量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符

3.1 算符概述

设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：

ˆFu

v = （3.1-1） ˆ

F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx

=，22xu v =3

v =，

(,)

x t ϕ∞

-∞

，(,)x i p x h

x e

dx C p t -=，则d

dx

，x dx ∞

-∞

⎰

，x i

p x h

e

-⋅都是算符。

1．算符的一般运算

（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFu

Gu =，则ˆˆG F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFu

Gu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果ˆˆˆˆFG

GF =，则称ˆF 与ˆG 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符

对于任意涵数u ，若ˆI

u=u ，则称ˆI 为单位算符。ˆI 与1是等价的。 （2）线性算符

对于任意函数u 与v ，若**1212

ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。 （3）逆算符

对于任意函数u ，若ˆˆˆˆF

G u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1F

G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fu

x af x =，其中ˆF 为d

dx

与函数构成的线性算符，a 为常数。其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。因0

ˆ0Fu =，

所以不存在1

ˆF -使100

ˆˆF Fu u -=。一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1

ˆF

-使1

1

ˆˆˆˆF

Fv FF v v --==，从而由ˆFv

af =得：1ˆF af υ-=。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。 （4）转置算符

令~ˆˆFu u F =，则称~ˆF 与ˆF 的转置算符，~

ˆF 是一个向左作用的算符。若算符ˆF 表示一般函数（或

常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。 定义波函数ϕ与φ的标积为： *

|d ϕφϕφτ∞

<>=

⎰

（3.1-2）

ϕ与ˆF

φ的标积以及~

ˆG ϕ与φ的标积为： *ˆˆ||F F d ϕφϕφτ∞

<>=⎰

~

!

*

ˆˆ||G

G

d ϕφϕ

φτ∞

<>=⎰ 若上两式中的ϕ与φ都是任意波函数，则称上两式中的ˆF

与~

ˆG 为任意标积中的算符。下面考虑在任意标积中d

dx

的性质。

**

*

*

()()d d d x x dx dx dx dx dx dx

ϕφ

ϕφφϕφϕ∞

∞∞

∞

-∞

-∞-∞-∞

==-⎰⎰⎰ 波函数()x ϕ与()x φ在无限远点也应满足连续性条件：

()()ϕϕ∞=-∞[可都等于零]，()()φφ∞=-∞，所以得：

*

*d d

dx dx dx dx

ϕφϕφ∞

∞-∞-∞=-⎰⎰ 可见在任意标积中，d d

dx dx

=- 。 （5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符

转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轭。以ˆF

+

标记ˆF 的转置共轭算符，则*

~ˆˆF

F +

= *

ˆˆuF F u +=

若在任意标积中，ˆˆF

F +

=，则称ˆF 为厄密算符。即厄密算符的定义为：

**ˆˆ()F d F

d ϕφτϕφτ∞

∞

=

⎰⎰

或写为ˆˆ||||F

F ϕϕϕϕ+<>=<> （3.1-3） 可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。因x 是实数，而x

x = ，所以x x +=。在任意标积中，因d d dx dx =- ，所以*ˆˆx x h h P P i x i x ++∂∂⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来证明ˆx

P 是厄密算符。 **

**ˆˆ|()x x h h d P dx dx P dx i i dx ϕϕφϕφφϕφ∞

∞∞∞-∞-∞-∞-∞=-=⎰⎰⎰，所以ˆx P 是厄密算符。

（6）幺正算符

若在任意标积中，1

ˆˆF

F +

-=，则称ˆF

为幺正算符。设ˆˆiA

T e ±=，若ˆA

为厄密算符，则ˆT 必为幺正算符。

（7）算符的函数

设函数F （A ）的各阶导数都存在，则定义算符ˆA

的函数F （ˆA ）为： ()

()0

ˆˆ()n o n n F F A A ni ∞

==∑ （3.1-4） 其中ˆn

A

表示n 个ˆA 的乘幂，即ˆˆˆˆn

A A A A =⋅ 。例如ˆ0

1ˆF

n

n e F ni ∞

==∑ 3.2 算符的对易关系

定义算符的泊松（Poisson ）括号为：

ˆˆˆˆˆˆ[,]A

B AB BA =- （3.2-1） 一般说来ˆˆˆˆAB

BA ≠，例如ˆˆˆ[,]A B ik =，这样的关系或称为对易关系式。ˆˆ[,]0A B =是对易关系式中的特例，这时ˆˆˆˆAB

BA =，称ˆA 与ˆB 是对易的。 1．量子力学中基本对易关系 在位置表象中，

ˆˆ(,,)()x x

h h h h P x x y z x x xP i x i i x i

ϕϕϕϕϕϕ∂∂==+=+∂∂，即

ˆˆ()x x xP P x ih ϕϕ-=，此式对任意的ϕ都成立，所以得：ˆ[,]x

x P ih =