正余弦定理综合应用PPT课件
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第4章第7节正弦定理余弦定理的综合应用课件共60张PPT
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之
间的位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
()
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
二、教材习题衍生
C [如图所示，依题意可知∠ADC＝
45°，∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理可知sin∠CDDAC＝sin∠ACCDA，
∴AC＝CDsi·ns∠in∠DACCDA＝25 2米． ∴在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin∠ACB＝25 2× 23＝252 6≈31米． ∴旗杆的高度约为31米，故选C.]
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
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3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关 系为α＋β＝180°.( )
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(1)10 6 (2) 1241[(1)∵△ABC中，由题意可得：
∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×13＝
20， ∴由正弦定理sin∠BCCAB＝sin∠ABBCA，
∴BC＝ABsi·nsi∠n∠BCCAAB＝20×1
正弦定理与余弦定理的应用优秀PPT课件
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析 由正弦定理得sin∠ABACB＝sAinCB，又 B＝30°，
∴AB＝AC·ssiinn∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．
2
答案 A
2．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，
45和 60 ，CD间的距离是12m.已知测角仪器
高1.5m,求烟囱的高。
想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中, C1BD1 60 45 15,
β 的关系为( )．
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
解析 根据仰角与俯角的定义易知 α＝β.
答案 B
3．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且
AC＝BC，则点 A 在点 B 的( )．
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
练习2
如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行， 乙船按固定方向向匀速直线航行。当甲船位于A1处时， 乙船位于甲船的北偏西1050方向的B1处，此时两船相距 20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到 甲船的北偏西1200方向的B2处，此时两船相距10 2海里， 问乙船每小时航行多少海里？
＝85°, ∠ ACD=47°, 则
∠ DＡＣ=4８°，又ＤＣ＝
25正弦定理、余弦定理应用举例PPT课件
.
8
又又∠∠DDBBCC＝＝∠∠DDBBAA＋＋∠∠AABBCC＝＝3300°＋°＋(9(09°0－°－606°0)°＝)＝606°0, °B,CB＝C＝20203 ∠时里C＝DDD)D3)B．B6，×2点＝A＝0C又在∴故在∴故在∴故又在∴故∴°＋12需3,B又在∴故＝∠△C救△C救0B△C救需∠△C救∠D要0D∠△C救DDC9DDD援＋2D援D援要DD援AD＝＋0＝＝＝DD援＝1BBBB0＝BB船1船的船船BB小BCC3，C3船C32CC320CC3到0C＝00到0时到＝0到中＝时0(中到中＝((中(2海中0(海海海达－∠海间达达3－达,．∠3达∠,,,,里0C里(里C里C2里DCC°2海DDDDtDDBDD＋D＝D×D)DB)))B)，BD，2点，里，2，点＝2点A2点＝2＝＝点A(＝＝3＝3＝1A＝＝·9∴＋B∴00∴0需)需∴需∴30＋33B需需，B＝33CBB0°00需需∠需0D0要要－D要0需0需3∠·0DD要要1c00＋2＋×2＋要2A要oA＋(要＋＋＋226＋1要要A小1＋1＋sB10B1121的1小B的B的∠1小CB1°小B0的2的时C小B小B2C)2C时＝0C时2C＝2时＝时00D时C2时C0时)＝时003－时202时0间．3－．－B2－602×0间间3－－0．－．－间03－2间－C．0．°2t2B2°0＋12＝°2×22tt,2BB°2＋＝D＝2＝××tBtB＋B＝(×331D＝D×·9BD00C09(D333110··9(＝3310BCB003030＝1°·9·0B0000－B＝＝300·0CC01°c＝，×C2＝°－Co(33··61c小1－0c3s·××03·21co(o(1c×6∠°小小×0o(时ss6o()023小2s＝小∠0s∠D2°0(0时)时23∠海°)．0时∠B6＝0×)时DD)0＝)3C3D里．．°B)D12B3×6×)．,3B＝6．×0CCB)×0，12°C12C9C,°＝12＝012,＝B＝0B＝9C9，20C90＝09000＝0，0，230，20(，海0 3里
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
正、余弦定理的综合应用 课件
3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应根 据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；解 决平面向量与解三角形的交汇问题，应准确运用向量知 识将其转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理来求 解．
[变式训练] (全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边
分别为 a，b，c，已知 b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋
c2－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解析：因为 b sin C＋c sin B＝4a sin B·sin C，
所以 b sin
⇔C 为钝角；c2＜a2＋b2⇔C 为锐角．
4．三角形的面积公式 任意三角形的面积公式为： (1)S△ABC＝12bcsin A＝12ac·sin B＝12ab·sin C，即任意三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一 半． (2)S△ABC＝12a·h，其中 a 为△ABC 的一边长，而 h 为 该边上的高的长．
所以B→A·B→C＝B→A·B→C·cos B＝accos B＝21. 所以 ac＝35， 因为 cos B＝35， 所以 sin B＝45. 所以 S△ABC＝12acsin B＝12×35×45＝14. (2)因为 ac＝35，a＝7，所以 c＝5. 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
由正弦定理sinc C＝sinb B， 所以 sin C＝bcsin B＝452×45＝ 22. 因为 c＜b 且 B 为锐角，所以 C 一定是锐角． 所以 C＝45°.
归纳升华 1．解答向量与正、余弦定理的综合题的关键是揭开 向量的“伪装”，找到三角形的边角关系． 2．求向量数量积时应注意向量的方向． 3．利用余弦定理、正弦定理分别列方程，要有列方 程组、解方程组的意识．
正弦定理余弦定理应用举例PPT课件
则α=60°-50°=10°.
第4页/共44页
3.在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=41，3则边AC
上的高为（ ）
B
A.
B.
C.
D.
3 解析2
由2余弦定理可得23： 3
3 2
33
cos A AC2 AB2 BC2 42 32 ( 13)2 1 .
2AC AB
2 3 4
2
sin A 3 ,则AC边上的高 2
∠ADB=45°，
10
9
解得BD= .故BD的长为
.
10
要利用由正正、余弦弦定定理理解: 决问A题B,需将 BD .
多边形分割成若干个三角形.在分割s时in，要B注D意A sin BAD
92 有利于应用正2、余弦定理.
探究提高
92 2
12分
第20页/共44页
知能迁移3 如图所示，已知半圆的直径AB=2， 点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的 一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与 圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的 最大值.
第21页/共44页
解 设∠POB=θ，四边形面积为y， 则在△POC中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ.
y SOPC SPCD
1 1 2sin
2
3 (5 4cos )
4
2sin( ) 5 3.
34
当
3
2
,即
5
6
时,
ymax
2
5 3. 4
解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD 前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥ CD于E，则∠AEB=30°，
6.4.3第三课时余弦定理、正弦定理应用举例PPT课件(人教版)
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，
塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
解 如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，
∵tan
60°＝CBDD，∴BD＝tanCD60°＝
x＝ 3
3 3x
m.
在△AEC 中，x－20＝ 33x，解得 x＝10(3＋ 3)m. 故山高 CD 为 10(3＋ 3)m.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船， 则 CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
∵sBinCA＝sin
∠ACABC，∴sin
【训练 3】 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 点( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°方向，与 A 距离 2 n mile 的我方缉私船，奉 命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
D.α＋β＝180°
解析 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，知α＝β，故应选B.
答案 B
3.两灯塔A，B与海洋视察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东
60°，则A，B之间的距离为( )
A. 2a km
B. 3a km
C.a km
D.2a km
解析 △ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝ 2a.
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变3:已知 (a2 bc)x2 2 b2 c2 x 1 0
是关于x 的二次方程，其中 a,b,c 是△ABC的
三边，若方程有两相等的实数根，求A的度数？
题型二、确定三角形的形状
例题:在△ABC中，若 a cos A b cos B
判断△ABC的形状
变式:在△ABC中，若 B 且b2 ac
练习：
三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围
题型六、长度问题
课堂练习
1.三角形的三边分别为4,6,8,则此三角形 为( C )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在
2.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边,求a的 取值范围. 1<a<3
判断△ABC的形状
3
练习：在△ABC中，如果 lg a lg c lg sin B lg 2 ，
并且B为锐角，试判断此三角形的形状特征。
解：由 lg a lg c lg sin B lg 2 ，
得：sin B 2 B=45o
2
a c
2 2
sin A sin C
2 2
，将A=135o-C代入上式，得
变式3、已知△ABC的面积 S a2 b2 c2
求C角的大小？
4
变式4、已知△ABC的三边长 a 3,b 5,c 6
求△ABC的面积
P16 例7、例8
结论：P20 A组 13 B组 1 2
题型五、范围问题
例8，a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。 变式：锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。
总结
1.正弦定理可解决的两类问题; 2.正弦定理可解决的两类问题; 3.求面积,外接圆半径; 4.利用正余弦定理证明或判断三角形的形状.
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
正余弦定理的应用
数学组 付亚晖
题型一、证明三角恒等式问题
例1、在△ABC中，求证:
(1) a2 b2 sin2 A sin2 B ;
c2
sin2 C
(2)a2 b2 c2 2(bc cos A ca cos B ab cosC)
变式、在△ABC中，若a : b : c 1: 3 : 5 则 2sin A sin B 的值为多少？
sin C
题型一、正、余弦定理综合应用问题
例2.已知 4 sin2 A C cos 2B 7
2
2
(1)求角B的度数;
(2)若 b 3, a c 3 ,且a>c, 求a和c的值.
变1:已知 (a c)(a c) bc b2,求A.
变2:已知 sin2 A sin2 B sin B sin C sin2 C,求A.
2 sin C 2sin(135 C) sin C sin C cosC
∴C=90o ，综上所述，△ABC是等腰直角三角形。
题型四、面积问题
变式1.△ABC的面积为 3 ,且b 2,c 3求A
变式2、在△ABC中，a
2 2,b
3,
cos
C
1
,
3
求△ABC的面积及外接圆半径ac?sin A sin B sin C
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
是关于x 的二次方程，其中 a,b,c 是△ABC的
三边，若方程有两相等的实数根，求A的度数？
题型二、确定三角形的形状
例题:在△ABC中，若 a cos A b cos B
判断△ABC的形状
变式:在△ABC中，若 B 且b2 ac
练习：
三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围
题型六、长度问题
课堂练习
1.三角形的三边分别为4,6,8,则此三角形 为( C )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在
2.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边,求a的 取值范围. 1<a<3
判断△ABC的形状
3
练习：在△ABC中，如果 lg a lg c lg sin B lg 2 ，
并且B为锐角，试判断此三角形的形状特征。
解：由 lg a lg c lg sin B lg 2 ，
得：sin B 2 B=45o
2
a c
2 2
sin A sin C
2 2
，将A=135o-C代入上式，得
变式3、已知△ABC的面积 S a2 b2 c2
求C角的大小？
4
变式4、已知△ABC的三边长 a 3,b 5,c 6
求△ABC的面积
P16 例7、例8
结论：P20 A组 13 B组 1 2
题型五、范围问题
例8，a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。 变式：锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。
总结
1.正弦定理可解决的两类问题; 2.正弦定理可解决的两类问题; 3.求面积,外接圆半径; 4.利用正余弦定理证明或判断三角形的形状.
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
正余弦定理的应用
数学组 付亚晖
题型一、证明三角恒等式问题
例1、在△ABC中，求证:
(1) a2 b2 sin2 A sin2 B ;
c2
sin2 C
(2)a2 b2 c2 2(bc cos A ca cos B ab cosC)
变式、在△ABC中，若a : b : c 1: 3 : 5 则 2sin A sin B 的值为多少？
sin C
题型一、正、余弦定理综合应用问题
例2.已知 4 sin2 A C cos 2B 7
2
2
(1)求角B的度数;
(2)若 b 3, a c 3 ,且a>c, 求a和c的值.
变1:已知 (a c)(a c) bc b2,求A.
变2:已知 sin2 A sin2 B sin B sin C sin2 C,求A.
2 sin C 2sin(135 C) sin C sin C cosC
∴C=90o ，综上所述，△ABC是等腰直角三角形。
题型四、面积问题
变式1.△ABC的面积为 3 ,且b 2,c 3求A
变式2、在△ABC中，a
2 2,b
3,
cos
C
1
,
3
求△ABC的面积及外接圆半径ac?sin A sin B sin C
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal