高考数学专题讲义数列综合

第八讲 数列综合

★★★高考在考什么 【考题回放】

1.（宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2

23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ）

Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-

2.(江西)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=

．7

3.（辽宁卷） 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则

n S 等于

A ．1

2

2n +- B.3n C. 2n D.31n -

【解析】因数列{}n a 为等比，则1

2n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，

则

22121122212

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

4.（湖南）设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有

min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????

≠??????????

，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大

值是（ B ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

5.(陕西卷) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2

+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，

求数列{a n }的通项a n .

解析：解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12

+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3．

又10S n －1=a n －12

+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12

)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)．

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73． a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时，a 3=12， a 15=72， 有a 32

=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3．

6.（广东卷）已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}

2

n

a 各项的和为

81

5

. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； (II)对给定的(1,2,3,,)k k n =，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的

前10项之和；

解: (Ⅰ)依题意可知,???

??==????????=-=-32358119

112121

q a q a q a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1

323-?

?

?

???=n n a ,所以数列)

2(T

的的首项为221==a t ,公差

3122=-=a d ,

15539102

1

21010=???+?=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.

★★★高考要考什么

本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、

n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函

数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．

（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．

★ ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且111131144

13144

n n n n n n a a b b a b ----?=++????=++??（2n ≥）

（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．

解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥） 易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+．

（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=

-≥，令n n n d a b =-，则11

(2)2

n n d d n -=≥．

易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为11

2

n n d -=． 由

1211

2

n n n n n a b n a b -+=+??

?-=??，

解得 11

22

n n a n =++， 求和得21122n n n S n =-+++．

【变式】（文）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件

242

,1,2,1

n n S n n S n +==+，

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记(0)n a

n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由

2421n n S n S n +=+得：12

1

3a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1

211122()42212

n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===

+++?＝2(1)

1n n a n a +++，所以n a n =。

（Ⅱ）由n a

n n b a p =，得n n b np =。所以23123(1)n n n T p p p n p np -=+++

+-+，

当1p =时，1

2

n n T +=； 当1p ≠时，

234123(1)n n n pT p p p n p np +=+++

+-+，

23

1

1

1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p

p np

np p

-++--=+++

++-=--

即11

,12(1),11n n

n n p T p p np p p

++?=??

=?-?-≠?-?。

（理）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'

()62f x x =-，数列{}

n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *

∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）、设11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2

+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.

又因为点(,)()n n S n N *

∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2

－2n.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2

－2n ）－[

]

)1(2)132

---n n （

＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12

－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *

∈）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=

n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1

61

561(21+--n n ，

故T n ＝

∑=n

i i

b

1

＝

2

1?????

?+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使

21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20

m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.

【范例2】已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()

'()

n n n n f a a a f a +=-（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ； （3）记ln

n n n a b a a

β

-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。 解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，∴

αβ=

； （2）'()21f x x =+，21

115

(21)(21)12

442121

n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ =5114

(21)4

212n n a a ++

-

+，∵11a =，

∴有基本不等式可知20a >

（当且仅当1a

时取等号），∴20a >

同，样3a >

，……，n a α>=（n=1,2,……），

（3）1()()(1)2121

n n n n n n n n a a a a a a a a αββ

ββα+----=--=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-，

21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=，

又113l n l n l n

1b βα-===-

2(2n n S =-【文】已知函数2

()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()

f x '是的导数

设11a =，1()

()

n n n n f a a a f a +=-'，(1,2,)n =. (1)求α、β的值；

(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a β

α

-=-,(1,2,)n =.求数列{n b }的前n 项和n S ．

解、(1) 由 2

10x x +-=

得x =

α∴=

β= (2) ()21f x x '=+ 22

111

2121

n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=

++

(

2

2221111n n n n n n n n n a a a a a a a a ββαα+++??++++ ???--==== ?

--??

∴ 12n n b b += 又

1111ln

4ln

2a b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为

,公比为2的等比数列; ∴

)(

)12242112n n n S -=

=-- 【变式】对任意函数f （x ），x ∈D ，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f （x 0）；

②若x 1?D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f （x 1），并依此规律继续下去． 现定义f （x ）=

1

2

4+-x x ． （Ⅰ）若输入x 0＝

65

49

，则由数列发生器产生数列｛x n ｝．请写出数列｛x n ｝的所有项； （Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；

（Ⅲ）（理）若输入x 0时，产生的无穷数列｛x n ｝满足：对任意正整数n ,均有x n ＜x n ＋1，求x 0的取值范围．

解：（Ⅰ）∵f （x ）的定义域D ＝（－∞1）∪（－1，＋∞） ∴数列｛x n ｝只有三项x 1＝

19

11，x 2＝51

，x 3＝－1

（Ⅱ）∵f （x ）＝

1

24+-x x ＝x 即x 2

－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2 即x 0＝1或2时，x n ＋1＝1

2

4+-n n x x ＝x n ，故当x 0＝1时，x 0＝1；当x 0＝2时，x n ＝2（n ∈

N ）

（Ⅲ）解不等式x ＜1

2

4+-x x ，得x ＜－1或1＜x ＜2，要使x 1＜x 2，则x 2＜－1或1＜x 1

＜2

对于函数f （x ）＝1

6

4124+-=+-x x x 。若x 1＜－1，则x 2＝f （x 1）＞4，x 3＝f （x 2）＜x 2

当1＜x 1＜2时，x 2＝f （x ）＞x 1且1＜x 2＜2依次类推可得数列｛x n ｝的所有项均满足x n ＋1＞x n （n ∈N ）

综上所述，x 1∈（1，2），由x 1＝f （x 0），得x 0∈（1，2）

【范例3】已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x

y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的

前n 项和，且满足222

13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，

…． （I ）证明：数列2n n b b +??

?

???

（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增

解：（I ）当2n ≥时，由已知得222

13n n n S S n a --=．

因为10n n n a S S -=-≠，所以2

13n n S S n -+=． …… ① 于是2

13(1)n n S S n ++=+． ……②

由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③ 于是2169n n a a n +++=+． …… ④ 由④－③得26n n a a +-=， …… ⑤

所以226

2n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +??????

≥是常数数列．

（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以

332a a =+，4182a a =-．而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6

为公差的等差数列，

所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ?<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立．

12a a ?<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ?<<<915

1223218244

a a a a a ?<-<+<-?

<<．

即所求a 的取值集合是9154

4M a

a ??

=<

（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n n

a a n n n n n n n

b b e e k a a a a ++++--==

-- 任取0x ，设函数0

0()x x e e f x x x -=-，则002

0()()()()x x x e x x e e f x x x ---=-

记00()()()x

x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x

g x e x x e e e x x '=-+-=-，

当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，

上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，

所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，

上都是增函数．

由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，

取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n

a a n n e e a a ++-<

-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2

2

n n a a n n e e a a ++->

-． 所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．

解法二：设函数1

1

()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，

上都是增函数，

所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，2111

11211

lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++++

+++++--=>=--→． 故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．

【文】设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且2

22

13

n n n S n a S -=+，0n

a ≠，

234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；

（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有

项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．

解：（I ）当2n ≥时，由已知得222

13n n n S S n a --=．

因为10n n n a S S -=-≠，所以2

13n n S S n -+=． …………………………① 于是2

13(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②

由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，

而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．

所以22(1)6626k a a k k a =+-?=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-?=+-，k ∈N*．

由题设知，1187n n b -=?．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}

k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．

若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，

此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -?=，1

37n k -=?∈N*，从而n b 是数列{}n a 中

的第1

67

n -?项．

（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第

126723

n a

-?+

-项即可） 【变式】（文）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2

+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； （3） 记b n =

211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +1

32-n T =1.

解：（Ⅰ）由已知2

12n n n a a a +=+， 211(1)n n a a +∴+=+

12a = 11n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即

1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+

{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

1lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1122lg3lg3n n --=?= 1

213n n a -∴+=（*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 0

1

2

222333=????n-1

2…3 2

122

3+++=n-1

…+2=n 2-1

3

由（*）式得1

2

31n n a -=-

（Ⅲ）

2

102n n a a a +=+1(2)n n n a a a +∴=+ 11111

()22

n n n a a a +∴

=-+

1

112

2n n n a a a +∴

=-+ 又112n n n b a a =

++1

112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112(

)n n a a a a a a +=-+-+-…+11

11

2()n a a +=- 1

221131,2,31n n

n n a a a -+=-==-2

2131

n

n S ∴=-

-

又21

3n n T -=2

131

n n S T ∴+

=-

（理）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*

+==++-∈N ，，其中0λ>．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *

∈N ，使得

11n k n k

a a

a a ++≤对任意n *∈N 均成立． （Ⅰ）解法一：222

22(2)22a λλλλ=++-=+，

2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．

由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n

n a n λ=-+．

以下用数学归纳法证明．

（1）当1n =时，12a =，等式成立．

（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k

k a k λ=-+，

那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k

k λλλλλ++=-+++-

11[(1)1]2k k k λ++=+-+．

这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n

n a n λ=-+对

任何n *

∈N 都成立．

解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*

+=++-∈N ，0λ>，

可得1

1

1221n n

n n

n n a a λλλλ+++??

??

-=-+ ?

???

??

， 所以2n

n n a λλ????

??-?? ???????为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ??-=- ???，

所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n

n a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234

123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=+++

+-+-， ①

345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=+++

+-+- ②

当1λ≠时，①式减去②式， 得212

3

1

1(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλ

λλ

+++--=++

+--=---，

211212

22

(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．

这时数列{}n a 的前n 项和2121

2

(1)22(1)

n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．

当1λ=时，(1)2n n n T -=

．这时数列{}n a 的前n 项和1

(1)222

n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +???

?

??

的第一项2

1

a a 最大，下面证明： 21214

,22

n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要2

12(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n n

n a n λλλλ+=+-++

124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+?=-+·

1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．

所以③式成立． 因此，存在1k =，使得

1121

n k n k a a a

a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．