几个常用函数的导数

321几个常用函数导数

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用教学过程：【合作探究】

探究任务一：函数y f(x) c的导数.

问题：如何求函数y f(x) c的导数

新知：y 0表示函数y c图象上每一点处的切线斜率为______________ .

若y c表示路程关于时间的函数，则y ______ ，可以解释为________________

即一直处于静止状态.

试试：求函数y f (x) x的导数

反思：y 1表示函数y x图象上每一点处的切线斜率为______________ .

若y x表示路程关于时间的函数，则y ______ ，可以解释为________________ 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y 2x,y 3x,y 4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快哪一个增加得最慢

(3)函数y kx(k 0)增(减)的快慢与什么有关

【典型例题】

1 .函数y f (x) c的导数

根据导数定义，因为亠f(x x) f(x)口0

x x x

所以y lim lim 0 0

x 0 x x 0

y 0表示函数y c图像上每一点处的切线的斜率都为0•若y c表示路程关于时间的函

数，则y 0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.

2.函数y f (x) x的导数

因为_y f (x x) f (x) xxx 1

x x x

所以y

y 1表示函数y x 图像上每一点处的切线的斜率都为

1 •若y x 表示路程关于时间的函

y x 2图像上点(x,y)处的切线的斜率都为 2x ，说明随着x 的变化,

2

时，随着x 的增加，函数y X 减少得越来越慢；当 x 0时，随着x 的增加，函数y

增加得越来越快.若y X 2表示路程关于时间的函数， 则y 2x 可以解释为某物体做变速 运动，它在时刻x 的瞬时速度为 1 4•函数y f(x) 的导数

x

2

x

5•函数y XX 的导数

数，则y 1可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动.

3.函数y

f (x) x 2的导数 因为

f(x X ) f(x)

x

(X X )2 X x 2

所以

x 2 2x x ( x)2

x 2

2x x

lim 丄 X 0 x

lim(2 x x) x 0 2x

2x 表示函数 线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来

看，表明：当x

2x .

因为」

x

f(x X) f(x) XXX

X

x (x x) x(x

x) x

x 2 x x 所以y lim

x

因为

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6.推广：若y f (x) x n(n Q*)，则f (x) nx n 1

【反思总结】

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：

--------------- ，---------------- ，--------------- .

2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同

的.

【当堂检测】

1. f(x) 0的导数是( )

A. 0

B. 1

C.不存在

D.不确定

2•已知f(x) x2,则f (3)( )

A. 0

B. 2x

C. 6

D. 9

3•在曲线y x2上的切线的倾斜角为一的点为( )

4

1 1 1 1

A. (0,0)

B. (2,4) C q,亦)D. (-,4)

1

4.过曲线y丄上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是__________________________________

x

5.物体的运动方程为s t3，则物体在t 1时的速度为 ______________________ ，在t4时的速度为___________ .

【板书设计】

1 .函数y f (x)c的导数 3 .函数y f(x)

2 x的导数 5 .函数y 、、x的导数

2.函数y f (x)x的导数 4 .函数y f(x)1

x

的导数6.推广：

【课后作业】P82探讨