高中数列大题

1.在数列{}n a 中，11111,(1)2

n n n

n a a a n

++==++

（I ）设n n a b n

=

，求数列{}n b 的通项公式

（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S

2.设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2

2

2

2

23457,7a a a a S +=+=。（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；3.各项均为正数的数列{}n a ，12,a a a b ==，且对满足m n p q +=+的正整数,,,m n p q 都有

.(1)(1)

(1)(1)

p q

m n

m n p q a a a a a a a a ++=

++++

（1）当14,2

5

a b =

=

时，求通项;n a

（2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1

.n a λλ

≤≤

4.已知数列{}n a 的前n 项和1

1

()

22

n n n S a -=--+（n 为正整数）

。 （Ⅰ）令2n

n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ）令1n n n c a n

+=，12........n n T c c c =+++试比较n T 与

521

n n +的大小，并予以证明。

5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记

*

4()1n n n

a b n N a +=

∈-。

（I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；

（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；

（III ）记*

221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有

32

n T <

；

6.（2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *

=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若11,2

3

p q =

=-

，求3b ；

（Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；

（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *

=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

7.(2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N

+

∈ ，点(,)n n S ，均在函数

(0x

y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.

（1）求r 的值；

（11）当b=2时，记 1()4n n

n b n N a +

+=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T

1、分析：（I ）由已知有

111

2

n n n

a a n n

+=

+

+112n n n

b b +∴-=

利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1

1

22

n n b -=-(*

n N ∈)

（II ）由（I ）知1

22

n n n a n -=-

,

∴n S =1

1

(2)2

n

k k k k -=-

∑1

11

(2)2

n n

k k k k k -===-∑

∑

而

1

(2)(1)n

k k n n ==+∑

,又1

1

2

n

k k k -=∑

是一个典型的错位相减法模型，

易得

1

1

1

242

2

n

k n k k

n --=+=-

∑ ∴n S =(1)n n +1

242

n n -++

-

（2）试求所有的正整数m ，使得

12

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

2、（1）设公差为d ，则2

222

2

543

a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为

0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得17677

2

a d ?+=，解得

15a =-，2d =,

(2)

（方法一）12

m m m a a a ++=

(27)(25)

23m m m ---,设23m t -=，

则

12

m m m a a a ++=

(4)(2)

86t t t t

t

--=+

-, 所以t 为8的约数

（方法二）因为

12222

2

2

(4)(2)

86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--=

=-+

为数列{}n a 中的项，

故

m +2

8 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即

经检验，符合题意的正整数只有2m =。

3、解：（1）由

(1)(1)

(1)(1)

p q

m n

m n p q a a a a a a a a ++=

++++得

121

121.(1)(1)

(1)(1)

n

n n n a a a a a a a a --++=

++++将1214,2

5

a a =

=

代入化简得

1121.2

n n n a a a --+=

+

所以

1

1

111,131n n n n a a a a ----=

?++ 故数列1{

}1n n

a a -+为等比数列，从而

11,13

n n

n

a a -=

+即31.31

n

n n

a -=

+

可验证，3131

n

n n

a -=

+满足题设条件.

(2) 由题设

(1)(1)m n

m n a a a a +++的值仅与m n +有关,记为,m n b +则

111.(1)(1)

(1)(1)

n

n

n n n a a a a b a a a a +++=

=

++++

考察函数 ()(0)(1)(1)

a x f x x a x +=

>++,则在定义域上有

1,111

()(),

12,01

1a a f x g a a a a a ?>?+??≥==???<

故对*

n N ∈， 1()n b g a +≥恒成立.

又 22

2()(1)

n n n a b g a a =

≥+, 注意到10()2

g a <≤

,解上式得

()()

n

a

g a g a

=≤≤

取

()

g a

λ=,即有

1

.

n

aλ

λ

≤≤.

4、解（I）在1

1

()2

2

n

n n

S a-

=--+中，令n=1，可得

11

12

n

S a a

=--+=，即

1

1

2

a=

当2

n≥时，21

1111

11

()2()

22

n n

n n n n n n n

S a a S S a a

--

----

=--+∴=-=-++

，，

11

n11

1

2a(),21

2

n n

n n n

a a a

--

--

∴=+=+

n

即2.

11

2,1,n21

n

n n n n n

b a b b b

--

=∴=+≥-=

n

即当时，b.

又

11

21,

b a

==∴数列}

{n b是首项和公差均为1的等差数列.

于是1(1)12,

2

n

n n n n

n

b n n a a

=+-?==∴=.

(II)由（I）得

11

(1)()

2

n

n n

n

c a n

n

+

==+，所以

23

1111

23()4()(1)()

2222

n

n

T n

=?+?+?+++

K

2341

11111

2()3()4()(1)()

22222

n

n

T n+

=?+?+?+++

K

由①-②得231

11111

1()()()(1)()

22222

n n

n

T n+

=++++-+

K

1

1

1

11

[1()]

133

42

1(1)()

1222

1

2

3

3

2

n

n

n

n n

n

n

n

T

-

+

+

-

+

=+-+=-

-

+

∴=-

535(3)(221)

3

212212(21)

n

n n n

n n n n n

T

n n n

++--

-=--=

+++

于是确定

5

21

n

n

T

n+

与的大小关系等价于比较221

n n+

与的大小

由2345

2211;2221;2231;2241;225;

可猜想当322 1.

n

n n

≥>+

时，证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设1

n k

=+时1

2222(21)422(1)1(21)2(1)1

k k k k k k k

+=>+=+=+++->++

g

所以当1n k =+时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切3n ≥的正整数，都有22 1.n

n >+ 证法2：当3n ≥时

0121

011

2(11)2221n n n n n n

n n n n

n n n n

n C C C C C C C C C n n --=+=+++++≥+++=+>+K

综上所述，当1,2n =时521

n n T n <+，当3n ≥时521n n T n >

+

5、解（I ）当1=n 时，111151,4

=+∴=-a S a 又1151,51++=+=+ n n n n a S a S

11115,4

即

+++∴-==-n n n n n

a a a a a

∴数列{}n a 是首项为114

=-

a ，公比为14

=-

q 的等比数列，

∴1()4

=-

n

n a ，*

14()4

()11()

4

+-

=

∈--

n

n n

b n N …………………………………3分

（II ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

证明：由（I ）知14()5441(4)1

1()

4

+-

=

=+

----

n

n n

n

b

21221

2555201516408888.(4)

1

(4)

1

161

164

(161)(164)

--?-+=+

+

=+

-

=-

<-----+-+ k

k k k k

k

k

k

k

b b

∴当n 为偶数时，设2()n m m N *

=∈ ∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++++<= 当n 为奇数时，设21()n m m N *

=-∈

∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=+++++++<-+=-= ∴对于一切的正整数n ，都有4n R k < ∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。 …………………………………8分

（III ）由54(4)1n n

b =+

--得

212221

2

2

551516

1516

1516154

1

4

1

(161)(164)

(16)3164

(16)

16

n n

n

n n n n

n n

n

n

n

n

n

c b b --???=+=

+

=

=

<

=

-+-++?-又1221343,,3

3

b b

c ==∴=

，

当1=n 时，132

T <，

当2n ≥时，

2

2

2

3

2

1

1[1()

]

4111416

1625(

)251

316

16

16

3

1161

469316

251

3

48

2

116

n n n

T --<

+?+

++

=

+?-<

+?=<

-

6、解（Ⅰ）由题意，得112

3

n a n =-

，解

1132

3

n -

≥，得203

n ≥

.

∴

1132

3

n -

≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =.

（Ⅱ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数，由n a m ≥，得12

m n +≥.

根据m b 的定义可知

当21m k =-时，(

)*

m b k k N

=∈；当2m k =时，()*

1m

b

k k N

=+∈.

∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++

()()1232341m m =++++++++++????

()()2

1322

2

m m m m m m ++=

+

=+.

（Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m q n p

-≥

.

∵32()m b m m N *

=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有

3132m q m m p

-+<

≤+，即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立.

当310p ->（或310p -<）时，得31

p q m p +<-

-（或231

p q m p +≤-

-），

这与上述结论矛盾！ 当310p -=，即13

p =

时，得2103

3

q q -

-≤<-

-，解得213

3

q -

≤<-

.

∴ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *

=+∈；

p 和q 的取值范围分别是13

p =

，213

3

q -

≤<-

..

7、解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x

y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n

n S b r =+,

当1n =时,11a S b r ==+, 当2n ≥时,1

1

1

1()(1)n

n n n n n n n a S S b r b

r b b

b b

----=-=+-+=-=-, 又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1

(1)n n a b b

-=-

（2）当b=2时，1

1

(1)2

n n n a b b

--=-=, 1

1

111442

2

n n n n

n n n b a -++++=

=

=

?

则2

3

4

1

23412

2

22

n n n T ++=

+

+++

345

1

2

123412

2

2

2

2

2

n n n n n T +++=

+++++

相减,得

2

3

4

5

1

2

12

111112

2

2

2

22

2

n n n n T +++=

+

++

++

-

3

1

2

11(1)112

2

122

12

n n n -+?-++-

-

1

2

3114

2

2

n n n +++=-

-

所以1

1

3113322

2

2

2

n n

n n n n T ++++=

-

-

=

-

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .