二面角求取的常用方法
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
求二面角的几何法
3种求二面角的几何法二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。
下面来介绍求二面角的大小的几种方法：直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。
例1. 如图 ABCD 是矩形，AB =a ，BC =b (a >b)，沿对角线AC 把 △ADC 折起，使 AD ⊥BC ，证明：平面 ABD ⊥平面BCD 。
证明：由题意可知：AD ⊥BC ，AD ⊥DC∴ AD ⊥面BCD 又 AD 面ABD ∴ 平面ABD ⊥平面BCD例2. 在四棱锥 A-BCDE 中，底面是直角梯形，其中 BC ∥DE ，∠BCD =90°，且 DE =CD =21BC ，又AB =AE =21BC ，AC =AD ， 求证：面ABE ⊥面BCD 。
证明：取BE 的中点M ，CD 的中点N ， 连结 AM ，AN ，MN ，∵ AB =AC (已知) ∴ AM ⊥BE同理 AC =AD 有AN ⊥CD 在直角梯形BCDE 中，∵ M 、N 分别是BE 、CD 的中点 ∴ MN ∥BC 又 ∠BCD =90° ∴ MN ⊥CD ∴ CD ⊥面AMN ∴ CD ⊥AM又 AM ⊥BE ，CD 、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交，CB∴ AM ⊥面BCD ， 又AM 面ABE ∴ 面ABE ⊥面BCD 。
当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。
1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。
例3.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°例4.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
求二面角的五种方法
五法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。
一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
二面角8种求法
二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。
例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
怎样求解二面角问题
二面角问题在立体几何中比较常见，常见的命题形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，证明两个平面互相垂直等.此类问题的难度一般较大，需综合运用立体几何知识、平面几何知识、解三角形知识、三角函数知识，才能顺利求得问题的答案.本文结合实例，重点探讨一下求解二面角问题的几种常用方法.一、定义法二面角是由从一条直线出发的两个半平面所组成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小来表示，因此在求二面角的大小时，通常要用到二面角的平面角的定义：过二面角的棱上的一点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角.然后根据正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.例1.如图1，已知空间中有三条射线CA 、CP 、CB ，且∠PCA =∠PCB =60°，∠ACB =90°，求二面角B -PC -A 的余弦值.图1解：在PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，连接EF ，所以∠EDF 为二面角B -PC -A 的平面角，设CD =a ，因为∠PCA =∠PCB =60°，所以CE =CF =2a ，DE =DF =3a ，因为∠ACB =90°，所以EF =22a ，在△DEF 中，根据余弦定理得：cos ∠EDF =3a 2+3a 2-8a 22∙3a2=-13.解答本题主要运用了定义法，需根据二面角的平面角的定义，在二面角B -PC -A 的棱PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，从而确定了二面角B -PC -A 的平面角∠EDF ，再根据余弦定理求得cos ∠EDF 的值.二、垂面法垂面法是指作一个垂直的平面，根据其中的垂直关系求得问题的答案.在求解二面角问题时，若题目中涉及的垂直关系较多，可过二面角棱上的一点在两个半平面内作棱的垂线；也可将两个半平面内的垂线平移，使其交于一点；还可过一条垂线上的一点作另一个平面的垂线，从而构成一个垂面，则垂面上的两条垂线或其平行线所形成的夹角即为二面角的平面角.最后根据勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，求二面角B -PC -D 的大小.图2解：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面PAC ,可得BD ⊥PC ，分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，则∠BHD 为二面角B -PC -D 的平面角，因为PA =AB =a ，所以BC =a ，PB =AC =2a ，所以PC =3a ，根据勾股定理可得∠PBC =90°，所以在△PBC 中，12PB ∙BC =S △PBC =12PC ∙BH ，则BH ，同理可得DH ，因为BD =2a ，所以在△BHD 中，由余弦定理可得：cos ∠BHD =ö÷2+ö÷2-2a 2-12，因为0<∠BHD <π，则∠BHD =2π3,即二面角B -PC -D 的大小为2π3.本题中的垂直关系较多，于是分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，得到PC 的垂面BHD ，据此确定二面角B -PC -D 的平面角∠BHD ，再在△BHD 中由怎样求解二面角问题方法集锦43余弦定理即可求得∠BHD 的大小，进而求得二面角B -PC -D 的大小.值得注意的是，二面角α的范围为：[0,π].三、三垂线法三垂线法是利用三垂线定理解题的方法.运用三垂线法求解二面角问题，需先找到平面的垂线，然后过垂线上的一点作平面的斜线，若平面内的一条直线与平面的斜线垂直，那么这条直线与斜线在平面内的射影垂直，根据这些垂直关系就可以确定二面角的平面角，最后根据勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.例3.如图3所示，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，∠ABC =30°，求二面角P -BC -A 的大小.图3解：如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，连接PH ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，PA ⊥AH ，所以BC ⊥平面PHA ，所以BC ⊥PH ，可知∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，在Rt△ABH 中，AB =a ，∠ABH =∠ABC =30°所以AH =AB sin ∠ABH =a sin 30°=12a ，因为PA ⊥AH ，所以在Rt△PHA 中，tan ∠PHA =PA AH=2，所以∠PHA =arctan 2，故二面角P -BC -A 的大小为arctan 2.根据题意作AH ⊥BC ，便可知AH 为PH 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理可得BC ⊥PH ，由此可确定∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，再在Rt△PHA 中根据正切函数的定义求得∠PHA 的大小，进而可得到二面角P -BC -A 的大小.由此可见，求解二面角问题的关键有两步：第一步，根据二面角的平面角的定义、三垂线定理、垂面的性质，确定二面角的平面角；第二步，根据勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义求得平面角的大小.（作者单位：江西省赣州市南康第三中学）二次函数是一种基本初等函数.二次函数问题的常见命题形式有求二次函数的解析式、最值、对称轴、单调区间、零点等.这类问题侧重于考查二次函数的图象和性质.下面重点谈一谈如何求解有关二次函数的最值问题、零点问题和不等式问题.一、二次函数的最值问题二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条抛物线，若a >0，则抛物线的开口向上；若a <0，则抛物线的开口向下.当x =-b 2a 时,函数在R 上有最值b 2-4ac 4a.若函数的定义域为[m ,n ]，则需分三种情况考虑：（1）当-b 2a ∈[m ,n ]时，函数在x =-b 2a 处取得最值；（2）当x =-b 2a,在[m ,n ]的左侧时，若a >0，则函数在x =m处取最小值，在x =n 处取最大值，若a <0，则相反；（3）当x =-b2a在[m ,n ]的右侧时，若a >0，则函数在x =m 处取最大值，在x =n 处取最小值；若a <0，则相反.例1.求y=-5x 2-6x ＋1的最大值.解：y =-5x 2-6x ＋1是二次函数，x 2的系数是-5，所以二次函数图象的开口向下，当x =-65时，函数有最大值1.利用二次函数的图象，即可确定二次函数在对称轴处取得最值.除了用图象法求解最值问题，还可以用配方法，比如y =x 2＋4x ＋3=()x +22-1，可知当x =-2时函数的最小值为-1.例2.已知函数f (x )=x 2＋(2a -1)x -3.方法集锦44。
二面角的求法(总结)
2、三垂线定理、平面的 法向量。
探究准备： 答
二、想一想：
1、怎样做出二面 角的平面角？
：1、做二面角的平面角主 要有3种方法：
（1）、定义法：在棱上取一 点，在两个半平面内作垂直于 棱的2 条射线，这2条所夹 的 角； （2）、垂面法：做垂直于棱 的一个平面，这个平面与2个 半平面分别有一条交线，这2 条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半 平面内一点（记为A）做另一 个半平面的一条垂线，过这个 垂足（记为B）再做棱的垂线， 记垂足为C，连接AC，则 ∠ACB即为该二面角的平面角。 α C α β
2 2
S
E A D C
B
议一议：刚才的证明过
程中，是用什么方法找到 二面角的平面角的？ 请各小组讨论交流一下。
2
2
2
2
探究二：
试一试 例二：如图：直四棱柱ABCDA1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1的中 点。 求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
1D1C1B1A1（θ是所求二面角的平面角） 以下求面积略。
F
D
A B
C
点评：这种解法叫做“射影面积法”
在选择和填空题中有时候用起来会很 好
总一总：求二面角的方法你都
学会了哪些？每一种方法在使用 上要注意什么问题？
请同学们先自己思考，然后小 组内交流学习一下。
二面角的几种主要常用的求法：
1、垂面法。见例一和例二的解法一； 2、三垂线法。见例二的解法二； 3、射影面积法。见例二的解法三； 4、法向量夹角法。见例二的解法四。
A1 F A D1 B1 C1
D
B
C
要求：1、各人思考；2、小组讨论；
二面角的四种求法-2021-2022学年高一数学(人教A版2019必修第二册)(解析版)
立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
二面角的定义
，12 PB=1，PE
，22 PO
1 2
3 2
∴ tanPEO 2
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
P
E
B
O
C P
E
O
例5 已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的
高，以AD为折痕使∠BDC成直角。
求证：① 平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC
②
∠
BAC
=
D 在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE
1
求（1）平面C BD与平面 1 ∵直线B1C与平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC= ，∴AQ=1。
C1
∵AB=AC=a，∠BAC=90。
P
ABCD所成角的大小； A 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。
的大小。 BD=DC=BC/2=2/2
例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正
切值。 已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角
D
C
面分别相交于射线PA、PB
取AB 的中点为E，连PE，OE ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。
ABCD－A B C D 中， ∵AB=AC=a，∠BAC=90。
1 ∠COD是二面角α-AB-β的平面角
求（1）平面C1BD与平面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ιO
A
所成角正弦 （3）CD与BD所成角
19
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两
点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。（2）CD与 所成角正弦 （3）CD与AB所成角
解连：结（CO1、）D在O,平则面∠内OA，C就过是A作二A面O角⊥l —，l使—AO的=平BD面, 角， l
B
B
α
lA
1
O
2
1
M
β
O
M
解: 过B作BM⊥ ，垂足为M，连结AM。则∠BAM=30º。过M作
MO⊥ l 于O，连结BO，则BO⊥ l 。 ∠BOM为所求二面角的平面
角。又 Rt△AOB中，AB=2， ∠BAO=45º，∴OB= 2。Rt△ABM 中，AB=2，∠BAM= 30º， ∴BM=1。∴ sin ∠BOM= 2 ，
p
A
B
pβ
α
B
A
ιห้องสมุดไป่ตู้
β
B
p
α
ιO
A
基础练习
1.判断下列命题的真假： （1）两个相交平面组成的图形叫做二面角；( 假 )
（2）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二 面角的平面角 ;( 假 ) （3）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱;(真 )
(4)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 面内作射线所成角的最小角；( 假 ）
角的平面角是_____P__O.D
A
(5)面PAC与面ABCD所成的二
面角的平面角是 __P_O_D或_ _.POB
O B
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
GOE EOF FOG 60 ,求二面角E-OG-F大小
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
GOE EOF FOG 60 ,求二面角E-OG-F大小
即 ∠OAC ＝120，
B
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
C
D
∴ DO∥ l ，∵ AC⊥l ，AO⊥l，AC AO A
AO
∴ l ⊥平面CAO ∴ CO⊥l ∴ CO⊥DO
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴ CO2 AC 2 AO2 2AO AC COS120 7
A
β
上的点A向平面α作垂线。
Oα B
◆由点O向二面角的棱作垂 线，垂足为B,连接AB。
l
◆∠ABO即为所求。
例3.如图，二面角 l 的平面角小于90, 点P
在二面角内，PA⊥ 于A点，PB⊥于B点，
PA= 2 2,PB= 4, P到棱 l的距离为 4 2， 求二面
角的大小.
例3.如图，二面角 l 的平面角小于 90,
在Rt △COD中，DO=AB=3
CD CO 2 DO 2 7 32 4
19
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两
点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，
AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。 （2）CD与
所成角正弦 （3）CD与AB所成角
∴ ∠BOM= 45º。
2
过程有问题吗？
练习、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－
的大小。
A
D
O
l
17
归纳
三垂线法：
利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂 直，找到二面角的平面角,关键在于找面的垂线。
步骤 ：
◆ 在平面内β找不同于棱
l B
D
C
A
H
O
19
3. 直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、
B两点，且A、B l. 如果直线AB与α、β所成的角
分别是θ1、θ2，则θ1+θ2的取值范围是(
)D
(A) 0 θ1 θ2 π
(B)
θ1
θ2
π 2
(C)
θ1
θ2
π 2
(D) 0
θ1
θ2
π 2
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
三种方法的联系？
α lβ
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
α
G A
O
BE
C F
例2:锐二面角 l 中,AB , AB 2, A l, AB 与l
成 45角,与 成 30角，求二面角 l 的大小。
例2:锐二面角 l 中，AB , AB 2, A l, AB与 l
成 45角,与 成 30角，求二面角 l 的大小。
点P在二面角内，PA⊥ 于A点，PB⊥于B
点，PA= 2 2,PB= 4, P到棱 l的距离为 4 2，
求二面角的大小.
B O
l
P
A
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两
点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，
AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。 （2）CD与
复习 1：半平面的定义 2：二面角的定义，画法，表示方法 3：二面角的平面角定义（满足的条件） 4：二面角的大小范围 5：作二面角平面角的常用方法
5、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
三种方法的联系？
α lβ
2.如图 ABCD是正方形，PD┻ 平面ABCD,则
(1)面PAB与面ABCD所成二面
角的平面角是___P_A__D_,
(角2的)面平P面BC角与是面_A_B_CP_D_所C_D_成, 二面
P
(3)面PAD与面PCD所成的二面
角的平面角_____A__D,C
D
C
(4)面PAC与面ACD所成的二面