特征方程解数列递推关系
特征方程解数列递推关系
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+xA n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。
然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n )(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。
特征方程法求递推数列的通项公式之欧阳音创编
欧阳音创编 2021.03.11 特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方欧阳音创编 2021.03.11 程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;xb a a x a a n n n+===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n nc b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a欧阳音创编 2021.03.11 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特征方程法求递推数列的通项公式之欧阳文创编
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x ，则当10a x =时，na 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项
特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列. 于是：.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.53601ix a +-== 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
数列的递推 特征方程法
考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则①∵是特征方程的根，∴将该式代入①式得②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得⑤由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵对于都有（2）∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.（3）∵∴∴令则∴对于∴（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.数列特征方程式.一个数列:设有r，s使∴得消去s就导出特征方程式∴。
数列 特征方程法
数列特征方程法
数列特征方程法是一种求解递推数列通项公式的方法。
通过建立递推数列的特征方程，得到其对应的特征根和通解，再利用初始条件求出具体的系数，最终得到递推数列的通项公式。
在使用数列特征方程法求解递推数列时，需要注意以下几点：
1. 建立数列的递推关系式，确定其特征方程。
2. 求解特征方程的根，并根据根的个数和重复情况选择相应的通解形式。
3. 利用初始条件求解通解中的常数项，得到递推数列的通项公式。
数列特征方程法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，可以用于求解各种递推数列，如斐波那契数列、等差数列、等比数列等。
- 1 -。
特征方程法求数列通项
特征方程法求数列通项一、递推数列的定义和初值条件首先需要明确递推数列的定义和初始条件。
通常情况下，递推数列可以表示为：an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + … + pk * an-k，其中p1、p2、…、pk为常数，an为数列的第n项，n为整数。
除了定义外，还需要给出数列的一些初始条件，如数列的第一项a1、第二项a2等。
二、构造特征方程在特征方程法中，首先需要构造递推数列的特征方程。
特征方程的构造与递推式相关，通常可以通过将递推式中的n项移到等式的一边，然后利用项的移位，将递推式表示为一个递推关系式：an - p1 * an-1 - p2 * an-2 - … - pk * an-k = 0然后，令n = k+1，得到an+1 - p1 * an - p2 * an-1 - … - pk * an-k+1 = 0再通过移项，将递推式表示为：an+1 = p1 * an + p2 * an-1 + … + pk * an-k+1三、寻找递推数列的特征值接下来需要找出递推数列的特征值（或称为根）。
特征值是使得特征方程成立的值。
根据以上递推式，可以得到特征方程的形式：x^(k+1) - p1 * x^k - p2 * x^(k-1) - … - pk * x = 0其中x为特征值。
四、确定递推数列的通项公式已知递推式的通解形式为：an = c1 * x1^n + c2 * x2^n + … + ck * xk^n通常，我们可以通过给定的初始条件，求解出常数c1、c2、…、ck，进而确定递推数列的通项公式。
举例说明：假设有一个递推数列满足an = 3 * an-1 - 2 * an-2，且a1 = 2，a2 = 5首先，可以将递推式变换为特征方程：an - 3 * an-1 + 2 * an-2 = 0再令n=2，可以得到a3-3*a2+2*a1=0将初始条件代入，即可得到一个关于c1和c2的方程：2c1+5c2=-4然后，我们需要求解特征值。
利用特征方程巧解分式递推数列问题
x2 + 3 2 ， 即 x + 2x － 3 = 0， 得 x1 = － 3 ， 2（ x + 1）
x2 = 1 ．
∴
{
an +1 + 3 = an +1 － 1 =
a2 （ a n + 3） 2 n + 3 +3 = ， 2（ an + 1） 2（ an + 1） a2 （ a n － 1） 2 n + 3 －1 = ． 2（ an + 1） 2（ an + 1） a +3 (a － 1)
第5 期
高中数学教与学
利用特征方程巧解分式递推数列问题
方志平
（ 广东省惠州市第一中学， 516007 ）
采用数学归纳法可以解分式递推数列问 然而解法过于繁琐 ， 而且在猜想通项公式 题， 时也易出错 ． 本文提出一种易于掌握的解法 — — — 特征方程法 （ 又称不动点法 ） ． 命题 一、 分式线性递推数列 如果数列 ｛ a n ｝ 满足下列条件 ： 已
由于特征方程 x =
∴ 实根 x1 = x2 = 2 ，
{ a 1－ 2 }是等差数列．
n
二、 分式非线性递推数列 分式非线性递推式 关系 a n +1 = aa + b 2 aa n + c
2 n
x2 是由递推 若 x1 ，
2 （ a， b， c 均不为 0 ， 且c +
4 ab ＞ 0 ） 所作的特征方程 x = 不相等的 实 根 ， 则 数 列 lg
2 t = 即 rt + st = pt + q，
px + q 2 ， 即 rx + （ s － p） x － q = 0 ． rx + s
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用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn特征方程为 X 2=aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n(其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++ 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x d cA b aA n n -++1=k+x A n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。
然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k则A n=X n Q n)(11+X n Q n )(22+…+X n Q s ns)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。
先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足⎩⎨⎧-==+q x x px x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。
1） 如果0112=-a x a ，则0112=-++n n a x a ，n a 成等比，很容易求通项公式。
2）如果0112≠-a x a ，则{112++-n n a x a }成等比。
公比为2x ，所以1211211)(-+-=-n n n x a x a a x a ，转化成：)(1122221121a x a x a x x x a n nn n -=---+， ( I )又如果x x x ==21，则{121-+n n x a }等差，公差为)(112a x a -，所以))(1(11122121a x a n a x a n n --+=-+， 即：1211221)])(1([-+--+=n n x a x a n a a12211222])()2([---+=n n x x a x a n x a aIi)如果21x x ≠，则令1121+-+=n n n b x a ，A x x =21，B a x a =-)(112,就有 B Ab b n n =-+1，利用待定系数法可以求出n b 的通项公式21211212121221)()()1(x x x a x a x x x x x x a b n n -----=-所以2221211212121221])()()1([-------=n n n x x x x a x a x x x x x x a a ，化简整理得：1221211112121)1(----+--=n n n x x x a x a x x x x a a ，小结特征根法：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，为特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
简例应用（特征根法）：例1：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21, 解：特征方程是：02532=+-x x 32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例2：设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……)求数列{x n }的通项公式。
解： 显然x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x 2-px+q=0，而α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：⑴ 当α=β时，设1)(-+=n n Bn A x α，因为x 1=p,x 2=p 2-q ，所以⎩⎨⎧-=+=+q p B A p B A 2)2(α 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=ααααpq P B qP P A 222 ∴=n x 222})(2{---++-n n p q p q p p ααα⑵ 当βα≠时，设11--+=n n n B A x βα，因为x 1=p,x 2=p 2-q ，所以 ⎩⎨⎧-=+=+qp B A p B A 2βα 解得αββ----=q p p A 2，αβα---=q p p B 2 ∴=n x 12-----n q p p ααββ+12----n q p p βαβα类型二、解法：如果数列}{n a 满足：已知1a ，且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r ha r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx qpx x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,如果01x a =则0x a n =；如果01x a ≠则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列。
当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列。
（证明方法如同类型一，从略）例1：已知数列}{n a 满足：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解: 数列}{n a 的特征方程为,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有.N ,)221211(2313)(11212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=--n r p r p a a c n n n λλλλ∴.N ,)51(521∈-=-n c n n∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n例2：已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？ 解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p r n a b n --+-=)1(1151131)1(531⋅-⋅-+-=n ,8121-+-=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，51751--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知，51=a 时，}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在。
于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在。
例3: 数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S 解：由已知,得n n n a a a 816521-+=+,其特征方程为x x x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+ ∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=•--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=nn n n n b b a a b 得由n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-例4：各项均为正数的数列{}n a 中都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+===+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++， 当时，求通项54,21==b a n a解：由=+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++得=+++)1)(1(11a a a a n n )1)(1(2121a a a a n n +++--化间得21211++=--n n n a a a ，作特征方程212++=x x x ，11=x ，12-=x 。