高考数学文科滚动检测仿真试题及答案 (23)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(文科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．集合{}|2sin 1,R A x x x ==∈，{}230B x x x =-≤，则A B = （）A ．[]0,3B ．π6⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎧⎫⎨⎩⎭【答案】D【分析】根据三角函数的性质求出集合A ,再解一元二次不等式求出集合B ，即可求解.【详解】由2sin 1x =得1sin 2x =解得π2π6x k =+或5π2π,Z 6k k +∈，所以π|2π6A x x k ⎧==+⎨⎩或5π2π,Z 6k k ⎫+∈⎬⎭，又由230x x -≤解得03x ≤≤，所以{}03B x x =≤≤，所以A B = π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故选:D.2．已知实数a ，b 满足()()i 2i 2i a b +-=+（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =+的共轭复数为（）A ．43i 55+B ．43i55-C ．34i55+D ．34i55-【答案】B【分析】根据复数的运算法则得到35a =，45b =，再计算共轭复数得到答案.【详解】实数a ，b 满足()()i 2i 2i a b +-=+（其中i 为虚数单位），故()()()22i 2i 34i i 2i 2i 2i 55a b +++===+--+，35a =，45b =，复数43i i 55z b a =+=+的共轭复数43i 55z =-，故选：B3．若,a b += 且a b ⊥ ，则向量a b +与a 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】结合平面向量的数量积运算及模长运算即可求解a b +与a的夹角.【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=又因为a b a +，所以222423a a b b a +⋅+= ，及223a b = ，所以2a b b+=所以a b + 与a 的夹角表示为,a b a + ，则()2cos ,2a b a a a b aa b a a b aa b a a b +⋅+⋅+====+⋅+⋅+所以a b +与a的夹角为π6.故选：A.4．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C ．甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为89【答案】D【分析】A.利用极差的定义求解判断； B.利用中位数的定义求解判断； C.利用平均数的定义求解判断； D.利用百分位数的定义求解判断.【详解】对A ，甲班参赛同学得分的极差为937617-=，乙班参赛同学得分的极差为947123-=，故正确；对B ，甲班参赛同学得分的中位数是8284832+=，乙班参赛同学得分的中位数是828583.52+=，故正确；对C ，甲班参赛同学得分的平均数为7679808284889093848+++++++=，故正确；对D ，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，3864⨯=，取第6个与第7个数的平均数为第75百分位数，即为899089.52+=，故错误.故选：D5．已知0x >，0y >，282x y ⋅=，则113xy+的最小值是（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【分析】首先根据已知条件得到31x y +=，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为33282222x y x y x y +⋅=⋅==，所以31x y +=，因为0x >，0y >，所以()111133224333x y x y xy x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭.当且仅当33x y y x =，即12x =，16y =时等号成立.故选：C6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点M 在C 上，圆M 的半径为1，过点F 的直线与圆M 相切于点N ，则FM FN ⋅ 的最小值为（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】利用向量数量积的定义得22||||1FM FN FN FM ⋅==-，再根据抛物线的定义可得||2M pFM x =+，进而可求解.【详解】2222||||1()1(1)11102M M pFM FN FN FM x x ⋅==-=+-=+-≥-= ，当0M x =即点M 为坐标原点时，取最小值，故选:B.7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图，若输入的2,2x n ==，一次输入的a 为2、2、5，则输出的s 等于（）A ．34B ．17C ．12D ．7【答案】B【分析】模拟程序运行，观察变量值，判断条件可得结论．【详解】程序运行时，变量值变化如下：2x =，2n =，0k =，0s =，2a =，2s =，1k =，不满足k n >；2a =，6s =，2k =，不满足k n >；5a =，17s =，3k =，满足k n >．输出17s =．故选：B ．8．已知函数()y f x =的图象的一部分如图所示，则该函数解析式可能是（）A ．()2sin f x x x =⋅B ．()2cos f x x x=⋅C ．())cos ln f x x x=⋅D ．())cos lnf x x x=⋅【答案】D【分析】根据奇偶性可排除B ；A 中函数与与x 轴交点间距离相等，与图象不符，可排除A ；根据()0,1x ∈时，)cos ln 0y x x =⋅-<可排除C ，由此可得正确选项.【详解】由图象可知：()f x 图象关于原点对称，则()f x 为奇函数，()()22cos cos x x x x -⋅-= ，2cos y x x ∴=⋅为偶函数，排除B ；令2sin 0x x ⋅=，解得：()πx k k =∈Z ，则2sin y x x =⋅与x 轴交点间距离相等，与图象不符，排除A ；当()0,1x ∈时，)lnln10x =<=，cos 0x >，)cos ln0x x ∴⋅<，即在0x =右侧)cos lny x x =⋅函数值先为负数，与图象不符，排除C.故选：D.9．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的三棱锥O AEF -中，下列结论错误的是（）A ．AO ⊥平面EOFB ．三棱锥O AEF -的体积为13C ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为D ．⊥AE 平面OAH 【答案】D【分析】利用线面垂直的判定定理即可判断A ，利用体积法即可判断B ，作出三棱锥的直观图，作出要求的空间角即可判断C ，利用线面垂直的判定定理证明EF ⊥平面OAH 即可判断D【详解】翻折前，AB BE ⊥，AD DF ⊥，故翻折后，OA OE ⊥，OA OF ⊥，又OE OF O ⋂=，,OE OF ⊂平面EOF ，OA ∴⊥平面EOF ，故A 正确；由题意可知，三棱锥的侧棱AO ⊥底面OEF ，则111112323O AEFA OEF V V --==⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；连接OH ，AH ，则OHA ∠为AH 与平面EOF 所成的角，1OE OF == ，H 是EF 的中点，OE OF ⊥，122OH EF ∴==．又2OA =，tan OA OHA OH ∴∠==C 正确；OA ⊥ 平面EOF ，EF ⊂平面EOF ，OA EF ∴⊥，又OH EF ⊥，,,OA OH O OA OH ⋂=⊂平面OAH ，EF ∴⊥平面OAH ．∵AE 与EF 不平行，AE ∴不可能与平面OAH 垂直，故D 错误．故选：D ．10．已知数列{}n a 的前n 项和组成的数列{}n S 满足11S =，25S =，21320n n n S S S ++-+=，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．12n n a -=B ．11,122,2n n n a n -=⎧=⎨+≥⎩C ．1,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩D ．2nn a =【答案】C【分析】首先计算得11a =，24a =，故可排除A ，D ；由21320n n n S S S ++-+=，得212n n a a ++=，从而得数列{}n a 从第2项起成等比数列，首项为4，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】解：因为11S =，25S =，所以111a S ==，2214a S S =-=，故可排除A ，D ；又因为21320n n n S S S ++-+=，所以2112()n n n n S S S S +++-=-，即212n n a a ++=，又因为21441a a ==，所以当2n ≥时，数列{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，所以2422n n n a -=⨯=，所以1,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩.故选：C.11．设函数()()π2sin 10,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+->≤≤ ⎪⎝⎭与()1cos 2g x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有相同的对称轴,且()f x 在[]0,5π内恰有3个零点,则ϕ的取值范围为（）A ．π50,π312⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ B ．πππ0,,432⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π50,π612⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D ．πππ0,,632⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】D【分析】根据()f x 与()g x 有相同对称轴,求出ω的值,对()f x 的相位进行换元,根据π02ϕ≤≤,确定定义域大致范围,画出新函数图象,分ϕ在第一个零点前后两种情况讨论,根据有3个零点,写出不等式求出范围即可.【详解】解:由题知,因为()f x 与()g x 有相同对称轴,所以12ω=,即()12sin 12f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,π02ϕ≤≤,令15π,22t x ϕϕϕ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦,即2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点,因为π02ϕ≤≤,所以5π5π3π22ϕ≤+≤画出2sin 1y ϕ=-图象如下所示:当π06ϕ≤≤时,2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点,只需13π5π17π626ϕ≤+<,解得ππ33ϕ-≤<,故π06ϕ≤≤;当ππ62ϕ≤≤时,2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点,只需17π5π3π62ϕ≤+≤,解得ππ32ϕ≤≤,综上:π06ϕ≤≤或ππ32ϕ≤≤.故选:D12．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠= ，将BCD △沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A BD P --的平面角的余弦值为13-，则此时三棱锥P ABD -的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（）AB C ．4πD ．【答案】C【分析】根据菱形性质和二面角平面角定义可知1cos 3AOP ∠=-，利用余弦定理求得PA 后，结合勾股定理可知PD DA ⊥，PB BA ⊥，由此可确定三棱锥的外接球半径为12PA =BD ⊥平面AOP ，结合棱锥体积公式可求得P ABD V -，作比即可得到结果.【详解】连接BD AC ，交于O ，连接PO ，易得O 为BD 与AC的中点，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，即AO BD ⊥，PO BD ⊥，∴二面角A BD P --的平面角为AOP ∠，1cos 3AOP ∴∠=-；又2AB AD ==，60BAD ∠=，AO PO ∴==，2BD =；在AOP中，由余弦定理得：PA =；2PD AD == ，2PB AB ==，22222PD AD PB AB PA ∴+=+=，PD DA ∴⊥，PB BA ⊥，∴三棱锥P ABD -的外接球球心为PA 中点，半径为12PA ∴三棱锥P ABD -的外接球体积34π33V =⨯=；AO BD ⊥ ，PO BD ⊥，AO PO O = ，,AO PO ⊂平面AOP ，BD ∴⊥平面AOP ，1cos ,0180,3AOP AOP ∠=-︒<∠<︒sin 3AOP ∴∠=，1sin 2AOP S AO PO AOP ∴=⋅∠=13P ABD AOP V S BD -∴=⋅=∴三棱锥P ABD -的外接球的体积与该三棱锥的体积之比为34πP ABDV V -=.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，解题关键是能够结合二面角的大小和勾股定理确定三棱锥的侧面PDA 和PBA 为直角三角形，并且有公共斜边PA ，结合直角三角形的性质确定三棱锥外接球球心即为PA 的中点.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果11,16n a a ==，那么n d +的最小值为______.【答案】9【分析】由题意可得()11515153n d -==⨯=⨯，再结合数列的各项均为正整数可求出,n d ，从而可求得结果.【详解】由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，得()1116n d +-=，()11515153n d -==⨯=⨯，因为数列的各项均为正整数，所以1151n d -=⎧⎨=⎩，或1115n d -=⎧⎨=⎩，或153n d -=⎧⎨=⎩，或135n d -=⎧⎨=⎩，所以161n d =⎧⎨=⎩，或215n d =⎧⎨=⎩，或63n d =⎧⎨=⎩，或45n d =⎧⎨=⎩，所以n d +最小值为9.故答案为：914．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．【答案】310##0.3【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有()()()()()()()()()(){}135137139157159179357359379579，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,总数为10，能构成三角形的情况有：(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个基本事件，故概率为310．故答案为：31015．在平面直角坐标系xOy 中，圆22(1)(2)4x y -+-=上一点到直线()20mx ny n m -+-=的最大距离为______．【答案】3【分析】由于直线()20mx ny n m -+-=恒过点()2,2，则圆心()1,2与点()2,2连线与直线()20mx ny n m -+-=垂直，进而可得答案．【详解】圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2，因为直线()20mx ny n m -+-=为()()220m x n y -+-=，所以直线()20mx ny n m -+-=恒过点()2,2，若圆22(1)(2)4x y -+-=上一点到直线()20mx ny n m -+-=的距离最大，则圆心()1,2与点()2,2连线与直线()20mx ny n m -+-=垂直，又圆心与()2,2距离1d ==，所以最大距离为123d r +=+=，故答案为：3．16．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，若对x ∀∈R ，()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=，()()22g x g x -=+成立，且()24g =，则()()()()()1232223f f f f f +++++= __________.【答案】25-【分析】代入0x =到()()25f x g x +-=中得出()01f =，再推导出()f x 的周期进行求解即可.【详解】因为()()25f x g x +-=①，且()()22g x g x -=+②，()()47g x f x --=即()()227g x f x +--=，结合②可得()()227g x f x ---=③，①③相减有()()22f x f x +-=-，故()()22f x f x ++=-④，即()()22f x f x +=-，故()f x 周期为4.在①中令0x =，有()()025f g +=，又()24g =，可得()01f =.由④，令0x =，1x =有()()()()02132f f f f +=+=-，结合()f x 周期为4，则()()()()()1232223f f f f f +++++ ()()()()()()()012322230f f f f f f f =++++++- ()()()()()()601230f f f f f =+++-()64125=⨯--=-故答案为：25-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(12分）如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，24AD DE AF ===．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求三棱锥B DEF -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)323【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可；（2）通过图形中的垂直关系得到三棱锥的底面积和高，利用三棱锥的体积公式求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC DE ⊥，又因为BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE ．（2）因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥，因为AF DE ∥，所以点F 到DE 的距离为4，14482DEF S =⨯⨯=△，因为AB AD ⊥，DE AB ⊥，AD D =，,AD DE ⊂平面ADEF ，所以AB ⊥平面ADEF ,所以点B 到平面DEF 的距离为4，所以1328433B DEF V -=⨯⨯=．18．(12分）如图，在ABC 中，π2ACB ∠=，π3CAB ∠=，2AC =，点M 在线段AB 上．(1)若cos 6CMA ∠=，求CM 的长；(2)点N 是线段CB上一点，MN =4BM BN +=+12BMN ABC S S =△△．【答案】(1)6(2)证明见解析【分析】（1）在CMA 中，利用正弦定理求解即可得到答案；（2）因为MN =4BM BN +=+2222cos MN BM BN BM BN ABC =+-⋅∠化得：BM BN ⋅=出BMN S 和ABC S 的值，即可得证：12BMN ABC S S =△△.【详解】（1）在CAM V中，cos CMA ∠=sin CMA ∴∠=由正弦定理：sin sin CM AC CAM CMA=∠∠，得πsin232 6.sin AC CM CMA ⋅⨯==∠（2）在BMN中，4MN BM BN +=+由余弦定理得:22222cos ()2(12MN BM BN BM BN ABC BM BN BM BN =+-⋅∠=+-⋅⋅+(224-21BM BN ⎛=⋅⋅ ⎝⎭即BM BN ∴⋅=1π11sin 2622BMN S BM BN =⋅=⨯= 又，122ABC S =⨯⨯= ∴12BMN ABC S S =△△19．(12分）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．(1)若x 甲，x 乙分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，2S 甲，2S 乙分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则x 甲______x 乙，2S 甲______2S 乙．（填“>”或“<”）(2)若成绩在85分（含85分）以上为优秀，（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；（ⅱ）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．【答案】(1)<，>；(2)（ⅰ）35；（ⅱ）58.【分析】（1）利用给定的茎叶图，结合平均数、方差的意义计算判断作答.（2）（ⅰ）（ⅱ）利用列举法，结合古典概率求解作答.【详解】（1）由茎叶图知，7778838696845x ++++==甲，7986889092875x ++++==乙，所以x 甲<x 乙；2222221[(7784)(7884)(8384)(8684)(9684)]46.85S =-+-+-+-+-=甲，2222221[(7987)(8687)(8887)(9087)(9287)]205S =-+-+-+-+-=乙，所以2S 甲>2S 乙.（2）（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为,x y ，把他们记为(,)x y ，从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：()()()()()()()()()()77,78,77,83,77,86,77,96,78,83,78,86,78,96,83,86,83,96,86,96，共10个，恰有1人成绩优秀的事件A 有：(77,86),(77,96),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96)，共6个，所以恰有1人成绩优秀的概率63()105P A ==.（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为86,96，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为86,88,90,92，从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有：()()()()(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)86,86,86,88,86,90,86,92,，共8个，甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件B 有：(86,86),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)，共5个，所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率5()8P B =.20．(12分）已知函数()ln 1f x mx x =--．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)函数()2ex x g x =，若()()f x g x >在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)11em >+【分析】(1)分类讨论，根据函数的导数分0m ≤和0m >求解；(2)分离参变量得到1eln x x xm x +>+，讨论函数()n e l 1x x x F x x +=+的单调性和最值求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11mx f x m xx-'=-=，①当0m ≤时，()0f x '<，所以()f x 在上()0,∞+为单调递减函数，②当0m >时，令()0f x '<解得10x m<<，令()0f x ¢>解得1x m >，所以()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调递减函数，在1,m⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为单调递增函数．（2）由()()f x g x >得，21eln xx mx x -->∴1eln x x xm x +>+，令()n e l 1x x x F x x +=+，()2ln 1ex x xF x x --=+'当()0,1x ∈时()0F x '>，()1,x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，∴()()max e111F x F ==+故11em >+．21．(12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，AOP 面积的最大值为1．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)过点(1,0)H -的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．当||2EF =时，求直线PH 的方程．【答案】(1)2214x y +=60y -=60y +=【分析】(1)由椭圆的右顶点(2,0)A 可得2a =，若要AOP 面积最大，则需PK 最长，此时点P 在y 轴上，AOP 面积可得1b =，从而求得椭圆C 的方程，再由222a b c =+可求得c ，从而可得离心率；(2)设直线PH 的方程为：(1),(0)y k x k =+≠，与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出韦达定理的表达式，再通过直线PA ，QA 的方程得出点E ，F 坐标，进而表达出||2EF =，从而可解得k ，求得直线PH 的方程.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， (2,0)A ，∴2a =，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，过点P 作PK x ⊥轴，垂足为K ，故AOP 面积为11222AOP S OA PK PK =⨯⨯=⨯⨯V ，若要AOP 面积最大，则需PK 最长，此时点P 在y 轴上，即PK OP =时，使得AOP 面积最大，112122AOP S OA PK OP =⨯⨯=⨯⨯=V ,1OP ∴=,1,b c ∴==∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为c e a ==（2）P 为椭圆C 上的动点，过点(1,0)H -的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，可记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线PH 的斜率不存在时，即PH x ⊥轴时，22PQ b <=，此时直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．此时||2EF PQ <<，不符合题意.当直线PH 的斜率存在时，设直线PH 的方程为：(1),(0)y k x k =+≠，联立22(1)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222114x k x ++=,化简得()2222148440k x k x k +++-=，由韦达定理可得212221228144414k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以21214x x k -=+，由11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(2,0)A ，则直线PA 的方程为：11(2)2y y x x =--，直线QA 的方程为：22(2)2y y x x=--，因为直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ，令0x =分别代入直线PA ,直线QA 可得：点1120,2y E x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，2220,2y F x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，121212122222222y y y y EF x x x x --∴=-=-----又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线PH 方程(1),(0)y k x k =+≠上，所以有1122(1),(1)y k x y k x =+=+，分别代入EF 并化简可得()()21121212123222224k x x y yEF x x x x x x -=-=---++=2= ||2EF =，∴2=1=，解得216k =，k∴=±故直线PH 的方程为：(1)6y x =+或(1)6y x =-+，60y -=60y +=.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214xy +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
陕西省咸阳市2023届高考模拟文科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）A．B．C ．1D ．22. 若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为（ ）A．B．C ．4D．3. 已知，，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知､分别为双曲线的左右焦点，为双曲线左支上一点，与轴上一点正好关于对称，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5. 已知抛物线的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB的中点，则（ ）A ．4B ．6C ．8D ．126. 复数的共轭复数对应点的坐标为，则的虚部为（ ）A．B．C．D．7. 已知，，若，则（ ）A ．1B．C．D．8. 某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在以上的袋数大约为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．409.已知函数则正确的有（ ）A．B．C ．当时，的最小值为2D ．当时，的最小值为110. 已知向量，是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x +y 时，则称有序实数对（x ，y ）为点P 的广义坐标．若点A 、B 的广义坐标分别为（x 1，y 1）（x 2，y 2），关于下列命题正确的是：A ．线段A 、B 的中点的广义坐标为（）；B ．A 、B 两点间的距离为；C ．向量平行于向量的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1；D ．向量垂直于的充要条件是x 1y 2+x 2y 1＝011. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”，B表示事件“医生乙派往①村庄”，C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）A ．事件A 与B 相互独立B．C ．事件A 与C 相互独立D．陕西省咸阳市2023届高考模拟文科数学试题陕西省咸阳市2023届高考模拟文科数学试题三、填空题四、解答题12.已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的焦距为D．双曲线的焦点到渐近线的距离为13.设函数，已知常数且满足，，则关于的不等式的解集为________.14. 直线恒过定点A ，则A 点的坐标为______．15. 已知幂函数（为常数）的图象经过点，则_______．16.已知.(1)当,时,若不等式恒成立,求的范围；(2)试判断函数在内零点的个数，并说明理由.17. 已知椭圆的离心率为，斜率为且过点的直线与轴交于点(1)证明：直线与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为，过点且与垂直的直线交轴于点，记的面积为的面积为，若，求椭圆的离心率18. 某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50个身高介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第六组和第七组人数的比为．(1)补全频率分布直方图，并估计这50位男生身高的中位数；(2)用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为6的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高不在同一组的概率．19. 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：学生与最近食堂间的距离合计在食堂就餐0.150.100.000.50点外卖0.200.000. 50合计0.200.150.001. 00并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.(1)补全频率分布表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠；②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且）.校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.附：，其中.0.1 00.0100.0012.7066.63510.82820. 对于项数为的有穷数列，若，则称为“数列”.(1)已知数列、的通项公式分别为，.分别判断、是否为“数列”；（只需给出判断）(2)已知“数列”的各项互不相同，且，.若也是“数列”，求有穷数列的通项公式；(3)已知“数列”是的一个排列（即数列中的项不计先后顺序，分别取），且，求的所有可能值.21. 2020年新冠肺炎疫情爆发以来，国家迅速采取最全面，最严格，最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情作出了贡献.为普及防治新冠肺炎的相关知识，某社区开展了线上新冠肺炎防控知识竞赛，现从大批参与者中随机抽取了200名幸运者的成绩进行分析，他们的得分(满分100分)数据统计结果如下表：得分人数频率50.025300.150400.200500.250450.225200.100100.050合计2001（1）若此次知识竞赛得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的200名幸运者得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值代替)，求，的值(四舍五入取整数)，及的值；（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对随机抽取的200名幸运者制定如下奖励方案：得分低于的获得1次抽奖机会，得分不低于的获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为.已知张三是这次活动中的幸运者，记为张三在抽奖中获得红包的总金额，求的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要的抽奖红包的总金额.参考数据：；；.。
2024年成人高考成考(高起专)数学(文科)试题及答案指导
2024年成人高考成考数学(文科)(高起专)模拟试题(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、已知函数f(x)=2x2−3x+1，则该函数的导数f′(x)为：A.4x−3B.2x−3C.4x+1D.2x+12、在下列各数中，绝对值最小的是（）A、-3/2B、-1/2C、3/2D、1/23、若一个正方形的边长增加其原长的25%，则新正方形的面积比原来增加了多少百分比？A、50%B、56.25%C、75%D、100%4、在下列各数中，不是有理数的是：A、-5.25B、√16C、πD、0.35、已知直线(l)的方程为(2x−3y+6=0)，则直线(l)的斜率是多少？)A、(23)B、(32)C、(−23)D、(−326、下列函数中，定义域为全体实数的是（）A、f(x) = √(x+1)B、f(x) = √(x^2 - 4)C、f(x) = 1 / (x-2)D、f(x) = 1 / (x^2 + 1)7、设函数f(x)=2x2−3x+1，则该函数的最小值为（）。
A.−18B.18C.−1D.1)，则下列说法正确的是：8、若函数(f(x)=3x2−2x+1)的图像的对称轴为(x=13A.(f (0)=f (1))B.(f (0)=f (−13))C.(f (13)=f (−13))D.(f (0)+f (1)=2f (13))9、若直线(l )的方向向量为((3,−4))，则直线(l )的斜率为：A.(34)B.(−34)C.(43)D.(−43)10、在下列各数中，有理数是（ ）A.√2B.πC.13D.ln211、一个等差数列的前三项分别是2、5、8，那么该数列的公差是多少？A 、3B 、4C 、5D 、612、已知函数f (x )=2x−1x 2−2x+1，下列说法正确的是：A. 函数的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)B. 函数的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)C. 函数的增减性在x=1处发生改变D. 函数的图像关于直线x=1对称二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、若函数f(x)=12x2−3x+4在x=1处取得极值，则该极值为_______ 。
2019-2020年最新高考仿真模拟试题：文科数学(新课标II卷)试卷及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试 II 卷文 科 数 学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年190020002100220023002400250026002700C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.334 D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b分别为14,18,则输出的a为（）A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】试题分析：由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.π36 B. π64 C.π144 D. π256 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A. 考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a= ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y 的最大值为 ．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点(3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a= ． 【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. （I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A BC D -中AB=16,BC=10,18AA =,点E,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率2点(2在C上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 中点为M,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II ）3考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（II ）4.【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,>（II >a b c d -<-的充要条件.【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析：解：（I ）因为22a b c d =++=++考点：不等式证明.。
2023年江西省高考数学质检试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年江西省高考数学质检试卷（文科）1. 设集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部是( )A. B. C. D.3. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值是( )A. B. 4 C. 12 D. 164. 已知，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.5. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知是数列的前n项和，且满足首项为1，，则( )A. B. C. D.7. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下列说法错误的是( )A.B. 函数关于直线对称C. 函数是偶函数D. 关于x的方程在区间上所有根的和为08. 将函数的图像沿x轴向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则a的最小值为( )A. B. C. D.9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 4B.C. 2D.10. 定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆C的方程为，P是直线l：上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M、N两点，O 是坐标原点，连接OP，当为直角时，则( )A. 或B. 或0C. 或D. 或011. 在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.12. 定义在区间上的可导函数关于y轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为( )A. B. C. D.13. 某高三年级一共有800人，要从中随机抽取50人参加社团比赛，按系统抽样的方法进行等距抽取.将全体学生进行编号分别为，并按编号分成50组，若第3组抽取的编号为36，则第16组抽取的编号为______ .14. 已知两个向量，则当取得最小值时，______ .15. 已知某公交车7：25发车，为了赶上该公交车小张每次都是在7：：25之间到达公交站台，则他连续两天提前到公交站台等待累计时长超过3分钟的概率为______ . 16. 已知抛物线C：过点，直线与抛物线C交于A，B两点不同于点，则抛物线的焦点F的坐标为______ ；若点，，则______ .17. 如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入单位：万元的折线图.根据图表的折线图数据，计算y与t的相关系数r，并判断y与t是否具有较高的线性相关程度若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，r精确到；是否可以用线性回归模型拟合y与t的关系，若可以用线性回归模型拟合y与t的关系，求出y关于t的回归方程系数精确到，并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合y与t的关系，请说明理由.参考数据：参考公式：相关系数，在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知若，求的值；求的值.19. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD的边长均为2，且，，，棱PD的中点为求证：平面ABCD；若的面积是，求点P到平面BCM的距离.20. 已知双曲线，若直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，且为坐标原点求双曲线C的离心率；若直线l不经过双曲线C的右顶点，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l 恒过定点E，并求出点E的坐标.21. 已知函数求函数在区间上的最大值；若m为整数，且关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为写出直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围.23. 已知，，且，证明：；答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意，得或，，所以故选：解一元二次不等式求集合A，解一元一次不等式求集合B，应用集合交运算求本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为，所以，所以，则z的共轭复数的虚部为故选：根据复数的除法运算化简复数z，从而得共轭复数，即可得共轭复数的虚部．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，虚部的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以，，为顶点的三角形区域包含边界，由图易得当直线即经过平面区域内的点时，取得最大值，故选：画出不等式表示的平面区域可知当直线经过平面区域内的点时，取得最大值，求解即可．本题主要考查简单的线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由可知，所以，所以A错误；因为，但无法判定与1的大小，所以B错误；当时，，故D错误；因为，所以，故C正确．故选：由可得，然后对选项一一分析即可得出答案．本题考查对数的运算性质，对数比较大小问题，属基础题．5.【答案】A【解析】解：由，得或，解得，由，解得，当时，一定成立，反之，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：解不等式，再判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案．本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：①，当时，②，由①-②得，即，当时，，又也满足上式，则数列是首项为1，公比为5的等比数列，，故选：由已知可得当时，，，两式相减可得，可求出，即可得出答案．本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：取，得，所以，故A正确；因为，则，即，又由为偶函数，即，所以函数关于直线对称，故B正确；令，则，所以为奇函数，即函数是奇函数，故C错误；因为为偶函数，画出函数的图象可知，方程所有根的和为0，故D正确．故选：由，取可判断A；由为偶函数结合可判断B；令，验证与的关系可判断C；画出在区间上的图象可判断本题主要考查了函数的奇偶性，对称性的判断及应用，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：，，将的图像沿x轴向左平移个单位长度，得关于y轴对称，所以即，所以当时，a取最小值故选：先将函数化简为，沿x轴向左平移后关于y轴对称，则，a取最小值即可．本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示：该几何体的体积故选：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示．本题考查了四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：根据蒙日圆定义，圆O方程为，因为直线l与圆O交于A、B两点，联立，可得或，即点、，当点P与点A或B重合时，为直角，且，，所以直线OP的斜率为或故选：求出蒙日圆的方程，求出直线l与蒙日圆的交点A、B的坐标，求出直线OA、OB的斜率，分析可知当点P与点A、B重合时，为直角，即可得出的值．本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线，设长方体的同一顶点三条棱长分别为a，b，c，且长方体的面对角线长为，则，长方体体对角线为长方体外接球直径，即为三棱锥外接球的直径，，它外接球半径等于，所以球的表面积为故选：因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线长，根据长方体外接球直径是体对角线求解即可．本题考查三棱锥外接球的表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：因为，化简得，构造函数，即当时，，单调递增，所以由，则，即因为为偶函数且在上单调递增，所以，解得故选：构造函数，对求导，可知当时，单调递增，由可得，即，然后根据函数的性质可得不等式，解不等式即可得出答案．本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查构造函数思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】244【解析】解：800人一共分成50组，每组16人，所以组距为16，系统抽样可以看成是一个组距为16的等差数列，由第三组，得故答案为：根据系统抽样编号成等差数列求解即可．本题主要考查系统抽样方法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意可得，则，所以，所以，取得最小值．故答案为：由，可求出，则，当时，即可求出的最小值．本题考查向量数量积的性质与定义，化归转化思想，函数思想，属中档题．15.【答案】【解析】解：设小张每天等待的时长都在分钟之内，连续两天等待的时长分别为x，y，则，，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，根据题意知，若，分别为阴影部分面积、正方形面积，所以故答案为：设连续两天等待的时长分别为x，y有，，结合，利用几何概型中面积比求概率即可．本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为点E在抛物线上，所以，所以，所以，所以抛物线方程为，设，联立，得，由题意可知，即，所以，，所以因为，所以故答案为：；由题意求出抛物线的方程，即可求出抛物线的焦点F的坐标；设，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理结合向量数量积的定义可得，即可求出n的值．本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题．17.【答案】解：由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得，，，，所以因为r近似为，所以y与t的线性相关程度较高．由知，y与t的相关系数近似为，说明y与t的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．由及得，，所以y关于t的回归方程为因为，所以，，所以到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元．【解析】由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得r近似为，进而判断y与t是否具有较高的线性相关程度；计算可得y关于t的回归方程为，可得2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：若，则因为，所以，，整理得，解得舍，因为，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，所以【解析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式化简得，解出并检验即可；利用两角和与差的余弦公式以及二倍角的余弦公式化简得，再结合正弦定理有，最后再利用余弦定理即可得到答案．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：为菱形，，又，，PB，平面PBD，平面PBD，又平面PBD，，又，，AC，平面ABCD，平面ABCD；为PD的中点，点P到平面MCB的距离等于点D到平面MCB的距离，由知，平面ABCD，，又，，，，设点D到平面BCM的距离为d，则根据等体积算法可得：，又，，又，，，，又，，，，【解析】利用线面垂直的判定定理证明即可；利用三棱锥的体积关系，求解点P到平面BCM的距离即可．本题考查线面垂直的判定定理与性质，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．20.【答案】解：设，，线段AB的中点为M，则，直线l与双曲线C交于A，B两点，则所以，为坐标原点，，则，故；证明：双曲线的右顶点，则双曲线C的标准方程为，由于，则直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，所以，化简整理可得，，则，即，由韦达定理可得，因为以AB为直径的圆经过点N，所以，所以又因为，所以又因为，所以，即，化简得，即，解得或，且均满足，当时，因为直线l不过定点，故舍去；当时，，所以直线l恒过定点综上所述，直线l恒过定点【解析】根据已知条件，结合点差法，以及直线的斜率公式，离心率公式，即可求解；先求出双曲线的方程，设出直线l的方程，并与双曲线联立，推得，再结合圆的性质，韦达定理，以及向量垂直的性质，即可求解．本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．21.【答案】解：若时，，在区间上单调递减，所以，若，则二次函数图象对称轴，当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远，所以，当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近，，若，对称轴在区间上单调递减，，综上，因为恒成立，即恒成立，令，所以，当时，因为，所以，所以在上是单调递增函数，又因为，所以关于x的不等式不能恒成立，当时，，令得，所以当时，；当时，，因此函数在上是增函数，在上是减函数，故函数的最大值为令，因为，又因为在上是减函数，所以当时，，即关于x的不等式恒成立，所以整数m的最小值为【解析】讨论m的取值范围，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可求得答案；将不等式恒成立，转化为函数的最值问题，即设，利用导数求其最值，分类讨论，即可求得答案．本题主要考查函数恒成立问题，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由，得，；因为曲线C的参数方程为为参数，将其代入直线，得，所以，所以，实数m的取值范围为【解析】由极坐标与直角坐标的转化公式即可求出直线l的直角坐标方程；将曲线C的参数方程代入，则，直线l与曲线C有公共点，转化为与的图象有交点，求出的值域即可得出答案．本题考查极坐标与参数方程的应用，化归转化思想，属中档题．23.【答案】证明：由，得，即，因为，，所以证明：由得，所以，当且仅当时，等号成立．所以【解析】根据题设化简即可证明；结合基本不等式可得，进而即可求证．本题主要考查不等式的证明，属于基础题．。
高考数学(文科)二轮复习模拟试卷及答案
高考数学（文科）二轮复习模拟试卷及答案（2套）模拟试题一(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≤3}，则∁R A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(2，3)C ．(2，3]D ．(－∞，1]∪[2，3]2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102D.52 3．已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋1.45，则m ＝( ) A ．1.5B ．1.55C ．3.5D ．1.84已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin 2α的值等于( )A.1225 B ．－1225C.2425D ．－24255．已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β6．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－2，则①中应填( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?9．已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.52C ．2 D. 5 10．若实数x 、y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y 的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 211．曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A.4－ln 25 B.4＋ln 25C.4－ln 25D.4＋ln 2512．已知三棱锥P -ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( )A ．3π B.3π2 C.4π3 D.5π6第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若S 3＝a 2＋4a 1，T 5＝243，则a 1的值为____________．14．已知点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，抛物线y 2＝8x 上任意一点P 到直线l ：x ＝－2的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于________．15．“克拉茨猜想”又称“3n ＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为________．16．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a >0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示． (1)求f (x )的解析式，并求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，π4上的值域；(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，f (A )＝1，求sin 2B .18．(本小题满分12分)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：(1)操作能力强弱与性别有关？(2)生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：参考公式：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点．(1)求证：AB ⊥平面AA 1C 1C ；(2)若线段AC 上的点D 满足平面DEF ∥平面ABC 1，试确定点D 的位置，并说明理由； (3)证明：EF ⊥A 1C .20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋mx (m ∈R )． (1)当m ≠0时，求函数f (x )的单调区间；(2)有这样的结论：若函数p (x )的图象是在区间[a ，b ]上连续不断的曲线，且在区间(a ，b )内可导，则存在x 0∈(a ，b )，使得p ′(x 0)＝p （b ）－p （a ）b －a .已知函数f (x )在(x 1，x 2)上可导(其中x 2>x 1>－1)，若函数g (x )＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2(x －x 1)＋f (x 1)．证明：对任意x ∈(x 1，x 2)，都有f (x )>g (x )．21．(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点．(1)若点P (8，0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0，2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －a |＋2a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围．答案及解析1．解析：选D.由集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}＝{x |1＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 又B ＝{x |x ≤3}，所以∁R A ∩B ＝(－∞，1]∪[2，3]．2．解析：选B.由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋52i ，所以复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为 14＋254＝262.故选B. 3．解析：选D.由题意知x －＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y －＝1.3＋m ＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝29.7＋m6， 将⎝⎛⎭⎫4，29.7＋m 6代入y ^＝0.95x ＋1.45中，得29.7＋m 6＝0.95×4＋1.45，解得m ＝1.8.4．解析：选D.因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，故选D.5．解析：选D.A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线a ，b 平行，故正确． B 中，满足条件的直线a ，b 垂直，故正确．C 中，由面面垂直的性质可得，交线a 与α垂直，故正确．D 中，直线a 与β可能平行，也可能在β内，故不正确． 综上D 不正确． 答案D.6．解析：选A.结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.7．解析：选B.设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →，因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14(AB →＋1t AD →)＝14AB →＋14t AD →，由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13. 故选B.8．解析：选B.由题意知，该程序框图的功能是计算S ＝lg 12＋lg 23＋…＋lg n n ＋1＝－lg(n＋1)，当n ＝98时，S ＝－lg 99>－2；当n ＝99时，S ＝－lg 100＝－2，跳出循环，故①中应填n <99?故选B.9．解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝ba，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝ca＝ 5.10．解析：选D.x x ＋y ＋2yx ＋2y＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2 ＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x ≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号．11．解析：选D.因为直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，所以令y ′＝1x ＝2，解得x ＝12，把x＝12代入曲线方程得y ＝－ln 2，即曲线在点⎝⎛⎭⎫12，－ln 2处的切线斜率为2，⎝⎛⎭⎫12，－ln 2到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|1＋ln 2＋3|22＋（－1）2＝4＋ln 25，故曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是4＋ln 25.12．解析：选B.如图所示，Rt △P AC ，Rt △P AB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3.以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △P AC 的PC ，AC 分别交于点M ，N ，得cos ∠APN ＝32， 所以∠APN ＝π6，所以∠NPM ＝π12，所以MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2×1＝π2，又GM ︵是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆的周长的16，所以GM ︵＝2π×26＝2π3，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2. 故选B.13．解析：由已知，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋4a 1，则a 3＝3a 1，所以q 2＝3. 又T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝243， 所以a 3＝a 1q 2＝3，a 1＝1. 故答案为1. 答案：1 14．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，故直线l ：x ＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d ＝|PF |.圆C 的方程可变形为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径r ＝2.如图所示，d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |.显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线，且点P 在点F ，Q 之间时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当Q 处在Q ′的位置，P 处在P ′的位置时，|FQ |取得最小值，且最小值为|CF |－r ＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝5－2＝3.答案：315．解析：如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1(不合题意)； 经过2次运算后得到的是16； 经过1次运算后得到的是5或32； 所以开始时的数为10或64. 所以正整数m 的值为10或64. 故答案为10或64. 答案：10或64.16．解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)得函数f (x )的最小正周期T ＝2，根据函数的奇偶性、周期性画出函数f (x )在[－2，3]上的图象，然后再画函数g (x )＝|log a |x ||的图象，如图所示，使它们有5个交点即可，当a >1时，只要保证log a 3≤1即可，解得a ≥3，当0<a <1时，只要保证－log a 3≤1即可，即log a 3≥－1，解得0<a ≤13，综上a ∈⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞.答案：⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞ 17．解：(1)由题图知，34T ＝1112π－π6＝34π.所以T ＝π.所以2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 因为点⎝⎛⎭⎫π6，2在函数图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为－π12≤x ≤π4，所以0≤2x ＋π6≤23π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以0≤f (x )≤2，即函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，π4上的值域为[0，2]．(2)因为f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，因为π6<2A ＋π6<136π，所以2A ＋π6＝56π，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝9＋4－2×3×12×2＝7，BC ＝7.由正弦定理得，7sin π3＝2sin B ， 故 sin B ＝217. 又AC <AB ，所以B 为锐角， 所以cos B ＝277，所以sin 2B ＝2sin B cos B ＝2217×277＝437.18．解：(1)2×2列联表如下：所以K 2＝50（6×12－14×18）30×20×26×24＝22552≈4.327>3.841. 所以有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关． (2)ξ的取值为0，1，2，3，4.P (ξ＝0)＝C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (ξ＝4)＝C 44C 410＝1210.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85＝1.6.19．解：(1)证明：因为A 1A ⊥底面ABC ，所以A 1A ⊥AB ， 又因为AB ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ， 所以AB ⊥平面AA 1C 1C . (2)因为平面DEF ∥平面ABC 1， 平面ABC ∩平面DEF ＝DE ， 平面ABC ∩平面ABC 1＝AB ， 所以AB ∥DE ，因为在△ABC 中E 是BC 的中点， 所以D 是线段AC 的中点．(3)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中A 1A ＝AC ， 所以侧面A 1ACC 1是菱形，所以A 1C ⊥AC 1， 由(1)可得AB ⊥A 1C ， 因为AB ∩AC 1＝A ， 所以A 1C ⊥平面ABC 1， 所以A 1C ⊥BC 1.又因为E ，F 分别为棱BC ，CC 1的中点， 所以EF ∥BC 1， 所以EF ⊥A 1C .20．解：(1)f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1＋mx ＋m x ＋1＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋1m x ＋1.当m >0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1m <0，即－m ＋1m<－1，因为x >－1，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．当m <0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1m >0，即－m ＋1m >－1，由f ′(x )>0，解得－1<x <－m ＋1m ，由f ′(x )<0，解得x >－m ＋1m，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－m ＋1m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－m ＋1m ，＋∞上单调递减．(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2(x －x 1)－f (x 1)，则h ′(x )＝f ′(x )－f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2.因为函数f (x )在区间(x 1，x 2)上可导，则根据结论可知，存在x 0∈(x 1，x 2)， 使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，又f ′(x )＝1x ＋1＋m ，所以h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0) ＝1x ＋1－1x 0＋1＝x 0－x （x ＋1）（x 0＋1）. 当x ∈(x 1，x 0]时，h ′(x )≥0， 从而h (x )单调递增， 所以h (x )>h (x 1)＝0；当x ∈(x 0，x 2)时，h ′(x )<0，从而h (x )单调递减， 所以h (x )>h (x 2)＝0.故对任意x ∈(x 1，x 2)，都有h (x )>0， 即f (x )>g (x )．21．解：(1)由抛物线C 2：y 2＝8x 得F 2(2，0)， 当直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝2时，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k （x －2）得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k .设AB 的中点为G ，则G ⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 2，4k ，因为|P A |＝|PB |，所以PG ⊥l ，k PG ·k ＝－1， 所以4k－02k 2＋4k 2－8·k ＝－1，解得k ＝±2， 则y ＝±2(x －2)，所以直线l 的方程为y ＝±2(x －2)或x ＝2. (2)因为F 2(2，0)，所以F 1(－2，0)，b 2＝6－4＝2， 所以椭圆C 1：x 26＋y 22＝1.设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 1的斜率kTF 1＝m －0－3＋2＝－m ，当m ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝1m ，直线MN 的方程是x ＝my －2，当m ＝0时，直线MN 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式，所以直线MN 的方程是x ＝my －2.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x ＝my －2，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，所以y 3＋y 4＝4m m 2＋3，y 3y 4＝－2m 2＋3.|TF 1|＝m 2＋1，|MN |＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2 ＝（m 2＋1）[（y 3＋y 4）2－4y 3y 4] ＝24（m 2＋1）m 2＋3.所以|TF 1||MN |＝124×（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥33，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立， 此时|TF 1||MN |取得最小值33.22．解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0可得，x 2＋y 2－4x ＋3＝0. 所以(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3，所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点， 所以圆心到直线的距离d ＝14，所以|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152. 23．解：(1)因为|2x －a |＋2a ≤6， 所以|2x －a |≤6－2a ， 所以2a －6≤2x －a ≤6－2a ， 所以32a －3≤x ≤3－a2，因为不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}， 所以⎩⎨⎧32a －3＝－6，3－a2＝4，解得a ＝－2.(2)由(1)得f (x )＝|2x ＋2|－4. 所以|2x ＋2|－4≤(k 2－1)x －5， 化简整理得|2x ＋2|＋1≤(k 2－1)x ，令g (x )＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－1，－2x －1，x <－1，y ＝g (x )的图象如图所示，要使不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，需k 2－1>2或k 2－1≤－1，所以k的取值范围是{k|k>3或k<－3或k＝0}．模拟试题二(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i2．已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lg x≥0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}3．中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是()A．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B．这两年的最大仓储指数都出现在4月份C．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D．2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数差异明显4．已知直线3x＋ay＝0(a＞0)被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为()A. 2B. 3 C．2 2 D．2 35．已知a ，b 是实数，则“a ＞0或b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12，若平面向量p 满足p ·a ＝p·b ＝12，则|p |＝( )A.12 B ．1 C. 2D ．27．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4] 8．一个四棱锥与半圆柱构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．16＋12πC ．48＋12πD ．48＋8π9．已知函数f (x )＝xesin ⎝⎛⎭⎫x －π2(e 为自然对数的底数)，当x ∈[－π，π]时，y ＝f (x )的图象大致是( )10．已知正项数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，且有a 23＋a 25＝32 400－2a 2a 6，S 4＝10S 2，则第2 019 项的个位数为( )A ．1B ．2C ．8D ．911．已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a ＞0)，若点Q (m ，n )在直线y ＝2x ＋12上，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为( )A.95B.355C ．9D ．3 12．已知双曲线C ：x 24－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程为y ＝62x ，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上的一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶1，则|PF 1→＋PF 2→|的值是( )A ．4B ．2 6C ．210D.6105第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某路公交车在6：30，7：00，7：30，准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．14．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，A ＝π6，a ＝2，b ＝23，则△ABC 的面积S ＝________.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动的过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f (n )，则f (n )＝________．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50，60)，[90，100]的数据)．(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90，100]内的概率．19.(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB＝2.(1)求证：CE∥平面P AB；(2)若F为PC的中点，求三棱锥F-AEC的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝mx －mx ，g (x )＝3ln x .(1)当m ＝4时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若x ∈(1, e ](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )<3恒成立，求实数m 的取值范围 .21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝－4x 有共同的焦点F 1，且两曲线在第二象限内的交点到F 1的距离是它到直线x ＝－4的距离的一半．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆右焦点F 2且垂直于x 轴的直线l 与椭圆交于点P (P 在第一象限)，以P 为圆心的圆与x 轴交于A ，B 两点，直线P A ，PB 与椭圆分别交于另一点M ，N ，求证：直线MN 的斜率为定值，并求出这个定值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为ρ2(1＋sin 2 θ)＝1.(1)求曲线M 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥7－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0，2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋4n ≥22＋3.答案及解析1．解析：选D.法一：令z ＝x ＋y i ，则(3－4i)(x ＋y i)＝(3x ＋4y )＋(3y －4x )i ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝25，3y －4x ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故z ＝3＋4i ，故选D.法二：由已知可得z ＝253－4i ＝25（3＋4i ）9＋16＝3＋4i.2．解析：选C.由题意得，M ＝{x |－2≤x ≤4}，N ＝{x |x ≥1}，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}． 3．解析：选D.通过图象可看出，2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大， 这两年的最大仓储指数都出现在4月份， 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年，所以选项A ，B ，C 的结论都正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%，所以选项D 的结论错误．故选D.4．解析：选B.由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a 2＝3，得a ＝ 3. 5．解析：选B.若“a ＞0或b ＞0”，则不一定有“a ＋b ＞0且ab ＞0”成立，如取a ＝1，b ＝－1，则a ＋b ＝0，且a b ＝－1；反之，若“a ＋b ＞0且ab ＞0”，则a ＞0且b ＞0，从而“a＞0或b ＞0”成立．综上，选B.6．解析：选B.由题意，不妨设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，p ＝(x ，y )，因为p·a ＝p·b ＝12，所以⎩⎨⎧x ＝12，－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，所以|p |＝x 2＋y 2＝1.7．解析：选D.f (x )＝1－2sin 2 x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4，故选D.8．解析：选B.由图得，SE ＝13，EF ＝6， AB ＝CD ＝4， SG ＝SE 2－EG 2 ＝13－9，可知半圆柱V 1＝4π×62＝12π，四棱锥V 2＝6×4×13－93＝16，该几何体的体积＝V 1＋V 2＝12π＋16. 答案选B.9．解析：选B.由题意可得f (x )＝x e－cos x，即f (x )＝x e cos x 为奇函数，排除A ，C ，f ′(x )＝(1－x sin x )e cos x ，显然存在x 0使得f ′(x 0)＝0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减．故选B.10．解析：选C.由a 23＋a 25＝32 400－2a 2a 6，得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝32 400，即(a 3＋a 5)2＝32 400，又a n ＞0，所以a 3＋a 5＝180，从而a 1(q 2＋q 4)＝180，由S 4＝10S 2，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝9(a 1＋a 2)，所以(a 1＋a 2)q 2＝9(a 1＋a 2)，所以q 2＝9，又q ＞0，所以q ＝3，代入a 1(q 2＋q 4)＝180，得a 1＝2，所以a 2 019＝2×32 018＝2×(34)504×32＝18×(81)504，故其个位数为8.11．解析：选A.由题意知，y ＝2x ＋12表示斜率为2的直线，变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a ，设函数f (x )＝－12x 2＋3ln x ，则f ′(x )＝－x ＋3x ，设当切线斜率为2时，函数f (x )图象的切点的横坐标为x 0，则－x 0＋3x 0＝2，所以x 0＝1，此时切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，－12，切点到直线y ＝2x ＋12的距离d ＝35，所以(a－m )2＋(b －n )2的最小值为d 2＝95.12．解析：选C.由渐近线方程得b a ＝62，又a ＝2，所以b ＝6，故c ＝10. 设|PF 1|＝3k ，|PF 2|＝k ，则由双曲线定义知3k －k ＝4，k ＝2， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝2， 可判断∠F 1PF 2＝90°，所以以PF 1→、PF 2→为邻边的四边形为矩形， 所以|PF 1→＋PF 2→|＝210.13．解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P ＝2040＝12. 答案：1214．解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32，所以B ＝π3或2π3.若B ＝π3，则C＝π－A －B ＝π2，此时 S ＝12ab ＝12×2×23＝2 3.若B ＝2π3，则C ＝π－A －B ＝π6，所以A ＝C ，此时c ＝a ＝2，所以S ＝12ac sin B ＝12×2×2×32＝ 3.所以S ＝23或 3.答案：23或 315．解析：n ＝1时，f (1)＝1；n ＝2时，小盘→2号针，大盘→3号针，小盘从2号针→3号针，完成，即f (2)＝3＝22－1；n ＝3时，小盘→3号针，中盘→2号针，小盘从3号针→2号针[用f (2)种方法把中、小两盘移到2号针，大盘→3号针；再用f (2)种方法把中、小两盘从2号针移到3号针，完成]，f (3)＝f (2)×2＋1＝3×2＋1＝7＝23－1， f (4)＝f (3)×2＋1＝7×2＋1＝15＝24－1， …以此类推，f (n )＝f (n －1)×2＋1＝2n －1. 故答案为：2n －1.答案：2n －1 16．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个零点，则关于f (x )的一元二次方程2[f (x )]2＋2bf (x )＋1＝0在(0，1)上有2个不相等的实根．设t ＝f (x )，则方程转化为2t 2＋2bt ＋1＝0，设两个根分别为t 1，t 2，则由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>0，0<t 1，t 2<1， 即⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<t 1＋t 2<2，0<（t 1－1）（t 2－1）<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<－b <2，0<12－（－b ）＋1<1，得－32<b <－ 2.答案：⎝⎛⎭⎫－32，－2 17．解：(1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n－2S n －1＝2a n ，所以a n ＋1＝3a n ，所以a n ＋1a n ＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3.所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以a n ＝3×3n －1＝3n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)×3n .所以T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，①3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋ (3))－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×32（1－3n －1）1－3－(2n －1)×3n ＋1＝－6－(2n －2)×3n ＋1.所以T n ＝(n －1)×3n ＋1＋3.18．解：(1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004，x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，高度在[80，90)内的株数为5，记这5株分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，高度在[90，100]内的株数为2，记这2株分别为b 1，b 2.抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，a 5)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(b 1，b 2)．其中2株的高度都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)．所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90，100]内的概率P ＝1－1021＝1121.19．解：(1)证明：在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC ＝3，AC ＝2.取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM ∥P A . 因为EM ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， 所以EM ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝2， 所以AD ＝4，AM ＝2＝AC ，所以∠ACM ＝60°.而∠BAC ＝60°，所以MC ∥AB . 因为MC ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以MC ∥平面P AB . 因为EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面P AB . 因为CE ⊂平面EMC ，所以CE ∥平面P AB .(2)因为P A ＝AC ＝2，F 为PC 的中点，所以AF ⊥PC . 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD .因为AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .又EF ∥CD ，所以EF ⊥平面P AC ，即EF 为三棱锥E -AFC 的高．因为CD ＝23，所以EF ＝3，从而V E AFC ＝13×12×12AC ×P A ×EF ＝13×12×12×2×2×3＝33. 因为V E AFC ＝V F AEC ，所以V F AEC ＝33. 20．解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4x 2，f ′(2)＝5，又f (2)＝6，所以所求切线方程为y ＝5x －4.(2)由题意知，x ∈(1， e ]时，mx －mx －3ln x <3恒成立，即m (x 2－1)<3x ＋3x ln x 恒成立，因为x ∈(1， e ]，所以x 2－1>0， 则m <3x ＋3x ln x x 2－1恒成立．令h (x )＝3x ＋3x ln xx 2－1，x ∈(1，e]，则m <h (x )min ，h ′(x )＝－3（x 2＋1）·ln x －6（x 2－1）2＝－3（x 2＋1）·ln x ＋6（x 2－1）2，因为x ∈(1， e ]，所以h ′(x )<0，即h (x )在(1， e ]上是减函数． 所以当x ∈(1， e ]时，h (x )min ＝h (e)＝9e2（e －1）.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2e －2.21．解：(1)如图，由题意知F 1(－1，0)，因而c ＝1，即a 2＝b 2＋1，又两曲线在第二象限内的交点Q (x Q ，y Q )到F 1的距离是它到直线x ＝－4的距离的一半，即4＋x Q ＝2(－x Q ＋1)，得x Q ＝－23，则y 2Q ＝83，代入到椭圆方程，得49a 2＋83b 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b 2＝1，a 2＝b 2＋1，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k 2，由(1)知，右焦点F 2(1，0)，则P ⎝⎛⎭⎫1，32，由对称性知，直线P A ，PB 的倾斜角互补，即斜率存在且互为相反数，则32－y 11－x 1＋32－y 21－x 2＝0，即3－2kx 1－2t 2（1－x 1）＋3－2kx 2－2t2（1－x 2）＝0，整理得(2t －2k －3)(x 1＋x 2)＋4kx 1x 2＋6－4t ＝0， 即(2t －2k －3)×－8kt 3＋4k 2＋4k ×4t 2－123＋4k 2＋6－4t ＝0，即4k 2＋(4t －8)k ＋3－2t ＝0， (2k －1)(2t ＋2k －3)＝0， 得k ＝12或t ＝32－k .当t ＝32－k 时，直线MN 的方程为y ＝kx ＋32－k 恒过定点P ⎝⎛⎭⎫1，32，不符合题意， 因而k ＝12，即直线MN 的斜率为定值12.22．解：(1)因为ρ2(1＋sin 2 θ)＝ρ2＋(ρsin θ)2＝1，所以x 2＋y 2＋y 2＝1，即x 2＋2y 2＝1，此即为曲线M 的直角坐标方程．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋2y 2＝1 得104＋10t cos α＋t 2cos 2α＋2t 2sin 2α＝1， 所以t 2(1＋sin 2α)＋10t cos α＋32＝0，因为直线l 与曲线M 只有一个公共点，所以Δ＝(10cos α)2－4×32×(1＋sin 2α)＝0，即sin 2 α＝14，sin α＝±12，又α∈[0，π)，所以α＝π6或5π6.23．解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥7，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <1，2－x ＋1－x ≥7或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2－x ＋x －1≥7或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x －2＋x －1≥7，解得x ≤－2或∅或x ≥5， 所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)证明：f (x )≤1即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1， 所以1m ＋12n＝1(m >0，n >0)，所以m ＋4n ＝(m ＋4n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝3＋4n m ＋m2n ≥22＋3(当且仅当m ＝22n 时取等号)．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 文科数学
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0MN =．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位）） 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．2B ．1C ．12D．2【答案】C11i 22z ∴=-=，选C ． 3．[2018·南宁二中]为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ） A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 D ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果 【答案】B【解析】由A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果．故选B ．4．[2018·滁州期末]）A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C药物A 实验结果患病未患病服用药没服用药0.10.20.30.40.50.60.70.80.91药物B实验结果患病未患病服用药没服用药0.10.20.30.40.50.60.70.80.91【解析】sin2cos tan2ααα-=-⇒=，C．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．4+C．4+D．4+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几C．6．[2018·滁州期末]设变量x，y满足约束条件2202202x yx yy+--+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，则目标函数z x y=+的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由z x y =+，得y x z =-+．平移直线y x z =-+，结合图形可得，当直线（图中的虚线）经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值．由2 220y x y =-+=⎧⎨⎩，解得22x y ==⎧⎨⎩，故点A 的坐标为（2，2）．∴max 224z =+=，即目标函数z x y =+的最大值为4．选D ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+【答案】A【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++，首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-．8．[2018·达州期末]若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1【答案】C【解析】如图，若()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A．BCD【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()P x y ，，PA PB＝两边平方并整理得：()222261038x y x x y +-+=⇒-+=．∴PAB △面积的最大值是122⨯⨯=A ．10．[2018·孝感八校]已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右顶点为A，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B ．15C ．2D ．3【答案】D【解析】不妨设2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得(),0A a ，2,b C c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0F c ，20,2b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于A ，C ，M 三点共线，故222b b a a a a c =--，化简得3c a =，故离心率3e =．11．[2018·昆明一中]设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2 B．(0,3C．(2 D．(2+【答案】C【解析】因为ABC △为锐角三角形，所以cos 22C <<；又因为2A C =，所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由sin sin b cB C=， 即2sin sin34cos 1sin sin c B Cb C C C ===-，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =，则t ∈⎭，又因为函数242y t t =+在⎭上单调递增，所以函数值域为(2+，故选：C ．12．[2018·菏泽期末]()2f x mx =+有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ]{64-+B ]{0,64-+C ]{}632-D ]{0,63-【答案】B【解析】由题意函数()f x 的图象与直线2y mx =+有一个交点．如图是()f x 的图象，1x >时，()21f x x =-设切点为()00,x y ，则切线为()()02002211y x x x x -=----，把()0,2代入，02x =；1x ≤时，()2e x f x =-，()e x f x '=-，设切点为()00,x y ，则切线为()()0002e e x x y x x --=--，把()0,2代入，解得01x =，又()12ef =-，()11e e f '=-=-，]{0,42-满足题意，故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷+答案解析(附后)
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 8个2.已知复数，i 为虚数单位，则( )A. 1B.C.D.3.在中，记，，则( )A. B. C. D.4.已知函数，则的单调递增区间为( )A. B. C. D.5.如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA 与CE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为，，，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为( )A. B. C. D.7.已知若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知a ，b ，，且，，，其中e 是自然对数的底数，则( )A.B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级．如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是( )A. 这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B. 从2日到5日空气质量越来越好C. 这14天中空气质量的中位数是D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”．若，则角可取的值用密位制表示可能是( )A.B.C.D.11.已知点A ，B 分别是双曲线C ：的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为、，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C 的离心率为B. 双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.为定值D. 存在点P ，使得12.已知，，若关于x的方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为( )A. B. C. D. 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学文科滚动检测仿真试题及答案 (2)
高考数学滚动检测仿真试题及答案（2）(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x ＋3，则綈p 为( ) A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x ＋3 B ．∃x 0＞0，log 2x 0≥2x 0＋3 C ．∃x 0＞0，log 2x 0＜2x 0＋3 D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x ＋3解析：选B 由全称命题否定的定义可知，答案为B.2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．{0,1,2} C ．(－1,2)D ．{－1,0,1}解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝{0,1,2}．3．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．22B ．4C ．32D ．6 解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)． 所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ 的值为( )A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B 因为c os ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79， 即c osπ－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－79， 所以c os ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝79， 由二倍角公式可得1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝79， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．64－16π3B ．64－32π3C ．64－16πD ．64－64π3解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥， 其中，两个圆锥的体积和是V 锥＝13Sh ＝13×π×22×4＝163π，∴V ＝V 正方体－V 锥＝43－163π＝64－163π. 6．若a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.5－1 B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：选D 因为a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2， 所以(2a ＋b ＋c )2＝4a 2＋b 2＋c 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ≥4(a 2＋ab ＋ac ＋bc ) ＝4(6－25)＝4(5－1)2，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，即2a ＋b ＋c 的最小值是25－2.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503D.533解析：选C 由三视图可知，该几何体是如图所示的以俯视图为底面、高为5的四棱锥P -ABCD ，则该几何体的体积V ＝13×12×4×4＋12×2×2×5＝503. 8．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围为( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选Df ′(x )＝a －1e x ＋xe x ，因为曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，所以f ′(x )＝a －1e x ＋x e x ＝0有两个不同的解．即a ＝1e x －xe x 有两个不同的解，令g (x )＝1e x －x e x ，g ′(x )＝－2e x ＋xex ，由g ′(x )>0，得x >2，由g ′(x )<0，得x <2，所以g (x )在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝2时，函数g (x )取得极小值g (2)＝－1e 2，当x →－∞时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→0，画出函数g (x )的大致图象如图所示，要满足题意，则需－1e2<a <0.9．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线， 则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132.10.如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP ―→·BP ―→的取值范围是( )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：选A 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA ―→＋CB ―→＝2CD ―→，所以AP ―→·BP ―→＝(CP ―→－CA ―→)·(CP ―→－CB ―→)＝CA ―→·CB ―→－2CD ―→·CP ―→＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD ―→，CP ―→〉＋1＝7－6cos 〈CD ―→，CP ―→〉，所以当c os 〈CD ―→，CP ―→〉＝1时，AP ―→·BP ―→取得最小值为1；当cos 〈CD ―→，CP ―→〉＝－1时，AP ―→·BP ―→取得最大值为13，因此AP ―→·BP ―→的取值范围是[1,13]．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x ＝π3时取得最大值2，若f (α)＝85，且π3<α<5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B ．－1225C.2425D ．－2425解析：选D 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π可知，函数的周期T ＝2π，则ω＝1.又因为函数在x ＝π3时取得最大值2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，且0≤φ≤π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，又f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋1＝85，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，又π3<α<5π6，所以π2<α＋π6<π，则c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin α＋π6·c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－2425.12．对于函数f (x )，若关于x 的方程f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0只有9个根，则这9个根之和为( )A ．9B ．18C ．πD ．0解析：选A 因为函数y ＝2x 2－4x －5的对称轴为x ＝1， 所以f (2x 2－4x －5)关于直线x ＝1对称．由f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0可得f (2x 2－4x －5)＝－sin π3x ＋π6关于直线x ＝1对称， 因为方程f (2x 2－4x －5)＋sin π3x ＋π6＝0只有9个根，且其中一个根是1，其余8个根关于x ＝1对称，所以这9个根之和为9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，则向量AB ―→和CD ―→的夹角为________．解析：因为向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23， 所以AB ―→2－4|AB ―→||CD ―→|c os 〈AB ―→，CD ―→〉＋4CD ―→2＝12， 则c os 〈AB ―→，CD ―→〉＝－12，所以〈AB ―→，CD ―→〉＝2π3.答案：2π314．已知函数f (n )＝n 2c os(n π)，数列{a n }满足a n ＝f (n )＋f (n ＋1)(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________.解析：因为f (n )＝n 2c os(n π)，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，所以a 1＝f (1)＋f (2)＝－12＋22，a 2＝22－32，a 3＝－32＋42，a 4＝42－52，…， 当n 是偶数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2，当n 是奇数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(－12＋22)＋(22－32)＋(－32＋42)＋(42－52)＋…＋ [－(2n －1)2＋(2n )2]＋[(2n )2－(2n ＋1)2]＝1×3－1×5＋1×7－1×9＋…＋(4n －1)－(4n ＋1)答案：－2n15．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3BC ，则△ABC 面积的最大值是________． 解析：令BC ＝x ，则AC ＝3x ，角A 是锐角， 由余弦定理可得c os A ＝123⎝⎛⎭⎫x ＋2x ， 则sin A ＝1238－x 2－4x 2，S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝128x 2－x 4－4，当x ＝2时，△ABC 的面积最大，最大值为 3. 答案： 316．若对任意m ∈(－2，－1)，f (x )＝mx 2－(5m ＋n )x ＋n 在x ∈(3,5)上存在零点，则实数n 的取值范围是________．解析：由f (x )＝0，可得x ＝5m ＋n ±25m 2＋6mn ＋n 22m .易知x ＝5m ＋n ＋25m 2＋6mn ＋n 22m<0，舍去，所以x ＝5m ＋n －25m 2＋6mn ＋n 22m∈(3,5)，化简可得n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2>n －m .由n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2两边平方，化简可得n >0，由25m 2＋6mn ＋n 2>n －m 两边平方，化简可得n <－3m 恒成立，所以n ≤3，综上可得，0<n ≤3. 答案：(0,3]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解：(1)由正弦定理可得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.因为B 是锐角，所以B ＝π6.(2)c os A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫sin A cos π3＋cos A sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为C ＝5π6－A <π2，所以π3<A <π2，所以2π3<A ＋π3<5π6，12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin A ＋π3<32， 所以c os A ＋sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，32.18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P -ABC 的高． 又PA ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ， 得PM MC ＝AN NC ＝13. 19．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)． (2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1. 所以a n b n ＝(2n －1)2n .则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ， ① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －1)2n ＋1. ② ①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1 ＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△PCD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝2BC ＝2，AB ＝3，点E ，F 分别为AD ，CD 的中点．(1)求证：BE ∥平面PCD ； (2)求证：平面PAF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AD ＝2BC ＝2，且E 为AD 的中点， ∴BC ＝ED .又∵AD ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形， ∴BE ∥CD .∵CD ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ， ∴BE ∥平面PCD .(2)∵在等边△PCD 中，F 是CD 的中点，∴CD ⊥PF . 又BC ∥AD ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥BC ，连接AC ， ∵AB ＝3，BC ＝1，∴AC ＝2， 又AD ＝2，∴AC ＝AD ，∴CD ⊥AF ，又∵PF ∩AF ＝F ，∴CD ⊥平面PAF . ∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PAF ⊥平面PCD .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ，当x 0∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝1ex －e.(1)求a 的值；(2)求证：函数f (x )在定义域内单调递增． 解：(1)由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ，所以函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)， 即y －(x 0＋1)ln x 0＋ax 0＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a (x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a x ＋ln x 0－x 0－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，x 0－ln x 0＋1＝e.令g (x )＝x －ln x ＋1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增． 又因为g (e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，得a ＝2.(2)证明：由a ＝2，得f ′(x )＝ln x ＋1x －1(x >0)． 令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∈(0,1)时，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，故h (x )≥h (1)＝1. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝h (x )－1≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在定义域内单调递增．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x ＋(x －c )2，x ≥c ，a ln x －(x －c )2，0＜x ＜c(其中a ＜0，c ＞0)．(1)当a ＝2c －2时，若f (x )≥14对任意x ∈(c ，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )的图象在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))处的切线分别为l 1，l 2，若x 1＝ －a2，x 2＝c ，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值． 解：(1)当x ＞c ，a ＝2c －2时， f ′(x )＝ax ＋2(x －c )＝2x 2－2cx ＋a x ＝2(x －1)[x －(c －1)]x .∵a ＜0，c ＞0，且c ＝a2＋1，∴0＜c ＜1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )在(c ，＋∞)上的最小值为f (1)＝(1－c )2＝14a 2. ∴要使f (x )≥14恒成立，只需14a 2≥14恒成立， 即a ≤－1或a ≥1(舍去)．又∵c ＝a 2＋1＞0，∴a ＞－2. ∴实数a 的取值范围是(－2，－1]．(2)由l 1⊥l 2可得，f ′⎝⎛⎭⎫－a 2·f ′(c )＝－1， 而f ′(c )＝a c ，∴f ′⎝⎛⎭⎫－a 2＝－c a . 当－a 2≥c 时，f ′⎝⎛⎭⎫－a 2＝2⎝⎛⎭⎫－a 2－2c －a 2＋a －a 2＝－2c ＝－c a . 即a ＝12，与已知矛盾，舍去； 当 －a 2＜c 时，由0＜x ＜c 时，f ′(x )＝a x －2(x －c )＝－2x 2＋2cx ＋a x ， 可得f ′⎝⎛⎭⎫－a 2＝－2⎝⎛⎭⎫－a 2＋2c －a 2＋a －a 2 ＝－－8a ＋2c ＝－c a ，∴c ＝a －8a 2a ＋1. ∵a ＜0，c ＞0，∴2a ＋1＜0，即a ＜－12. 令－8a ＝t ，则a ＝－t 28(t ＞2)， ∴c ＝－t 28·t －t 24＋1＝t 32t 2－8. 设g (t )＝t 32t 2－8，则g ′(t )＝2t 2(t 2－12)(2t 2－8)2.令g′(t)＝0，得t＝2 3.当t变化时，g′(t)与g(t)的变化情况如下表：∴函数g(t∴实数c的最小值为332.。
2024年高考数学(文科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)
2024年高考数学（文科）第二次模拟考试卷及答案解析（全国卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}22,U xx x =-≤≤∈∣Z ，集合{1,1,2},{2,0,1,2}A B =-=-，则U ()A B ⋂=ð（）A ．{1,0,1}-B ．∅C ．{2,1,0}--D ．{}1-【答案】C【分析】本题首先可以根据题意求出A B ⋂，然后根据补集的概念得出结果.【详解】由题意得{}{}{}22,2,1,0,1,2,1,2U xx x A B =-≤≤∈=--⋂=Z ∣，所以，U (){2,1,0}A B =-- ð，故选：C ．2．设i 为虚数单位，若复数1i1ia -+为纯虚数，则=a （）A ．1-B ．1C ．0D ．2【答案】B【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案.【详解】()()()()()1i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 22a a a a --+--==-++-，所以102a -=且102a +≠，解得1a =.故选：B3．已知向量()1,0a = ，()4,b m =，若2a b - 不超过3，则m 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．[]3,3-D ．[]5,5-【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得249m +≤，解之即可求解.【详解】由题意知，2(2,)a b m -=--，所以23a b -=，得249m +≤，即25m ≤，解得m ≤≤即实数m 的取值范围为[.故选：B4．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=；此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=；此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2.故选D.5．若{}n a 是等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和，3890,0a a S +><，则{}n S 中最小的项是（）A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S 【答案】B【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得50a <，再结合等差数列的性质判断处6a 的符号，即可得出答案.【详解】因为()19959902a a S a +==<，所以50a <，因为56380a a a a +=+>，所以650a a >->，所以公差650d a a =->，故当5n ≤时，0n a <，当6n ≥时，0n a >，所以当5n =时，n S 取得最小值，即{}n S 中最小的项是5S .故选：B.6．已知函数()f x 的定义域为R ，设()()x g x e f x =．设甲：()f x 是增函数，乙：()g x 是增函数，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】D【分析】利用导数分别求出()f x 与()g x 为增函数的条件并结合充分必要条件进行判断即可求解.【详解】由题意得()f x 的定义域为R ，()()xg x f x =e 的定义域也为R ；充分性：若()f x 是增函数，则()0f x '≥恒成立，()()()()xg x f x f x ='+'e ，因为e 0x >，但()()f x f x +'的正负不能确定，所以()g x 的单调性不确定，故充分性不满足；必要性：若()g x 是增函数，则()()()()0xg x f x f x ='+'≥e恒成立，因为e 0x >，所以()()0f x f x +'≥恒成立，但()f x '的正负不能确定，所以()f x 的单调性不确定，故必要性不满足；所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D 正确.故选：D.7．已知点A 为椭圆M ：22143x y +=的一点，1F ，2F 分别为椭圆M 的左，右焦点，12F AF ∠的平分线交y 轴于点10,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AF F △的面积为（）A ．12B ．22C ．1D ．2【答案】C【分析】结合光学性质，列出直线AB 方程，即可求解答案.【详解】设点()00,A x y 且不为顶点，因为椭圆方程为22143x y +=，所以过A 的切线方程即直线DE 为00143x x y y ⋅⋅+=，即000334x y x y y =-+，由光学几何性质知，1AB DE k k ⋅=-，所以043AB y k x =，则直线AB 的方程为()000043y y y x x x -=-．令0x =，得0133B y y =-=-，所以01y =．所以1212112AF F S =⨯⨯=△.故选：C8．设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】D【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D9．已知双曲线222:33C x y m -=的一条渐近线l 与椭圆222:1(0)x y E a b a b+=>>交于A ，B 两点，若12||F F AB =，（12,F F 是椭圆的两个焦点），则E 的离心率为（）A 1BC ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得260AOF ∠=︒，由已知条件可得四边形12AF BF 为矩形，则22AO OF AF c ===，1AF =，再根据椭圆的定义列方程化简可求出离心率.【详解】由已知2222:13x y C m m-=，则双曲线的一条渐近线:l y =，即260AOF ∠=︒，又12F F AB =，即2OF OA =，且四边形12AF BF 为矩形，所以22AO OF AF c ===，则1AF ==，又根据椭圆定义可知122AF AF c a ++=，所以离心率1ce a ==．故选：A10．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB ==ABCD 是边长为12的正方形，S 是四边形ABCD 及其内部的动点，且满足6PS ≤，则动点S 构成的区域面积为（）A ．B ．12πC ．24πD ．【答案】B【分析】取线段AB 的中点E ，连接PE 、SE ，推导出PE ⊥平面ABCD ，可知点S 的轨迹是以点E为圆心，半径为.【详解】取线段AB 的中点E ，连接PE 、SE ，因为PA PB ==E 为AB 的中点，则PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PE ⊂平面PAB ，所以，PE ⊥平面ABCD ，因为SE ⊂平面ABCD ，则PE SE ⊥，因为四边形ABCD 是边长为12的正方形，则6AE =，所以，PE ===SE ==所以，点S 的轨迹是以点E 为圆心，半径为因此，动点S 构成的区域面积为(21π12π2⨯=.故选：B.11．已知等比数列{}n a 的公比为q =n S 为其前n 项和，且*2128,N n nn n S S T n a +-=∈，则当n T 取得最大值时，对应的n 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】利用等比数列通项公式、前n项和公式及已知得12728)2n n T +=-⨯+，应用基本不等式求最大值，并确定取值条件即可.【详解】由题设11nn a a q a +==，1(1)1n n a q S q -==-所以2128(1n n n n S S T a a +-==127128)(228)(1)(14322n +=-⨯+-≤-⨯=-，27n=，即3n =时取等号，所以当n T 取得最大值时，对应的n 为3.故选：B12．已知函数()()sin f x x ϕ=+，0πϕ<<，若函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，则ϕ的取值范围是（）A ．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π,8π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意分类讨论π4ϕ≥和π4ϕ<两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关知识求解答案即可.【详解】若3π04x ≤<，则3π4x ϕϕϕ≤+<+，又因为0πϕ<<，函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，所以当3ππ4ϕ+≥，即π4ϕ≥时，只需满足3π3π42ϕ+≤，此时π3π44ϕ≤≤，当3ππ4ϕ+<，即π4ϕ<时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则π3ππ242ϕϕ-<+-，此时ππ84ϕ<<，综上，π3π84ϕ<≤，即ϕ的取值范围是π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，7943a a +=，且26108b b b =．则3813481a a ab b ++=-．【答案】23【分析】根据等差、等比数列的性质即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，且7943a a +=，所以842,3a =即8,32a =因为数列{}n b 是等比数列，且26108b b b =，所以368b =，即62b =，所以81382486332113a a a ab b b ++==--.故答案为：23.14．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()31f x x a x a =-++，则关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】()(),10,1-∞-⋃【分析】由()00f =求出0a =，由奇函数的性质求出()f x 在R 上的解析式，再令()0f x <，即可求出答案.【详解】当0x ≥时，()()31f x x a x a =-++，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f a ==，所以当0x ≥时，()3f x x x =-，则当0x <时，0x ->，所以()3f x x x -=-+，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以当0x <时，()3f x x x =-，所以()3,R f x x x x =-∈，令()()()3110f x x x x x x =-=-+<，解得：01x <<或1x <-，故关于x 的不等式()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃.故答案为：()(),10,1-∞-⋃.15．已知数列{}n a 满足121n n a a n ++=-，若1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，则1a 的取值范围为.【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由条件得到22n n a a +-=，再将问题转化为2132a a a a >⎧⎨>⎩或2221212n n n n a a a a +++>⎧⎨>⎩，从而得解.【详解】法一：由121n n a a n ++=-，得2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，则数列{}21n a +，{}2n a 都是以2为公差的单调递增数列.要使1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，只需2132a a a a >⎧⎨>⎩，而211a a =-，312a a =+，则1111121a a a a ->⎧⎨+>-⎩，解得11122a -<<.法二：由121n n a a n ++=-，得2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，又211a a =-，则()21112121n a a n n a =-+-=--，()21112112n a a n n a +=++-=+，要使1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，即2221212n n n n a a a a +++>⎧⎨>⎩，即11112212221n a n a n a n a +-->+⎧⎨+>--⎩，解得11122a -<<.故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将1n n a a +>恒成立，转化为2132a a a a >⎧⎨>⎩或2221212n n n na a a a +++>⎧⎨>⎩，从而得解.16．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，且SA ⊥平面π,,3ABC SA ABC AC M ∠===是边BC 上一动点，直线SM 与平面ABC 所成角的正切值的O 的表面积为.【答案】43π【分析】根据题意，结合线面角的定义求得AM 的最小值，从而确定ABC 的形状，再利用直三棱柱的外接球的性质即可得解.【详解】将三棱锥S ABC -放入直三棱柱11SB C ABC -，则两者外接球相同，取底面11,ABC SB C 的外心为12,O O ，连接12O O ，取其中点为O ，连接1,OA AO ，如图所示，SA SA =⊥ 平面ABC ，则SMA ∠为直线SM 与平面ABC 的所成角，又直线SM 与平面ABC所以tan SA SMA AM ∠==min 3AM =，此时AM BC ⊥，在Rt ABM 中，π,33ABM AM ∠==，AB AC ∴==ABC ∴ 是边长为1223O A AM ∴==，又1122SA OO ==，222221143224OA OO O A ⎛∴=+=+= ⎝⎭则球O 的表面积为434π43π4⨯=.故答案为：43π.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A ；(2)作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =b c +.【答案】(1)π3(2)6【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得.【详解】（1）因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠1sin 2A A =，即tan A =因(0,π)A ∈，故π3A =......................................................6分（2）因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ，所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠.因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =AB AC AB AC ⋅，即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=.....................................................9分又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=，解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=......................................................12分18．(12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()iix x yy r --=∑计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=...................................................4分（2）样本(,)i i x y (i =1，2， (20)的相关系数为20()0.943iix x y y r --=≈∑...................................................9分（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计....................................................12分19．(12分）在正方体1AC 中，E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，AC BD P =I ，11A C EF Q =I ，如图.（1）若1A C 交平面EFBD 于点R ，证明：P 、Q 、R 三点共线；（2）线段AC 上是否存在点M ，使得平面11//B D M 平面EFBD ，若存在确定M 的位置，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且14AM AC =.【解析】【分析】（1）先得出PQ 为平面EFBD 与平面11AA C C 的交线，然后说明点R 是平面11AA C C 与平面EFBD 的公共点，即可得出P 、Q 、R 三点共线；（2）设1111B D A C O =I ，过点M 作//OM PQ 交AC 于点M ，然后证明出平面11//B D M 平面EFBD ，再确定出点M 在AC 上的位置即可.【详解】（1）AC BD P =Q I ，AC ⊂平面11AA C C ，BD ⊂平面EFBD ，所以，点P 是平面11AA C C 和平面EFBD 的一个公共点，同理可知，点Q 也是平面11AA C C 和平面EFBD 的公共点，则平面11AA C C 和平面EFBD 的交线为PQ ，1A C 平面EFBD R =，1AC ⊂平面11AA C C ，所以，点R 也是平面11AA C C 和平面EFBD 的公共点，由公理三可知，R PQ ∈，因此，P 、Q 、R 三点共线；...................................................6分（2）如下图所示：设1111B D A C O =I ，过点M 作//OM PQ 交AC 于点M ，下面证明平面11//B D M 平面EFBD .E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，11//B D EF ∴，11B D ⊄Q 平面EFBD ，EF ⊂平面EFBD ，11//B D ∴平面EFBD .又//OM PQ ，OM ⊄平面EFBD ，PQ ⊂平面EFBD ，//OM ∴平面EFBD ，11OM B D O =Q I ，OM 、11B D ⊂平面11B D M ，因此，平面11//B D M 平面EFBD .下面来确定点M 的位置：E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，所以，11//EF B D ，且1EF OC Q =I ，则点Q 为1OC 的中点，易知11//A C AC ，即//OQ PM ，又//OM PQ ，所以，四边形OMPQ 为平行四边形，111111244PM OQ OC A C AC ∴====，四边形ABCD 为正方形，且AC BD P =I ，则P 为AC 的中点，所以，点M 为AP 的中点，1124AM AP AC ∴==，因此，线段AC 上是否存在点M ，且14AM AC =时，平面11//B D M 平面EFBD ...................................................12分20．(12分）已知函数()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦.(1)若12a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线；(2)讨论()f x 的单调性；【答案】(1)10x y +-=(2)答案见解析【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；（2）求导，对导函数因式分解，分12a >-，12a <-和12a =-三种情况，进行求解函数的单调性.【详解】（1）当12a =时，函数()()2e 21xf x x x =-+，则()01f =，切点坐标为()0,1，()()2e 1x f x x ='-，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线斜率为()01f '=-，所求切线方程为()10y x -=--，即10x y +-=.....................................................5分（2）()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦，函数定义域为R ，()()()()2e 122e 21x x f x x a x a x a x ⎡⎤=+--=-+⎣⎦'，①12a >-，()0f x '>解得1x <-或2x a >，()0f x '<解得12x a -<<，所以()f x 在(),1∞--和()2,a ∞+上单调递增，在()1,2a -上单调递减，②12a <-，()0f x '>解得2x a <或1x >-，()0f x '<解得21a x <<-，所以()f x 在(),2a ∞-和()1,∞-+上单调递增，在()2,1a -上单调递减，③12a =-，()0f x '≥恒成立，()f x 在(),∞∞-+上单调递增.综上，当12a >-时，()f x 在(),1∞--和()2,a ∞+上单调递增，在()1,2a -上单调递减；当12a <-时，()f x 在(),2a ∞-和()1,∞-+上单调递增，在()2,1a -上单调递减；当12a =-时，()f x 在(),∞∞-+上单调递增.....................................................12分21．(12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，当A 点的横坐标为1时，点A 到抛物线的焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AD ，BD 与C 的另一个交点分别为M ，N ，点P ，Q 分别是AB ，MN 的中点，记直线OP ，OQ 的倾斜角分别为α，β.求()tan αβ-的最大值.【答案】(1)24y x =4【分析】（1）关键抛物线的定义可得22A px +=，求出p 即可求解；（2）设222231241234,,,,,,,4444y y y y A y B y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将直线:1AB x my =+112:2x AD x y y -=⋅+和直线BD ，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示121212,,y y y y x x ++，1324,y y y y ，进而可得322y y =、412y y =，由中点坐标公式与斜率公式可得2221OP m k m =+和221OQ mk m =+，则tan tan 22OP OQ k k αβ===，当π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan()αβ-最大，由两角差的正切公式和换元法可得()1tan ()12OQ k k k k αβ-==+，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）抛物线的准线为2p x =-，由抛物线的定义知，22A px +=，又1A x =，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；.....................................................4分（2）由（1）知，(1,0),(2,0)F D ，设222231241234,,,,,,,4444y y y y A y B y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则34341212(,),(,)2222x x y y x x y y P Q ++++，设直线:1AB x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，2121216160,4,4m y y m y y ∆=+>+==-，则21212111()242x x my my m y y m +=+++=++=+，直线112:2x AD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，211314(2()320,8x y y y -∆=-+>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得12122121222212OPy y y y mk x x x x m ++===+++，3434121222222343434122()2()221244OQy y y y y y y y m k x x y y x x y y m ++++====+++++，又因为直线OP 、OQ 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22OP OQ k k αβ===，若要使tan()αβ-最大，需使αβ-最大，则π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220OP OQ k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--====+++，当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以()tan αβ-的最大值为4 (12)分【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关系后，设220OP OQ k k k ==>，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。
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高考数学滚动检测仿真试题及答案（23）
古典概型
时间/ 30分钟分值/ 70分
基础热身
1.[2017·湖南十三校二联]同学聚会上,某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行演唱,则《爱你一万年》未被选中的概率为()
A. 1
3B. 1
2
C. 2
3
D. 5
6
2.[2017·池州二联]小明忘记了微信登录密码的后两位,只记得最后一位是字母A,a,B,b中的一个,另一位是数字4,5,6中的一个,则小明输入一次密码就能够成功登录的概率是()
A. 1
2B. 1
12
C. 3
5
D. 2
3
3.[2017·商丘三模]甲在微信群中发了6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人领到的钱数均为整数,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()
A. 3
4B. 1
3
C. 3
10
D. 2
5
4.有2名男生和2名女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务,他们依次上车,则第二个上车的是女生的概率为()
A. 2
3B. 1
2
C. 1
3
D. 1
4
5.[2017·广西玉林、贵港质检]有两张卡片,一张的正、反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正、反面分别画着老鹰和蛇.现在随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率为.
能力提升
6.[2017·蚌埠三检]四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着一枚完全相同的硬币,所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()
A. 1
2B. 15
32
C. 7
16
D. 1
4
7.[2017·天津河东区二模]为丰富学生文体活动,某学校从篮球、足球、排球、橄榄球中任选2种球给甲班学生使用,剩余的2种球给乙班学生使用,则篮球和足球不在同一个班级的概率是()
A. 1
3B. 1
2
C. 2
3
D. 5
6
8.[2017·重庆八中月考]田忌与齐王赛马,已知田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,则齐王的马获胜的概率为()
A. 2
3B. 3
4
C. 4
5D. 5
6
9.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b,若向量m=(a,b),n=(-2,1),则m⊥n的概率为()
A. 1
6B. 1
4
C. 1
3
D. 1
2
10.[2017·盐城三模]甲、乙两组各有三名同学,已知在一次测试中甲组的成绩分别为88,89,90,乙组的成绩分别为87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,那么这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.
11.[2017·泉州二检]从四棱锥P-ABCD的五个顶点中任取两个点,则这两个点均取自侧面PAB的概率是.
12.[2017·南京三中模拟]一个袋子中有大小、质地均相同的红球、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球,摸出红球,得10分,摸出黑球,得5分,则3次摸球所得总分至少是25分的概率是.
难点突破
13.(10分)[2017·邵阳一模]某校从参加数学竞赛的学生中随机抽取20名学生,将他们的数学成绩(均为整数,单位:分)整理后分成六组([40,50),[50,60),…,[90,100]),得到如图K51-1所示的频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求这20名学生中成绩在[70,80)内的人数;
(2)若从成绩大于或等于80分的学生中随机抽取2人,求恰有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.
图K51-1
1. B[解析]P=3
6=1
2
,所以选B.
2. B [解析] 所有的基本事件有(4,A ),(4,a ),(4,B ),(4,b ),(5,A ),(5,a ),(5,B ),(5,b ),(6,A ),(6,a ),(6,B ),(6,b ),共12个,所以小明输入一次密码就能够成功登录的概率是112
. 3. D [解析] 6元分成3份,有(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2),共3种分法.又第一种分法有3种可能,第二种分法有6种可能,第三种分法有1种可能,其中符合乙获得“最佳手气”的有4种可能,故概率为410=25
. 4. B [解析] 设两男两女分别为a 1,a 2,b 1,b 2,在不考虑第三个人和第四个人的情况下,基本事件有(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(b 1,a 1),(b 1,a 2),(b 1,b 2),(b 2,a 1),(b 2,a 2),(b 2,b 1),共12个.其中,第二个上车的是女生的基本事件共有6个,所以所求概率P=12
,故选B . 5. 14
[解析] 由题知向上的图案有(老鼠,老鹰),(老鼠,蛇),(小鸡,老鹰),(小鸡,蛇),共四种情况,所以向上的图案是小鸡和老鹰的概率为14. 6. C [解析] 由题意,所有基本事件共有24
=16(个),没有相邻的两个人站起来的基本事件有7个,∴没有相邻的两个人站起来的概率为716. 7. C [解析] 从篮球、足球、排球、橄榄球中任选2种球给甲班学生使用,剩余的2种球给乙班学生使用,共有6种分法,其中篮球和足球在同一班的分法有2种,所以篮球和足球不在同一个班级的分法有4种,故所求概率是46=23
,故选C . 8. A [解析] 将齐王的上、中、下三个等次的马分别记为A ,B ,C ,田忌的上、中、下三个等次的马分别记为a ,b ,c ,从双方的马中各选一匹进行比赛的所有情况有Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,Ca ,Cb ,Cc ,共9种,齐王的马获胜的情况有Aa ,Ab ,Ac ,Bb ,Bc ,Cc ,共6种,故齐王的马获胜的概率为23
,故选A . 9. B [解析] 所取的数对有(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,4),(4,6),(4,8),(5,4),(5,6),(5,8),共12个.若两向量垂直,则-2a+b=0,即b=2a ,则满足题意的实数对为(2,4),(3,6),(4,8),共3个.∴所求概率P=312=14
.
10. 89
[解析] 只有当选取的成绩为88,92时不满足题意,由对立事件概率公式可知这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率P=1-13×3=89. 11. 310
[解析] 从四棱锥P-ABCD 的五个顶点中任取两个点,有
(P ,A ),(P ,B ),(P ,C ),(P ,D ),(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共10种取法,其中两个点均取自侧面PAB 的有(P ,A ),(P ,B ),(A ,B ),共3种取法,所以所求概率为310. 12. 12
[解析] 所有基本事件为(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑),共8个.其中总分至少是25分的基本事件有(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红),共4个,所以所求概率为12.
13. 解:(1)由图知,成绩在[70,80)内的频率为1-0.1-0.15-0.15-0.20-0.05=1-0.65=0.35, ∴成绩在[70,80)内的学生人数为0.35×20=7.
(2)∵0.20+0.05=0.25,0.25×20=5,
∴有5名学生的成绩大于或等于80分(其中有1名学生的成绩在[90,100]内).
设4名成绩在[80,90)内的学生分别为a ,b ,c ,d ,成绩在[90,100]内的学生为e ,则从中选2人有
ab ,ac ,ad ,ae ,bc ,bd ,be ,cd ,ce ,de ,共10种情形,其中恰有1名学生成绩在[90,100]内的有ae ,be ,ce ,de ,共4种情形,
∴恰有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率P=410=25.。