再论各向异性单轴晶体的布儒斯特角
第二十二讲(晶体的各向异性 )
晶体宏观物理性能随空间方向变 化的理论依据
➢ 理论依据：空间中任何的转动都可以依据欧拉转动定理
（Euler’s rotation theorem)用三个欧拉角来 描述。
➢ 称操作（对称变换）：能使某一图形作有规律重复操作或变换。 保持晶体内任意两点之间距离不变，把晶体移到与原始位置不能 区别的位置上的操作，经过对称操作后，晶体的所有性质不变
晶体的对称性与对称操作
➢ 进行对称操作时所凭借的几何元素称对称素，晶体只 有为数不多的几种对称素，这些对称素组合而产生的 对称类型也是有限的；
物理性能随空间方向变化（例）
• 3m，以铌酸锂为例
0
0 0 0 d15 2d 22
d 22 d 22 0 d15 0
0
d31 d31 d33 0
0
0
物理性能随空间方向变化（例）
➢ d33
物理性能随空间方向变化（例）
➢ d31
➢ 对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶体的物理性质
晶体的物理性质是晶体本身所固有的一种属 性，晶体的物理性质大多是各向异性的，而这些 物理量可以用张量来表征。
➢ 张量的定义：其是一种物理量，在坐标变换时， 只改变表达形式，不改变物理本质。
在三维实空间，用3n个分量来表征的物理量称n阶张量，故有： 1. 零阶张量（标量，一个分量） 2. 一阶张量（三个分量；矢量） 3. 二阶张量（九个分量） 4. 三阶张量（二十七个分量）……
三角晶系 立方晶系
晶轴上的周期 abc abc abc a=bc a=bc
介质分界面的全反射角 布儒斯特角
介质分界面的全反射角布儒斯特角布儒斯特角（Brewster's angle）是光线在介质分界面发生全反射的特殊角度。
在这个角度下，入射光线的偏振方向与界面垂直，使得反射光线的偏振方向与界面平行。
这一现象是19世纪初由英国物理学家大卫·布儒斯特发现的，也因此得名。
布儒斯特角的大小可以通过斯涅尔定律（Snell's law）来推导。
斯涅尔定律描述了光在介质分界面的折射现象，即入射光线与界面法线夹角的正弦比等于两个介质的折射率之比。
在特定的折射率条件下，根据斯涅尔定律可以推导出布儒斯特角。
设光线从折射率为n1的介质1通过一个折射率为n2的介质2射入介质2时，入射角为θ1，折射角为θ2。
当光线的入射角等于布儒斯特角时，折射角为90度，即θ2=90°。
根据斯涅尔定律，正弦θ1/n1 = 正弦θ2/n2，代入θ2=90°，可得正弦布儒斯特角sinθp = n2/n1。
布儒斯特角与入射介质和折射介质的折射率有关。
在布儒斯特角下，入射光线的偏振方向与界面垂直，这意味着反射光线的偏振方向与界面平行。
这一现象可以用光的电矢量理论来解释。
光是一种电磁波，包含着电矢量和磁矢量的振动。
当光线从一个介质射入另一个介质时，根据介质的折射率差异，电矢量和磁矢量会以不同的速度传播，导致光线的偏振方向改变。
而在布儒斯特角下，入射角的选择使得电矢量只能沿界面方向振动，从而反射光线的偏振方向与界面平行。
布儒斯特角在光学研究和应用中具有重要意义。
它可以用于优化光学器件的设计，例如激光器、光纤、反射镜等。
在这些应用中，布儒斯特角被用来选择性地传递或反射特定偏振方向的光线，从而提高光学器件的效率和性能。
布儒斯特角还被用于测量介质的折射率。
由于布儒斯特角与折射率之间的关系可以通过正弦函数表达，因此可以通过测量布儒斯特角来确定介质的折射率，这在物理实验和材料研究中有着广泛的应用。
总结起来，布儒斯特角是光线在介质分界面发生全反射的特殊角度。
双折射_实验报告
一、实验目的1. 理解双折射现象，掌握双折射实验的基本原理和操作方法。
2. 学习利用尼科尔棱镜观察双折射现象，观察和分析不同物质的折射率。
3. 理解光的偏振现象，掌握布儒斯特定律。
二、实验原理1. 双折射现象：当一束光线入射到各向异性介质（如晶体）时，光线在介质中传播方向会发生改变，形成两束折射光线，这种现象称为双折射现象。
2. 尼科尔棱镜：尼科尔棱镜是一种特殊的偏振片，其作用是使一束非偏振光分解为两束相互垂直的偏振光。
3. 布儒斯特定律：当一束光线入射到介质表面时，若入射角等于布儒斯特角，则反射光为完全偏振光。
三、实验器材1. 尼科尔棱镜2. 双折射晶体（如方解石）3. 平行光管4. 光具座5. 量角器6. 毛玻璃7. 铅笔8. 记录纸四、实验步骤1. 将平行光管置于光具座上，调整光源，使光束平行。
2. 将双折射晶体放置在平行光管的光路上，调整晶体位置，使光束穿过晶体。
3. 在晶体后面放置尼科尔棱镜，调整尼科尔棱镜，使晶体出射的光束通过棱镜。
4. 观察光束在尼科尔棱镜后面的现象，记录观察结果。
5. 改变入射角，重复步骤4，观察不同入射角下的现象。
6. 记录观察结果，包括光束在尼科尔棱镜后面的现象、入射角、反射光和折射光的情况。
7. 利用布儒斯特定律，计算晶体的折射率。
五、实验数据及结果1. 观察结果：入射角/度尼科尔棱镜后面的现象0 光束穿过晶体后无变化30 光束穿过晶体后变为两束光线45 光束穿过晶体后变为两束相互垂直的光线60 光束穿过晶体后变为两束光线，其中一束光线在晶体内部发生偏振90 光束穿过晶体后变为两束光线，其中一束光线在晶体内部发生偏振2. 计算折射率：根据布儒斯特定律，入射角等于布儒斯特角时，反射光为完全偏振光。
设入射角为θB，折射率为n，则有tanθB = n。
由观察结果可知，当入射角为45度时，光束穿过晶体后变为两束相互垂直的光线，此时入射角等于布儒斯特角。
因此，n = tan45° = 1。
第四章_各向异性介质中的光波详解
4.1.1 偏振光与自然光
光的传播与偏振
想一想
椭圆偏振光？
椭圆偏振光
4.1.1 偏振光与自然光
完全偏振光 线偏振光 圆偏振光 椭圆偏振光
自然光
在垂直光传播方向的平面上，所有方向均 有横振动，各个方向的振动幅度均相等，形成 如图所示的轴对称振幅分布。
4.1.1 偏振光与自然光
部分偏振光：自然光+完全偏振光
晶体光学与各向同性的光学： 相同：以麦克斯韦方程和物质方程为基础； 唯一不同：
Ｄ与Ｅ的关系。
晶体的介电张量
各向同性介质： D E 0r E 为常数
各向异性介质
D ij E 0 (r )ij E
xx yx
xy yy
xz yz
极化（偏振）与各向异性（双折射）
极化（偏振）与各向异性（双折射）
外加电场下，介质分子的极化与物质本身结构有关
无极分子
l
正负电荷被拉开距离
有极分子
重新排列
电荷＝束缚电荷＋自由电荷
E
/0
f
P 0
P 束缚电荷，与介质极化有关
偶极子
产 均匀
生 剩
介质
余
界面上 产生剩 余电荷
电 荷 非均 内部产
匀介 生剩余
量）
Dx Dy
0
xx yx
xy yy
xz yz
Ex Ey
Dz
zx zy zz Ez
0
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
J与E的关系
J J
x y
xx yx
xy yy
xz yz
Ex
Байду номын сангаас
大学物理教学中关于布儒斯特角的理论探讨
［摘要］布儒斯特角是大学物理教学与研究中的典型问题。
从电矢量的两个分量（s 波和p 波）的偏振特性出发，运用边值条件，计算了s 波和p 波的反射系数对入射角的依赖关系，系统探讨了布儒斯特角的产生条件和应用方向。
［关键词］布儒斯特角；偏振；菲涅尔公式［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2021）11-0100-02大学物理教学中关于布儒斯特角的理论探讨①潘海平（佛山科学技术学院物理与光电工程学院，广东佛山528225）一、引言布儒斯特角（Brewster angle ）又称为起偏振角，当入射自然光以此角度射入介质界面时，反射光是线偏振光（振动方向垂直于入射面），并且与折射光线互相垂直。
此规律是由英国物理学家大卫·布儒斯特（1781—1868）在1811年从实验中得出的[1]，并由麦克斯韦定律验证了它的正确性。
布儒斯特角是物理学中的一个重要概念，对于反射光的偏振状态判定起着重要作用[2]，广泛应用于薄膜起偏器[3]和激光器的设计和研究[4，5]。
可是，在某些大学物理教材中，对这个概念的阐述不是很清晰，没有从光的偏振特性出发给出详细的推导过程，让学生难以理解。
特别是工科专业的学生，对于电磁波理论知之甚少，不能从布儒斯特角的起源上理解这一概念，导致有些认识上的混乱。
本文以菲涅尔公式为基本出发点，详细描述了布儒斯特角的产生原理和应用方向，并针对现有教材中存在的模糊认识，给出了详细的分析和讨论。
二、菲涅尔公式光波是一种电磁波，包含电场分量（）和磁场分量（），电场分量和磁场分量的振动面都与光波的传播方向垂直。
由于光在入射到介质界面时，主要是光波的电场分量与介质中的带电粒子产生相互作用，因此在光波反射和折射过程中主要考虑电场分量[2]。
现有一入射光的电场矢量1以任意角度射入介质界面，可以把入射光分解为电矢量垂直于入射面的1s分量和平行于入射面的1p分量，并规定1s的正向是与图面垂直并指向读者（图1），1p 的正向如图1中所示。
课件：布儒斯特介绍
第五版
物理学家介绍
布儒斯特(David Brewster 1781--1868)
布儒斯特是苏格兰物理学家．1781 年12月11日出生于苏格兰杰德伯勒， 1800年毕业于爱丁堡大学，曾任“爱丁 堡杂志”、“苏格兰杂志”、“爱丁堡 百科全书”编辑，爱丁堡大学教授、校 长等．1815年被选为皇家学会会员， 1819年获冉福德奖章．
物理学家介绍
电磁铁，1835年制造出灯塔用透镜， 1849年改进了体视镜．
3
物理学
第五版
物理学家介绍
偏振光现象
演示
4
物理学
第五版
物理学家介绍5来自物理学第五版物理学家介绍
6
1
物理学
第五版
物理学家介绍
布儒斯特主要从事光学方面的研 究．1812年发现当入射角的正切等于媒 质的相对折射率时，反射光线将为线偏 振光（称为布儒斯特定律）．他研究了 光的吸收，发现人为各向异性介质中的 双折射．1816年发明万花筒，1818年发 现双轴晶体，1826年制造出马蹄形电磁
2
物理学
第五版
光在各向异性介质中的传播
cos4
2n
, ,
In
I0
cos 2 n
2n
,
由题意：In cos2n 0.95 两边取对数： 2n lncos ln0.95
I0
2n
2n
2n lncos 2n ln[1 1 ( )2 ] 2n[ 1 ( )2 ] 1 ( )2
2n
2 2n
2 2n
n2
1 ( )2 ln0.95
双轴晶体
（方解石、石英、红宝石） （云母、硫磺、蓝宝石）
102° 102°
102°
方解石晶体
晶体的主截面：
78° 78° 102°
由任一光轴与晶体解理面法线决定的平面；
光轴
光线的主平面：
晶体内任一光线与光轴决定的平面。
109°
e
o光振动方向垂直于其主平面，e光振 动方向在其主平面内。
一般，o光、e光主平面不重合。
光在各向异性介质中的传播
当入射角为布儒斯特角时，反射光虽为线偏振光，但强度较 弱；折射光虽强，但只是部分偏振光。
若使用玻璃片堆：
⑴ 可加强反射线偏振光的强度； ⑵ 可提高透射光的偏振化程度。
光在各向异性介质中的传播
例题 8-5：
一束光由空气入射到折射率 n=1.40 的液体 上，反射光是完全偏振光，问此光束的折射 角为多少？
1 2
I自
1
Imax
1 2
I自
I线
5
解得： I线 2I自
I线
2 3
I总
I自
1 3
I总
•光在各向异性介质中的传播
例题 8-3：
透光轴相互垂直的两偏振片之间插入第三块偏振片，
求当透射光强为入射光强的 ⅛时，插入的一块偏振片
什么是布儒斯特角
什么事布儒斯特角
简介
自然光经电介质界面反射后，反射光为线偏振光所应满足的条件。
首先由英国物理学家D.布儒斯特于1815 年发现。
自然光在电介质界面上反射和折射时，一般情况下反射光和折射光都是部分偏振光，只有当入射角为某特定角时反射光才是线偏振光，其振动方向与入射面垂直，此特定角称为布儒斯特角或起偏角，用θb表示。
此规律称为布儒斯特定律。
光以布儒斯特角入射时，反射光与折射光互相垂直。
玻片堆是由许多表面互相平行的玻璃片组成，自然光以布儒斯特角入射时，垂直于入射面的振动分量在每个界面上均要发生反射，而平行于入射面的振动分量则完全不能反射，故从玻片堆透出的光基本上只包含平行分量。
玻片堆可用作起偏器。
自然光在两种各向同性媒质分界面上反射、折射时，反射光和折射光都是部分偏振光。
反射光中垂直振动多于平行振动，折射光中平行振动多于垂直振动。
当入射角满足关系式tgi0=n2/n1 时，反射光为振动垂直于入射面的线偏振光，
该式称为布儒斯特定律（Brewster law) ，i0为起偏振角或布儒斯特角。
当光线以起偏振角入射时，反射光和折射光的传播方向互相垂直，即：i0+r=90
编辑本段
求法
布儒斯特角等于两种介质的折光率之比的反正切。
设θ1为入射角，θ2为折射角。
我们有
如果反射角和折射角垂直，则：
整理，得：
其中n1和n2为该两种介质的折射率。
大学物理波动光学章节,布儒斯特定律 双折射现象
e光
e 光的 主平面
Байду номын сангаас
(e 光振动在e 光主平面内)
e 光:
ne
c ( e 光主折射率) ve
光轴
光轴 v o t
v e t
正晶体
vo ve no ne
负晶体
光轴
vo ve no ne
光轴
v o t
v e t
( 过光轴截面 )
( 过光轴截面 )
ve
vo
( 垂直光轴截面 )
ve
vo
( 垂直光轴截面 )
二. 单轴晶体中的波面 ( 惠更斯作图法(ve>vo) )
1.自然光垂直入射
光轴垂直晶体表面
光轴平行晶体表面
光轴平行入射面
2.自然光斜入射
三. 晶体偏振器
1. 尼科耳棱镜 2. 渥拉斯顿棱镜
(1.5159) no (1.6584) n(1.55) ne
光轴
光轴
(o光振动垂直o 光主平面)
光轴在入射面时,o 光主平面和e 光主平面重合,此时o 光振动和e 光 振动相互垂直。一般情况下，两个主平面夹角很小，故可认为o 光振 动和e 光振动仍然相互垂直。
5. 正晶体、负晶体 o 光:
no c ( o 光折射率) vo
v o t
·
· o光
o 光的 主平面
§14.13 晶体的双折射现象
一. 双折射现象
1.双折射
方解石
R2 R1
双折射现象
一束光入射
到各向异性的介质后出现 两束折射光线的现象。
s
2. 寻常光和非寻常光
布儒斯特角及其光学应用.
浅谈布儒斯特角及其光学应用摘要：随着科学技术的日益发展，现今除了利用布儒斯特角获得线偏振光外与布儒斯特角相关的实验概念，如其计算和测量等等在生产生活、科学研究、高校教学等方面均有十分广泛的用途和非常突出的实用价值。
因此，深入研究布儒斯特角，进一步拓展布儒斯特定律的实际应用，是现代光学的一个非常有价值的研究方向。
本文首先对布儒斯特角的来源向读者做了简单介绍，指出布儒斯特做了大量实验，终于在1815年，他发现当反射光与折射光垂直时，反射光完全偏振。
然后对布儒斯特角、布儒斯特定律、布儒斯特窗、布儒斯特条纹、布儒斯特体视镜等相关概念做了叙述。
紧接着为了读者更能清楚的理解布儒斯特定律，我简单对光的偏振现象为大家做了阐述。
最后，因为布儒斯特定律在生活中的应用有很多,并且具有很强的实用价值和可操作性,所以我们在了解研究布儒斯特角时，要对其应用进行合理的分类，本文中，我们将其应用分为四大类，即布儒斯特角在生产生活中的应用、在科学研究中的应用、在高校教学中的应用以及其他应用。
对于每类应用，我们会举出相应的实例，并为大家解释其中的原理。
关键词：布儒斯特角；布儒斯特定律；布儒斯特窗；光的偏振；光的波动性；On the Brewster angle and opticalapplicationsAbstract: With the development of science and technology, Now, In addition to using the Brewster angle to get outside of linearly polarized light, Concepts and experiments related to the Brewster angle, As its calculation and measurement in production and life, Scientific research, Teaching and other universities are very versatile and very prominent practical value. Therefore, In-depth study of the Brewster angle, Further expand the practical application of Brewster's law, Is a very valuable research direction of modern optics.Firstly, the source of the Brewster angle to the reader a brief introduction, Said: Brewster's done a lot of experiments, and finally in 1815, he found that when the reflection and refraction of light perpendicular to the light, the reflected light is completely polarized. Second, do a narrative to the Brewster angle, Brewster's law, Brewster windows, Brewster fringes Brewster stereoscope and other related concepts do a narrative. And then for the reader to understand Brewster's law more clearly, I simply described light polarization phenomena for everyone. Finally, because there are many uses of Brewster Law in life and has strong practical value and operability so when we learn the Brewster angle, we need make a reasonable classification of its uses, In this article, We make its uses into four categories, That Brewster angle in the production of life, In scientific applications, in university teaching and other applications. For each type of application, I will cite the appropriate instance and explain the principle.Keywords: Brewster angle; Brewster Law; Brewster window;Polarization of the light;Wave nature of light前言振动状态的传播就是波动，波动时物质运动的一种很普遍的形式。
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收稿日期:2006-09-26;修回日期:2007-01-24 基金项目:杭州师范大学科研基金资助项目(2005XNZ04)作者简介:张京(1957)),女,浙江杭州人,杭州师范学院物理系副教授,主要从事现代教育技术及其在物理教学中应用的研究工作.教学研究再论各向异性单轴晶体的布儒斯特角张 京,胡树基(杭州师范大学理学院物理系,浙江杭州 310012)摘要:从各向同性介质和各向异性单轴晶体界面间的菲涅耳公式出发,进一步研究了当自然光从各向同性介质射向各向异性且光轴任意取向的单轴晶体界面上时,其反射光成为垂直入射面的线偏振光时所对应的入射角,即布儒斯特角是否存在的问题,并对该问题进行了较全面的论述,计算了相应条件下的布儒斯特角和有关参量的数值,得到了正确的结论,同时也指出了某些文献在论述该问题时的不妥之处.关键词:单轴晶体;布儒斯特角;光轴方向;反射系数中图分类号:O 435.1;O 734 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2007)08-0001-05当一束光入射到两介质的分界面上时,若在第二种介质表面的反射光中只有垂直于入射面的光矢量(指电矢量)的分量而没有平行分量,那么此时对应的光束入射角称为布儒斯特角[1].利用反射光的这种偏振特性,我们可以测定非透明介质的折射率,同时该特性在薄膜光学中的一个重要的测试技术)))椭偏光测量术中也有广泛的应用.但对于光从各向异性的单轴晶体界面上反射时,是否存在/布儒斯特角0的问题,在已发表的文献中有着不同的看法,文献[2]指出/当光轴不垂直于反射表面时,使单轴晶体上反射光成为线偏光的布儒斯特方位有4个,当光轴垂直于反射面时有无穷多个.0;文献[3]则称/对以折射率椭球的主轴为坐标的特定取向的各向异性晶体,,布儒斯特定律已不适用于各向异性的介质,,,且不存在能产生线性偏振光的起偏角0.两文献的观点分歧明显,那么究竟一束自然光从各向同性介质射向各向异性的单轴晶体界面上时是否存在能产生光矢量振动方向垂直于入射面的线偏光的起偏角呢?我们认为这两篇文献在论述的依据和结论方面都有明显的不妥.本文将从各向同性介质和各向异性的单轴晶体间的/菲涅耳公式0出发,即利用光轴任意取向的各向异性单轴晶体界面上折射、反射系数的具体表达式,对是否存在/布儒斯特角0的问题进行分析和论证,得出普遍的结论.且对上述两文献中存在的主要问题展开讨论,同时还将具体论述在两种典型情况下,即晶体光轴位于以及垂直于入射面时是否存在/布儒斯特角0的问题,并列出计算实例.1 坐标系统的选取及晶体光学中的有关公式1.1 坐标系的选取及说明如图1所示,设单色光从各向同性介质射入各向异性的单轴晶体内,P 1是两介质的分界面,由界面法线Oy 1和晶体光轴Oz 组成的是该晶体的主截面P 3,对于单轴晶体,它的另一个主轴Oy 的方向可以任选[4],在此我们选择Oy 轴在该主截面内,这样三轴Oy 、Oy 1、Oz 共面.由图1可见,B 是光轴和界面P 1间的夹角,而A 是晶体主截面P 3和入射面图1 各光的E 、H 分振幅、方向及坐标间的关系第26卷第8期大 学 物 理Vol.26N o.82007年8月COL L EGE PHYSICS A ug.2007S Oy1(其坐标系为x1y1z1)间的夹角.两坐标系间的关系如下,首先绕Ox轴转B角,得x y1z2坐标系,然后再绕Oy1轴转过A角,得到x1y1z1坐标系.S、S r、S o、S e分别代表入射光、反射光、晶体中折射的o 光和e光的波法线方向,角i和U则是入射角和晶体内e光的波法线折射角.晶体光轴Oz在入射面坐标系中的方向余弦为cos A1、cos B1、cos C1.1.2e光波法线折射角及其方向数在单轴晶体内e光的波法线折射角U和在晶体主轴坐标系内的方向数S x、S y、S z由以下两式确定[4]:sin U sin i 2=n21n2e+1n2o-1n2eS2z(1)S x=sin A sin US y=-(cos U cos B+cos A sin B sin U)S z=cos A cos B sin U-cos U sin B(2)式(1)中n是入射方介质的折射率,n o、n e是单轴晶体的主折射率,e光的波法线折射率为n c e=sin i sin U可由下式求得角A的表达式[5]:A=arccos cos C1sin B1(3)而从图1易见B1=90b-B(4)其余相关各量如图1所示.1.3晶体中有关o、e光的两种速度的表达式单轴晶体中e光的相速度v p的公式[4]如下:v2p=cn e2+c21n2o-1n2eS2z(5)而根据惯例有v k=cn k,(k=x,y,z)(6)对单轴晶体,在本文的条件下有:v x=v y=v ov z=v e其中v o和v e是单轴晶体的主相速度,v o也是o光的传播速度,并符合通常的折射定律.下面讨论入射光、反射光、折射o光和e光的电矢量的振幅值之间的关系.2各向同性介质和各向异性单轴晶体间的/菲涅耳公式02.1设入射光是平行于入射面的线偏振光,其电矢量为E p根据文献[5],平行于入射面的线偏振光从空气射向各向异性的单轴晶体界面上时,其反射光电矢量的振动方向分别平行和垂直于入射面光束的振幅反射系数R pp、R ps为:R p p=E rpE p=cos A(n o+c os i)(P+2K)+R sin A(n o cos i-1)U(7)R p s=E r x1E p=2cos i cos A[R-(n o+cos i)M]U(8)式(7)和式(8)中P=[n c e W cos i(S y cos A-S x cos A2)-K]K=[a(S x sin A-S sin B cos A)+bS z cos A cos B]R=[n c e W(S y sin A-S x cos C2)+M cos i]U=p cos A(n o+cos i)+R(1+n o cos i)sin AM=[a(S x cos A+S y sin A sin B)-bS z sin A cos B](9)式(9)中出现的参量a、b、W、A2、C2分别为:a=v2ov2o-v2pb=v2ev2e-v2pW=(v2o-v2e)v2p S Z(v2e-v2p)(v2o-v2p)A2=arccoscos A1cos B1(cos A21+cos C21)12C2=arccoscos B1cos C1(cos A21+cos C21)12上述各参量的定义及导出可参见文献[5].2.2入射光是垂直于入射面的线偏振光,其电矢量为E x1垂直于入射面的线偏振光从空气射向各向异性的单轴晶体界面上时,其反射光电矢量的振动方向分别平行和垂直于入射面光束的振幅反射系数R sp、R ss为[5]:R sp=E rpE x1=-2[P+K(1+n o cos i)]sin AU(10)2大学物理第26卷R ss=E r x1E x1=(2M c os i-R)(1+n o c os i)-P c os A(n o-c os i)U(11)由上述式(7)、式(10)可见,在晶体的光轴方向为任意,当自然光入射,其电矢量振动平行或垂直于入射面的线偏振光从空气入射至单轴晶体界面上时,它们各自的反射在一般情况下都可能产生电矢量振动平行于入射面的反射光.3光轴方向任意、入射光为自然光时,布儒斯特角是否存在此时若布儒斯特角存在,则由式(7)和式(10)可见,R sp和R pp必须同时为零.为方便,设R sp=0即R sp=E rpE x=-2[P+K(1+n o cos i)]sin AU=0/一般条件0下,A X0,故sin A X0,而U X0,要使R sp=0,必有P+K(1+n o cos i)=0即P=-K(1+n o cos i)(12)又P=[n c e W cos i(S y cos A-S x cos A2)-K]所以n c e W cos i(S y cos A-S x cos A2)=-K n o cos i又n c e=sin i sin U参照式(2),把n c e、S y、S x的表达式代入上面P的表达式(12),经过运算可得sin i=n o sin U[(a-b)cot U cos B sin B cos A+ (a sin2B+b cos2B)cos2A+a sin2A]#[W(sin A cos A2+cot U c os B c os A+c os2A sin B)]-1(13)把式(12)代入式(7),有R p p=E rpE p=cos A(n o+cos i)(P+2K)+R sin A(n o c os i-1)U(14)要使式(14)为零,则其分子应为零,即[K cos A(n o+cos i)-R sin A](1-n o cos i)=0(15)可见若要使R sp、R pp同时为零,则式(15)等号左边的两个因式中至少有一个必须为零.对(1-n o cos i)这个因式,要使其为零,必须满足cos i=1n o这个条件.而对[K cos A(n o+cos i)-R sin A]这个因式,因参量R中含有独立变量C2(y轴和入射面坐标系中z1轴的夹角),故也必定另外要满足相应的条件才能使其为零.由此可得到结论:当自然光入射时,在/一般条件下0要使R pp、R sp同时为零是不可能的.这表明在各向异性单轴晶体的光轴不在入射面内的/一般条件下0,要使入射到它表面的自然光使其反射光为垂直于入射面的线偏光是不可能的,也就是说各向异性单轴晶体的/布儒斯特角0在上述/一般条件下0是不存在的.但是在某些典型的情况下,即目前在普通物理光学教材内涉及到的内容:1)入射面和晶体主截面的夹角A=0,即晶体光轴位于入射面内时(晶体主截面和入射面平行);2)晶体光轴垂直于入射面时,此时A=90b(该条件下e光也遵守普通的折射定律),是否存在/布儒斯特角0则还需作进一步的分析和研究.4上述典型情况下布儒斯特角是否存在4.1当A=0时,对应的/布儒斯特角0是存在的当A=0时,式(7)变为R p p=(n o+cos i)(P+2K)U=P+2KP=n c e W cos i(S y-S x cos A2)+Kn c e W cos i(S y-S x cos A2)-K(16)参照式(2)有R pp=n c e W cos iS y+Kn c e W cos iS y-K(17)而此时式(10)为R sp=E rpE x=-2[P+K(1+n o cos i)]sin AU=0从上两式可见,只要令式(17)的分子等于零,解得对应的入射角i b(布儒斯特角)的值,当入射的自然光以此角从空气入射到单轴晶体界面上时,R p p、R sp同时为零,其反射光为电矢量的振动方向垂直于入射面的线偏振光.于是有cos i b=-Kn c e WS y(18)下面以方解石晶体为例,其n o=1.6584、n e=第8期张京,等:再论各向异性单轴晶体的布儒斯特角31.4864,以不同的B角值,从式(18)得到的i b值如表1所示.表中还列出了E、n w、n r值,其中E为对应的界面上的反射光线和晶体内e光实际光线间的夹角,n w、n r分别是晶体中e光波法线和e光射线(实际光线)所对应的折射率.表1方解石晶体光轴取向不同时所对应的i b和E、n w、n r的值(A=0)B/(b)i b/(b)E/(b)n w n r1554.47496.021 1.5003 1.4978 3055.66491.337 1.4870 1.4869 4557.32286.261 1.4914 1.4904 6059.02581.952 1.5143 1.5095 7560.30779.624 1.5536 1.5449 9060.78580.230 1.6011 1.5925我们注意到,在文献[6]中,当各向异性的单轴晶体的主截面和入射面平行,而入射光为平行于入射面的线偏振光时,用另一种方法也导出了从各向同性介质到各向异性单轴晶体的界面上的反射系数R为R=n*2cos H i-n1cos H tn*2cos H i+n1cos H t(19)式中,H i为入射角,H t为e光射线(实际光线)的折射角,n*2=n p cos(H t-H p),H p为e光波法线折射角,n p 为e光波法线折射率,n1为入射方各向同性介质的折射率.为了便于对照,把式(19)中的参量用本文中对应的符号来表示(n1=1),则为R pp=n c e cos(H t-U)cos i-cos H tn c e cos(H t-U)cos i+cos H t(20)对式(19),当令其分子为零时,同样以方介石晶体为例进行了计算,结果和式(18)得到的结果完全一致.同时,对比式(17)和式(20),可以发现两式在形式上非常相似,在此基础上,我们严格证明了:cos H t=-Ksin H t=-TWS y=-K cos U-T sin U限于篇幅,证明过程就不赘述了.由此可见,式(17)和式(19)是完全等价的,显然,式(19)就是式(7)当A=0时的特例.以上的论证表明,本文所导出的公式及计算结果是正确的.4.2光轴垂直于入射面A=90b时,/布儒斯特角0不存在A=90b时,式(7)变为R pp=R(n o cos i-1)U(21)又由于U X0,所以要使R pp=0,则要求cos i=1n o,可得sin i=n2o-1n o(22)而此时R sp=E rpE x=-2[P+K(1+n o cos i)]sin AU变为R sp=-2[P+K(1+n o cos i)]U若要使R sp=0,而U X0则要求P=-K(1+n o cos i)其对应的入射角的正弦值为sin i=an o sin U(v2e-v2p)(v2o-v2p)cos A2(v2o-v2e)v2p S z又由于a=v2ov2o-v2p,所以有sin i=v2o n o sin U(v2e-v2p)cos A2(v2o-v2e)v2p S z(23)易见,在入射角相同的情况下,R pp和R sp不能同时为零,即晶体光轴垂直于入射面时,对应的/布儒斯特角0不存在.5讨论1)文献[2]、[3]在论述时未明确提出或区分各向异性单轴晶体中e光波法线、e光射线和相应参数的概念,从目前看来,这两方面的概念、相应的参量及公式是讨论各向异性单轴晶体内e光的行进方向和界面间的反射和透射系数所需要的;显然,这样在两文献中也无法得到各向同性介质和各向异性单轴晶体界面间的/菲涅耳公式0,故上述文献中界面上的反射系数的表达式及其结果也就不对了.2)文献[2]还不适当地扩大了各向同性介质间/布儒斯特角0的定义范围,而/布儒斯特方位0正确的表述应为:/它的意义首先由布儒斯特(D.Brew-ster,1781)1868)在1815年注意到的,这就是:如果光在这个角度下入射,则反射光的电矢量没有入射面上的分量.0[7].3)文献[3](讨论的正是单轴晶体主截面和入射面平行时的情况)得出结论的主要依据是:界面上的反射光线和晶体中的e光线(注意,文中没有区别4大学物理第26卷e光波法线和e光射线)间的夹角不是90b,而且算得的折射率n的值也不在对应的e光的主折射率n e 和n o之间;文献[2]也存在着类似的情况.从前面的分析可知:显然,从各向同性介质间用常用的折射定律和界面间反射系数的表达式经过推导而得到的结论是不能作为讨论各向同性介质和各向异性单轴晶体间反、折射情况所产生问题的依据和判断标准的;同时,从表1可见,当自然光以布儒斯特角入射到各向同性介质和各向异性单轴晶体的界面上时,界面上的反射光和晶体内的e光射线间的夹角一般情况下是不为90b的,但晶体内e光的波法线折射率n w 和e光射线折射率n r仍在e光的主折射率n o和n e 之间.6结论综上所述,对于由各向同性介质和各向异性的单轴晶体构成的界面,当自然光从各向同性介质(空气)入射至晶体界面上时是否能产生/布儒斯特角0可以得到以下两点结论:1)在单轴晶体的光轴和入射面平行的情况下,对于每一个确定的光轴方向和确定的各向异性的单轴晶体,使晶体表面的反射光成为电矢量垂直于入射面振动的线偏光的入射角,即/布儒斯特角0i b,只有一个,而不是4个,更不会是无穷多个;且这个/布儒斯特角0的值随晶体光轴方向的变化而改变.2)在晶体光轴任意取向的其他情况下(包括晶体光轴垂直于入射面),其/布儒斯特角0都是不存在的.参考文献:[1]赵凯华,钟锡华.光学:上册[M].北京:北京大学出版社,1984:257.[2]袁林.单轴晶体上反射光的偏振和布儒斯特方位[J].大学物理,1993,12(6):9-10.[3]黄锦敏,毕志毅.各向异性介质的布儒斯特角[J].大学物理,1997,16(6):17-22.[4]Z hang W Q.General ray-tr acing formulas for crystal[J].Appl opt,1992,31(34):7328-7331.[5]胡树基,沈莉萍.光轴任意取向单轴晶体的反射和透射系数[J].杭州师范学院学报(自然科学版),2002,1(2):73-77.[6]胡望雨,舒幼生.光沿单轴晶体主截面入射时的菲涅耳公式[J].大学物理,1986,5(9): 5.[7]波恩M,沃耳夫E.光学原理:上册[M].北京:科学出版社,1981:67.Talking about Brewster angle of monopodiumZHANG Jing,HU Shu-ji(Department of Physics,Hangzhou T eacher College,Hang zhou310012,China)Abstract:The problem of the angle of incidence on the surface of a monopodium w hose optical axis is dis-cretional(Brewster p s ang le)is studied w hen the reflected rays is totally perpendicular to the plane of incidence. T he Brew ster angle is analysed w hen optical ax is is discretional,then the paper gives the conclusion is obtained w hen optical axis is perpendicular to the plane of incidence by using a set of simple calculating method,the incor-rectness of some papers is po inted out.Key words:monopodium;Brewster ang le;direction of optical ax is;reflectance第8期张京,等:再论各向异性单轴晶体的布儒斯特角5。