科氏力推导

如图，设转动参考系S ′ 相对静止参考系S 绕原点O ′ 以 恒定角速度ωr 转动（O ′ 在S 系是固定点）

，质点P 相对 S 、S ′ 系的位矢分别为r r ′r

r ,，显然下列矢量关系成立： )( )(t r O O t r ′+′=r r

要注意这个关系在S 、S ′ 系看是不一样的：

在S 系看： )()()()()()( )()()(t k t z t j t y t i t x O O k t z j t y i t x ′′+′′+′′+′=++r r r r r r （1） 在S ′ 系看： k t z j t y i t x O O t k t z t j t y t i t x ′′+′′+′′+′=++r r r r r r )()()( )()()()()()( 这是因为在S 系看，k j i r r r , ,是常矢量，而k j i ′′′r r r , ,不是常矢量，以角速度ωr 在转动；反过来在S ′ 系看，k j i r r r , ,不是常矢量，在转动，而k j i ′′′r r r , ,是常矢量。另外矢量O O ′在S 、S ′ 系看都是常矢量。

如右图，在课堂上我们证明过，一个矢量A r 如果以角速度ωr 转动，

则它对时间的导数是： A t

A r r r ×=ωd d （2）

（即要证明 )(d d //⊥+×=A A t A r r r r ω⊥⊥⊥×=×=A A t A )r r r ωθωˆd d 成立，

对（1从（3）式我们得到一个重要的结论：在静止参考系S 中求转动参考系S ′ 中的某个矢量k A j A i A A z y x ′′+′′+′′=′r r r r 对时间的导数，结果是： A t A t A ′×+′=′r r r r ωd d ~d d （4） t d d 表示在静止参考系S 中对时间求导，此时k j i r r r , ,不变，k j i ′′′r r r , ,变，t d d ~表示在转动参考系S ′ 中对时间求导，此时k j i ′′′r r r , ,不变，k j i r r r , ,变（这个不会用到）。

对（3）式进一步求导，并利用（4）式可得，注意假设了ωr 恒定： )(r a a ′×+′×+′×+′=r r r r r r r r ωωωv v )(2r a a ′××+′×+′=r r r r r r r ωωωv （5）

其中第二项是科里奥利加速度，第三项是牵连加速度。显然由于这两项的存在，在转动参考系S ′ 中牛II 定律不成立，分别定义科里奥利力和惯性离心力：

)( ,2r m F m F C ′××−=×′=r r r r r r r ωωω离v 则在转动参考系S ′ 中考虑了这两个力之后，牛II 定律成立： a m F F F C ′=++r r r r 离 或 a m r m m a m ′=′××−×′+r r r r r r r )(2ωωωv