数图象开口向下，△当x＝20时，S最小，△﹣202+×20≥50，△a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．7. (2019 山东省济宁市)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且△DMN＝△DAM，设AM＝x，DN ＝y．△写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；△是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图1中，△四边形ABCD是矩形，△AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，△△B＝△BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，△CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，△x＝3，△EC＝3．（2）△如图2中，△AD△CG，△＝，△＝，△CG＝6，△BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，△AD＝DG＝10，△△DAG＝△AGD，△△DMG＝△DMN+△NMG＝△DAM+△ADM，△DMN＝△DAM，△△ADM＝△NMG，△△ADM△△GMN，△＝，△＝，△y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．△存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，△△MDN＝△GMD，△DMN＝△DGM，△△DMN△△DGM，△＝，△MN＝DM，△DG＝GM＝10，△x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH△DG于H．△MN＝DN，△△MDN＝△DMN，△△DMN＝△DGM，△△MDG＝△MGD，△MD＝MG，△BH△DG，△DH＝GH＝5，由△GHM△△GBA，可得＝，△＝，△MG＝，△x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．8. (2019 山东省青岛市)已知：如图，在四边形ABCD中，AB△CD，△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE△AB，交BC于点E，过点Q作QF△AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在△BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE△OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，△△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，△AC＝＝6（cm），△OD垂直平分线段AC，△OC＝OA＝3（cm），△DOC＝90°，△CD△AB，△△BAC＝△DCO，△△DOC＝△ACB，△△DOC△△BCA，△＝＝，△＝＝，△CD＝5（cm），OD＝4（cm），△PB＝t，PE△AB，易知：PE＝t，BE＝t，当点E在△BAC的平分线上时，△EP△AB，EC△AC，△PE＝EC，△t＝8﹣t，△t＝4．△当t为4秒时，点E在△BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．（3）存在．△S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），△t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．（4）存在．如图，连接OQ．△OE△OQ，△△EOC+△QOC＝90°，△△QOC+△QOG＝90°，△△EOC＝△QOG，△tan△EOC＝tan△QOG，△＝，△＝，整理得：5t2﹣66t+160＝0，解得t＝或10（舍弃）△当t＝秒时，OE△OQ．9. (2019 四川省绵阳市) 如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF=ODAD=22，∴AF=2t ，又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD= AF AG，∴AG · AE=AD · AF=42t ，又∵AE=OA+OE=2 2 +t，∴AG=42t22+t，∴EG=AE-AG=t2+822+t，当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD=FBAD=4-2t4，∵AF∥CD，∴FGDF=2t4+2t，∴4-2t4=2t4+2t，解得：t1=10 - 2 ，t2=10 + 2 （舍去），∴EG=EH=t2+822+t =(10-2)2+822+10-2= 310 - 5 2 ；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=t2+822+t，∵DE=EF，∠DEF=90°，∴∠DEO=∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S△EFG=12EG · FK =t3+8t42+2t．10. (2019 四川省资阳市)在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C 的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF△BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，△若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；△当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．【解析】（1）△如图1中，△四边形EFGH是正方形，AB＝BC，△BE＝BG，AE＝CG，△BHE＝△BGH＝90°，△△AEH＝△CGH＝90°，△EH＝HG，△△AEH△△CGH（SAS），△AH＝CH．△如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．综上所述，S＝．（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．△EH△BM，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，△EH△BK，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．在Rt△ABC中，AC＝＝10，△EF△AB，△＝，△＝，△EF＝（16﹣t），△EH△CN，△＝，△＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．11. (2019 天津市)在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，△ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（△）如图△，求点E的坐标；（△）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．△如图△，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；△当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【解析】（△）△点A（6，0），△OA＝6，△OD＝2，△AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，△四边形CODE是矩形，△DE△OC，△△AED＝△ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，△OD＝2，△点E的坐标为（2，4）；（△）△由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′△O′C′△OB，△△E′FM＝△ABO＝30°，△在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，△S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，△S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，△S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，△S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；△当S＝时，如图△所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，△△AO'F＝90°，△AFO'＝△ABO＝30°，△O'F＝O'A＝（6﹣t）△S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），△t＝6﹣；当S＝5时，如图△所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，△O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），△S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，△当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．12. (2019 四川省南充市)如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF 与BC 交于点M ，延长EM 交GF 于点H ，EF 与GB 交于点N ，连接CG.（1）求证：CD△CG ；（2）若tan△MEN=31，求EMMN 的值；（3）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为21？请说明理由.【解析】（1）证明：在正方形ABCD ，DEFG 中，DA=DC ，DE=DG ，△ADC=△EDG=△A=90°（1分）△△ADC -△EDC=△EDG -△EDC ，即△ADE=△CDG ，△△ADE△△CDG （SAS ）（2分）△△DCG=△A=90°，△CD△CG （3分）（2）解：△CD△CG ，DC△BC ，△G 、C 、M 三点共线△四边形DEFG 是正方形，△DG=DE ，△EDM=△GDM=45°，又△DM=DM△△EDM△△GDM ，△△DME=△DMG （4分）又△DMG=△NMF ，△△DME=△NMF ，又△△EDM=△NFM=45°△△DME△△FMN ，△DMFM ME MN =（5分） 又△DE△HF ，△DM FM ED HF =，又△ED=EF ，△EFHF ME MN =（6分） 在Rt△EFH 中，tan△HEF=31=EF HF ，△31=ME MN （7分） （3）设AE=x ，则BE=1-x ，CG=x ，设CM=y ，则BM=1-y ，EM=GM=x+y （8分）在Rt△BEM 中，222EM BM BE =+，△222)()1()1(y x y x +=-+-， 解得11+-=x x y （9分） △112++=+=x x y x EM ，若21=EM ，则21112=++x x ， 化简得：0122=+-x x ，△=-7＜0，△方程无解，故EM 长不可能为21. 13. (2019 浙江省台州市)如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP ＝FD ．（1）求的值；（2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM ＝EB ，连接MF ，求证：MF ＝PF ；（3）如图2，过点E 作EN △CD 于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ ＝AP ，连接BQ ，BN ．将△AQB 绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点Q '落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点B '是否落在线段BN 上，并说明理由．【解析】（1）设AP ＝FD ＝a ，△AF ＝2﹣a ，△四边形ABCD 是正方形，△AB △CD ，△△AFP △△DFC ，△，即，△AP＝FD＝﹣1，△AF＝AD﹣DF＝3﹣△＝（2）在CD上截取DH＝AF△AF＝DH，△P AF＝△D＝90°，AP＝FD，△△P AF△△HDF（SAS），△PF＝FH，△AD＝CD，AF＝DH，△FD＝CH＝AP＝﹣1，△点E是AB中点，△BE＝AE＝1＝EM，△PE＝P A+AE＝，△EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，△EC＝，△EC＝PE，CM＝﹣1，△AP△CD，△△P＝△PCD，△△ECP＝△PCD，且CM＝CH＝﹣1，CF＝CF，△△FCM△△FCH（S AS），△FM＝FH，△FM＝PF.（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，△EN△AB，AE＝BE△AQ＝BQ＝AP＝﹣1由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝﹣1，△点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）△直线BN解析式为：y＝x﹣2设点B'（x，x﹣2）△AB'＝＝2△x＝△点B'（，﹣）△点Q'（﹣1，0）△B'Q'＝≠﹣1△点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．。
中考数学考点10一次函数图像与性质总复习(原卷版)
一次函数的图像与性质【命题趋势】在中考中，主要以选择题、填空题和解答题形式出现，主要考查一次函数的图像与性质，确定一次函数的解析式，一次函数与方程（组）、不等式的关系。
一次函数与二次函数、反比例函数综合也是中考重点之一。
【中考考查重点】一、结合具体情景体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；二、利用待定系数法确定一次函数的表达式；三、根据一次函数画出图像，探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；四、体会一次函数与二元一次方程的关系考点一：一次函数及其图像性质概念一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0十，即y=kx，这时称y是x的正比例函数（一次函数的特殊形式）增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少图像（草图）b＞0b=0b＜0b＜0b=0 b＜0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴的交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上【提分要点】：1.若两直线平行，则；2.若两直线垂直，则1．（2021春•大安市期末）一次函数y＝2x﹣1图象经过象限（）A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四2．（2021秋•肃州区期末）对于一次函数y＝x+6，下列结论错误的是（）A．函数值随自变量增大而增大B．函数图象与x轴正方向成45°角C．函数图象不经过第四象限D．函数图象与x轴交点坐标是（0，6）3．（2021秋•东港市期中）点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）都在直线y＝﹣2x上，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2 4．（2021秋•三水区期末）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．考点二：一次函数解析式的确定方法待定系数法步骤1.设：一般式y=kx+b（k≠0）（题干中未给解析式需设）2.代：找出一次函数图像上的两个点，并且将点坐标代入函数解析式，得到二元一次方程组；3.求：解方程（组）求出k、b的值；4.写：将k、b的值代入，直接写出一次函数解析式5．（2021秋•尤溪县期中）已知一次函数y＝x+b过点（﹣1，﹣2），那么这个函数的表达式为（）A．y＝x﹣1B．y＝x+1C．y＝x﹣2D．y＝x+2 6．（2021春•海珠区期末）已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m 的值为（）A．3B．2C．﹣2D．2或﹣2 7．（2021秋•萧山区月考）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝1，则y与x之间的函数关系式为．8．（2021春•古丈县期末）某个一次函数的图象与直线y＝x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（）A．y＝﹣x﹣5B．y＝x+3C．y＝x﹣3D．y＝﹣2x﹣8考点三：一次函数图像的平移平移前平移方式（m＞0）平移后简记y=kx+b 向左平移m个单位长度y=k（x+m）+bx左加右减向右平移m个单位长度y=k（x-m）+b向上平移m个单位长度y=kx+b+m等号右端整体上加下减向下平移m个单位长度y=kx+b-m9．（2021秋•金安区校级期中）将直线y＝2x向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x C．y＝2x+4D．y＝2x﹣2 10．（2021春•米易县期末）一次函数y＝2x﹣4的图象由正比例函数y＝2x的图象（）A．向左平移4个单位长度得到B．向右平移4个单位长度得到C．向上平移4个单位长度得到D．向下平移4个单位长度得到11．（2021秋•长丰县月考）已知点A（2，4）沿水平方向向左平移3个单位长度得到点A'，若点A'在直线y＝x+b上，则b的值为（）A．1B．3C．5D．﹣1考点四：一次函数与方程（组）、不等式与一元一次方程的关系方程ax+b=0（a≠0）的解是一次函数y=ax+b(a≠0）的函数值为0时自变量的取值，还是直线y=ax+b(a≠0）与x 轴交点的横坐标与二元一次方程组的关系方程组的解时直线的交点坐标与一元一次不等式的关系1.从“数”来看（1）kx+b＞0的解集是y=kx+b中，y＞0时x的取值范围（2）kx+b＞＜0的解集是y=kx+b中，y＜0时x的取值范围2.从“形”上看（1）kx+b＞0的解集是y=kx+b函数图像位于x上方部分对应的点的横坐标（2）kx+b＜0的解集是y=kx+b函数图像位于x下方部分对应的点的横坐标12．（2021秋•乐平市期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b ＝0的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝﹣2D．x＝﹣3 13．（2021秋•安徽期中）已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝414．（2021春•沧县期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝5C．x＝25D．x＝15 15．（2020秋•建湖县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x＜kx+b≤0的解集为（）A．x≤﹣2B．﹣2≤x＜﹣1C．﹣2＜x≤﹣1D．﹣1＜x≤0 16．（2021秋•兴宁区校级月考）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y ＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（2，c），则关于x的不等式组的解集为（）A．x＜5B．1＜x＜5C．﹣2＜x＜5D．x＜﹣217．（2020秋•西林县期末）如图所示是函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象，则方程组的解是（）A．B．C．D．1．（2021春•扎兰屯市期末）将直线y＝﹣2x﹣2向右平移1个单位长度，可得直线的表达式为（）A．y＝2x B．y＝﹣2x﹣4C．y＝﹣2x D．y＝﹣2x+4 2．（2021春•玉田县期末）下列有关一次函数y＝﹣6x﹣5的说法中，正确的是（）A．y的值随着x值的增大而增大B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，5）C．当x＞0时，y＞﹣5D．函数图象经过第二、三、四象限3．（2021春•红寺堡区期末）点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣4x+3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＞y2＞0C．y1＜y2D．y1＝y2 4．（2021秋•运城期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A（2，﹣1），则这个一次函数的表达式是（）A．y＝﹣2x+3B．y＝x+3C．y＝2x+3D．y＝x+35．（2021秋•南海区期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0）、（0，1），则下列结论正确的是（）A．k＝1B．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2C．b＝2D．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝16．（2021秋•滕州市期中）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3 7．（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3 8．（2020秋•开化县期末）如图，直线y＝2x+n与y＝mx+3m（m≠0）的交点的横坐标为﹣1，则关于x的不等式2x+n＜mx+3m＜0的整数解为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣3.59．（2021春•单县期末）已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（2021春•武陵区期末）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a ≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max（2x﹣1，﹣x+2}，则该函数的最小值是（）A．2B．1C．0D．﹣1 11．（2020秋•成安县期末）如图，若直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣4，0），与y 轴正半轴交于B，且△OAB的面积为4，则该直线的解析式为（）A．B．y＝2x+2C．y＝4x+4D．12．（2021春•饶平县校级期末）已知2y﹣3与3x+1成正比例，则y与x的函数解析式可能是（）A．y＝3x+1B．C．D．y＝3x+2 13．（2021秋•榆林期末）已知直线l1交x轴于点（﹣3，0），交y轴于点（0，6），直线l2与直线l1关于x轴对称，将直线l1向下平移8个单位得到直线l3，则直线l2与直线l3的交点坐标为（）A．（﹣1，﹣4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，﹣1）1．（2021•长沙）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（）A．B．C．D．2．（2021•嘉峪关）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）A．y＝5x﹣2B．y＝5x+2C．y＝5（x+2）D．y＝5（x﹣2）3．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5 4．（2021•抚顺）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝B．x＝1C．x＝2D．x＝4 5．（2020•牡丹江）两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a，它们在同一个直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2021•乐山）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x 7．（2021•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（）A．﹣4＜x＜2B．x＜﹣4C．x＞2D．x＜﹣4或x＞2 8．（2019•苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞19．（2021•德阳）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（）A．k＞1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＜﹣1 10．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4 11．（2019•江西）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．（1）求点C的坐标；（2）求线段BC所在直线的解析式．1．（2021•庐阳区校级一模）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（）A．y随x的增大而增大B．与y轴交于点（0，﹣2）C．函数图象不经过第一象限D．与x轴交于点（﹣3，0）2．（2021•陕西模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+m沿x轴向右平移4个单位后恰好经过（1，2），则m＝（）A．﹣1B．2C．﹣4D．﹣3 3．（2021•商河县校级模拟）若一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝﹣bx+k的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2021•萧山区一模）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5．（2021•陕西模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（）A．y＝x+3B．y＝2x﹣3C．y＝3x﹣3D．y＝4x﹣4 6．（2021•蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝1D．x＝﹣17．（2021•奉化区校级模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣x D．y＝﹣x8．（2021•遵义一模）如图，直线y＝kx+b（k＜0）与直线y＝x都经过点A（3，2），当kx+b＞x时，x的取值范围是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3 9．（2021•饶平县校级模拟）如图，函数y＝ax+b和y＝﹣x的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组中的解是（）A．B．C．D．10．（2021•杭州模拟）已知直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4），若将直线l向上平移2个单位后经过原点，则直线的表达式为（）A．y＝2x+2B．y＝2x﹣2C．y＝﹣2x+2D．y＝﹣2x﹣2 11．（2021•南山区校级二模）我国古代很早就对二元一次方程组进行了研究，古著《九章算术》记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）据此，则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是．12．（2021•杭州模拟）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．。
2020年广东省中考数学试卷分析1
2020年广东省中考数学试卷分析一、试卷整体分析纵观整份试卷，本次考试试卷分值120分，考试时间为90分钟，共25题，题型分为选择题、填空题、解答题（一）、解答题（二）、解答题（三）。
1.考试时间由100分钟减为90分钟，去掉一个解答题，增加一个填空题，在解题速度上对考生是一个考验。
所以，如何在时间上安排也是一门学问。
一般来讲：选择题12-15分钟；填空题12-15分钟；解答题（一）12-15分钟；解答题（二）15-18分钟；解答题（三）24-25分钟，最少检查时间2分钟，最多检查时间15分钟。
2.全卷的考查知识点覆盖面广，整体难度加大，侧重基础知识、基本技能与学生能力。
卷面较往年题型而言，改变较大，题型较新，有一定的改革。
对于学生计算能力、解题能力和思维能力的考查较高。
全卷基础题和综合题的区分比较明显，体现了中考作为升学和选拔的双重功能。
3.全卷考查的整体变化：①以往中考数学必考的一些知识点，今年取消了或没有单独考查，比如：科学记数法、三视图、中心对称与轴对称、整式的运算、一元二次方程根的判别式、实数的运算、分式化简求值等.②知识点改变考查形式，比如：尺规作图题一直作为解答题（一）的必考题，今年没有继续考查让学生作图，而是作为一个条件出现在填空题（考查垂直平分线）。
③知识点改变位置、降低考查难度，比如：圆的综合大题以往固定在解答题（三）作为压轴题，今年调整到解答题（二）位置，难度调低。
④计算量及计算难度，较往年有所增加。
特别是对于无理数的计算，要求较高。
比如第21题和第25题，特别是25题，计算量特别大，而且易出错。
⑤函数大题占比提升。
今年选择题最后1题、解答题最后2题，都是以函数为模型，可见函数在中学阶段的霸主地位。
⑥出题点有多突破。
比如：第17题求梯子滑动中的最值问题，第21题求同解方程，都是平时关注较少，但又不算陌生的情景。
三、2021中考备考展望1.警惕“三种失误”①会做的题做不全。
即“确定会考，训练没有加强”；②熟悉的题不会做。
2020年广东省肇庆市中考数学试卷分析
中考数学试题及年复习备考高要市乐城镇初级中学戴伟良年肇庆市中考有新政策，由以往的全市命题改为采用省教育考试院命制的试题进行考试。
试卷立足现行初中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学能力的综合考查。
（一）试卷结构作了调整2013年广东省中考试题较2012年试题，总分和考试时间没变，考试时间为100分钟，总分120分，题型仍然为选择，填空，解答三种题型，结构上作了调整。
（二）试题知识全面，分布合理2013年的中考数学的试题严格按照考纲出题，考查知识全面，试题难易适中。
试卷目标明确，重点突出，分布合理。
考查内容既考虑到知识的覆盖面，又突出了重点知识和核心内容的考查，重点考查初中数学的核心内容，如函数、圆、方程与不等式、三角形、四边形、统计等。
试题源于教材，既紧扣双基，贴近生活，又突出能力要求，形式多样，试卷在注意控制难度的同时，又有恰当的区分度。
2013年广东省中考数学试卷各题详细知识点归纳2013年广东省中考数学试卷考点模块占比(三) 注重实际应用，思想方法和能力的考察1 重视对数学知识应用的考查，体现数学在实际生活中的应用。
如试卷第3题取自本土，关注广东省第一季度生产总值，第20题中对统计知识的考查关于同学们对五种球的喜爱情况，贴近生活符合学生的认知水平。
第21题，选取雅安地震赈灾捐款，考察了运用一元二次方程求增长率，同时也能对学生进行思想教育“一方有难，八方支援”。
2.注重数学思想方法的考查。
试题在初中数学基本知识的考察了初中数学中常见的函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法。
如第6，8,10,23,24,25题主要渗透数形结合的思想方法，21,23渗透方程与函数的思想方法，16题渗透化归与转化的思想方法,求阴影部分面积转化为求扇形面积。
3注重学生的动手作图能力和探索思考能力。
第19题考察尺规作图，第20题考察补充条形统计图，相对来说比较简单。
2020年中考数学中考真题分类专题解析汇编：专题10：四边形
2020年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形一、选择题1. （2019广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【】A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】A。
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。
【分析】根据题意画出图形，如右图所示：连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC。
∴EF=GH，EF∥GH。
∴四边形EFGH是平行四边形。
由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。
故选A。
2．（2019广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】A．26B．25C．21D．20【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。
∴BE=AD=5。
∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。
故选C。
3. （2019广东广州3分）在平面中，下列命题为真命题的是【】A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】C。
【考点】命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定。
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误。
青岛市2020年中考试卷分析——数学学科
青岛市2020年中考试卷分析—数学学科试卷类型中考年级九年级分值120分学科数学一、考查范围、重难点分析试题考察范围：初中四大模块：数与代数、图形与几何、统计与概率与课题学习，其中以数与代数（40.8%）与图形与几何（38.4%）部分占比较高重难点：代数部分：将一次函数模型与分式方程模型，二元一次方程组模型、二次函数模型以及一元一次不等式模型通过实际生活情境进行组合考察；几何部分：填空题中的几何小题将初中各个年级中的几何部分知识进行综合考察，并在今年的压轴题目中，利用了辅助线的添加进行题目求解，在往年的中考中很少出现；课题学习：将初中的规律探究的一般公式衔接到高中的数列求和公式，加强初高中的知识衔接；动点：题目较往年有部分变动，每一问难度都更加的均衡，去掉了利用面积表达式求解方程的纯计算问题，但整体的计算难度有所提升。
二、试卷考点分布及评价代数、几何各年级所占比比例统计分析数与代数空间与图形统计与概率课题学习分数七年级1，3，18，24 7，13，21 19 17八年级8，9，16，20 2，5，7，13，14，15，24 10，19 43九年级8，11，12，22，24 4，6，7，13，14，15，18，21，24 17 23 60 分数49 46 15 10比例40.8% 38.4% 12.5% 8.3%难度★★★★★★★★★★★★三、易错、易失分题分析考查题型易失分题占分比重易失分点说明填空题（18分）6分16.7%填空题13题，考察几何部分的综合运用，学生们对于知识的综合运用不够熟练会导致做不出来，同时还有部分的数学模型在其中进行了考察（等面积法等），学生不易想到。
填空题14题，考察圆的相关知识，与前几年中考题型相比发生变化，且综合性较强，学生可能不适应，同时此题需要添加辅助线进行求解，学生不易想到如何添加辅助线。
解答题（74分）19分；2.6%解答题20题，考察一次函数与分式方程模型与生活实际相结合的问题，第一问相对简单，但在第二问的题目分析上容易出现错误。
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注意指导学生答案具有的开放性，不可用唯一的标准作为规范解答，以免误导学生。 4.与生活实际相联系的问题会越来越受命题者的青睐，而解决实际问题必须要建立数学模型，指导学
生将实际问题转化为数学模型是今后教学的一个重点，必须培养学生用数学的方法解决问题的能力，培养 学生对探索性试题进行研究，培养学生的合作交流意识，从数学的角度提出问题，理解问题，并综合运用 数学知识解决问题;只有掌握了一定的解决问题的基本策略，才能在中考中较好地发挥水平，充分展示能 力。应用题仍是属于此类型且是必考题目，题型有函数型、统计型、概率型。
一、命题特点分析 (一)注重知识点与学习能力的考查 分析近几年全国各地的中考试题，对照每年的《中考说明》要求，均注意到了对重要知识点的考查。 如：在每年的第一类解答题中，必考的内容有实数的运算、代数式的化简求值、解不等式组、解方程或方 程组、一元二次方程根的判别式或根与系数的关系、概率统计等;在每年的第二类解答题中，列方程解应 用题、解直角三角形、求函数解析式、平面图形的简单论证和计算等是考查的重点;在每年的第三类解答 题中，则是中考稳中求变的突破口，将基础性、应用性、实践性、开放性、探究性融入其中。但总体来说， 还是有规律可以捕捉的，如圆与三角形、圆与四边形中等积式和比例式的证明，几何与方程、函数的结合 题，几何图形中的一些条件给定、探求结果的开放型题等都是近几年来保留的压轴题。 1.从知识点上看，在命题方向上，近几年没有太多的起伏;从内容上看，几何题中的面积、弧长、侧 面积或圆中线段、角度计算或者与代数、相似三角形、三角函数的联系等，二次函数综合题仍是多数省市 压轴题的首选内容，圆的内容也有所侧重，并且考试内容与考查方式的结合新颖。对这些知识点的考查并 不放在对概念、性质的记忆上，而是对概念、性质的理解与运用上，通过现实生活来体验数学的妙趣。 2.从学习能力上看，着重考查学生数学思想的理解及运用。数学能力是学好数学的根本，主要表现为 数学的思想方法。初中数学中最常见的思想方法有：分类、化归、数形结合、猜想与归纳等。其中，数形 结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想等几乎是近几年中考试卷考查的重点。 (二)注重运用知识解决实际问题的考查 数学来源于生活，同时也必将应用于生活，学数学就是为了解决生活中所碰到的实际问题。近几年的 中考题相当注重运用数学知识解决实际问题的考查，考查层次非常丰富，不同水平的学生可以充分展示自 己不同的探究深度，以及综合运用数学知识、思想方法去探索规律、获取新知的能力。 (三)注重创新思维与数学活动过程的考查 近几年不仅注重对学生数学学习结果的评价，更注重对学生数学活动过程的评价;不仅注重数学思想 方法的考查，还注重对学生在一般性思维方法与创新思维能力发展等方面的评价，尤其注重对学生探索性 思维能力和创新思维能力的考查;不仅关注学生知识水平的提高，更多的则是关注对学生的数学思维潜力 的开发与提高。试题的形式多样，既有通过学生阅读材料去理解一些数学对象的试题，也有借助所提供的 各种形式的素材去考查学生从中获取信息的试题，还有适量的操作性和探索性试题。 二、命题趋势分析 中考命题中如何从具体情境中抽象出数学材料，并将获得的材料符号化，体现了数学问题源于教学但 高于教学的教学理念，使试题始终散发着“数学味”，促进学生个性得充分发展一直是各地命题专家关注 的热点。由近几年的命题特点来看，体现基础性、应用性、实践性、开放性、探究性是近几年全国中考数 学试题的重要特征，也将是今后几年全国中考数学命题的总趋势。具体分析如下： 1.数与式部分的试题早已不再繁、难、偏，取而代之的是点多面广。多是与数学意义、与实际生活紧 密联系的问题，以及在变化的图形或实际问题的背景中观察、概括出一般规律，运用数学模型解决实际问 题等。 2.空间与图形部分的内容与以往相比难度有较大的降低，不会出现特别繁难的几何论证题目，在填空 题和选择题中将重点考查视图、几何体及其平面展开图之间的关系以及初步的空间观念，几何论证题将以 常见的几何图形为主，贴近教材，接近学生基础，注重格式的规范性及论证的严密性。 3.统计与概率部分的试题，仍会受到命题者的重视。新课标指出，发展统计观念是新课程的一处重要 目标。与统计有关的试题往往要求学生有较强的阅读能力，因此在平时的教学中教师应适当提高学生的阅 读能力和图标信息处理能力，另外，统计题中有些问题没有统一的结论，因此，在平时的教学中，教师要
5.创新思维与实践能力的综合考查题有加重分量的趋势。近几年中考命题对观察、实验、类比、归纳、 猜想、判断、探究等能力的综合考查特别突出，试题通过给定资料让学生运用所学知识“再发现”，通过 一种新颖独立的创新思维活动，解答所提出的几个问题。特别是探究型和应用类试题，探索数式规律和图 形变化规律题，以及阅读理解、实验操作题，这种考查思维能力和动手能力的题目非常活跃，多年以来已 形成传统压轴题，倍受关注。
标为（ ）
A．（3，1） B．（3， 11 ）
4 C．（3， 16 ）
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D．（3， 12 ） 5
2019-2020 学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= 13 x-32 - 3 与 y 轴交于点 A，顶点为 B，直线 l：y=- 4 x+b
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ห้องสมุดไป่ตู้
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经过点 A，与抛物线的对称轴交于点 C，点 P 是对称轴上的一个动点，若 AP+ 3 PC 的值最小，则点 P 的坐 5
2020 中考数学命题趋势分析
认真研究分析近几年全国各地的中考数学试题，把握中考命题的方向和脉搏，对落实新课程标准，有 效地组织数学课的教学和初三备考复习，有重要的指导意义。通过对近几年中考数学题的研究分析，不难 发现，试题注重对学生的基础知识、基本技能、基本思想方法的“三基”考查。强调理论联系实际，关注 数学知识与生活实际的密切联系，引导学生关注社会生活，密切联系最新的科技成果和社会热点，从多方 面考察学生的能力与数学素养。具体分析如下：