第一章 集合(章节小结)

第一章集合与简易逻辑

基本知识网络图：⎧⎧

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概念

集合

关系

绝对值不等式

不等式的解法一元二次不等式

分式、高次不等式

四种命题

简易逻辑

充要条件

第一部分：集合的概念及其运算

1、集合与元素

x是集合A的元素则记作x∈A，若元素x不是集合A的元素则记作A

x∉。

2、集合的分类

有限集、无限集、空集。

3、集合元素的特性

确定性、互异性、无序性

4、集合的表示方法

列举法、描述法 {x|p(x)}、图示法

5、常见数集及符号

N、N*(N+)、Z、Q、R、{x|x=2n,n∈Z}、{x|x=2n+1,n∈Z}

集合名称定义基本性质

子集（真子集）若集合A的任何一个元素

都是集合B的元素，则称

集合A是集合B的子集，

记作A B

⊆（B A

⊇）

①A A

⊆

②A

∅⊆

③若A B

⊆,B C

⊆，则A C

⊆

④n元素集的子集数是2n个

等集如果A B

⊆且B A

⊆则称A

和B相等记作A=B 两个相等的非空集合它们的元素完全相同

交集A∩B={x|x∈A且x∈B} ① A∩A=A

② A∩∅=∅

③ A∩B= B∩A

④(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

并集A∪B={x|x∈A或x∈B} ① A∪A=A

② A∪∅=A

③ A∪B= B∪A

④(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

补集

C s A={x|x ∈S 且x ∈A}

① (C U A)∪A=U ② (C U A)∩A=∅ ③ C U (C U A)=A ，其中U 为全集

1. 集合与元素的关系：

弄清楚集合与集合，元素与集合各是什么关系

例1、①0{0}Ø ②0{0}∈ ③{0}∅= ④{0}∅⊆ ⑤{0}∅∈ ⑥{}∅=∅=

⑦{}∅∅Ø ⑧{}∅∈∅ 上述正确的是

2. 集合元素具有三要素（确定性、无序性、互异性）. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如：

例2、2{,,1}{,,0}b

a a a

b a

=+，求20082009a b + .

例3、{}2221,251,1a a a a -∈-+++，求a 的值.

例4、已知集合{}2A |210x ax x =++=

（1）若A 中只有一个元素，求A 的值，并求出这个集合. （2）若A 中至多有一个元素，求A 的范围. （3）若A 中有两个元素，求A 的范围. （4）若A 中至少有一个元素，求A 的范围.

3. 集合的表示法（列举法、描述法、图像法）.

（1）列举法：{}123，，

（2）描述法：{特征元素|元素的属性}

特征元素显示谁是元素，元素的属性显示集合中所有元素具有的性质，要满足的条件；反过来，只要满足元素属性，都要作为集合的元素.

①理解集合的意义——抓住集合的代表元素(特征元素)。如：

(1)1|x y x ⎧

⎫=⎨⎬⎩

⎭——函数的自变量的集合；

(2)1|y y x ⎧

⎫=⎨⎬⎩

⎭——函数的函数值的集合；

(3)1(,)|x y y x ⎧

⎫=⎨⎬⎩

⎭—函数图象上的点集，

例5、①{}2A |22,y y x x x R ==-+∈，{}2B |22,m m n n n R ==--+∈;

②{}A (,)|21x y y x ==+，{}B (,)|2x y y x ==-. 分别求A B .

例6、1M |,24K x x K Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1N |,42K x x K Z ⎧⎫

==+∈⎨⎬⎩⎭

则（ ）

（A ）M=N （B ）M N Ø （C ）M N Ù （D ）M N=∅

（3）图像法：（韦恩图、文氏图）

图像法常用于解决有限集的计算和抽象的集合的关系 例7、{}{}U 1,2,3,4,5,6,7,8,9A B = ，若=3，(){}U A B =1,5,7ð，()(){}U U A B =9痧，求A 、B

例8、U 为全集，P Q Ø，则下列结论错误的是： （ ） （A ）P Q=Q （B ）U P P =U （）ð （C ）U P Q =∅ （）ð （D ）U U U P Q =P （）（）痧

4. 集合的运算（子集；交、并、补集）. （1）集合的其他运算性质：

①A B A B A =⇔⊆ ； ②A B B B A =⇔⊆ ； ③A B ⊆⇔()()U U C A C B ⊇；④()U A C B A B φ=⇔⊆ ； ⑤()U C A B U A B =⇔⊆ ； ⑥()U C A B ()()U U C A C B = ； ⑦())()U U U C A B C A C B = (.

（2）对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、

非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n

例9、{}{}1,2P

1,23456，

，，，刎，求集合P 的个数.

（3）注意补集与命题的否定（P ⌝）的联系.

（命题P 为集合P ⇔命题P ⌝为集合U P ð）

例10、已知()()250ax x a --<的解集为M ,若3M ∈且5M ∉，求a .

（4）已知集合A 和含参集合B 的运算问题

①遇到A B =∅ 时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；

同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 ②若集合A 、B 是不等式型的集合，你是否运用了实数轴参与运算？（数形结合法） 注意：弧线同时覆盖的区域为其交集范围；只要有弧线覆盖的区域为其并集范围。 ③在计算过程中，你注意到答案的范围端点取舍问题吗？

不等式型：

例11、{|||2}A x x =≤，{}|20B x x m =+>，A B ⊆，求m 的范围.

变式：{|||2}A x x =≤，{}|10B x mx =+>，A B ⊆，求m 的范围.

例12、2{|560}A x x x =--<，{}|3B x m x m =<≤+，A B A = ，求m 的范围.

变式：2

{|560}A x x x =--<，{}|21B x m x m =<≤-，A B A = ，求m 的范围.

例13、6

{|

1}1

A x x =≥+，{}2|(1)0

B x x a x a =-++≤，A B B = ，求m 的范围.