量子混沌新进展
混沌理论在物理学中的应用研究
混沌理论在物理学中的应用研究引言：混沌理论是指研究复杂、难以预测的非线性动态系统的一种理论。
物理学作为科学的基石，混沌理论在其中扮演着重要的角色。
本文旨在探讨混沌理论在物理学领域的应用研究，并分析其对科学的影响。
一、混沌的定义与特征混沌是指一种看似无规律、但又不完全随机的系统运动状态。
它具有以下几个特征：1. 灵敏依赖于初始条件：微小的初始条件变化会导致系统演化出现巨大差异。
2. 非周期性：混沌系统的运动不以周期性方式重复。
3. 分形结构：混沌系统的运动轨迹呈现出分形的几何特征。
二、混沌理论在天体物理学中的应用天体物理学旨在研究宇宙中的宏观天体，而混沌理论在其中有着重要的应用，例如：1. 日地系统的混沌运动：太阳风与地球磁场的相互作用存在着混沌现象，混沌理论可用于描述太阳风的扩散效应。
2. 星系的演化：在星系的形成过程中，混沌理论揭示了星系的结构形成和星系演化的内在机制。
3. 天体力学问题：混沌理论在分析行星运动、卫星轨道以及衡量天体轨道稳定性等问题上有其应用价值。
三、混沌理论在热力学中的应用热力学是研究热与能量转化的科学，混沌理论对热力学也有着重要的应用：1. 经典热力学的动力学：通过混沌理论的研究，我们可以更好地理解气体分子的运动规律以及热力学系统的稳定性条件。
2. 混沌热力学系统的熵产生：混沌系统热力学性质的熵产生过程与经典热力学的熵产生有所不同，混沌理论为探索这一领域提供了新的视角。
3. 非平衡态热力学：混沌理论为非平衡态热力学提供了理论基础，使科学家能够更好地研究非平衡态热力学过程。
四、混沌理论在量子力学中的应用量子力学是研究微观粒子的运动行为和性质的科学，混沌理论也在其中发挥着重要的作用：1. 量子混沌：通过混沌理论的应用，我们可以研究量子系统中的混沌现象，揭示微观领域中量子混沌的产生与演化规律。
2. 量子控制：混沌理论为量子控制提供了新的思路，通过混沌系统中受控制的参数调节，可以实现对量子态的控制和操控。
量子力学中的量子湍流现象
量子力学中的量子湍流现象量子力学是研究微观世界的一门科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，有一个引人注目的现象被称为量子湍流。
量子湍流是指在量子系统中，粒子的运动表现出类似于经典湍流的不可预测性和混沌性。
量子湍流现象的研究起源于20世纪初，当时科学家们发现，微观粒子的运动并不像经典物理学所描述的那样规律和可预测。
相反，它们的运动具有不确定性和随机性。
这种不确定性在量子力学中被称为测量不确定性原理，它表明在某些情况下，我们无法同时准确测量粒子的位置和动量。
这种不确定性导致了量子湍流的出现。
量子湍流的特征之一是粒子的位置和动量的不确定性。
根据测量不确定性原理，我们无法准确知道粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
这导致了粒子的运动呈现出一种随机性和不可预测性。
这与经典湍流现象非常相似，经典湍流也是一种具有随机性和不可预测性的运动。
量子湍流的另一个特征是粒子的相互作用和干涉。
在量子系统中，粒子之间存在着一种奇特的相互作用，被称为量子干涉。
量子干涉是指当两个或多个粒子同时存在时，它们的行为会相互影响，导致一些奇怪的现象，如干涉条纹的出现。
这种相互作用和干涉使得量子湍流的行为更加复杂和难以理解。
量子湍流现象的研究对于理解和应用量子力学具有重要意义。
首先，它帮助我们更好地理解微观粒子的行为和性质。
通过研究量子湍流，我们可以揭示微观世界的奇特规律和现象，进一步深化对量子力学的认识。
其次，量子湍流的研究对于量子计算和量子通信等领域的发展也具有重要意义。
量子计算和量子通信是利用量子力学的特性进行信息处理和传输的新兴技术，而量子湍流的研究可以为这些技术的发展提供理论基础和指导。
近年来，随着技术的进步和实验手段的改进，科学家们对量子湍流现象进行了越来越深入的研究。
他们通过实验观测和理论模拟，揭示了量子湍流的一些新特性和行为。
例如，他们发现量子湍流可以在一维和二维系统中产生，而在三维系统中则很难观察到。
量子科技的未来发展趋势
量子科技的未来发展趋势随着科技的迅猛发展，量子科技作为一项前沿领域备受关注。
其突破性的特性在信息传输、计算能力和加密领域都具有潜在的应用前景。
在未来几十年里，量子科技将继续引领科技革命，推动人类进入新的时代。
量子计算是量子科技领域的一项重要研究方向。
传统计算机是基于二进制系统运行的，即借助“0”和“1”两个状态来表示信息。
而量子计算利用量子位的特性，如叠加和纠缠，能够大幅提升计算速度和效率。
目前，已经有一些简单的量子计算机原型面世，并且在一些特定的应用领域展现出了巨大的优势。
然而，量子计算机的发展仍处于起步阶段，需要克服许多技术难题，如量子比特的稳定性、量子纠错等。
随着技术的不断突破，未来量子计算机有望实现“量变到质变”，为解决复杂问题和推动科学研究提供巨大帮助。
与量子计算密切相关的是量子通信。
由于量子信息的特殊性，量子通信能够实现无法破解的加密传输，对网络安全具有重要意义。
量子通信技术的发展势头迅猛，已经实现了远距离量子密钥分发和量子隐形传态等实验。
然而，实际应用中仍存在着许多问题，如传输距离的限制和错误纠正的挑战。
未来，人们将继续研究量子通信技术，改进传输效率和安全性，以满足现代社会对安全通信的需求。
除了计算和通信，量子科技在材料科学和精密测量领域也有着广阔的应用前景。
量子材料的研究旨在探索基于量子效应的新型材料，能够在电子、光子和声子等不同粒子级别上表现出特殊的性质。
这些材料有望在能源存储、传感器和光电子学等领域取得突破性的进展。
同时，量子传感器的高灵敏度和精确度也被广泛关注。
在精密测量领域，利用量子技术能够更加准确地探测微小变化或微弱信号，例如地磁场、重力波和光子等。
这对于天文学、地球科学和医疗诊断等领域具有重要影响。
未来，量子科技的发展不仅仅局限于以上领域。
量子机器学习、量子人工智能等新兴领域也逐渐兴起。
量子机器学习能够利用量子计算和量子算法，提升机器学习的效率和能力，解决传统机器学习中难以解决的问题。
超冷原子中的量子混沌与量子效应
超冷原子中的量子混沌与量子效应超冷原子是一种在极低温下（接近绝对零度）被制备出来的特殊物质。
在这样的条件下，原子的运动速度减慢到极限，使其呈现出量子行为。
量子混沌和量子效应是在超冷原子体系中观察到的两个重要现象。
量子混沌是指在经典物理中完全确定的动力学系统中，微小扰动会导致轨道的高度不确定和混乱，从而使系统变得难以预测。
在传统的经典物理中，每个物体都遵循着牛顿力学的规律，而量子系统则遵循着量子力学的规律。
在超冷原子体系中，由于原子的运动速度极慢，可以精确探测到其位置和速度。
这使得我们能够观察到量子混沌的存在。
量子效应是指在超冷原子体系中，由于量子力学的性质，微小尺度的量子行为会对整个系统产生显著的影响。
其中最常见的一个量子效应是量子隧穿。
在经典物理中，一个粒子如果遇到足够高的势垒，它将无法穿越这个势垒。
而在量子力学中，由于波粒二象性的存在，粒子有一定的概率穿越势垒出现在势垒的另一侧。
在超冷原子中，我们可以观察到这种量子隧穿的现象，这使得超冷原子表现出与经典物理完全不同的行为。
量子混沌和量子效应在超冷原子体系中的出现可以解释为量子与经典之间的过渡。
在极低温下，原子的能量已经足够低，使得其行为更加接近于经典物理。
然而，原子仍然保持着一些量子性质，引发了这些非常规的现象。
除了量子混沌和量子效应，超冷原子体系还有其他一些有趣的量子行为。
比如，在超冷原子中，原子可以形成凝聚态，即大量原子在同一个量子态上处于凝聚。
这种物质称为玻色-爱因斯坦凝聚体。
在这个体系中，我们可以观察到超流现象，即原子在没有粘附力的情况下，可以自由地通过其他原子而不受到任何碰撞或阻力。
这是一种与经典物理完全不同的现象，只有在极低温下的量子体系中才能观察到。
超冷原子中的量子混沌和量子效应为我们探索量子世界提供了一个独特的实验平台。
通过观察和研究这些非常规现象，我们可以更深入地了解量子力学的基本原理以及经典物理与量子物理之间的衔接。
这些研究不仅对于基础科学的发展有重要意义，也有望在信息处理、量子计算等领域的应用中发挥重要作用。
超致冷原子物理学中的研究进展
超致冷原子物理学中的研究进展超致冷原子物理学是一门关于极低温度下原子行为和量子现象的研究学科，其主要研究方向是将原子冷却到接近绝对零度的状态，这种状态被称为超致冷态。
在这种状态下，原子之间的相互作用和运动呈现出非常特殊的量子性质，因此这一领域的研究对于量子信息、量子计算、量子模拟、量子传感等领域都有着重要的影响。
近年来，超致冷原子物理学的研究进展不断取得重要成果，下面我们将从三个方面来介绍其中的研究进展。
一、新的冷却技术基于常见的冷却原理，超致冷原子物理学使用了一系列冷却技术，如蒸汽冷却法、雾化冷却法、激光冷却法、磁光陷阱、光波陷阱等等。
其中，激光冷却法是目前应用最广泛的方法之一，它通过激光的吸收、辐射和再吸收等过程来将原子的动能降低到极低的温度。
但是激光冷却法也存在一些问题，如激光泵浦过程中会产生热效应，导致原子温度上升；同时，激光冷却法也无法获得更低的温度。
为了解决这些问题，研究人员开发出了许多新的冷却技术。
比如，基于光波陷阱的主动冷却技术，这种技术通过操控光波陷阱来主动加速原子的冷却过程，实现了更低的温度；另外，还有一种基于同一原子间的相互作用力的被动冷却法，这种方法通过操控原子的相互作用力来实现原子的冷却。
二、新的量子现象的观测超致冷原子的研究可以更深入地研究量子现象，这对于量子信息、量子计算和量子模拟等领域的发展都有很大的帮助。
对于超致冷原子物理学中的量子现象，近年来研究人员也取得了一些重要的观测和实验结果。
比如，原子波束的干涉，即将冷却好的原子束分为两个，将它们在不同距离的平面上交叉，并观察相互作用的情况。
当两束原子相遇时，由于相互作用而导致相位的改变，最终形成干涉图案。
这种实验既可以检验经典物理学的干涉理论，也可以用于研究量子干涉和量子纠缠等问题。
另外，可以用超致冷原子来研究量子混沌现象。
量子混沌是指在经典物理学定律下不可能出现的混沌现象，在超致冷原子中研究量子混沌，能够提供更加准确的混沌规律，并有助于解决复杂系统中的数学问题。
量子纠缠的发展现状及未来趋势分析
量子纠缠的发展现状及未来趋势分析引言量子纠缠是量子力学中一种非常特殊且令人着迷的现象。
其在过去几十年中受到了广泛关注和研究。
本文将分析量子纠缠的发展现状，并对其未来趋势进行探讨。
1. 量子纠缠的基本概念量子纠缠是指两个或多个量子系统之间因为量子相互作用而产生的一种状态，使它们之间形成一种紧密的联系。
当一个系统发生变化时，纠缠系统中的其他系统也会立即发生相应的变化，即使它们之间的距离很远。
2. 量子纠缠的实验验证量子纠缠的存在在实验上得到了广泛的验证。
例如，著名的贝尔不等式实验验证了纠缠系统的非局域性。
实验中，两个纠缠的粒子被分开，分别测量它们的属性。
结果显示，它们的属性之间存在着高度的相关性，超越了经典物理学的解释。
3. 量子纠缠的应用量子纠缠具有广泛的应用潜力。
首先，它在量子通信领域中起着重要作用。
纠缠态可以用于量子密钥分发，提供更高的安全性。
其次，量子纠缠也可应用于量子计算。
纠缠态可以提供并行计算的能力，从而加快计算速度。
此外，量子纠缠还可以用于量子隐形传态，量子纠缠交换等。
4. 量子纠缠的发展现状目前，量子纠缠的研究已经取得了一系列重要的进展。
例如，科学家们已经实现了更高维度的量子纠缠，这有助于提高量子通信和量子计算的效率。
此外，研究者们还在探索如何在更大尺度上实现纠缠态，这对于量子信息处理的应用至关重要。
另外，量子纠缠与其他量子现象（如量子霍尔效应）的关系也成为研究的热点。
5. 量子纠缠的挑战然而，要实现量子纠缠的稳定性和可控性仍然面临着许多挑战。
一方面，纠缠状态很容易受到环境的噪声干扰，导致纠缠的破坏。
另一方面，纠缠的产生和探测仍然是一个复杂的过程，需要更加精确的实验技术和理论支持。
6. 量子纠缠的未来趋势尽管面临挑战，量子纠缠在未来仍然有着广阔的发展前景。
首先，随着技术的进步，我们有望实现更大规模和更稳定的量子纠缠。
其次，量子纠缠将在量子通信和量子计算领域发挥越来越重要的作用，推动这些领域的发展。
量子未来的发展趋势
量子未来的发展趋势
量子未来的发展趋势包括以下几个方面：
1. 提高量子计算能力：随着量子计算技术的不断发展，量子计算机的计算能力将会大幅提升。
这将有助于解决当前传统计算机无法解决的复杂问题，并在许多领域带来重大的突破。
2. 扩大量子通信网络：量子通信技术具有高度安全性和低延迟的特点，将在未来成为替代传统通信方式的重要选择。
未来的发展趋势将会推动建设更大规模的量子通信网络，进一步提高通信的安全性和效率。
3. 推动量子模拟和优化：量子模拟和优化技术可以模拟和优化复杂的量子系统和化学反应。
这将在材料科学、医药研发和供应链等领域中发挥重要作用，帮助加速新材料和药物的开发，以及优化资源利用。
4. 加速量子机器学习的发展：量子机器学习结合了量子计算和机器学习的技术，可以帮助处理大规模和复杂的数据，提高机器学习的效率和准确性。
未来的发展趋势将会加速量子机器学习的研究和应用，推动其在各个领域的应用。
5. 发展量子加密技术：量子计算对传统加密算法构成威胁，因此量子加密技术将成为保护数据安全的关键。
未来的发展趋势将会推动量子加密技术的研究和应用，以保护隐私和数据安全。
总之，量子技术的发展趋势将会在计算、通信、材料科学、医药研发和机器学习等多个领域产生深远的影响，为人类社会带来更多的创新和突破。
量子物理学中的量子混沌及其应用
量子物理学中的量子混沌及其应用量子物理学是一个极其重要的科学领域，它研究的是微观世界的规律和现象。
量子力学的基础概念是量子态，它描述了微观粒子的状态。
在量子世界中，随着时间的推移，量子态会发生变化。
一般来说，这种变化是可以预测的且有规律可循，但在一些特殊情况下，量子态的演化会变得十分复杂，而这种复杂性就是所谓的量子混沌。
量子混沌现象的起源可以追溯到上世纪六十年代，这时量子力学刚刚发展起来。
在那个时期，人们开始思考量子系统的混沌行为，发现这种混沌行为与经典物理学的混沌行为是不同的。
经典物理学中的混沌行为可以通过某些数学工具来描述，比如说混沌吸引子。
而在量子力学中，由于存在测量问题，混沌态的演化很难被完全描述。
量子力学中的测量问题是混沌现象的主要难点。
在量子力学中，任何测量都会导致量子态的塌缩，也就是说，测量后的结果会严重影响量子态的演化。
而在复杂的量子系统中，我们并不知道如何进行测量才能使量子态演化得到适当的控制。
因此，如何控制量子混沌现象一直是量子物理学研究的热点问题。
量子混沌现象的研究不仅有理论上的意义，还有实际应用价值。
目前，研究人员已经开始探索量子混沌现象在信息加密、随机数生成等方面的应用。
在量子通信中，加密是一个重要的问题。
传统的加密方法已经无法应对日益增长的计算能力，而量子物理学则提供了一种新的安全性更高的加密方案。
量子密钥分发是其中的一种典型应用，它通过利用量子物理学中的特殊性质来保证密钥的安全性。
在量子计算领域中，随机数生成也是一个重要的问题。
随机数是信息处理中非常重要的一种资源，但传统的随机数生成方法并不能保证完全的随机性。
量子物理学提供了一种自然的随机数生成方法，仅依靠量子力学中的随机性量子态演化就可以产生完全的随机数序列。
此外，量子混沌现象还与其他领域存在着关联。
比如，在量子化学中，量子混沌现象可以帮助我们更好地理解化学反应的动力学过程。
在量子引力学中，混沌现象也是一个重要的研究方向，可以帮助我们更好地理解量子引力现象。
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1、论文（设计）研究目标及主要任务研究目标：提高学生个人的调研能力和翻译英文的能力，锻炼语言组织能力，培养对物理学的研究兴趣，在实践中达到物理思想的熏陶。
主要任务：简单介绍混沌尤其是量子混沌的概念，重点解释其本质特征及研究现状和研究方法，提高对其的认识和了解，激发研究热情并加快其研究进度。
2、论文（设计）的主要内容物理规律及其自然现象一般都很复杂，需要用非线性方程来表示它们的运动规律，而在非线性理论中混沌理论是非常重要的。
人们普遍把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。
而量子混沌是经典动力系统中的混沌现象在量子体系中的表现形式。
即是在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统所具有的复杂行为。
这里将主要介绍一下非线性理论中混沌理论特别是量子混沌的的研究，通过与较为成熟的经典混沌研究的对照，说明与经典混沌对应的量子混沌的特征以及利用半经典近似理论探讨混沌的量子化。
重点介绍量子混沌在量子计算机、在低维超晶格的量子输运和核物理等领域的一些进展情况。
在最后指出了量子混沌研究的重要意义。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：已经搜集了大量的相关材料，学习了其中与论文题目相关的内容并加以理解。
认真整理材料和个人的学习体会，对论文相关内容有了统筹的把握。
研究路线：需在原有材料基础上进行总结归纳，介绍其研究方法并适时加入自己的观点和看法，对有关原理进行必要理论分析，并揭示其研究应用前景，突出混沌尤其是量子混沌的研究重要意义。
4、主要参考文献1、顾雁《量子混沌》上海科技教育出版社,1996.2、Ze’ev Rudnick 《What is Quangtum Chaos?》Notice of The AMS,55(1):32-34.3、[美]C.格里博格. 《混沌对科学和社会的冲击》湖南科学技术出版社.2001.4、郝柏林. 《（从抛物线谈起）混沌动力学引论》上海科技教育出版社,1992.河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章222t μ∂ψ=-∇ψ∂，其是拉普拉斯常量。
如果该方程解的振幅不随时间改变，则称其为定态薛定谔方程的解。
该方程的定态解具体形式为(itE n -ψ22n n n E μ∆ψ=ψ，其中n E 代表量子化的能级。
与经典力学处理不同，用量子力学处理得到的能级是分立的，不连续的。
为方便处理起见，我们定义标度能级。
简单的例子是令该矩形“台球桌”边长⎭⎬⎫ ，其中m222t μ∂ψ=-∇ψ∂，22222y x ∂∂+∂∂=∇change in time, that目录中文摘要、关键词 (1)1、绪论 (2)1.1混沌的引入 (2)1.2 混沌理论的介绍 (2)2、混沌及量子混沌的特征与联系 (3)2.1 混沌特征与量子混沌特征 (3)2.2有关可积系统与不可积系统的介绍 (4)2.3 经典混沌与量子混沌联系—半经典近似理论 (4)3、量子混沌本质的解释 (6)4、量子混沌的新进展 (7)4.1 量子计算机与量子混沌 (7)4.2 在低维超晶格的混沌输运 (10)4.3量子混沌与核物理 (11)5、结语 (12)参考文献 (13)英文摘要、关键词 (14)量子混沌新进展摘要：物理规律及其自然现象一般都很复杂，需要用非线性方程来表示它们的运动规律，而在非线性理论中混沌理论是非常重要的。
人们普遍把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。
而量子混沌是经典动力系统中的混沌现象在量子体系中的表现形式。
即是在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统所具有的复杂行为。
本文主要介绍非线性理论中混沌理论特别是量子混沌的研究，通过与较为成熟的经典混沌研究的对照，说明与经典混沌对应的量子混沌的特征，以及半经典近似理论探讨混沌的量子化的问题。
重点介绍了量子混沌在量子计算机、在低维超晶格的量子输运和核物理等领域的一些进展情况。
在最后指出了量子混沌研究的重要意义。
关键词：量子混沌；经典混沌；半经典近似；量子计算机；量子输运；核物理1 绪论1.1 混沌的引入1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学创始人之一洛伦兹（E.N.Lorenz）在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个陆龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
直到今天，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它掀起了对混沌学研究的热潮。
今天伴随计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
在物理学中混沌有着专门的含义，与我们日常生活中的“混沌”大为不同。
混沌在物理学里并不意味着变化多么剧烈，一个混沌系统可以按照某种光滑或有序进行演化。
例如物理学中伟大的科学家牛顿发现了一系列简明的原理和定律（如牛顿三定律）。
它们为我们人类“精确”预测物体的运动提供了依据。
如可以测出行星运动轨道，有助于发射人造卫星；预测地上导弹发射路径、形状，从而击中目标等。
然而在牛顿物理规律描述中，初始条件不可能精确确定，而人们认为由初始条件的不精确导致以后任意时刻的不精确会逐渐减少，越来越接近精确。
但在二十世纪时，这种观念受到了质疑。
因为人们在某些系统发现由于初始值的微差会在反映物理规律的数学方程中产生极大的偏差。
人们也把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。
同时初始值敏感性是混沌的一个显著的特征[1-6]。
1.2 混沌理论的介绍混沌理论作为一个科学理论，具有以下三个关键特征：1、对初始条件的敏感性：此即著名的“蝴蝶效应”。
理解它的一个很好的比喻就是在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一场暴风雨。
混沌系统对初始条件是非常敏感的，初始条件的轻微变化都可能导致不成比例的巨大后果。
2、分形：分形是著名数学家Mandelbrot创立的分形几何理论中的重要概念。
意为系统在不同标度下具有自相似性质。
自相似性是跨尺度的对称性，意味着递归，即在一个模式内部还有一个模式。
由于系统特征具有跨标度的重复性，故可产生出具有结构和规则的隐蔽的有序模式。
分形具有二个普通特征：第一，它们自始至终都是不规则的；第二，在不同的尺度上，不规则程度却是一个常量。
3、奇异吸引子：吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性态。
有三种不同的吸引子控制和限制物体的运动程度：点吸引子、极限环吸引子和奇异吸引子（即混沌吸引子）。
点吸引子与极限环吸引子都起着限制的作用，以便系统的性态呈现出静态的、平衡的特征，故它们也叫做收敛性吸引子。
而奇异吸引子则与前二者不同，它使系统偏离收敛性吸引子的区域而导向不同的性态。
它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性。
与通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“ 正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。
例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等. 因而对混沌运动现象的研究深化人们对自然界各种运动的认识。
一方面，许多过去由于太混乱、太复杂而被忽视的“随机信息”得到人们的重视。
它们表面混乱无序，其实是“乱中有序”，有着与众不同的结构，可以用混沌理论来进行研究；另一方面，混沌运动的存在意味着经典系统在算法复杂性理论的意义上是不可计算的。
尽管经典轨道存在并且是唯一的，然而再这些轨道的某一时刻的精确测量无法预测下一时刻结果。
即人们对世界的认识能力受到根本限制，但这并不意味人们认识能力的某种终结，恰恰是人们对自然真实面貌的认识新起点。
可以说混沌理论的出现是继相对论、量子力学后的“第三次革命"。
几十年来,人们对混沌理论的研究不断深入,已包含耗散系统中的混沌,保守系统的混沌和时空混沌等。
2 混沌及量子混沌的特征与联系2.1 混沌特征和量子混沌的特征随着经典混沌研究的深入，量子混沌的研究也自然提上日程。
经典混沌的研究长足发展促使人门以巨大的热情去探讨量子混沌运动。
由于量子体系存在着测不准关系，对于经典混沌运动的一些基本特征很难找到它们的量子对应。
加上量子力学注重单个状态的性质，较少注意空间性质的研究。
迄今为止，对于量子混沌还没有为大家公认的定义，普遍承认的定义为量子混沌是经典动力系统中混沌现象在量子体系中的表现形式。
即在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统具有的复杂行为，它们被广泛的称作“量子混沌”。
举个简单例子说明混沌与量子混沌的本质特征。
例如像地面上撒沙粒，沙粒的高度随着沙粒的数目增多而光滑的增加。
这时的系统是“线性”的。
但当沙堆高到一定程度后，再增加一粒沙粒，雪崩便会发生，沙堆的高度将会降低许多。
一粒微小沙粒的输入，输出的沙堆高度却发生巨大的变化。
输入与输出不成正比，这样的系统展现了初值敏感性，是非线性的，其轨道不能重复自己。
这就是混沌的本质特征。
[8]人们目前发现与经典混沌有关的量子现象主要有三类特征：(1）混沌动力学的本质特征就是轨迹对初始条件的敏感依赖性。
在量子力学中无法追踪相空间的每条轨迹。
适合量子力学描述的是相空间分布表示。
例如可以用维纳格分布来模拟相空间的轨道运动。
但由于受不确定原理的影响，加上在很短时间内有效，无法长时间的比较经典体系和量子系统的不同。
为此只有在维纳格分布运动和经典统计力学非平衡系综分布运动中来比较两者的不同，进而理解量子混沌的特征。
（2）混沌动力学演化特征之二是对于N 维量子守恒系统，其哈密顿算符H 对应的薛定锷方程可以约化为一个对能级E 的线性本征值问题，只要能级是分离的，则波函数随时间的演化表现出规则的行为。
但具有规则的经典极限和经典极限表现出混沌行为的量子系统的能谱表现不同，即泼西瓦提出的量子能谱分为规则谱和不规则谱两部分。
（3）定态波函数形态特征：一个保守的量子系统可以用能谱和波函数作完全描述。
本征态波函数更能详尽的描述动力学信息，因此可以细致的揭示混沌在量子力学中的表现。
然而，混沌特征只在高激发态中表现出来，而高激发态中波函数的测定和计算都十分困难，因此对定态波函数形态特征研究进展不像能谱那样取得显著的进展。
[1]2.2有关可积系统与不可积系统的介绍混沌系统和不可积系统是密切相联系的，因此为了更好理解混沌的情形，为了进一步了解混沌现象，我们有必要介绍下可积与不可积系统的概念。
以往我们在教科书讨论的均为用积分公式求解的例子，但是这种可积分系统是一种相当特殊的例子，绝大部分哈密顿系统是不可积分系统。
而且一般不可积分系统会出现混沌运动。
为简单起见，我们只引入可积系统的定义[1]。