立体几何高考题汇编天津

1、2016年

(本小题满分13分)

如图,四边形ABCD 是平行四边形,平面AED ⊥平面ABCD ,EF||AB ,AB=2,BC=EF=1,

DE=3,∠BAD=60o,G 为BC 的中点. (Ⅰ)求证:FG||平面BED ;

(Ⅱ)求证:平面BED ⊥平面AED ;

(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行寻找与论证,往往结合平几知识,如本题构造一个平行四边形:取BD 的中点为

O ,可证四边形OGFE 是平行四边形,从而得出OE FG //(Ⅱ)面面垂直的证明,一般

转化为证线面垂直,而线面垂直的证明,往往需多次利用线面垂直判定与性质定理,而线线

垂直的证明有时需要利用平几条件,如本题可由余弦定理解出090=∠ADB ,即AD

BD ⊥(Ⅲ)求线面角,关键作出射影,即面的垂线,可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直,即面的垂线:过点A 作DE AH ⊥于点H ,则⊥AH 平面BED ,从而直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.再结合三角形可求得正弦值

试题解析:(Ⅰ)证明:取BD 的中点为O ,连接OG OE ,,在BCD ?中,因为G 是BC 的中点,所以DC OG //且12

1

==

DC OG ,又因为DC AB AB EF //,//,所以OG EF //且OG EF =

,即四边形OGFE 是平行四边形,所以OE FG //,又?FG 平面BED ,

?OE 平面BED ,所以//FG 平面BED .

(Ⅱ)证明:在ABD ?中,060,2,1=∠==BAD AB AD ,由余弦定理可3=BD ,进

而可得0

90=∠ADB ,即AD BD ⊥,又因为平面⊥AED 平面?BD ABCD ,平面ABCD ;

平面 AED 平面AD ABCD =,所以⊥BD 平面AED .又因为?BD 平面BED ,所以平面⊥BED 平面AED .

(Ⅲ)解:因为AB EF //,所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ,连接BH ,又因为平面 BED 平面ED AED =,由(Ⅱ)知⊥AH 平面BED ,所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ?中,

6,3,1===AE DE AD ,由余弦定理可得32cos =

∠ADE ,所以3

5

sin =∠ADE ,因此35sin =

∠?=ADE AD AH ,在A H B Rt ?中,65

sin =

=∠AB AH ABH ,所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为

6

5

考点:直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角

2、2015年

(本小题满分13分)如图,已知1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA AB =AC =3,

1BC AA ==1BB =点E ,F 分别是BC ,1A C 的中点.

(I )求证:EF 平面11A B BA ;

(II )求证:平面1AEA ⊥平面1BCB .

(III )求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小. 【解析】

试题分析:(I )要证明EF 平面11A B BA , 只需证明1EF BA 且EF ?平面11A B BA ;(II )要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥;(III )取1B C 中点N,连接

1A N ,则11A B N ∠就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt △11A NB 中,由

11111

sin ,2

A N A

B N A B ∠=

=得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30 . 试题解析:(I )证明:如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1A C 的中点,所以

1EF BA ,又因为EF ?平面11A B BA , 所以EF 平面11A B BA .

(II )因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA 所以

1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ?

平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .

P

F

E

D

C

B

A

3、2014年

如图,四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形

,BA BD ==

,2AD =

PA PD ==,E F 分别是棱AD ,PC 的中点.

(Ⅰ)证明//EF 平面PAB ;

(Ⅱ)若二面角P AD B --为60

(ⅰ)证明平面PBC ⊥平面ABCD ;

(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值 答案:2 1111

4、2013年

(2013天津,文17)(本小题满分13分)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,D ,E ,F 分别为棱AB ,BC ,A 1C 1的中点.

(1)证明EF ∥平面A 1CD ;

(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;

(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.

(1)证明:如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC ∥A 1C 1,且AC =A 1C 1,连接ED ,在△ABC 中,因为D ,E 分别为AB ,BC 的中点,

所以DE =

1

2

AC 且DE ∥AC , 又因为F 为A 1C 1的中点,可得A 1F =DE ,且A 1F ∥DE ,即四边形A 1DEF 为平行四边形, 所以EF ∥DA 1.

又EF ?平面A 1CD ,DA 1?平面A 1CD , 所以EF ∥平面A 1CD .

(2)证明:由于底面ABC 是正三角形,D 为AB 的中点,故CD ⊥AB ,

又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ,CD ?平面ABC ,所以A 1A ⊥CD ,又A 1A ∩AB =A ,因此CD ⊥平面A 1ABB 1,而CD ?平面A 1CD , 所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.

(3)解:在平面A 1ABB 1内,过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ,连接CG .

由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1,而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线,故BG ⊥平面A 1CD .

由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角.

设棱长为a ,可得A 1D ,由△A 1AD ∽△BGD ,易得BG .在Rt △BGC 中,

sin ∠BCG =BG BC =

.所以直线BC 与平面A 1CD

5、2012年

如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD ⊥PD ,BC =1,PC =PD =CD =2.

(1)求异面直线P A 与BC 所成角的正切值; (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ;

(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.

解:(1)如图,在四棱锥P -ABCD 中,因为底面ABCD 是矩形,所以AD =BC 且AD ∥BC .又因为AD ⊥PD ,故∠P AD 为异面直线P A 与BC 所成的角.

在Rt △PDA 中,tan 2PD

PAD AD

∠=

=. 所以,异面直线P A 与BC 所成角的正切值为2.

(2)证明:由于底面ABCD 是矩形,故A D ⊥CD ,又由于AD ⊥PD ,CD ∩PD =D ,因此AD ⊥平面PDC ,而AD 平面ABCD ,所以平面PDC ⊥平面ABCD .

(3)在平面PDC 内,过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ,连接EB .

由于平面PDC ⊥平面ABCD ,而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线. 故PE ⊥平面ABCD ,由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角.

在△PDC 中,由于PD =CD =2,PC =∠PCD =30°.

在Rt △PEC 中,PE =PC sin30°

由AD ∥BC ,AD ⊥平面PDC ,得BC ⊥平面PDC , 因此BC ⊥PC .

在Rt △PCB 中,PB =

在Rt △PEB 中,sin PE PBE PB ∠==

所以直线PB 与平面ABCD

6、2011年

.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,

45ADC ∠=?,1AD AC ==,O 为AC 的中点,PO ABCD ⊥平面,2PO =,M 为PD

的中点.

(Ⅰ)证明://PB ACM 平面; (Ⅱ) 证明:AD PAC ⊥平面;

(Ⅲ) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.

【解】(Ⅰ) 连接,BD MO .在平行四边形ABCD 中, 因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点, 又M 为PD 的中点,所以//PB MO , 因为PB ACM ?平面,MO ACM ?平面, 所以//PB ACM 平面.

(Ⅱ) 因为45ADC ∠=?,且1A D A C

==,所以90DAC ∠=?.即AD AC ⊥.

又PO ABCD ⊥平面,AD ABCD ?平面,所以

P O A D ⊥, 因为AC PO O = ,所以AD PAC ⊥平面. (Ⅲ) 取DO 的中点N ,连接,MN AN ,所以

//MN PO ,1

12

MN PO =

=. 由PO ABCD ⊥平面,得MN ABCD ⊥平面, 所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角. 在Rt DAO ?中,1AD =,12AO =

,所以2DO =

.从而124

AN DO ==. N O

M

D

C

A

P

O M

D

C

B

A

P

在Rt ANM ?

中,tan 5MN MAN AN ∠=

== 直线AM 与平面ABCD

7、2010年之前数学卷总共有22题,

(完整版)高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)

高三数学立体几何高考题 1.(2012年7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出 的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A )6 (B )9 (C )12 (D )18 2.(2012年8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 (A )6π (B )43π (C )46π (D )63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______. 5.(2014年8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4, 底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81π4 B .16π C .9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620π+,则r =( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 9(2016年7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 , 则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 10(2016年11)平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面,11ABB A n α=I 平面,则m ,n 所成角的正弦值为 (A )32 (B )22 (C )33 (D )1 3 11.(2017年6)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12.(2017年16)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________。

数列历年高考真题分类汇编

专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析:对于B ,令2 104x λ-+=,得12 λ=, 取112a = ,所以211 ,,1022n a a == ?? ?…, 10n n a a +->,{}n a 递增, 当4n … 时,11132122 n n n n a a a a +=+>+=,

所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ,所以6 10432a a ??> ???,所以107291064a > >故A 正确.故选A . 2.解析:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+, 解得10,2a d ==. 从而* 22,n a n n =-∈N . 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++. 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -. 所以2* ,n b n n n =+∈N . (2 )*n c n = ==∈N . 我们用数学归纳法证明. ①当n =1时,c 1=0<2,不等式成立; ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立,即12h c c c +++

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

(一) 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。 : `

} (一) 2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,() 1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- < 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0, 0, {n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0,m 0, { PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - <

(二) 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ \ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ⊥⊥(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 . 《

2017高考试题分类汇编-数列

数列 1(2017山东文)(本小题满分12分) 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2(2017新课标Ⅰ文数)(12分) 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列。 3((2017新课标Ⅲ文数)12分) 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4(2017浙江)(本题满分15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n +1+ln(1+x n +1)(n N *∈). 证明:当n N *∈时,

(Ⅰ)0<x n +1<x n ; (Ⅱ)2x n +1? x n ≤12 n n x x +; (Ⅲ)112 n -≤x n ≤212n -. 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N . 5(2017北京理)(本小题13分) 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???, 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数. (Ⅰ)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时, n c M n >;或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列. 6(2017新课标Ⅱ文)(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,11221,1,2a b a b =-=+=. (1)若335a b +=,求{}n b 的通项公式; (2)若321T =,求3S . 7(2017天津文)(本小题满分13分) 已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于 0,

数列历年高考真题分类汇编(3)

专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019年 1.解析 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 依题意得2 662,6124q d q d =+?? =+?解得3 .2d q =??=? 故14(1)331, 6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?. 所以,{}n a 的通项公式为(){}31, n n a n n b *=+∈N 的通项公式为() 32n n b n *=?∈N . (Ⅱ)(i )()()()() 22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-. 所以,数列(){} 221n n a c -的通项公式为()() 221941n n n a c n *-=?-∈N . (ii ) ()()22221 1 1 1 2211n n n n i i i i i i i i i i i i c a c a a c a a ====-??=+-=+??∑∑∑∑ () () 12212439412n n n n i i =??- ?=?+?+?- ??? ∑ ( )( )21 1 41432 52 914 n n n n ---=?+?+? -- ()211* 2725212 n n n n --=?+?--∈N . 2010-2018年 1.【解析】∵113 n n a a +=-,∴{}n a 是等比数列 又243a =-,∴14a =,∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ,故选C . 2.D 【解析】由数列通项可知,当125n 剟,n N +∈时,0n a …,当2650n 剟, n N +∈ 时,0n a …,因为1260a a +>,2270a a +>???∴1250,,,S S S ???都是

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直,M是?CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ .

历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编(含详解) (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ? ??? ?E ,F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)??????? ?? ?CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点,点D 在B 1C 1上, A 1D ⊥ B 1 C . 求证:(1)EF ∥平面ABC (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明:(1)由E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点知EF ∥BC , 因为EF ?平面ABC ,BC ?平面ABC ,所以EF ∥平面ABC (2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1, 又A 1D ?平面A 1B 1C 1,故CC 1⊥A 1D , 又因为A 1D ⊥B 1C ,CC 1∩B 1C =C , CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ,又A 1D ?平面A 1FD , 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C (2010年第16题)

历年数列高考题汇编精选

历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=,所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . (Ⅱ ) 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、(全国新课标卷理)设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g (1) 求数列{}n a 的通项公式;

(2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 解(Ⅰ)由已知,当n ≥1时, 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. (Ⅱ)由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列,S n 为数列}{n a 的前n 项和.已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ,求数列}{n b 的前n 项和T n . . 4、(辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,AB=12,AD=5, BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合与点G ,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG ; (2)求多面体C DEFG 的体积。 2012,山东(19) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 2012浙江20.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中,,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 (Ⅰ)证明:(i) 11;EF A D //ii ()111;BA B C EF ⊥平面 (Ⅱ)求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

(2010四川)18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M 是棱'AA 的中点,点O 是对角线'BD 的中点, (Ⅰ)求证:OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线; (Ⅱ)求二面角''M BC B --的大小; 2010辽宁文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥ (Ⅰ)证明:平面11A B C ⊥平面11A BC ; (Ⅱ)设D 是11A C 上的点,且1//AB 平面1B CD ,求11:A D DC 的值。

(完整版)历年高考立体几何大题试题.doc

2015 年高考立体几何大题试卷 1.【 2015 高考新课标2,理 19】 如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=16,BC =10, AA18 ,点E,F分别在 A1 B1,C1D1上, A1 E D1F 4 .过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形. D F C A E B D C A B ( 1 题图) (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面所成角的正弦值. 2. 【 2015 江苏高考, 16】如图,在直三棱柱ABC A1 B1C1中,已知AC BC , BC CC1,设 AB1的中点为D, B1C BC1 E .求证:(1) DE // 平面 AA1C1C ; (2)BC1AB1. A C B E D A C B ( 2 题图)(3 题图) 3. 【2015 高考安徽,理19】如图所示,在多面体A1 B1 D1 DCBA ,四边形 AA1B1 B , ADD A , ABCD 均为正方形, E 为 B D 的中点,过 A1 , D , E 的平面交CD于F. 1 1 1 1 1 (Ⅰ)证明:EF / / B1C ;(Ⅱ)求二面角 E A1 D B1余弦值.

4.【2015江苏高考,22】如图,在四棱锥P ABCD 中,已知 PA平面ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形,ABC BAD,PA AD 2, AB BC 12 ( 1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值; ( 2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ 与 DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 A P D Q B F A D G B C E C ( 4 题图)( 5 题图) 5 .【 2015 高考福建,理 17】如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形, AB ^平 面 BEC, BE^ EC,AB=BE=EC=2 , G,F 分别是线段 BE, DC 的中点 . ( Ⅰ ) 求证:GF / /平面ADE; ( Ⅱ ) 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 6. 【 2015 高考浙江,理17】如图,在三棱柱ABC A1B1C1 - 中,BAC 90o, AB AC 2 ,A1A 4 ,A1在底面ABC的射影为BC的中点, D 为B1C1的中点. (1)证明:A1D平面A1B C; (2)求二面角A1-BD- B1的平面角的余弦值.

(完整版)历年数列高考题及答案

1. (福建卷)已知等差数列 }{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2. (湖南卷)已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+,则 20a = ( ) A .0 B .3- C .3 D .23 3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3 ,前三项和为21,则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列,则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. (山东卷) {}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,如果n a =2005,则序号n 等于( ) (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 8. (湖北卷)设等比数列 }{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______ 10. (上海)12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ,记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=,!,,3,2,1n i Λ=。例如:用1,2,3可得数阵 如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ,那么,在 用1,2,3,4,5形成的数阵中, 12021b b b +++Λ=_______。 11. (天津卷)在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ,

历年高考理科数列真题汇编含答案解析

高考数列选择题部分 (2016全国I )(3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 (2016上海)已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列条 件中,使得() * ∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 A .{}n S 是等差数列 B .2 {}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 2.【2015高考福建,理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的 零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p q + 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 3.【2015高考北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +< C .若120a a <<,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 4.【2015高考浙江,理3】已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S ,若3a , 4a ,8a 成等比数列,则( ) A.

20152017立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何高考真题 1、(2015年1卷6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ??==16 3 r =,所以米堆的体积为211163()5433????=3209,故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、(2015年1卷11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B. 考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、(2015年1卷18题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.

全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案) 类型一:直建系——条件中已经有线面垂直条件,该直线可以作为z轴或与z轴平行,底面垂直关系直接给出或容易得出(如等腰三角形的三线合一)。这类题入手比较容易,第(Ⅰ)小问的证明就可以用向量法,第(Ⅱ)小问往往有未知量,如平行坐标轴的某边长未知,或线上动点等问题,以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解,对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.(2014年全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积. 2.(2015年全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.(2015年全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

4.(2016年全国Ⅲ卷)如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥底面面ABCD ,AD ∥BC , 3AB AD AC ===,4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点. (I )证明MN 平面PAB ;(II )求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.(2017全国Ⅱ卷)如图所示,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,1 2 AB BC AD == ,o 90BAD ABC ∠=∠=, E 是PD 的中点. (1)求证:直线//CE 平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45,求二面角M AB D --的余弦值. E M D C B A P 类型二:证建系(1)——条件中已经有线面垂直条件,该直线可以作为z 轴或与z 轴平行,但底面垂直关系需要证明才可以建系(如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理)。这类题,第(Ⅰ)小问的证明用几何法证明,其证明过程中的结论通常是第(Ⅱ)问证明的条件。第(Ⅱ)小问开始需要证明底面上两条直线垂直,然后才能建立空间直角坐标系。 6.(2011年全国卷)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明:P A ⊥BD ; (Ⅱ)若PD =AD ,求二面角A-PB-C 的余弦值.

历年数列高考题(汇编)答案

历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中,113a =,公比13q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12n n a S -= (II )设31323log log log n n b a a a =+++L ,求数列{}n b 的通项公式. 解:(Ⅰ)因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- (Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、(2010新课标卷理)

高中立体几何练习题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选 一.选择 10 1模 5.已知p :直线a 与平面α内无数条直线垂直,q :直线a 与平面α垂直.则p 是q 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 三.大题 18.如图5所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,60ABD ∠=,45BDC ∠=,ADP BAD △∽△. (1)求线段PD 的长; (2)若11PC R =,求三棱锥P ABC -的体积. C P A B 图5 D

09 1模 如图4,A A 1是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点, 12AA AB ==. (1)求证:BC ⊥平面AC A 1; (2)求三棱锥1A ABC -的体积的最大值.

18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中,过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -,且这个几何体的体积为 403 。 (1)证明:直线1A B ∥平面11CDD C ; (2)求棱1A A 的长; (3)求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 17.(本小题满分14分) 如图6,正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面CDE ,且3AE =,6AB =. (1)求证:AB ⊥平面ADE ; (2)求凸多面体ABCDE 的体积. A B C D E 图5

(完整版)历年高考立体几何大题试题

3. 【2015 高考安徽,理 19】如图所示,在多面体 A 1B 1D 1DCBA ,四边形 AA 1B 1B , ADD 1 A 1 , ABCD 均为正方形, E 为B 1D 1的中点,过 A 1,D, E 的平 面交 CD 1于 F. 2015 年高考立体几何大 题试卷 1.【 2015 高考新课标 2,理 19】 如图,长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 , BC =10, AA 1 8,点E ,F 分别在 A 1B 1, C 1D 1上, A 1E D 1F 4 .过点 E , F 的平 面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形. B (1 题图) Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) Ⅱ)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值. 2. 【2015 江苏高考, 16】 如图,在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,已知 AC BC , BC CC 1,设 AB 1的中点为 D , B 1C BC 1 E . 求证:( 1) DE // 平面 AA 1C 1C ; 2) BC 1 AB 1 . C 2 题 图) 3 题图)

(Ⅰ)证明:EF //B1C ;(Ⅱ)求二面角E A1D B1余弦值 .

4. 【2015 江苏高考, 22】如图,在四棱锥 P ABCD 中,已知 PA 平面 ABCD ,且 四边形 ABCD 为直角梯 形, ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 ( 1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; 2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 面 BEC ,BE ^ EC ,AB=BE=EC=2 ,G ,F 分别是线 段 ( Ⅰ ) GF//平面 ( Ⅱ)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 6.【2015 高考浙江,理 17】如图,在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中, BAC 90o , AB AC 2, A 1A 4, A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 为B 1C 1的中点 . (1)证明: A 1D 平面 A 1B C ; 2)求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 4 题图) 5 题图) 5 .【 2015 高考福建, 理 17】如图, 在几何体 ABCDE 中, 四边形 ABCD 是矩形, AB ^ 平 BE , DC 的中点 . D

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