数学建模A题系泊系统设计完整版
系泊系统的设计-系泊系统数学建模
系泊系统的设计:系泊系统数学建模系泊系统的设计摘要本文对系泊系统的设计问题进行了分析，给出合理的假设，建立优化模型，巧妙地解决了题目中所提出的问题。
针对问题一，首先采用集中质量的多边形近似法对单点系泊系统进行静力学分析，结合单点浮标系统特性，建立单点浮标的静力学模型，并对其算法进行改进，使算法能够迭代修正浮标受到的浮力。
其次通过适当的假设列出平衡方程并求解，得出锚链各节点处张力的递推公式，利用MATLAB软件迭代验证，最后得到了较为准确的结果。
针对问题二，基于问题一建立的模型，得出在题设条件下，浮标系统已不处于最优工作状态，须通过改变重物球来对系统进行调节。
计算出临界条件下重物球的质量，利用MATLAB 拟合得到的重物球重力与钢桶倾斜角度之间的关系曲线，得出对重物球进行调整的范围。
针对问题三，首先求得极端环境条件下钢桶倾角仍满足约束条件时候的重物球质量，然后通过合理的假设，在问题一建立的模型基础上，改变算法的迭代约束条件，从而得出不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
关键词：系泊系统；集中质量的多边形近似法；MATLAB；迭代一、问题的重述1.1问题的背景随着各国不断加大对海洋事业的投入以及不断深入对海底观测领域的探索，各海洋研究机构和海洋管理部门都相继建立了符合自身业务需求的海洋观测系统，其中浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成了近浅海观测网的传输节点。
而影响其系泊系统工作效果的因素很多，例如水流力、海风和水深等。
系泊系统的设计问题就是根据这些影响因素确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得系泊系统处于最佳工作状态。
从国家海洋资源战略角度来讲，研究各因素对系泊系统的不同影响显得尤为重要。
1.2问题的提出问题一：将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的静止海域时，选用II型电焊锚链22.05m，质量为1200kg的重物球，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
全国大学生数学建模大赛国家一等奖论文A题
=
− − ( − 1)′
, = 1, 2, · · ·, 210
当逐渐增大，锚链受到的竖直向下方向的合力与支持力之差先逐渐接近于0，
再等于0，直至小于0。当合力小于0时，锚链以海床接触，此时海床提供向上的支持
力，其大小与′ 相等。因此可将小于0 的值都作零处理，故锚链接触海床时，
对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36/直接代入问题一的模型中，
得出此条件下的吃水深度为0.723，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068
、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414，
游动区域半径为18.80。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被
计与应用对海上科学发展有重要意义。
1.2 问题的提出
已知某近浅海传输节点(如图1所示)，将浮标视作底面直径2为、高为2、质量
为1000的圆柱体，锚的质量为600，钢管共4节，每节长度为1，直径为50，
每节钢管的质量为10。水声通讯系统安装在一个长为1、外径为30的密封圆
柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100。
Step1: 遍历求解
令吃水深度ℎ的初始值为0.1，以0.0005为单位逐步增加至2。( 浮标高度为2，
完全浸没时吃水深度ℎ则为2 )，记录对应的数据，选取水下物体竖直方向高度和
与海域水深最接近的组别，进一步进行计算，结果如下表所示(具体程序见附录)：
表 1: 不同风速的相关结果表
以风速24/的情况为例，绘制游动区域图：
题意的变量临界值。以水深16、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小
于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型
2016国赛A题国家一等奖论文
x0 , y0
T1 Ti i
D l0
§6 模型的建立与求解
5.1 问题一的分析与求解 5.1.1. 模型的分析 问题一要求我们在给定的一些参数下，假设海水静止，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶、各节钢管、锚链等的一些指标。首先，我们对整个系泊系统建立直角 坐标系，然后对整个系统做受力分析。设计算法流程，先初始化参数 x0 , y0 ，然后计 算每个物体的 Ti ,i 和 xi , yi ，在通过与海水深度比较，不断修正 y0 和相应的 xn ，使整 体达到最优[3]。 5.1.2. 模型的建立与求解 （1）构建整体坐标系 以锚垂直于海平面向上为 y 轴的正方向，以海面风向为 x 轴，建立二维平面直角坐 标系 xoy 。根据假设条件，浮标系统整体如图 2 所示
图 3 浮标受力分析图
由浮标质量得出，得出其所受重力 G1 m1 g ；浮标所受的浮力（当浮标的吃水深度 D 不断变化时排开水体积用积分表示） ： F1 g ( ) 2 h ；由近海风荷载的近似公式可得 2 2 浮标所受的风力： Fw 0.625D(h0 h)vw ；考虑到浮标最终处于静力平衡状态，由静力 学平衡方程有： F1 G1 T1 sin 1
关键词：系泊系统，动力系统，多目标优化，GA 算法
1
§1 问题的重述
1.1 研究问题的背景是什么？ 1.1.1 总背景介绍 伴随着世界经济的快速发展， 人们更是逐步加强对海洋领域的探索。为收集海洋环 境的数据资料，人们开始应用浮标系统，同时在开发利用时，都离不开观测设备，如海 底观测站，水下探测器等[1][2]。然而这些设备无一例外的需要系泊系统定位。近浅海观 测网的传输节点由浮标系统、 系泊系统和水声通讯系统组成，简化的某型号输节点的系 泊系统可以如图 1 所示。传统的浮标系统都是由简单的锚—锚链—浮标构成。而这里， 我们研究的浮标系统在锚与浮标之间有一个钢桶（用于安装水声通讯系统） 。钢桶与电 焊锚链链接处悬挂了重物球，是为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶的倾斜角度越大，设备 的工作效果较差。 而且钢桶与浮标之间是通过四节相同的钢管连接的。钢管与钢管之间 的连接是可以有偏转角度的。
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题解题思路
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题系泊系统的设计分析初稿，旨在交流，有各种做题思路，大家自由发挥！不保证正确,如有错误,欢迎指正!注意1：程序为最初稿，只是证明解的存在性，可以使用二分法、牛顿法等进行进一步求解！2：剩下的可以使用锚链线等更复杂的理论：请继续查阅文献，给文章加分3：此外可以化下面的流程图，解释求解程序，给文章加分4：剩下题目问题原则上是把问题做的更复杂，考虑更多的受力，请大家自行脑补。
5：第一天说了对系缆力的计算，目前主要有三种模型：悬链线模型（我们下面说的第三种静力学分析）、以多体动力学理论为基础的集中质量一弹簧模型（我们下面说的第二种，需要matlab做常微分方程数值解）以及细长杆模型（我们下面说的第一种，力学有限元分析））。
查阅参考文献《深海系泊系统动力特性研究进展》，请大家自行选择各类方法。
1. 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。
现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。
若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
1. 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。
现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。
若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
分析:为简化起见, 按平浮处理，风引起的水平力x F()()220.625,0.6252x F v S h r h h v θ'==⨯-浮力f F 为2f F g r h ρπ'=其中h '为正浮吃水深度。
则对浮标的方程有 1111011011sin ,cos sin ,cos x f x f F T F T G F T F G T θθθθ==+=-= (1)其中0G 为浮标自重，00G m g =，0m 为浮标的质量为1000kg 。
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（5-2-4）
5
（二）钢管的受力
图 5.2.2 钢管受力示意图
钢管 Pi （ 2 i 5 ）受力如图 5.2.2 所示，首先对于底面直径为 d i ，轴向高度为 li 的 圆柱形钢管的浮力由阿基米德定律有Ti g di 4li4
（5-2-5）
物体静止不发生移动由牛顿第一定律有：
F0 0.625 S1v 2 S1 (l1 h)d1
（5-2-2）
其中 S1 为浮标在风向法平面的投影面积， l1 为浮标高度。 浮标下表面与第一节钢管铰接，钢管对浮标作用力的大小用 F2,1 表示，其与竖直方 向的夹角为 1 。此外，物体还受到竖直向下的重力 G1 。物体受力平衡根据牛顿第一定律 有浮标在 x, y 方向的合力为零，即：
（5-2-7）
05-2-8） （
对上式进行分离变量得到钢管倾斜角 i 关于上端点作用力的递推关系式：
i a r c t a n
（三）钢桶的受力
Fi 1 ,is i n i
1 i
0.5 T( i Gi ) F 1 i ,
c o si1
（5-2-9）
如图 5.2.3 所示，钢桶静止时共受到 6 个外力作用，其倾斜角度（与竖直方向夹角） 为 6 ，其上端与钢管 P5 铰接，钢管对钢桶作用力大小为 F5,6 ，倾角为 5 ；下端与锚链链 环 P8 铰接并悬挂一重物球，链环对钢管作用力大小为 F8,6 ，倾角为 6 。
i 1 F i 1 ,i s i n i 0 Fi 1 ,i s i n i1 G i F i1 , ic o s i1 , ic o s Ti F
i
0
（5-2-6）
系泊系统的设计数学建模
系泊系统的设计数学建模以系泊系统的设计数学建模为标题，我们来探讨一下该系统的数学建模方法。
系泊系统是指将船只或其他浮动物体固定在水中的一种装置。
在设计系泊系统时，需要考虑到多种因素，如风、波浪、潮流等。
为了确保系泊系统的安全性和稳定性，需要进行数学建模，以便分析和预测系统的行为。
我们可以考虑船只与锚之间的力学关系。
船只受到来自风、波浪和潮流等外力的作用，而锚通过拉力将船只固定在水中。
我们可以使用牛顿第二定律来描述船只的运动状态。
假设船只的质量为m，加速度为a，外力的合力为F，那么可以得到以下公式：F = ma。
接下来，我们需要考虑锚链的力学特性。
锚链是连接船只和锚的重要部分，它承受着船只在水中的运动引起的张力。
我们可以使用弹簧模型来描述锚链的特性。
假设锚链的弹性系数为k，长度为l，弹性形变为x，那么可以得到以下公式：F = kx。
除了船只和锚链的力学特性，我们还需要考虑水流的影响。
水流会给船只和锚链施加额外的力，从而影响系统的稳定性。
我们可以使用流体力学的知识来描述水流的特性。
假设水流的速度为v，密度为ρ，船只的受力面积为A，那么可以得到以下公式：F = ρAv。
在数学建模中，我们还需要考虑到船只的姿态稳定性。
船只在水中的姿态受到风、波浪和潮流等因素的影响，如果船只的姿态不稳定，就会导致系泊系统的不稳定。
我们可以使用刚体力学的知识来描述船只的姿态稳定性。
假设船只的质量矩阵为I，角加速度为α，扭矩为τ，那么可以得到以下公式：τ = Iα。
我们还需要考虑到船只与锚链之间的相互作用。
船只的运动会引起锚链的张力变化，而锚链的形变又会对船只的运动产生影响。
我们可以使用动力学的知识来描述船只和锚链之间的相互作用。
假设船只和锚链之间的相互作用力为F，船只的加速度为a，锚链的弹性形变为x，那么可以得到以下公式：F = ma = kx。
通过以上的数学建模，我们可以对系泊系统的行为进行分析和预测。
我们可以通过求解上述公式，得到船只、锚链和水流之间的关系，并进一步优化系统的设计，以提高系统的安全性和稳定性。
2016年数学建模竞赛A题优秀论文
将(1)式代入得：
dy mg T1 sin 1
dx
T1 cos1
(2)
对于锚链，m=σs ，其中 s 是 AB 锚链的长度，σ是锚链的线密度，即单位长
度锚链的质量[1]。代入(2)式得：
dy sg T1 sin 1
(3)
dx
T1 cos1
根据勾股定理可以得到弧长公式：
ds
1
dy dx
dp dx
T1
cos1
g
1 p2
然后对 x 和 p 分离变量并对两端进行积分得到：
dp
1 p2
T1
g cos 1
dx
即：sinh 1
p
g T1
x
C1
(4)
其中 C1 可以由 x=0,y=0 时的值确定，原点 A 处 p y ' tan 1 ，可得 C1 为：
当海面风速一定且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮 标的吃水深度和游动区域，与锚链线的方程、系泊系统各部分之间的受力平衡和 力矩平衡的约束密切相关。由于传输节点各部分相互影响，根据力学相关知识， 可以按照锚链→钢桶和重物球→钢管→浮标的顺序依次进行受力分析，从而得到 各部分受力平衡时的定量解析式，通过这些表达式可以确定钢桶和各节钢管的倾 斜角度、锚链形状。由于吃水深度与浮标受力直接相关，还可以确定浮标的吃水 深度。对于浮标的游动区域，可以由稳定后系泊系统各个部分在水平方向投影的 总长度来计算游动区域的最大半径。
数学建模系泊系统的设计
数学建模系泊系统的设计系泊系统的设计摘要近浅海观测⽹的传输节点由浮标系统、系泊系统和⽔声通讯系统组成，其中系泊系统由钢管、钢桶、重物球及锚链共同组成。
此种系泊系统承受风、浪、流的作⽤及锚链的作⽤⼒，运动特性⼗分复杂。
因此，针对海洋环境中⽔声通讯系统的要求，分析风浪中浮标的动⼒问题并设计出既安全⼜经济的系泊系统，对保证⽔声通讯系统的⼯作效果来说意义重⼤。
本⽂运⽤了两种⽅法对锚链进⾏了受⼒分析，⾸先对单⼀材质的锚链进⾏分析，从⽽得出了经典悬链⽅程，对不同段不同材质的锚链进⾏分段受⼒分析，得出了不同段不同材质的悬链⽅程，该⽅程的得出极⼤的⽅便了计算浮标锚泊系统的初始状态，为动⼒分析奠定基础；其次利⽤⽜顿法对锚链受⼒问题进⾏了数值求解，得到当海⾯风速为12/m s 加⼤到24/m s 时，每节钢管的倾斜⾓度也随之变⼤，浮标的吃⽔深度也不断增⼤，浮标的游动区域增加的更为明显。
当风速加⼤为36/m s 时，钢桶的倾斜⾓已超过5度，为使钢桶倾斜⾓⼩于5度，须将重物球的质量增加⾄1783kg 。
再考虑风⼒、⽔流⼒、潮汐（波浪）等动⼒因素时，可以将问题进⾏简化，即直接考虑在⽔深18m 的情况下由于波浪的作⽤（准确的说是2m 波浪的作⽤），可使整个浮标漂浮于⽔⾯上（20m 情形），也可使整个浮标沉于⽔⾯下（16m 情形）。
最后通过对浮标的受⼒分析，可得到浮标的动⼒控制⽅程，采⽤数值⽅法，可以得到在风速为36/m s ，⽔流速度为1.5/m s 时，倾斜⾓、吃⽔深度的数值解。
关键词：浮标；系统；设计；动⼒分析⼀．问题重述近浅海观测⽹的传输节点由浮标系统、系泊系统和⽔声通讯系统组成（如图1所⽰）。
某型传输节点的浮标系统可简化为底⾯直径2m、⾼2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。
系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。
锚的质量为600kg，锚链选⽤⽆档普通链环，近浅海观测⽹的常⽤型号及其参数在附表中列出。
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数学建模A题系泊系统设计HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】系泊系统的设计摘要本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。
求解的具体流程如下：针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。
对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。
⁄时能够正常工作。
为针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在36m m了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。
在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。
在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。
针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。
以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。
由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。
关键词：悬链线多目标非线性规划一、问题重述近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。
某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。
系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。
锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。
钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。
要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。
水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。
钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。
钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。
若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。
钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。
为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。
问题1某型传输节点选用II型电焊锚链，选用的重物球的质量为1200kg。
现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为×103kg/m3的海域。
若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。
请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。
问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。
布放点的海水速度最大可达到s、风速最大可达到36m/s。
请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
二、模型假设1.不考虑流体对锚链的作用，忽略锚链本身的伸长，锚链沿长度均匀分布；2.假设风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的分量；三、符号说明四、问题分析问题一分析问题一对于系泊系统的受力物体进行分析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。
对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。
问题二分析问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在36m m⁄时能够正常工作。
为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。
在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的质量。
在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确定满足条件的重物球的质量范围。
4.3问题三分析问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。
以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。
由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。
五、模型建立与求解问题一模型问题分析问题一, 系泊系统整体受力平衡，浮标受到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。
对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，最后利用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度,从而求出结果。
模型建立Step1.系泊系统受力分析对于浮标，它受到水的浮力，自身重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。
此题中海水静止，故所有近海水流力为0。
将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向上进行分解，具体受力如图所示，由浮标所受的力平衡得到：图浮标受力分析图{m m,0=m风+m0（水平方向）m m,0=m浮0−m0（竖直方向）式中，m m,0、m m,0分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。
对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为m0，后续第k+1节钢管对第k节钢管的力为F m，将钢管的力进行分解，钢管的受力情况如图所示，因此：图钢管受力分析图{m m,m=m m,m+1+m m（水平方向）m m,m+m浮=m m,m+1+m（竖直方向）式中，F浮为钢管收到的浮力，由于钢管体积较小，在水中钢管的浮力与重力相比很小，可忽略不计；m m,m，m m,m分别为第k跟钢管对前一根钢管在水平方向和竖直方向的分力。
对于钢桶，它受到第四根钢管的力，水的浮力，自身重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，具体受力如图所示，则：图 钢桶受力分析图{m m ,m +1=m m ,m +m 1 （水平方向）m 浮1+m 浮2+m m ,m =m m ,m +1+m 1+m 2 （竖直方向）式中，F m ,m +1和F m ,m +1分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。
对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力分析可得：m 风=m m ,0=m m ,1=m m ,2=m m ,3=m m ,4=m m ,5=0.625×mm 2其中，S 为物体在风向法平面的投影面积，v 为风速。
由竖直方向受力分析得：m m ,0=m 浮0−m 0m m ,0=m m ,1+mm m ,1=m m ,2+mm m ,2=m m ,3+mm m ,3=m m ,4+mm 浮1+m 浮2+m m ,4=m m ,5+m 1+m 2设浮标的吃水深度为h ，则：m 浮0=mmmm 2mm 0=m 0mm =mmm 2=m 2mm 浮1=mmmm 22m 0 m 浮2=mm m 2重其中，m 为海水密度，题中为1.025×103mm m 3⁄；m 为重力加速度，本题取9.8m m 2⁄；m 为浮标底面积半径，本题中为1m；m 0为浮标质量，为1000kg；m 为每节钢管的质量，为10kg；m 2为重物球的质量，本题中为1200kg，m 2为钢桶底面半径，m 0为钢桶的长度，钢管长度与钢桶相等。
将重物球当作铁球处理，则重物球的密度为ρ重=7.86×103mm m 3⁄，由题中已知条件可知，可以递推出： m m ,0=mmmm 2m −1000mm m ,1=mmmm 2m −1010mm m ,2=mmmm 2m −1020mm m ,3=mmmm 2m −1030mm m ,4=mmmm 2m −1040mm m ,5=mmmm 2m −1140m −m 2m +mmm 2m 重+mmmm 22m 0 Step2. 悬链线模型 对于锚链，假设其质量分布均匀，可以将锚链作为悬链线处理，从而做出以下分析,由静力学平衡条件可知，在坐标系中，锚链水平分立和垂直分力的代数和为0，可以得到：{m m mmmm =m 3+m m m m mmmm =m m图 锚链受力分析图式中，m m 表示锚链对钢桶的拉力，m m 、m m 分别表示锚链的水平分力与竖直分力，m 3表示锚链的重力，m 为锚链任一点与水平方向的夹角。
因此，可推导出：{m m mmmm =mmm +m m m m mmmm =m mm 表示锚链单位长度的质量，即线密度；m 为锚链在水中未触碰海底的长度。
由曲线几何关系和力学关系及悬链线模型可求得，导线任一点的斜率为：mm mm =mmmm =mmm +m m m mmm =1√1+(mmm +m m m m )2mm =mmm +m m m m√1+(mmm +m m m m )2式中,x 、y 分别表示锚链在水平方向和竖直方向的投影长度。
对两式分别进行积分，并用临界点数据(m =0,m =0)来确定积分常数，则可得，m =m m mm sh −1(mmm +m m m m)−m 0m 1 m =m m mm (√1+(mmm +m m m m)2−1)+m 2 进一步可求得方程：m =m m sh (mm m m m )−m mm =m 0mmmm (m m 0+m 1)+m 2 其中 m 0=m m mmm 1=mmmm −1(m m m m) m 2=−m 0mmmm (m 1)Step3.力矩分析平衡对于钢管，由于钢管的力矩平衡，可以得到：m 02mmmm m (m m ,m +m m ,m +1)=m 02mmmm m (m m ,m +m m ,m +1+m m ,水) 其中，m m 表示分别表示第k 根钢管的倾斜角度，m m ,水为水流对钢管的力，则：mmmm m =m m ,m +m m ,m +1+m m ,水m m ,m +m m ,m +1即为： mmmm 1=m m ,0+m m ,1+m 1,水m m ,0+m m ,1 mmmm 2=m m ,1+m m ,2+m 2,水m m ,1+m m ,2 mmmm 3=m m ,2+m m ,3+m 3,水m ,2m m ,3mmmm 4=m m ,3+m m ,4+m 4,水m m ,3m m ,4式中，m m 分别是钢管的倾斜角度（k 取1，2，3，4），根据题中的数值，可以得到以下公式：mmmm 1=m 风− mmmm 2=m 风mmmm 2m −1015mmmmm 3=m 风mmmm 2m −1025mmmmm 4=m 风mmmm 2m −1035m 代入数值后可求出钢管相应的倾斜角度。