2013年江苏高考数学试题及答案

2013年江苏高考数学试题及答案一、选择题1． 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 1．π [解析] 周期为T ＝2π2＝π.2． 设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．2．5 [解析] 因为z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，所以复数z 的模为5. 3． 双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．3．y ＝±34x [解析] 令x 216－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±34x .4． 集合{－1，0，1}共有________个子集．4．8 [解析] 集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8. 5． 如图1－1是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________．图1－15．3 [解析] 逐一代入可得n 1 2 3 a 2 8 26 a <20YYN当a ＝26>20时，n ＝3，故最后输出3.6． 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．6．2 [解析] 由题知x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，s 2甲＝15(9＋1＋0＋1＋9)＝4；x乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s 2乙＝15(1＋0＋1＋4＋4)＝2，所以s 2甲>s 2乙，故答案为2. 7． 现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．7.2063[解析] 基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为2063.8． 如图1－1，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．图1－18．1∶24 [解析] 设三棱柱的底面积为S ，高为h ，则V 2＝Sh ，又D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，所以S △AED ＝14S ，且三棱锥F －ADE 的高为12h ，故V 1＝13S △AED ·12h ＝13·14S ·12h＝124Sh ，所以V 1∶V 2＝1∶24. 9． 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．9.⎣⎡⎦⎤－2，12 [解析] 由y ＝x 2得y ′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫12，0.作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2； 当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝12.故x ＋2y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 10． 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．10.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.11． 已知f (x )是定义在上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．11．(－5，0)∪(5，＋∞) [解析] 设x <0，则－x >0.因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋4x )．又f (0)＝0，于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－（x 2＋4x ）>x . 解得x >5或－5<x <0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．12． 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．12.33 [解析] 由题意知F (c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B (0，b )，则直线BF ：x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.于是d 1＝|－bc |b 2＋c2＝bca ，d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c .由d 2＝6d 1，得⎝⎛⎭⎫b 2c 2＝6⎝⎛⎭⎫bc a 2， 化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0， 即6e 4＋e 2－1＝0，解得e 2＝13或e 2＝－12(舍去)，故e ＝33，故椭圆C 的离心率为33.13． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图像上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a 的所有值为________．13．－1，10 [解析] 由题意知，若a <0，则a ＝－1满足题意；若a >0，则圆(x －a )2＋(y －a )2＝8与y ＝1x(x >0)相切．联立方程，消去y 得x 2－2ax ＋a 2＋1x 2－2ax ＋a 2＝8，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－10＝0. 令Δ＝0得(2a )2－4(2a 2－10)＝0.(*) 解得a ＝10. 此时方程(*)的解为x ＝10±62，满足题意． 综上，实数a 的所有值为－1，10.14． 在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．12 [解析] 设{a n }的公比为q .由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26<27－132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13<a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.15． 已知＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|－|＝2，求证：；(2)设＝(0，1)，若＋＝，求α，β的值．15．解：(1)由题意得|－＝，即(－)＝－＋2＝2. 又因为＝＝＝＝，所以－＝，即＝，故(2)因为＋＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. 16．， 如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA 的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.17．如图1－3，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．图1－317．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为 (x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 18． 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－418．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得 BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．19． 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c ，n ∈*，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈*)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.19．解：由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d . (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D (*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.20． 设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论． 20．解：(1)令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x <0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1) 上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a >0时，令g ′(x )＝e x －a >0，解得a <e x ，即x >ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0<a ≤e －1.结合上述两种情况，有a ≤e －1.(i)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x>0，得f (x )存在唯一的零点；(ii)当a <0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )<0，f (1)＝－a >0，且函数f (x )在[e a ，1]上的图像不间断，所以f (x )在(e a ，1)上存在零点．另外，当x >0时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．(iii)当0<a ≤e－1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0<x <a －1时，f ′(x )>0，当x >a －1时，f ′(x )<0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.①当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e.②当－ln a －1>0，即0<a <e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0<a <e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1<0，f (a －1)>0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况，先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)<0，为此，我们要证明：当x >e 时，e x >x 2，设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x－2.当x>1时，l′(x)＝e x－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝e x－2x>h′(2)＝e2－4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)＝e x－x2>h(e)＝e e－e2>0，即当x>e时，e x>x2.当0<a<e－1，即a－1>e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)<0，又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图像不间断，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x>a－1时，f′(x)＝1x－a<0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．综合(i)(ii)(iii)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e－1时，f(x)的零点个数为2.21．A．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC. 求证：AC＝2AD.图1－1证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以BCOD＝AC AD.又BC＝2OC＝2OD.故AC＝2AD.B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵＝，＝1,0)2,6)，求矩阵－1解：设矩阵的逆矩阵为a,c)b,d)，则－1,0)0,2)a,c)b,d)＝1,0)0,1)．即－a,2c)－b,2d)＝1,0)0,1)，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而的逆矩阵为－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0,12)))．所以－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0. 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .22． 如图1－2所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．图1－222．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以·AD→＝0，·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 23． 设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k ，k 个…，即当（k －1）k 2<n ≤ (k ∈*)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈*)．对于l ∈*，定义集合P l ＝{n |S n是a n 的整数倍，n ∈*，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2 000中元素的个数．23．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈*)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立； ②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数，又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是＋j2i＋2的倍数．而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i ＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j.又2 000＝31×(2×31＋1)＋47.故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。