最新姜启源等编《数学模型》第四版 课件 第十一章 博弈模型说课材料
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第四章 数学规划模型 数学建模(姜启源第四版)ppt课件
12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
决策变量
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72x1 64x2 原料供应
x1 x2 50
基本模型
变量
目标 函数 约束 条件
x5 kg A1加工B1， x6 kg A2加工B2 利润
Max z 24x1 16x2 44x3 32x4 3x5 3x6
x1 x5 x 2 x6 加工能力 50 3 4 附加约束 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 )
4公斤A2
获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶
时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
基本 1桶 模型 牛奶 或
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各自 产量无关的常数
每桶牛奶加工A1,A2的数量, 时 间是与各自产量无关的常数 A1,A2每公斤的获利是与相互 产量无关的常数 每桶牛奶加工A1,A2的数量,时 间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
可 加 性
连续性
模型求解
x1 x2 50
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 原料无剩余 MILK 0.000000 48.00000 三 TIME 0.000000 2.000000 时间无剩余 种 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力剩余40
数学模型姜启源 ppt课件
6
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
姜启源编《数学模型》第四版_第七章_稳定性模型
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim
t
x(t)
x0
,
称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
F (x0 ) 0 x0 稳定 F (x0 ) 0 x0 不稳定
第六页，共61页。
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
c2 )
p2N 2
第九页，共61页。
捕捞 过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大
• 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R(E) T (E) S(E)
pNE (1
E ) cE
令
=0
r
c Es r(1 pN )
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER
~ 临界强度
临界强度下的渔场鱼量
x1 (t )
r1x1 (1
x1 N1
)
x2 (t)
r2 x2 (1
x 2
N
)
2
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用
与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用.
模型
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1
2
x1 N1
x2 N2
对于消耗甲的资源而言，
乙(相对于N2)是甲(相对于 N1) 的 1 倍.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F(x) f (x) h(x)
有捕捞情况下渔场 鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex
姜启源等编《数学模型》第四版课件第1章
河
小船(至多2人) 3名商人
3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员. 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经 有限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数
yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk) ~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3;
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x=20 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）
• 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）
dz x z , t 2, dt x 1100e t , z (2) 236.5
λ=0.1386 (不变)，μ =0.1155×2=0.2310
z(t ) 1650e0.1386t 1609.5e0.2310t , t 2
施救方案
1200 1000 x(t) 800
k=1,2,…
S ~ 允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
vk~第k次渡船上的随从数
uk, vk=0, 1, 2;
k=1,2,…
dk=(uk , vk) ~过程的决策 D ~允许决策集合 D={(u , v) u+v=1, 2, u, v=0, 1, 2} 状态因决策而改变
14电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义针对问题特点和建模目的作出合理的简化的假设在合理与简化之间作出折中用数学的语言符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义模型求解各种数学方法软件和计算机技术
笔记-数学模型(第四版) 姜启源等编
x(t t ) x(t ) kx(t ) t
dx kx 当 t 0 得微分方程： dt x(0) x0
解微分方程
dx kdt x 1 x dx kdt ln( x) kt c1 x ce kt , c x0 x x0 e kt
dm dm 由死亡率的定义可得： dr ( r , t ), (r , t )dr m m
解得
( r ,t ) dr m( ) ln(m) | (r , t )dr , e m( )
t 时刻年龄为 的人的存活时间之和为： h( ) 所以时刻 t 年龄为 的人的期望寿命为：
P174 习题 4 1.设 x(t ), y (t ) 分别为 t 时刻甲乙双方的兵力，满足下列微分方程
x ay , (1) y bx, (2) x ( 0) x 0 , y ( 0) y 0 a 4, x 0 y 0 则当乙方取胜时，乙方的剩余兵力是多少？战斗时间 b 是多少？ （2） 若甲方在战斗开始后，有后备兵力以不变的速率 r 增援，试重新建立模 型， 讨论如何判断双方的胜负
0
( r , t ) dr
0
d
解：
设 t 时刻年龄为 的人的数目随时间变化的规律为： m m( r ), r 0
dm dm 由死亡率的定义可得： dr ( r , t ), (r , t )dr m m
解得
( r ,t ) dr m( ) ln(m) | (r , t )dr , e 0 0 m(0)
2.试推导 logistic 人口增长模型.即设时刻 t 的人口为 x(t ) ，单位时间内人口的 增量与 x(1
dx kx 当 t 0 得微分方程： dt x(0) x0
解微分方程
dx kdt x 1 x dx kdt ln( x) kt c1 x ce kt , c x0 x x0 e kt
dm dm 由死亡率的定义可得： dr ( r , t ), (r , t )dr m m
解得
( r ,t ) dr m( ) ln(m) | (r , t )dr , e m( )
t 时刻年龄为 的人的存活时间之和为： h( ) 所以时刻 t 年龄为 的人的期望寿命为：
P174 习题 4 1.设 x(t ), y (t ) 分别为 t 时刻甲乙双方的兵力，满足下列微分方程
x ay , (1) y bx, (2) x ( 0) x 0 , y ( 0) y 0 a 4, x 0 y 0 则当乙方取胜时，乙方的剩余兵力是多少？战斗时间 b 是多少？ （2） 若甲方在战斗开始后，有后备兵力以不变的速率 r 增援，试重新建立模 型， 讨论如何判断双方的胜负
0
( r , t ) dr
0
d
解：
设 t 时刻年龄为 的人的数目随时间变化的规律为： m m( r ), r 0
dm dm 由死亡率的定义可得： dr ( r , t ), (r , t )dr m m
解得
( r ,t ) dr m( ) ln(m) | (r , t )dr , e 0 0 m(0)
2.试推导 logistic 人口增长模型.即设时刻 t 的人口为 x(t ) ，单位时间内人口的 增量与 x(1
数学建模 姜启源ppt
一、CUMCM历年赛题的分析
3、从问题的解决方法上分析
从问题的解决方法上分析， 从问题的解决方法上分析，涉及到的数学 建模方法： 建模方法： 几何理论、组合概率、统计(回归 分析、 回归)分析 几何理论、组合概率、统计 回归 分析、 优化方法（规划）、图论与网络优化、 ）、图论与网络优化 优化方法（规划）、图论与网络优化、层次分 插值与拟合、差分方法、微分方程、 析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队 模糊数学、随机决策、多目标决策、 论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机 模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、 模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、 综合评价、机理分析等方法。 综合评价、机理分析等方法。
数学建模竞赛准备的（培训） 数学建模竞赛准备的（培训）内容
3）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述方法的 ）合适的数学软件的用法。 软件， 软件，如 MATLAB ,MATHEMATICA, LINDO等。 等 4）历届赛题的研讨。 ）历届赛题的研讨。 5）撰写数学建模论文的练习。 ）撰写数学建模论文的练习。
参考书
• 数学模型(第3版),姜启源等(高等教育出版社,2003年) 数学模型( ),姜启源等 高等教育出版社,2003 姜启源等( ,2003年 • 大学数学实验, 姜启源等(清华大学出版社, 2005年) 大学数学实验, 姜启源等(清华大学出版社, 2005年 • 竞赛优秀论文,见<工程数学学报>(2001年起)及 <数 竞赛优秀论文, 工程数学学报>(2001年起) >(2001年起 学的实践与认识> (2001年前 年前) 学的实践与认识> (2001年前)
数学建模竞赛 优秀论文评析
• 每年出两道题(甲组:A,B题; 乙组:C,D题), 任选一题. • A,C 为连续型题目; B,D为离散型题目
数学建模含动画培训精品动画课件ppt
未来发展展望
数学建模培训内容不断更新和 完善
培训方式将更加多元化和个性 化
培训效果将更加显著，培养更 多优秀人才
数学建模培训将更加注重实践 和应用
感谢您的观看
汇报人：
几何基础
定义与性质：介绍 几何图形的定义、 性质和分类
空间几何：介绍空 间几何的基本概念、 性质和定理
平面几何：介绍平 面几何的基本概念 、性质和定理
解析几何：介绍解 析几何的基本概念 、性质和定理
概率统计基础
概率论基本概念：事件、 概率、独立性等
随机变量及其分布：离散 型和连续型随机变量
统计推断方法：参数估计 和假设检验
数学建模实践项目
第六章
项目目标与要求
掌握数学建模的基本概念和原理 学会运用数学建模的方法解决实际问题 培养团队协作和沟通能力 提升创新思维和解决问题的能力
项目实施过程
确定项目目标：明确项目的要求和预期结果 制定计划：制定详细的实施计划，包括时间表、人员分工等 实施项目：按照计划进行项目实施，包括建模、计算、分析等环节 团队协作：团队成员之间密切合作，共同完成项目任务 成果展示：将项目成果进行展示，包括模型、图表、报告等 总结反思：对项目实施过程进行总结反思，总结经验教训，为今后的项
数学建模基础知识 建模方法与技巧 案例分析与实战演练 学员心得体会与感悟
培训成果评价
学员掌握情况：对数学建模理论、方法和技巧的掌握程度 学员应用能力：将所学应用于实际问题的能力 培训效果评估：对培训效果的综合评价，包括学员满意度、培训质量等方面 培训改进方向：针对本次培训的不足之处，提出改进措施和未来发展方向
境影响
数学建模的基本步骤
建立模型：根据问题选择合 适的数学模型
姜启源版数学模型第三版第11章课件
0.184 0.368 0.448
已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率
正则 N 链 ,P N0 P2 0 正则链
稳态概率分布 w 满足 wP=w
w (w 1 ,w 2 ,w 3 ) (0 .2,0 8 .25 ,0 6 .43 )52 n, 状态概率 a (n )(0 .2,8 0 .25,6 0 .43) 52
随机繁殖 讨论基因类型的演变情况
假设
• 设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R）
• 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配， 其后代随机地继承它们的各一个基因
• 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和 劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
k
i1
ai
(n)
1
转移 p ij 概 P (X n 1率 jX ni) pij0, k pij1,i1,2, ,k j1
基本方程
k
ai(n1 ) aj(n)pji,
i1 ,2, ,k
j 1
a(n)(a1(n),a2(n),,ak(n)) a(n1)a(n)P
~状态概率向量
P{pij}kk ~转移概率矩阵 a(n)a(0)Pn
p 1 2P (X n 1 2 (后d 代 )X r n （ 1为 d 父 ） )d q为
p 1 3P (X n 1 3 (后r代 )X rn （ 1为 d 父 ） )d 0为
p 2 1 P ( X n 1 1 ( 后 d ) X 代 n d （ 2 d 为 ） ) 父 r 1 /2 p p 为 /2
已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率
正则 N 链 ,P N0 P2 0 正则链
稳态概率分布 w 满足 wP=w
w (w 1 ,w 2 ,w 3 ) (0 .2,0 8 .25 ,0 6 .43 )52 n, 状态概率 a (n )(0 .2,8 0 .25,6 0 .43) 52
随机繁殖 讨论基因类型的演变情况
假设
• 设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R）
• 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配， 其后代随机地继承它们的各一个基因
• 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和 劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
k
i1
ai
(n)
1
转移 p ij 概 P (X n 1率 jX ni) pij0, k pij1,i1,2, ,k j1
基本方程
k
ai(n1 ) aj(n)pji,
i1 ,2, ,k
j 1
a(n)(a1(n),a2(n),,ak(n)) a(n1)a(n)P
~状态概率向量
P{pij}kk ~转移概率矩阵 a(n)a(0)Pn
p 1 2P (X n 1 2 (后d 代 )X r n （ 1为 d 父 ） )d q为
p 1 3P (X n 1 3 (后r代 )X rn （ 1为 d 父 ） )d 0为
p 2 1 P ( X n 1 1 ( 后 d ) X 代 n d （ 2 d 为 ） ) 父 r 1 /2 p p 为 /2
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模型求解
maxpMqT pS1
min pMqT
qS2
理性推理：不管自己怎么做，另一方总是希望尽量
使自己得分尽量低. （二人零和博弈，完全竞争）
从一个给定的战略中期望得到的赢得，总是
采用该策略时他们可能得到的最坏的赢得！
盟军可以用min pM来衡量策略p的好坏
德军可以用max MqT来衡量策略q的好坏
小结：博弈模型的基本要素
• 参与人 • 行动空间（及战略空间） • 效用函数 理性假设 参与者完全理性(最大化效用)
纳什均衡 单向改变战略不能提高自己效用 其他因素 • 行动顺序（静态、动态） • 信息结构（完全、不完全）
11.2 让报童订购更多的报纸
报 订购价w，零售价p，处理价v（p>w>v>0）
无战斗
东进
盟军败2场 盟军胜1场
• 双方同时做出决策 • 共同知识(以上信息双方共有)
完全信息 静态博弈
博弈模型
• 博弈参与者集合N={1,2}(1为盟军，2为德军)
• 盟军行动a1 A1={1,2,3}(强化缺口/原地待命/东进)； 德军行动a2A2={1,2}(进攻/撤退)。 (行动：即纯战略)
•盟军 •德军
max U1(p) = min pM min U2(q) = max MqT
线性 p2*=3/5，p3*=2/5 规划 q1*=1/5，q2*=4/5
(p*, q*): 混合(策略)纳什均衡(Mixed NE) 最优值均为2/5
模型评述
0 0 M 1 0
1 1
•占优(dominate)：盟军的行动2占优于1 （前面的非常数和博弈M’类似）
•混合策略似乎不太可行! 但概率可作为参考. ----现实：盟军让预备队原地待命（行动2），而德军
没有选择撤退（行动2），结果德军大败.
• 博弈规则至关重要的，如参与人决策的时间顺序、 决策时拥有哪些信息等.
•多人(或非常数和)博弈问题，一般不能用上面的线性 规划方法求解，而通过纳什均衡的定义求解.
童 模
需求量：密度函数f(x)、分布函数F(x), F(0)=0
型 订购Q份报纸，期望销售量为
回 顾
Q
S(Q )0x(fx)d xQ Q(xf)dx
x(F x)|Q 00 QF(x)d xQ (1F(Q ) )Q 0 QF(x)dx
期望存货量
Q
I(Q)QS(Q)0F(x)dx
期望利润 G ( Q ) p ( Q ) S v ( Q ) I w ( p v Q ) S ( Q ) ( w v ) Q
模型假设
• 博弈参与者为两方（盟军和德军）
• 盟军有3种使用其预备队的行动：强化缺口，原地 待命，东进；德军有2种行动：向西进攻或向东撤退.
• 博弈双方完全理性，目的都是使战斗中己方获得
的净胜场次（胜利场次减去失败场次）尽可能多.
盟军 德军 向西进攻
向东撤退
强化缺口 盟军胜1场
无战斗
原地待命 盟军胜2场
1 0 M {mij}32 2 0
2 1
1,1 1,1
M ' 2,2 2,1
2,2 1,1
非常数和 博弈(双矩
阵表示)
不存在(纯)NE
(纯)NE: a*=(a1*, a2*) =(2, 2)
混合战略（策略：Strategy)
盟军的混合战略集
3
S1={p=(p1, p2, p3) | 0 pi 1, pi 1｝
非合作博弈
静态、动态 信息完全、不完全
军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛
11.1 进攻与撤退的抉择
背 • 1944年6月初，盟军在诺曼底登陆成功. 景 • 到8月初的形势：
盟军(加)
盟军(英)
盟军(美一) 强化
盟军 缺口 (预备队)
原地 待命
德军 撤退 进攻
东进 盟 军 (美三)
双方应该如何决策 ？
ห้องสมุดไป่ตู้
最优订购量Qr
F(Qr )
pw pv
Qr(w)
11.2 让报童订购更多的报纸
问 假设报社报纸成本价为c，w≥c>v
题
M wc a(wxc)Qr(w)(wc)F1 ppwv w*
完全信息动态博弈：常称Stackelberg Game (两阶段)
子博弈完美均衡: (w*，Qr(w)) 假设报社与报童联合，整体利润最大 F(Q*) pc pv
• 用u1(a1，a2)表示对盟军产生的结果，即净胜场次， 称为盟军的效用函数.
盟军 德军 强化缺口 原地待命
向西进攻 盟军胜1场 盟军胜2场
向东撤退 无战斗 无战斗
1 0
M {mij}32 2 0
支付矩阵 2 1
东进 盟军败2场 盟军胜1场 （Payoff Matrix）
完全竞争: 零和博弈 (常数和博弈) u2(a1，a2)对应 -M
一般w*>c Qr(w*) <Q*
F(Qr )
pw pv
整体利润有损失 能否改善(协调)？
价格折扣协议模型
折扣方案wd(Q) 下，报童效用(期望利润)
U r ( w d ( Q ) ) ( p v ) S ( Q ) ( w d ( Q ) v ) Q
假设报社与报童联合，整体期望利润
U s r(Q ) (p v )S (Q ) (c v )Q
i1
德军的混合战略集
2
S2={ q=(q1, q2) | 0qi 1, qi 1｝
i1
期望收益
32
U1(p,q)pMTq
pimijqj
i1 j1
U2(p,q)U1(p,q)
•盟军 •德军
maxpMqT pS1
min pMqT
qS2
完全信息 静态博弈 有限博弈 矩阵博弈 (2人) 零和博弈 常数和博弈
博弈的解的概念：纳什均衡 (NE: Nash Equilibrium)
Nash: 1994年获诺贝尔经济学奖 NE: 单向改变战略不能提高自己效用，即每一方的战略 对于他方的战略而言都是最优的, 称为最优反应.
(纯战略)纳什均衡 u1(a1 *,a2 *)u1(a1,a2 *),a1 {1,2,3}, u2(a1 *,a2 *)u2(a1 *,a2), a2 {1,2}.
姜启源等编《数学模型》 第四版 课件 第十一章 博
弈模型
决策问题（Decision Problem）
单一决策主体 三要素
决策变量 目标函数 约束条件
优化模型 (Optimization)
多个决策主体
博弈模型 合作博弈
决策主体的决策 行为发生直接相 互作用 (相互影响)
博弈模型 (Game Theory)
达到协调
w d ( Q ) ( c v ) ( 1 )p (v ) S ( Q ) /Q