高中数学会考排列组合概率专题训练

高中数学会考排列组合概率专题训练
高中数学会考排列组合概率专题训练

高中数学会考排列、组合、概率专题训练

一、选择题:(本大题共12小题,每小题4分,共48分)

1、已知集合A={1,3,5,7,9,11},B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是

A 、32

B 、33

C 、34

D 、36

2、以1,2,3,…,9这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真数,则可以得到不同的对数值的个数为

A 、64

B 、56

C 、53

D 、51

3、四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生不能全排在一起,则不同的排法数有

A 、3600

B 、3200

C 、3080

D 、2880

4、由1003

)2x 3(+展开所得x 多项式中,系数为有理项的共有

A 、50项

B 、17项

C 、16项

D 、15项

5、设有甲、乙两把不相同的锁,甲锁配有2把钥匙,乙锁配有2把钥匙,这4把钥匙与不能开这两把锁的2把钥匙混在一起,从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是

A 、4/15

B 、2/5

C 、1/3

D 、2/3

6、在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是

A 、5/6

B 、4/5

C 、2/3

D 、1/2

7、先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是

A 、1/8

B 、3/8

C 、7/8

D 、5/8

8、在四次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率中的取值范围是

A 、[0.4,1]

B 、(0,0.4)

C 、(0,0.6)

D 、[0.6,1]

9、若1001002210100x a x a x a a )3x 2(++++=+ ,则(a 0+a 2+a 4+…+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2的值为

A 、1

B 、-1

C 、0

D 、2

10、集合A={x|1≤x ≤7,且x ∈N *}中任取3个数,这3个数的和恰好能被3整除的概率是

A 、19/68

B 、13/35

C 、4/13

D 、9/34

11、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒

装磁盘,根据需要至少买3片软件,至少买2盒磁盘,则不同的选购方式共有

A 、5种

B 、6种

C 、7种

D 、8种

12、已知xy<0,且x+y=1,而(x+y)9按x 的降幂排列的展开式中,T 2≤T 3,则x 的取值范围是

A 、)51,

(-∞ B 、),5

4

[+∞

C 、),1(+∞

D 、]5

4

,(--∞

二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分)

13、已知A 、B 是互相独立事件,C 与A ,B 分别是互斥事件,已知P(A)=0.2,P(B)=0.6,P(C)=0.14,

则A 、B 、C 至少有一个发生的概率P(A+B+C)=____________。 14、3)2|

x |1

|x (|-+

展开式中的常数项是___________。 15、求值:10

103102101100

10C 11

1C 41C 31C 21C ++-+-

=____________。 16、5人担任5种不同的工作,现需调整,调整后至少有2人与原来工作不同,则共有多少

种不同的调整方法?________________。

三、解答题:(本大题共4小题,共36分)

17、在二项式n 3

3

)x

21x (-

的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(1)求展开式的第四项; (2)求展开式的常数项; (3)求展开式中各项的系数和。

18、设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个

球放入5个盒子内

(1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?

(2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?

(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?

19、掷三颗骰子,试求:

(1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率;

(2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

20、一个布袋里有3个红球,2个白球,抽取3次,每次任意抽取2个,并待放回后再抽下

一次,求:

(1)每次取出的2个球都是1个白球和1个红球的概率;

(2)有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球,还有1次取出的2个球同色的概率;

(3)有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球,还有1次取出的2个球是红球的概率。

数学参考答案

十三、排列、组合、概率

一、选择题:1、D 2、C 3、D 4、B 5、A 6、C 7、C 8、A 9、A10、B 11、C 12、C 二、填空题:13、0.82 14、-20 15、1/11 16、119 三、解答题

17、展开式的通项为3r

2n r n r 1r x C )2

1(T -+-=,r=0,1,2,…,n 由已知:2n 21n 0n 0C )21(,C )21(,C )21(-成等差数列,∴ 2

n 1n C 411C 212+

=?∴ n=8 (1)324x 7T -= (2)835T 5= (3)令x=1,各项系数和为

2561

18、(1)C 52A 54=1200(种) A 55

-1=119(种)

(2)不满足的情形:第一类,恰有一球相同的放法: C 51

×9=45

第二类,五个球的编号与盒子编号全不同的放法:44)!

51

!41!31!21(!5=-+-

∴ 满足条件的放法数为: A 55

-45-44=31(种)

19、设A i 表示第i 颗骰子出现1点或6点, i=1,2,3,则A i 互相独立,A i 与i A 之间也互

相独立,3

1

)A (P )A (P )A (P 321===

(1)))A (P 1))(A (P 1))(A (P 1()A (P )A (P )A (P )A A A (P 321321321---==

27

8323232=??=

(2)设D 表示“恰好一颗骰子出现1点或6点的概率”

则321321321A A A A A A A A A D ++= 因321321321A A A ,A A A ,A A A 互斥 ∴ )A A A (P )A A A (P )A A A (P )D (P 321321321++=

1231231234

()()()()()()()()()9

P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++=

20、记事件A 为“一次取出的2个球是1个白球和1个红球”,事件B 为“一次取出的2个

球都是白球”,事件C 为“一次取出的2个球都是红球”,A 、B 、C 互相独立 (1)∵6.0C C C )A (P 2

51213==

∴ 26.0)6.01(6.0C )3(P 03333=-??=

(2)∵ A C B =+

∴ 可以使用n 次独立重复试验

∴ 所求概率为432.0)6.01(6.0C )2(P 232233=-??=-

(3)本题事件可以表示为A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A

∴ P(A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A)=C 31P(A)P(A)P(C)=0.324

高中数学100个热点问题(三): 排列组合中的常见模型

第80炼 排列组合的常见模型 一、基础知识: (一)处理排列组合问题的常用思路: 1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去处理无要求的元素。 例如:用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数,共有多少种排法? 解:五位数意味着首位不能是0,所以先处理首位,共有4种选择,而其余数位没有要求, 只需将剩下的元素全排列即可,所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如:在10件产品中,有7件合格品,3件次品。从这10件产品中任意抽出3件,至少有一件次品的情况有多少种 解:如果从正面考虑,则“至少1件次品”包含1件,2件,3件次品的情况,需要进行分类讨论,但如果从对立面想,则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可,列式较为简 单。3310785N C C =-=(种) 3、先取再排(先分组再排列):排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素,再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列。 例如:从4名男生和3名女生中选3人,分别从事3项不同的工作,若这3人中只有一名女生,则选派方案有多少种。 解:本题由于需要先确定人数的选取,再能进行分配(排列),所以将方案分为两步,第一步:确定选哪些学生,共有2143C C 种可能,然后将选出的三个人进行排列:33A 。所以共有213433108C C A =种方案 (二)排列组合的常见模型 1、捆绑法(整体法):当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如:5个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =+++ 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =??? 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

高中数学排列组合专题

排列组合 一.选择题(共5小题) 1.甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有() A.36种B.42种C.50种D.72种 2.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有() A.8种 B.10种C.12种D.32种 3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是() A.72 B.120 C.144 D.168 4.现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中,要求每个盒子至少放1个小球,且小球甲不能放在A盒中,则不同的放法有() A.12种B.24种C.36种D.72种 5.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有() A.300种B.240种C.144种D.96种 二.填空题(共3小题) 6.某排有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,则不同的坐法有种. 7.四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有种(用数字作答). 8.书架上原来并排放着5本不同的书,现要再插入3本不同的书,那么不同的

插法共有种. 三.解答题(共8小题) 9.一批零件有9个合格品,3个不合格品,组装机器时,从中任取一个零件,若取出不合格品不再放回,求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10.已知展开式的前三项系数成等差数列. (1)求n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项. 11.设f(x)=(x2+x﹣1)9(2x+1)6,试求f(x)的展开式中: (1)所有项的系数和; (2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和. 12.求(x2+﹣2)5的展开式中的常数项. 13.求值C n5﹣n+C n+19﹣n. 14.3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的种数.(1)选5名同学排成一行; (2)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (3)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (4)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (5)全体站成一排,男、女各站在一起; (6)全体站成一排,男生必须排在一起; (7)全体站成一排,男生不能排在一起; (8)全体站成一排,男、女生各不相邻; (9)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人; (10)全体站成一排,甲必须在乙的右边; (11)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变; (12)排成前后两排,前排3人,后排4人. 15.用1、2、3、4、5、6共6个数字,按要求组成无重复数字的自然数(用排列数表示).

高中数学专题――概率统计专题.

专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容,它是一种处理或然问题的方法,在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面,概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识.概率与统计的引入,拓广了应用问题取材的范围,概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等基础知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用.由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的,高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.该部分在高考试卷中,一般是2—3个小题和一个解答题. 【考点透析】概率统计的考点主要有:概率与统计包括随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等.【例题解析】 题型1 抽样方法 -)中,在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码(编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码,该抽样运用的抽样方法是() A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对 分析:实际“间隔距离相等”的抽取,属于系统抽样. 解析:题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码,中奖号码依次为:088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.答案B. 点评:关于系统抽样要注意如下几个问题:(1)系统抽样是将总体分成均衡几个部分,然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本的一种抽样方法.(2)系统抽样的步骤:①将总体中的个体随机编号;②将编号分段;③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④按事先研究的规则抽取样本.(3)适用范围:个体数较多的总体. 例2(2008年高考广东卷理3)某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为() A.24B.18C.16D.12 Array 分析:根据给出的概率先求出x的值,这样就可以知道三年级的学生人数,问题就解决了. x=?=,这样一年级和二年级学生的解析:C 二年级女生占全校学生总数的19%,即20000.19380 +++=,三年级学生有500人,用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=.答案C. 2000 点评:本题考查概率统计最基础的知识,还涉及到一点分析问题的能力和运算能力,题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识. 例3.(2009江苏泰州期末第2题)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系, 2500,3500(元)月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[) 出人.

高中数学-排列组合解法大全

排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第 1类办法中有m1种不同的方法,在第 2 类办法中有m2种不同的方法,?,在第n 类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n个步骤,做第 1步有m1种不同的方法,做第 2步有m2种不同的方法,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 : 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题, 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解: 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C13 然后排首位共有C14 最后排其它位置共有A43 由分步计数原理得C41C13A43 288 练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里 , 若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不同的排法 练习题 : 某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20

(完整)高中数学排列组合专题复习

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有 m种不同的方法,在第2类 1 办法中有 m种不同的方法,…,在第n类办法中有n m种不同的方法,那么2 完成这件事共有: 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第2步 1 有 m种不同的方法,…,做第n步有n m种不同的方法,那么完成这件事共2 有: 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.

高中数学统计与概率知识点(原稿)

高中数学统计与概率知识点(文) 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多;②众数反映了一组数据的集中趋势,当众数出现的次数越多,它就越能代表这组数据的整体状况,并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是,当一组数据大小不同,差异又很大时,就很难判断众数的准确值了。此外,当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时,用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据;平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列,位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时,首先要先排序(从小到大或从大到小),然后根据数据的个数,当数据为奇数个时,最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时,最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时,就用各数据的总和除以数据的个数,得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的,可能是这组数据中的数据,也可能不是这组数据中的数据; ⑵求中位数时,先将数据有小到大顺序排列,若这组数据是奇数个,则中间的数据是中位数;若这组数据是偶数个时,则中间的两个数据的平均数是中位数; ⑶中位数的单位与数据的单位相同; ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数; ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关,它一定是一组数据中的某个数据,其单位与数据的单位相同; (6)众数可能是一个或多个甚至没有; (7)平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数:①、常规平均数:12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差:2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距;频率=频数/总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数:最高小矩形底边的中点。 2、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差:22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程:???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ; 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程:???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差:??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好; 2、残差平方和:21?()n i i i y y =-∑, 分析:①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度(相关指数):221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①.(]20,1R ∈的常数; ②.越大拟合度越高; 4、相关系数 :()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析:①.[r ∈-的常数; ②.0:r >正相关;0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈;相关性一般; [0.75,1]r ∈;相关性很强; 六、独立性检验 1、2×2列联表: 2、独立性检验公式 ①.2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②.犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

(完整版)高中数学排列组合习题精选

1、体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( )种。 2、某公共汽车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有( )种 3、(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法?(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(各项目冠军都只有一人),共有多少种可能的结果? 4、从集合{1,2,…,10}中任选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为() 5、有4位教师在同一年级的四个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有( )种。 A .8 B .9 C .10 D .11 6、3人玩传球游戏,由甲开始并做为第一次传球,经过4次传球后,球仍回到甲手中,有多少种不同的传球方式呢? 7、集合A ={a,b,c,d},B={1,2,3,4,5}。(1)从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射?(2)从集合A 到集合B 的映射中,要求集合A 中元素的象不同,这样的映射有多少个 8、对一个各边长都不相等的凸五边形的各边进行染色,每条边都可以染红、黄、蓝三种不同的颜色,但是不允许相邻相邻的边染相同的颜色,则不同的染色方法共有( )种。 9、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,共有( )种不同的涂色方案。 10、将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,如图是一种填法,则不同的填写方法共有 A .6种 B .12种 C .24种 D .48种 11、如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为()A .64B .72C.84 D .96 12、(13山东)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A .243 B .252 C .261 D .279 13、(13福建)满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为( ) A .14 B .13 C .12 D .10 14、(16全国)定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数。若m =4,则不同的“规范01数列”共有(A )18(B )16(C )14 (D )12

(完整)高中数学排列组合题型总结,推荐文档

2排列组合题型总结 排列组合问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时,除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一.直接法 1.特殊元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。 分析:(1)个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ,其余 2 位有四个可供选择A2 ,由乘法原理: 5 4 A2 A2 =240 5 4 2.特殊位置法 (2)当 1 在千位时余下三位有A3 =60,1 不在千位时,千位有A1 种选法,个位有A1 种,余下 5 4 4 的有A2 ,共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二.间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 例 2 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书? 分析:此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用,且用此卡片又分使用 0 与使用 1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个,其中 0 在百位的 5 3 有C 2 ? 22 ?A2 个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ? 4 2 5 3 4 A2 =432(个) 三.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法? 分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有A1 ?A1 =100 9 10 中插入方法。 四.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。 例 4 4 名男生和 3 名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?

高中数学必修三 概率与统计

高中数学必修三:概率与统计 1.要从已编号(1-50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ). A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5D.2,4,8,16,32 2.从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾,从中任选9尾,称得每尾鱼的质量分别是1.5,1.6,1.4,1.6,1.3,1.4,1.2,1.7,1.8(单位:千克).依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A.300克B.360千克C.36千克D.30千克 3.以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为()A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8 4.为了考查两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1,l2,已知两人得的试验数据中,变量x和y的数据的平均值都分别相等,且值分别为s与t,那么下列说法正确的是( ). A.直线l1和l2一定有公共点(s,t)B.直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t) C.必有直线l1∥l2 D.直线l1和l2必定重合 5..设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为$y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( ).A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x,y)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg

高中数学排列组合专题

实用标准 文档大全排列组合 一.选择题(共5小题) 1.甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有() A.36种B.42种C.50种D.72种 2.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有() A.8种B.10种C.12种D.32种 3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是() A.72 B.120 C.144 D.168 4.现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中,要求每个盒子至少放1个小球,且小球甲不能放在A盒中,则不同的放法有()A.12种B.24种C.36种D.72种 5.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有()

A.300种B.240种C.144种D.96种 二.填空题(共3小题) 6.某排有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,则不同的坐法有 种. 7.四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有种(用数字作答). 8.书架上原来并排放着5本不同的书,现要再插入3本不同的书,那么不同的 实用标准 文档大全插法共有种. 三.解答题(共8小题) 9.一批零件有9个合格品,3个不合格品,组装机器时,从中任取一个零件,若取出不合格品不再放回,求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列 10.已知展开式的前三项系数成等差数列. (1)求n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项. 11.设f(x)=(x2+x﹣1)9(2x+1)6,试求f(x)的展开式中:

高中数学概率与统计测试题

概率与统计 1.如果一个整数为偶数的 概率为 (1)a+b 为偶数的概率; (2)a+b+c 为偶数的概率。 0.6 ,且 a,b,c 均为整数,求 2.从 10 位同学 (其中 6 女,4 男)中随机选出 3 位参加测验,每位女同学能通过测验的概率 43 均为,每位男同学能通过测验的概率均为,求55 (1)选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率; (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球, 4 个红球,甲首先从中取出 3 个球,乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球,凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率; (2)甲,乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币, 3 个 5 角硬币, 4 个 1 角硬币,从中任取 3 个,求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片,其号码分别位 1,2,3?,10,从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率; (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为ξ,求ξ的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后,会出现白球或绿球,已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球 1 的概率都是,从按钮第二次按下起,若前次出现红球,则下次出现红球、绿球的概率2 1 2 3 2 分别为, ;若前次出现绿球,则下次出现红球、绿球的概率分别为, ,记第 n(n ∈ 3 3 5 5 N,n ≥1) 次按下后,出现红球的概率为P n

(1)求P2的值; (2)当 n∈N,n ≥2 时,求用P n 1表示P n的表达式; (3)求P n关于 n 的表达式。 7.有甲、乙两个盒子 ,甲盒子中有 8 张卡片 ,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1 ,三张写有数字 2 ;乙盒子中有 8 张卡片,其中三张写有数字 0,两张写有数字1,三张写有数字 2 , (1) 如果从甲盒子中取两张卡片,从乙盒子中取一张卡片,那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少? (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片,设取出的两张卡片数字之和为ξ,求ξ的分布列和期望。 8.甲、乙两位同学做摸球游戏,游戏规则规定:两人轮流从一个放有 1 个白球, 3 个黑球, 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球,每次每人只取一球,每取出一个后立即放回,另一个人接着取,取出后也立即放回,谁先取到红球,谁为胜者,现甲先取 (1) 求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率; (2) 求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙,当A或 B 是合格品并且 C 是合格 品时,甲是正品;当 A, B 都是合格品或者 C 是合格品时,乙是正品。若 A 、 B、C 合格的概率均是 P,这里 A ,B,C 合格性是互相独立的。 (1) 产品甲为正品的概率P1是多少? (2)产品乙为正品的概率P2 是多少? (3)试比较P1与P2的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱,工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱,为了找出该箱的二等品,我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1) 求前二次取出的都是二等品的概率; (2) 求第二次取出的是二等品的概率; (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数,求ξ的分布列及数学

高中数学排列组合难题十一种方法

~ 高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2 步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 … 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C / 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443

、 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不 种在两端的花盆里,问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一 个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有22A 种排法, 再排小集团内部共有2222A A 种排法,由分步计数原理共有222 222A A A 种排法. : 2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那 么共有陈列方式的种数为254 254A A A 3. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255 255A A A 种 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种 ( 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法, 由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

(完整版)高中数学排列组合题型总结与易错点提示

排列组合 复习巩固 1. 分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有 mi 种不同的方法,在第 2类办法中有 m 2种不同的方法,…,在第 n 类办法中 有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有: N m i mt L m *种不同的方法. 2. 分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第i 步有种不同的方法,做第 2步有m 2种不同的方法,…,做第 n 步有m n 种不同 的方法,那么完成这件事共有: N m i 讥 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置 一 __________________ 先排末位共有C 3 然后排首位共有C : t J J 1 最后排其它位置共有A '1 C 4 ■ 3 A 4 11 C 3 由分步计数原理得 C 4C 3A 4^ 288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 5 2 2 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 As A 2A 2 480种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列 . 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略 例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续岀场,则节目的岀场顺序有多少种? 5 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 5种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种A 6不同 的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A :A : ____________________ 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 练习题:某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中, 且两 个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7 人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题 ,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ,然后用总排列数除以这几个元素 7 3 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A ;/A ; (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A ;种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 丄种坐法,则共有 A ;种 方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 ___________ 方法 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有: N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有: N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进 行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的xx,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有种排法,再排小集团内部共有种排法,由分步计数原理共有种排法. 1524

高中数学排列组合习题及解析

排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。 1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合。 3.排列数公式: 4.组合数公式: 5.排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。 例1 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法? 分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。 解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法。根据乘法原理,共有的不同坐法为种。 结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。 例2 、5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。 解因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法。 结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。 例3 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解。 解此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种。 结论3 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。 例4 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题。 解把所有的硬币全部取出来,将得到×23+×10=元,所以比2元多元,所以剩下元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有种取法。 结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法。 例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序? 分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了。并且也避免了问题的复杂性。 解不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有种。 结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体,就可以得到所求。 例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程。 解 43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种。 结论6 排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除。 练习1 某人射击8枪,命中4枪,那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种? 练习2 一排8个座位,3人去坐,每人两边至少有一个空座的坐法有多少种? 练习3 马路上有编号为1,2,3,……10的十只路灯,为节约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种? 练习4 A、B、C、D、E五人站成一排,如果B必须站在A的右边,那么不同的站法有多少种? 练习5 某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目? 小结: 解决排列组合应用题的一些解题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法,排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题。对于一些

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