主成分回归分析
SPSS之回归分析10-1(主成分分析)(1)
Descriptives:描述统计量 ➢ Statistics:输出基本统计量
Univariate descriptives :输出各个变量的基本 描述统计量 Initial solution:因子分析的初始解 ➢ Correlation Matrix:相关矩阵及其检验
步骤
Extration:指定提取因子的方法 ➢ Method:提取因子的方法 ➢ Analyze:分析矩阵 ➢ Extract:确定因子的数目 ➢ Display:输出与因子提取相关的信息 Unrotated factor solution:输出未旋转的因子 提取结果 Scree plot:输出因子的碎石图
因子旋转
因子旋转的方法： 1.varimax:方差最大旋转。简化对因子的解释 2.direct oblimin:直接斜交旋转。允许因子之间具有相
关性。 3.quartmax:四次最大正交旋转。简化对变量的解释 4.equamax:平均正交旋转。 5.promax:斜交旋转方法。
实例分析
例1续:各地区年平均收入数据, 进行因子分析,要求
主成分分析
主成分分析是考察多个数值变量间相关性 的一种多元统计方法，它是研究如何通过 少数几个主成分来解释多变量的方差—协 方差结构。
导出几个主成分，使它们尽可能多地保留 原始变量的信息，且彼此间不相关。
数学原理
对原有变量作坐标变换，
z1 u11x1 u21x2 ... u p1xp z2 u12 x1 u22 x2 ... u p2 xp ...... z p u1p x1 u2 p x2 ... u pp xp
步骤
Rotation:选择因子旋转方法 ➢ Method:旋转方法 ➢ Display:输出与因子旋转有关的信息 Rotated Solution:输出旋转后的因子分析结果 Loading plots:旋转后的因子载荷散点图
主成分分析与主成分回归.ppt
噪声水平0.0002
PCA结果
d λd
λd/λd+1 RSD
1 5.736 11.7 0.0464
2 0.490 2.5 0.0195
3 0..1199 64..33 0..000004
4 0.0031 2.1 0.0003
5 0.0015 1.9 0.0002
组分数 nc=3
实际上有3种色素
胭脂红柠檬黄日落黄
PCA的目的-定性 有几种物种species
确定复杂分析体系 中的物种数
2.2 PCA的步骤
矩阵分解 收集特征值 真实误差法
特征值比值法
Y=USVt 在S中
比较RSD与RE
Max d d 1
BACK
BACK
矩阵分解
NIPALS分解
Y=TP
分 解
= 奇异奖值金(S1V00D0)0分元解
1Y0=00U0×S1Vt
2 1.130 1.8 0.0599
33 00..66114455 64..00 00..0017
4 0.0096 1.15 0.0015
5 0.0084 1.16 0.0013
组分数 nc=3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
360
410
460
510
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总结主成分回归建模的思想
总结主成分回归建模的思想主成分回归（Principal Component Regression，PCR）是一种常用的统计建模方法，它结合了主成分分析和线性回归的优点，适用于多变量分析和预测问题。
其思想是通过主成分分析降维，将原来的多个自变量合成为少数几个主成分，然后再将主成分作为新的自变量进行线性回归分析。
主成分回归的思想体现了对数据的降维处理，以应对多变量之间的共线性问题。
在实际的数据分析中，往往存在多个自变量之间存在高度相关关系，这就使得线性回归模型中的回归系数估计变得不准确甚至不稳定。
主成分回归通过主成分分析的方式，将原始的多个自变量合成为少数几个主成分，使得合成的主成分之间不存在相关关系，从而消除了多变量共线性的问题。
主成分回归的建模思想包括以下几个步骤：1. 数据预处理：首先对数据进行中心化处理，即将每个自变量减去其均值，使得数据的均值为0。
这样做的目的是消除自变量之间的量纲差异。
2. 主成分分析：对中心化后的数据进行主成分分析，以得到主成分和它们的方差贡献率。
主成分分析的目标是选择出能够保留原始数据中大部分信息的主成分，同时尽量减少选择的主成分个数。
在选择主成分时，可以根据累计方差贡献率达到一定阈值或根据特征值等方法进行选择。
3. 主成分的选择：根据主成分的方差贡献率进行选择，一般来说，选择累计方差贡献率达到一定阈值的主成分即可。
通常选择的主成分个数要远少于原始的自变量个数。
4. 建立回归模型：将选择出的主成分作为新的自变量，进行线性回归分析，得到回归系数。
由于主成分之间不存在相关性，因此回归系数的估计更稳定。
5. 预测新样本：用得到的回归模型对新的样本进行预测，可以通过计算新样本的主成分得分来进行预测。
主成分回归的优点是能够降低回归模型的复杂度，减少模型的自由度，提高模型的预测能力。
通过主成分分析，可以将原始的多个自变量合成为少数几个主成分，从而减少了自变量之间的相关性，提高了回归模型的稳定性和可解释性。
主成分分析和因子分析-回归分析和相关分析的区别
主成分分析和因子分析的区别通过主成分分析所得来的新变量是原始变量的线性组合，每个主成分都是由原有P个变量线组合得到，在诸多主成分z中，Z1在总方差中占的比重最大，说明它综合原有变量的能力最强，其余主成分在总方差中占的比重依次递减，说明越往后的主成分综合原信息的能力越弱。
以后的分析可以用前面几个方差最大的主成分来进行，一般情况下，要求前几个z所包含的信息不少于原始信息的85％，这样既减少了变量的数目，又能够用较少的主成分反映原有变量的绝大部分信息。
如利用主成分来消除多元回归方程的多重共线性，利用主成分来筛选多元线性回归方程中的变量等。
通过因子分析得来的新变量是对每一个原始变量进行内部剖析。
打比喻来说，原始变量就如成千上万的糕点，每一种糕点的原料都有面粉、油、糖及相应的不同原料，这其中，面粉、油、糖是所有糕点的共同材料，这正好象是因子分析中的新变量即因子变量。
正确选择因子变量后，如果想考虑成千上万糕点的物价变动，只需重点考虑面粉、油、糖等公共因子的物价变动即可。
所以因子分析不是对原始变量的重新组合，而是对原始变量进行分解，分解为公共因子与特殊因子两部分。
即因子分析就是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系，它把原始变量分解为两部分因素，一部分是由所有变量共同具有的少数几个公共因子构成的，另一部分是每个原始变量独自具有的因素，即特殊因子。
1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成各个变量的线性组合。
在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1，x2，. . . ，x3 ，经过坐标变换,将原有的p个相关变量xi 作线性变换,每个主成分都是由原有p 个变量线性组合得到。
在诸多主成分Zi 中,Z1 在方差中占的比重最大,说明它综合原有变量的能力最强,越往后主成分在方差中的比重也小,综合原信息的能力越弱。
2、主成分分析的重点在于解释各变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
★★★主成分回归分析原理与步骤(精)
主成分回归分析
logistic 回归分析法是一种应用最大似然法估计回归系数的回归方法,它不要求变量服从协方差矩阵相等和残差项服从正态分布,因而得到广泛的应用。
logistic 回归要求模型的解释变量之间不能具有线性的函数关系,然而, 在很多研究中, 各变量常常不是独立存在的, 而是存在一定程度的线性依存关系, 这一现象称作多重共线性(multi-collinearity。
多重共线性关系常增大估计参数的标准误,从而降低模型的稳定性,有时还可出现与实际情况相悖的结果。
因此, 为了合理地估计和解释一个回归模型, 需要对变量之间的多重共线性进行处理。
主成分 logistic 回归是解决 logistic 回归分析中的共线性问题的常用方法之一, 它通过主成分变换,将高度相关的变量的信息综合成相关性低的主成分, 然后以主成分代替原变量参与回归。
原理与步骤
1、原始数据标准化
2、计算相关系数矩阵
3、求相关矩阵 R 的特征根、特征向量和方差贡献率,确定主成分。
4、建立主成分特征函数
5、使用主成分代替原始变量进行多元回归。
主成分回归的基本原理
主成分回归的基本原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊主成分回归这个有意思的玩意儿。
你说主成分回归啊，就好像是一场整理房间的大行动！想象一下，你房间里堆满了各种各样的东西，乱七八糟的，你都不知道该从哪儿下手。
这时候呢，主成分回归就像是个超级整理大师，它能帮你把这些杂乱无章的东西给归归类，找出最重要的那些。
咱平常的数据不就跟那堆杂物似的嘛，各种变量搅和在一起，让人眼花缭乱。
主成分回归呢，它先把这些变量进行一番加工处理，提取出几个关键的成分。
这就好比从那堆杂物里找出了最主要的几类东西，比如衣服、书籍、玩具啥的。
这些主成分就像是精华浓缩版的变量，它们能很好地概括原来那些复杂的信息。
然后呢，再用这些主成分来进行回归分析。
这就好比你根据整理好的那几类东西，来规划怎么摆放它们才能让房间更整洁、更舒服。
这样一来，原本复杂得让人头疼的数据就变得好理解、好处理多啦！你说这神奇不神奇？它就像是给数据做了一次魔法变身，让我们能更清楚地看到数据背后的规律。
而且啊，这主成分回归还有个好处，它能帮我们避免一些变量之间的相互干扰。
就像你整理房间的时候，把不同类的东西分开，就不会互相碍事啦。
比如说，你要研究人们的消费行为。
那影响消费的因素可多了去了，收入啦、年龄啦、性别啦、喜好啦等等。
这些变量要是一股脑儿地堆在一起，那可真是让人头大。
但有了主成分回归，它就能把这些变量梳理清楚，找出最关键的那几个因素，让我们的分析更有针对性。
你想想看，要是没有主成分回归这么厉害的工具，我们得在那堆乱糟糟的数据里摸索多久啊！它真的是我们分析数据的好帮手呢！所以啊，朋友们，可别小看了主成分回归哦！它虽然看起来有点复杂，但一旦你掌握了它的奥秘，就会发现它真的超级有用。
它就像是一把钥匙，能帮我们打开数据背后那扇神秘的大门，让我们看到更多有趣的东西。
总之呢，主成分回归是个很厉害的东西，我们得好好利用它，让它为我们的研究和分析服务。
怎么样，现在是不是对主成分回归有了更深的认识啦？哈哈！。
主成分回归解释总分差异
主成分回归解释总分差异
主成分回归是一种常用的统计方法，用于解释数据中的总体差异。
在这种方法中，我们首先将原始数据进行主成分分析，将数据转换为一组无关的主成分。
然后，我们可以使用这些主成分来建立回归模型，进一步解释总分差异。
主成分分析是一种降维技术，可以将原始数据转化为一组线性无关的主成分。
通过这种转换，我们可以将高维数据降低到低维空间，从而更好地理解数据中的信息。
主成分回归则是利用主成分分析的结果，建立回归模型来解释总分差异。
在主成分回归中，我们首先计算出主成分的贡献度。
贡献度表示每个主成分解释了原始数据中的多少方差。
我们通常选择贡献度最高的主成分，因为它们能够解释最多的方差。
然后，我们使用选择的主成分建立回归模型。
回归模型可以帮助我们确定主成分与总分之间的关系。
通过回归分析，我们可以计算出每个主成分对总分的贡献度，即它们在解释总分差异中的作用。
通过主成分回归，我们可以得到一些重要的信息。
首先，我们可以了解到哪些主成分对总分的差异起到了重要作用。
其次，我们可以计算每个主成分对总分的贡献度，从而确定哪些主成分对总分的解释最为
重要。
总之，主成分回归是一种常用的统计方法，用于解释数据中的总体差异。
通过主成分回归，我们可以确定哪些主成分对总分差异起到了重要作用，并计算它们在解释总分差异中的贡献度。
这些信息有助于我们更好地理解数据，并建立更准确的回归模型。
主成分回归分析方法
Varian ce Toleran Inflatio ce n . 0
-4.71489 1.30082 0.06091 0.02050 0.03563 0.01531 0.04924 0.02866
0.65229 1.53305 0.82477 1.21245 0.55760 1.79340
Collinearity Diagnostics Numbe r 1 2 3 4 Eigenval ue 3.99037 0.00501 0.00329 0.00132
核心结果：
Parameter Estimates
Variab le Label Interce Interce pt pt x1 x2 x3 x1 x2 x3
Paramet D er F Estimate
1 1 1 1
Standa rd Error
t Val Pr > | ue t| -3.62 0.002 3 2.97 0.009 0 2.33 0.033 4 1.72 0.105 1
0.447445 0.828133
Parameter Estimates Variabl e Label Interce pt z1 z2 Interce pt Paramet D er F Estimate 1 1 1 Standa Standardize rd t Valu Pr > | d Error e t| Estimate 43.78 <.000 1 6.52 <.000 1 -0.07 0.941 9 0 0.84500 -0.00960
具体步骤： 1、用主成分分析法计算出主成分表达式和主成分 得分变量（将贡献小的主成分舍去），即求得 Z=WX。 2、用回归分析法将因变量对主成分得分变量进行 回归，得到因变量关于主成分得分变量的回归模型， 即求得y=AZ。 3、将主成分的表达式代回到回归模型中，即可得 到标准化自变量与因变量的回归模型，即得到 y=AZ=A(WX)=BX 4、将标准化自变量转换为原始自变量，即可得到 原始自变量与因变量的回归模型。
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Z2=-0.0522*zx1+0.2949*zx20.0469*zx3+0.3696*zx4+0.7199*zx5-0.1919*zx60.1391*zx7-0.2421*zx8-0.3361*zx9-0.1481*zx100.0536*zx11
yˆi* y 2
yi* 2
yi* yˆi* 2
yˆi* 2
yˆi* 2 Yˆ* Yˆ* Zˆ Zˆ ˆZZˆ ˆˆ
ˆ1 ˆ2
1
ˆ p
2
ˆ1
主成分回归分析
一、主成分估计 主成分估计是以P个主成分中的前q个贡 献大的主成分为自变量建立回归方程， 估计参数的一种方法。 它可以消除变量间的多重共线性。
回归方程 y b0 b1x1 b2x2 bp xp e 对各变量进行标准化处理 Y* X * e 对于解释变量X*，使得z=X*U
q
j p c, j
j 1
j 1
pc
2、删去 0.01的特征根所对应的主成分。
3、
q j 1
1
j
5q
SPSS实现
1、对所有变量进行标准化(Analysedescription)
2、对所有标准化后的自变量求主成分Z(factor) 3、选择前几个主成分 4、计算主成分得分(transform-compute) 5、y与主成分进行回归(analyse-regression)， 求出α系数值。 6、compute Uˆ ,求出β系数，即可得出 消除多重共线性的标准回归方程。
二、主成分分析筛选变量法 1、将原始样本数据标准化后，作主成分变换 Z= X*U
U p u1p u2 p upp
2、剔除Up中绝对值最大的ui1p所对应的变量 具有较小特征根对应的主成分含有较少的信息。
3、将剩余p-1个标准化变量X*(1)再作主 成分分析 Z(1)=X*(1) U(1)
4、再考虑最小特征根对应的特征向量， 找出绝对值最大的特征向量，剔除与之 对应的变量。
直至满足给定条件时停止。
5、将因变量与剩余变量作回归
三、主成分回归法
先将原始变量作主成分估计，得到标准 化后的y与主成分的回归方程。 离差平方和分解：
yi* y 2
yi* yˆi* 2
z2
y2
*
q
zq
yn
n
zi1
yi
*
/
1
i1
zi2 yi * 2
ziq yi * q
2
n
q
yˆ* 0.690z1 0.191z2
例3.10 影响电的需求量的指标有：(1)钢的产 量x1;(2)生铁产量x2;(3)钢材产量x3;(4)有色金 属产量x4;(5)原煤产量x5;(6)水泥产量x6;(7)机 械工业总产值x7;(8)化肥产量x8;(9)硫酸产量 x9;(10)烧碱产量x10;(11)棉纱产量x11共11个 指标。收集了23年的指标值，建立发电站需求 模型。(数据见spssex/ex310)
Y* X * e X *UU e 令 U Y * Z e
Y* Zcc e (c 1,2,...,q) Y* 1Z1 2Z2 ...qZq
ˆc ZcZc 1 ZcY *
1
2
1 z1 y *1 1
例3.9 经济工作者希望通过国内总产值 x1，存储量x2，消费总量x3,去预测进口 总额y,为此收集了某地区共计十一年的有 关数据，利用主成分估计建立回归方程。 (数据见spssex/ex309)
Z1=0.7066*zx1+0.0435*zx2+0.7066*zx3 Z2=-0.0357*zx1+0.9990*zx2-0.0258*zx3
论文题目
我国各地区城镇居民消费性支出的分析研究
我国上市公司盈利能力与资本结构的实 证分析
农业可持续发展与生态环境评估指标体 系及测算研究 农村城镇化动力结构的统计研究
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内容提要：企业盈利能力是企业财务分析的重要内容 之一，企业资本结构是否合理直接影响公司经营业绩 和长远发展，本文选取了主要影响企业盈利能力的4个 指标（销售净利率、销售毛利率、资产净利率、净资 产收益率），利用主成分提供的方法对其进行综合得 分评价，并与影响企业资本结构的主要指标资产负债 率进行相关分析与回归分析，得出企业盈利能力与资 本结构的关系。
ˆ
2
p
ˆ
p
ˆ1
ˆ11 ˆ22
ˆ pp
ˆ
2
ˆ
p
ˆ1 2 1 ˆ2 2 2
ˆ p
2p
p
成 j ˆ j 2 是主成分Zj 对Y*的偏回
1
i 1 n
i 1 n
i 1
zi1 yi
zi2 yi ziq yi
* * *
n
ˆ j zij yi * j i 1
U
U
ˆc Uˆc ˆ1U1 ˆ2U2 ˆqUq
1、给定c， q1
归平方和。 找出偏回归平方和最小的主成分，其系 数向量中，最大的Uij所对应的自变量被 剔除。 找出次小的偏回归平方和，类似做之 最后将y*与剩下自变量做回归。
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