上海民办新复兴初级中学数学一元二次方程(培优篇)(Word版含解析)

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上海民办新复兴初级中学小升初数学期末试卷(培优篇)(Word版含解析)(1)

上海民办新复兴初级中学小升初数学期末试卷（培优篇）（Word版含解析）(1)一、选择题1．如果用数对（x，3）表示小芳在教室里的位置，那么下列说法错误的是（）。

A．小芳的位置一定在第3行B．小芳的位置一定在第3列C．小芳的位置可能在第3列D．小芳的位置可能在第5列2．如图，线段OA和线段BC分别是圆的半径和直径，已知线段OA长5厘米，若一只蚂蚁从B点出发沿逆时方向绕着圆的边线爬行至C点，所经过的路程是多少厘米？正确的算式是（）。

A．5×2 B．5πC．1 (5) 23．用一根小棒粘住长方形一条边，旋转一周，这个长方形转动后产生的图形是（）。

A．三角形B．圆形C．圆柱4．如下图，四个圆的圆心在一条直线上，大圆的周长与三个小圆的周长之和比较，结果是( )．A．大圆的周长较长B．大圆的周长较短C．相等D．无法比较5．一个由正方体组成的立体图形，从正面观察是，从左面观察是，从右面观察是，至少由（）个正方体组成的立体图形．A．3 B．5 C．6 D．76．下列说法错误的是（）。

A．长方体、正方体都是棱柱B．六棱柱有18条棱、6个侧面、12个顶点C．三棱柱的侧面是三角形D．圆柱由两个平面和一个曲面围成7．大林把3个完全一样的小圆柱连接成为一个长为15厘米的大圆柱后，表面积减少了25.12平方厘米。

原来每个小圆柱的体积是（）立方厘米。

A．6.28 B．31.4 C．62.8 D．94.28．一件商品提价10％以后又降价10％，现在这件商品的价格是原来价格的百分之几？正确的解答是（）A．110％B．90％C．100％D．99％9．一张正方形的桌子可以坐4人，同学们吃饭的时候把桌子拼在—起，如下图，那么8张桌子可以坐多少人？（）A．23 B．18 C．25 D．24二、填空题10．5.078dm³＝（________）dm³（________） cm³ 3时45分＝（________）时11．25的分数单位是（______），再加上（______）个这样的分数单位就是最小的质数。

九年级数学上册一元二次方程(培优篇)(Word版含解析)

九年级数学上册一元二次方程（培优篇）（Word版含解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x ＝90时，“＝”成立，所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7213,k =±详见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7213.k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=144137213.k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17213.3+-＞ ∴满足条件的k 值存在，且7213.k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ，（1）点C 的坐标为；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC ＝AO ＝8，∠OAC ＝90°，得出C （8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC ＝OB ＝m ，∠ACD ＝∠AOB ＝90°，∠OAC ＝90°，得出∠ACE ＝90°，证出四边形OACE 是矩形，得出DE ⊥x 轴，OE ＝AC ＝8，分三种情况：a 、当点B 在线段OE 的延长线上时，得出BE ＝OB−OE ＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m 2−4m （m ＞8）即可；b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，BE ＝OE−OB ＝8−m ，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题5．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴EG 2=CG•GP ， ∴GP=16，∵△CPE 与△PCQ 是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10，∴Q （10，﹣12），如图②作MN ∥x 轴，交EG 于点N ，EH ⊥y 轴于点H ∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴CE=15， ∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3），考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.6．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值. 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．7．如图直线y ＝kx +k 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，且AB ＝2（1）求k 的值；（2）点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动，过点P 作直线AB 的垂线交x 轴于点Q ，连接OP ，设△PQO 的面积为S ，点P 运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P 在AB 的延长线上，若OQ +AB （BQ ﹣OP ），求此时直线PQ 的解析式．【答案】（1）k＝3．（2）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t）•3t＝﹣3 2t2+34t．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣1）•3t＝3t2﹣3t．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣3x+53．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝223AB OA-=∴k＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO＝OB OA= ∴∠BAO ＝60°，∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°，∴∠AQP ＝30°，∴AQ ＝2AP ＝2t ，当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t）•2t＝﹣2t 2+4t ．当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1＝2．（3）∵OQ +AB（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+2∴2t +121t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7，∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P（12，2），Q （5，0），设直线PQ 的解析式为y ＝kx+b ，则有12250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为33y x =-+．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x-+--+=239622x x--+=23375()228x-++，∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍．因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2，所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF ＝AE 2﹣x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得x 2+2﹣x ）2＝12解得，x 1＝x 2＝22∴BE ＝BF ，即点B 是EF 的中点．同理，点C ，D ，A 分别是FG ，GH ，HE 的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD ，一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。

上海民办民一中学九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典测试(答案解析)

一、选择题1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A ．m≠±lB ．m≥-l 且m≠1C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠12．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（） A ．()215x -= B ．()217x -= C ．()214x -= D ．()215x += 3．用配方法解下列方程时，配方错误的是（）A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣74）2＝8116 D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23）2＝109 4．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（）． A ．5a ≠ B ．1a ≥且5a ≠ C ．1a ≥ D ．1a <且5a ≠ 5．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=6．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（）A ．12B ．16C ．l2或16D ．157．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A ．2104x x -+=B ．2390x x ++=C ．2250x x -+=D ．25130x x -= 8．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根 9．一元二次方程20x x -=的根是（）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x == 10．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（）A ．x （40－x ）＝75B ．x （20－x ）＝75C ．x （x ＋40）＝75D ．x （x ＋20）＝711．关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥-且3a ≠B ．1a >-且3a ≠C ．1a ≥-D ．1a >- 12．一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后正确的是（） A ．(x ﹣2)2＝1 B ．(x ﹣2)2＝5 C ．(x ﹣4)2＝1 D ．(x ﹣4)2＝5 13．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣4＝0的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 14．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020 15．若()()2222230xy x y ++--=，则22x y +的值是（） A ．3 B ．-1 C ．3或1 D ．3或-1 二、填空题16．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．17．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．18．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．19．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．20．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____．21．一元二次方程x 2-10x+25＝2（x ﹣5）的解为____________．22．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 23．已知x ＝2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根，则另一根是_____． 24．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．25．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________26．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．三、解答题27．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？28．先化简，再求值：（1﹣1a ）21a a -，其中a 满足方程a 2﹣a ﹣2＝0．29．解方程：（1）2x 2+1=3x （配方法）（2）(2x-1)2=(3-x)2（因式分解法） 30．解方程：（1）2237x x +=；（2）x(2x+5)=2x+5．。

上海新市学校九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（） A ．2± B ．2- C ．2 D ．4 2．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（）．A ．-1B ．0C ．2D ．33．将4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a ＋b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为S 1，阴影部分的面积之和为S 2．若S 1＝53S 2，则a ，b 满足（）A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．3a ＝2b 4．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关 5．若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（）A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22241212112x x ++=+C ．2412919x x ++=+D ．241212112x x ++=+6．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)27．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（） A ．3 B ．6 C ．8D ．9 8．方程23x x =的根是（） A ．3x = B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x == 9．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +--=有实数根，则m 的取值范围是（） A ．2m >- B ．2m ≥- C ．2m >-且1m ≠- D ．2m ≥-且1m ≠- 10．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1•x 2等于（）A ．4B ．1C ．﹣1D ．﹣4 11．下列方程是一元二次方程的是（） A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x += 12．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（） A ．x 2＝0 B ．x ﹣3＝0 C ．x 2﹣5＝0 D ．x 2+2＝0二、填空题13．若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =，则一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________．14．一元二次方程（x +2）（x ﹣3）＝0的解是：_____．15．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______． 16．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则m+n ＝_____．17．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．18．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．19．若()22214x y +-=，则22x y +=________．20．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________．三、解答题21．用适当的方法解下列方程：（1）22580x x --=；（2）23(5)2(5)x x -=-．22．火锅是重庆人民钟爱的美食之一；解放碑某老火锅店为抓住“十一黄金周”这个商机，通过网上广告宣传和实地派发传单等一系列促销手段吸引了不少本地以及外地游客，火锅店门庭若市．据店员统计；仅“十一黄金周”前来店内就餐选择红汤火锅和清汤火锅的游客共2500人，其中红汤火锅和清汤火锅的人均消费分别为80元和60元．（1）“十一”期间，若选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍，求至少有多少人选择清汤火锅？（2）随着“十一”的结束，前来店内就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，与（1）选择清汤火锅的人数最少时相比，选择红汤火锅的人数下降了a %，选择清汤火锅的人数不变，但选择红汤火锅的人均消费增长了a %，选择清汤火锅的人均消费增长了1%5a ，最终第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等，求a 的值．23．已知：关于x 的一元二次方程()232220-+++=tx t x t （0t >）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）.若y 是关于t 的函数，且221=⋅+y t x x ，求这个函数的解析式．24．我们知道20x ≥，2()0a b ±≥，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多项式2245x x +-的最小值时，我们可以这样处理：解：原式()2225x x =+- ()22222115x x =++-- 222(1)15x ⎡⎤=+--⎣⎦22(1)25x =+--22(1)7x =+-因为()210x +≥，所以()221707x +-≥-，即()22177x +-≥-所以()2217x +-的最小值是7-，即224 5x x +-的最小值是7-．请根据上面的探究思路，解答下列问题：（1）多项式()2531x -+的最小值是_________；（2）求多项式24163x x -+的最小值（写过程）．25．计算题（1）解方程：2690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩ 26．解答下列各题．（1）解方程：2(1)90x --=．（2）已知1x =，求225x x -+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．D解析：D【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．【详解】解：由题意得21112210,2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．3．C解析：C【分析】由题意可以得到关于a 、b 的方程，并进而变形为关于a b 的方程，求出a b 的值即可得到a 、b 的关系式．【详解】解：由图可知21422S ab ab =⨯=， ∵1253S S =，∴1255102333S S ab ab ==⨯=，又()222122S S a b a ab b +=+=++， ∴2210223ab ab a ab b +=++，即 22103a b ab +=， ∴231030a a b b ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭， ∴133a ab b ==，（舍去）， ∴a=3b ，故先C ．【点睛】本题考查正方形面积、三角形面积及一元二次方程的综合运用，熟练掌握正方形面积和三角形面积的计算方法及一元二次方程的解法是解题关键．4．A解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．5．C解析：C【分析】把原方程变形为2(2)621x x +⨯=，将2x 看成未知数，方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：方程24121x x +=变形为2(2)621x x +⨯=， 2(2)62+91+9x x +⨯=∴2412919x x ++=+故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．6．C解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．7．D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．8．D解析：D【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x ﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x ﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．【详解】解：∵x 2＝3x ，∴x 2﹣3x ＝0，∴x （x ﹣3）＝0，∴x ＝0或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．9．D解析：D【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到10m +≠且240b ac =-≥，然后求写出两不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得10m +≠且()()224(2)4110b ac m =-=--+⨯-≥，解得1m ≠-且2m ≥-．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．C解析：C【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【详解】解：∵方程x 2-4x-1=0的两个根是x 1，x 2，∴x 1∙x 2=-1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-b a ，两根之积是c a ． 11．D解析：D【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．【详解】解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．12．C解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．二、填空题13．x=2019【分析】对于一元二次方程设t=x+1得到at2+bt=1利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0必有一解析：x=2019【分析】对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=，设t=x+1得到at 2+bt=1，利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020，从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0必有一根为x=2019．【详解】解：对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=，设t=x+1，所以at 2+bt=1，即at 2+bt-1=0，而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2020，所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2020，则x+1=2020，解得x=2019，所以2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为x=2019．故答案为：x=2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14．x1＝﹣2x2＝3【分析】利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x ﹣3＝0然后解两个一次方程即可【详解】（x+2）（x ﹣3）＝0x+2＝0或x ﹣3＝0所以x1＝﹣2x2＝3故答案为x1＝﹣2x2＝3解析：x 1＝﹣2，x 2＝3利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x ﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．【详解】（x +2）（x ﹣3）＝0，x +2＝0或x ﹣3＝0，所以x 1＝﹣2，x 2＝3．故答案为x 1＝﹣2，x 2＝3．【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．15．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 16．﹣2【分析】直接根据根与系数的关系求解即【详解】解：∵mn 是一元二次方程x2+2x ﹣7＝0的两个根∴m+n ＝﹣2故答案为﹣2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系是重要考点难度较易掌握相关知识是解析：﹣2．【分析】直接根据根与系数的关系求解，即b m n a+=-．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，∴m+n ＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=4x2=2再利用三角形三边的关系得到x=4然后根据勾股定理的逆定理进行判断【详解】解：x2-6x+8=0（x-4）（x-2）=0x-4=0或x-2=解析：直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=4，x2=2，再利用三角形三边的关系得到x=4，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．【详解】解：x2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0，x-4=0或x-2=0，所以x1=4，x2=2，∵两边长分别为3和5，而2+3=5，∴x=4，∵32+42=52，∴这个三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、勾股定理的逆定理和三角形三边的关系，熟练掌握相关的知识是解题的关键．18．10【分析】设共有x个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x个队参加比赛根据题意得：2×x（x-1）=90整理得：x2解析：10．【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×12x（x-1）=90，整理得：x2-x-90=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．19．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键解析：3【分析】根据题意将()22214x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值．【详解】解：两边开方得2212x y +-=±， 223x y ∴+=或221x y +=-，220x y +≥，223x y ∴+=．故答案为：3．【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．20．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键解析：3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-32，ab=-12，将其代入11a b a b ab ++=中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根， 32a b ∴+=-，12ab =-， 3112312a b a b ab -+∴+===-．故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键．三、解答题21．（1）12x x ==2）12175,3x x == 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）2,5,8a b c ==-=-，2(5)42(8)890∴∆=--⨯⨯-=>，524b x a -±±∴==，12x x ∴== （2）23(5)2(5)0x x ---=，移项得，23(5)2(5)0x x ---=，因式分解得，(5)(317)0x x --=，50x ∴-=或3170x -=，12175,3x x ∴== 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22．（1）至少有1000人选择清汤火锅；（2）a 的值为10【分析】（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍列出一元一次不等式，然后解不等式取其最小值即可；（2）根据第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等列出关于a 的一元二次方程，然后解方程取其正值即可解答．【详解】解：（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据题意，得：2500﹣x≤1.5x ，解得：x≥1000，答：至少有1000人选择清汤火锅；（2）根据题意，得：80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+15a%）×1000=80×（2500﹣1000）+60×1000，整理，得：12x 2﹣120a=0，解得：a 1=10，a 2=0（不合题意，舍去），答：a 的值为10．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，解答的关键是理解题意，找准数量间的关系，正确列出不等式和方程．23．（1）证明见解析；（2）222 1.y t t =++【分析】（1）先求解()2242b ac t =-=+，再证明＞0，即可得出结论；（2）把原方程化为：()()1220,x tx t ---=再解方程，根据0t >，12x x <，确定12,x x ，最后代入函数解析式即可得到答案．【详解】（1）证明： ()232220-+++=tx t x t ， (),32,22,a t b t c t ∴==-+=+()()22=43242+2b ac t t t ∴-=-+-⎡⎤⎣⎦22912488t t t t =++--244t t =++()22t =+， t ＞0，()22t ∴=+＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．（2） ()232220-+++=tx t x t ， ()()1220,x tx t ∴---=10x ∴-=或220,tx t --=1x ∴=或22,x t=+ 0t >，22t∴+＞1， 12x x <，1221,2,x x t∴==+ ∴ 221=⋅+y t x x2221t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 222 1.t t =++【点睛】本题考查的一元二次方程根的判别式，利用因式分解法解一元二次方程，不等式的性质，列函数关系式，掌握以上知识是解题的关键．24．（1）1；（2）13-．【分析】（1）根据偶次方的非负性得到2(3)0x -，得到答案；（2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．【详解】解：（1）∵2(3)0x -≥，∴25(3)11x -+≥，∴多项式25(3)1x -+的最小值是1．故答案为：1；（2）24163x x -+()2443x x =-+ ()22244223x x =-+-+ 24(2)43x ⎡⎤=--+⎣⎦24(2)163x =--+24(2)13x =--∵2(2)0x -≥，∴24(2)1313x --≥-，∴多项式24163x x -+的最小值为13-．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 25．（1）123x x ==-；（2）23x <<【分析】（1）利用因式分解法求解即可．（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．【详解】解：（1）2690x x ++=因式分解得：()230x +=解得：123x x ==-．（2）()31512272x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得：2x >解不等式2得：3x <∴不等式组的解集是23x <<．【点睛】本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．26．（1）14x =，22x =-；（2）6．【分析】（1）方程整理后，直接开平方即可求解；（2）代数式225x x -+配方整理成()214x -+后，把x 的值代入计算即可．【详解】（1）由原方程得2(1)9x -=， ∴13x -=±，解得：14x =，22x =-；（2）∵2225(1)4x x x -+=-+，将1x =代入得：原式)2114=-+ 24=+6=．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法以及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．。

上海民办新世纪中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(含答案解析)

一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（） A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝112．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（） A ．10% B ．29% C ．81%D ．14.5%3．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（） A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关4．方程()55x x x +=+的根为（） A ．15=x ，25x =- B ．11x =，25x =- C ．0x =D ．125x x ==-5．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x ，则可列方程为（） A ．()2001500x += B ．()2002001500x ++= C ．()22001500+=xD ．()20012500+=x6．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（）A ．x 2+65x-350=0B ．x 2+130x-1400=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=07．一元二次方程20x x -=的根是（）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==8．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（） A ．1B ．0C ．1-D ．1或09．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（） A ．290x += B ．24410x x -+= C ．210x x ++= D ．210x x +-= 11．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（） A ．x 2＝0 B ．x ﹣3＝0 C ．x 2﹣5＝0 D ．x 2+2＝0 12．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( )A ．2B ．1C ．−1D ．−2二、填空题13．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．14．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______． 15．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______． 16．方程230x -=的解为___________．17．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x 步，列出方程_______． 18．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x ，根据题意，可得方程_______19．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则2212123x x x x ++=__________． 20．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值．三、解答题21．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．求m 的取值范围． 22．解方程：（1）x 2+10x +9＝0；（2）x 2＝14． 23．已知：关于x 的一元二次方程()2223320x m x m m -++++=．（1）已知2x =是方程的一个根，求m 的值；（2）以这个方程的两个实数根作为ABC 中AB 、AC （AB <AC ）的边长，当BC =时，ABC 是等腰三角形，求此时m 的值． 24．解方程：y(y-1)+2y-2=0．25．用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．当做成的盒子的底面积为2900cm 时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图③阴影部分），②沿虚线折合后薄钢片即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2800cm 时，该盒子的高．26．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：销售单价（元） 34 35 36 37 38 39 40 月平均销售量（件）430425420415410405400【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -= 故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．A解析：A 【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，根据题意得，()2100181x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．A解析：A 【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根， ∴220m m c --= ∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-， ∴p ＜q 故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．4．B解析：B 【分析】根据因式分解法解方程即可；【详解】()55x x x +=+， ()()550+-+=x x x ，()()510x x +-=，11x =，25x =-；故答案选B．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，200（1+x）2＝500，故选：C．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．6．A解析：A【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．【详解】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，即4000+260x+4x2=5400，化简为：4x2+260x-1400=0，即x2+65x-350=0．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．7．A解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x2-x=0，∴x（x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x1=0，x2=1，故选：A．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．A解析：A 【分析】由关于x 的方程x 2+mx=0的一个根为-1，得出将x=-1，代入方程x 2+mx=0求出m 即可．【详解】解：∵-1是方程x 2+mx=0的根， ∴1-m=0， ∴m=1，故答案为：A. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为-1，代入方程是解决问题的关键．9．C解析：C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．【详解】解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8． ∵k 2≥0，∴k 2+8＞0，即△＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．10．D解析：D 【分析】分别求出每个方程的根的判别式即可得到方程的根的情况. 【详解】A 选项：2049360∆=-⨯=-<，∴该方程没有实数根，故A 错误；B 选项：()244410∆=--⨯⨯=，∴该方程有两个相等的实数根，故B 错误； C 选项：2141130∆=-⨯⨯=-<，∴该方程没有实数根，故C 错误；D 选项：()2141150∆=-⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故D 正确；故选：D.此题考查一元二次方程的根的情况，正确求根的判别式的值，掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键.11．C解析：C 【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意； B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意；D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．B解析：B 【分析】设方程的另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个根为x 1，根据题意得：2+x 1=3， ∴x 1=1．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和与系数的关系是解题的关键．二、填空题13．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0， x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．14．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根， ∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．15．-1或【分析】先根据题意列出关于x 的方程整理为一般式再利用因式分解法求解即可【详解】解：根据题意得：3x2-6=x-2整理得：3x2-x-4=0∴（x+1）（3x-4）=0∴x+1=0或3x-4=0解析：-1或43【分析】先根据题意列出关于x 的方程，整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意，得：3x 2-6=x-2，整理，得：3x 2-x-4=0， ∴（x+1）（3x-4）=0， ∴x+1=0或3x-4=0，解得1241,,3=-=x x ∴当x=-1或43时，二次式3x 2-6的值与x-2的值相等，故答案为：-1或4 3【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．【分析】先移项然后利用数的开方直接求出即可【详解】移项得解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解要仔细观察方程的特点解析：x=【分析】先移项，然后利用数的开方直接求出即可.【详解】移项得，23x=，解得：x=故答案为：x=【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.17．x（16-x）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x）步再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程【详解】解：矩形的长为x步则宽为（16-x）步∴x（16-x）=60解析：x（16-x）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：矩形的长为x步，则宽为（16-x）步，∴x（16-x）=60．故答案为：x（16-x）=60【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．54（1-x）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x）2=42故答案为：54（1-x）2=42【点睛】本题考查解析：5.4（1-x）2=4.2【分析】根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x ）2倍，列出方程即可．【详解】解：根据题意有：5.4（1-x ）2=4.2 故答案为：5.4（1-x ）2=4.2 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．19．—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系解题的关键是根据公式正确计算解析：—1 【分析】根据根与系数之间的关系解题即可. 【详解】∵1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根， ∴122x x +=，125x x =，∴()()2222112*********x x x x x x x x ++++=+-=-=，故答案为：-1 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是根据公式正确计算.20．【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可【详解】解：∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值解析：12-【分析】先根据完全平方公式将原式配方，进而利用非负数的性质求出即可．【详解】解：∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2， -(2x+1)2≤0， ∴当x=-12时，4x 2-4x+1有最大值是2．故答案为：-12．【点睛】此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，正确配方得出是解题关键．三、解答题21．m<2．【分析】根据方程有两个不相等的实数根列得4-4（m-1）>0，求解即可．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴4-4（m-1）>0，解得m<2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．22．（1）121,9x x =-=-；（2）12x x == 【分析】（1）运用因式分解法求解即可（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵x 2+10x +9＝0，∴（x +1）（x +9）＝0，则x +1＝0或x +9＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣9；（2）x 2＝14整理，得：x 2﹣14＝0， ∵a ＝1，b c ＝﹣14， ∴△2﹣4×1×（﹣14）＝4＞0，则x ＝2b a-±，即x 1，x 2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键．23．（1）m=0或m=1；（2）或．【分析】（1）把x=2代入方程x 2-（2m+3）x+m 2+3m+2=0得到关于m 的一元二次方程，然后解关于m 的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到x 1=m+2，x 2=m+1，则AC=m+2，AB=m+1．然后讨论：当AB=BC 时，有AC=BC 时，有m 的一次方程即可．【详解】解：（1）∵x=2是方程的一个根，∴4-2（2m+3）+m 2+3m+2=0，∴m=0或m=1；（2）∵△=（2m+3）2-4（m 2+3m+2）=1，∴x=2312m +± ∴x 1=m+2，x 2=m+1，∵AB 、AC （AB ＜AC ）的长是这个方程的两个实数根，∴AC=m+2，AB=m+1．∵△ABC 是等腰三角形，∴当AB=BC 时，有∴；当AC=BC 时，有∴，综上所述，当-1或时，△ABC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，公式法解一元二次方程，也考查了等腰三角形的判定．24．121,2y y ==-【分析】利用分解因式法解答即可．【详解】解：原方程可变形为：()()1210y y y -+-=，即()()120y y -+=，∴y －1=0或y +2=0，解得：121,2y y ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握求解的方法是关键． 25．（1）18000cm 3；（2）15cm【分析】（1）根据图中给出的信息，设四个相同的小正方形边长为x ，先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据底面积=900即可得到方程，求解即可；（2）该盒子的高为y ，根据底面积为800列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设四个相同的小正方形边长为x ，由题意可得：（70-2x ）2=900，解得：x 1=20，x 2=50（舍），∴该盒子的容积为900×20=18000cm 3；（2）设该盒子的高为y ，根据题意得：()7027028002y y -⨯-=，解得：y 1=15，y 2=55（舍），因此当底面积是800平方厘米时，盒子的高是15厘米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答．26．（1）25%；（2）35元【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x ）；三月份的销售量为：256（1+x ）（1+x ），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x 的值，即求出平均增长率；（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．【详解】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x ，根据题意可得：256（1+x ）2=400，解得：x 1=14=25%，x 2=94（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）由表可知：该商品每降价1元，销售量增加5件，设当商品降价m 元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40-25-m ）（400+5m ）=4250，解得：m 1=5，m 2=-70（不合题意舍去），40-5=35元．答：销售单价应定为35元，商品获利4250元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．。

精品解析：上海市虹口区民办新复兴初级中学2020-2021学年六年级下学期期中数学试题(含解析)

虹口区上海市复兴初级中学一、选择题1.在π，−(−3) ，−3−，0，−33，(−3)4这六个数中，非负数有（）．A.2个B.3个C.4个D.5个2.下列说法正确的是（）A.一个有理数不是正数就是负数B.绝对值是它本身的数是正数C.一个数的相反数一定有倒数D.任何一个有理数都能用数轴上的点表示3.已知a b >，下列各式中一定成立的是（）．A.0a b −< B. 77a b -<- C.22ac bc > D. 22a b +<+4.已知有理数a 、b 在数轴上位置如图所示，下列结论正确的是（）．A.a b −>B.a b −<−C.a b >−D. a a>−5.有一所学校，开学时有x 位学生安排宿舍，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，最后还缺2间，可列方程……（）．A.5243x x −+=B.5243x x +=−C.4(5)3(2)x x −+D.5243x x −=+ 二、填空题6.高出海平面150米，记作150+米，那么海平面以下50米可记作_______米．7.112−的倒数是________．8.如果一个数距离原点的距离是6，那么这个数是___________．9.比较大小：5−−_______()5−−（填“>““<”或“-”）．10.计算：30.815−+=________．11.用科学记数法表示：2021000000−=_________．12.如果2(2)x −与|3|y +互为相反数，那x y =_________．13.若3a >，则|3|a −=__________．的14.若2335m x m ++=是关于x 一元一次方程，则m =_________．15.y 的6倍减去2的差是一个非负数，用不等式表示为：__________．16.不等式628x −+≤非正整数解是_________．17.不等式组12310x x −<− +<的解集是__________． 18.某商场一件衣服成本是x 元，按成本的200%销售，后因换季打7折卖出，卖出时这件衣服140元，卖出后这件衣服的利润是_______元．19.在有理数范围内规定一种新运算“*”：22a b a b ∗−，已知33x ∗=，则x =______．20.若不等式组3214(1)x a x x +< −>− 的解集包含了所有负数，则a 的取值范围是________．三、简答题21.计算：5114 3.12525668 −++−+−．22.计算：11311223243×−+÷−．23.计算：162411.2175775 ×−+×−+×−．24.计算：2236214(2)53 ×−÷−．25.解方程：2413143x x x −−−=−．26.解不等式：7(2)34142x x ++−+≥−，并把它的解集在数轴上表示出来． 27.已知关于x 的方程23(2)3x x −−=的解比关于x 的方程202a x −−=的解小2，求a 的值．28.求不等式组3(3)7323242(1)32x x x x −<− +≥−−整数解．四、解答题29.小王步行，预定用相同的时间往返于甲乙两地，去时的速度是每小时6千米，结果早到20分钟，返回时，以每小时4千米的速度行驶，结果晚到了5分钟，求甲乙两地的路程的的的的是多少千米？30.如图：在射线OM 上有三点A 、B 、C ，OA =20厘米，AB =60厘米，BC =10厘米，点P 从点O 出发，沿OM 方向以每秒1厘米的速度匀速运动，点Q 从点C 出发，在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发，点Q 运动到O 点时停止运动．（1）若点Q 的速度为每秒4厘米，经过多长时间P 、Q 两点相遇？（2）若点Q 的速度为每秒4厘米，经过多长时间P 、Q 两点相距60厘米？（3）当2PA PB =时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的中点，求点Q 的速度是多少？虹口区上海市复兴初级中学一、选择题1.在π，−(−3)，−3−，0，−33，(−3)4这六个数中，非负数有（）．A.2个B. 3个C. 4个D.5个【答案】C【解析】【分析】利用绝对值、相反数、乘方计算可分别求得其结果，可求得答案．【详解】解：非负数，即值大于等于0，π>，(3)30−−>，|3|30−−=−<，不是非负数，00=，33270−=−<，不是非负数，44(3)3810−==>，所以综上所述，非负数有4个．故选：C．【点睛】本题主要考查了非负数的概念，掌握绝对值、相反数和乘方的计算是解题的关键．2.下列说法正确的是（）A.一个有理数不是正数就是负数B.绝对值是它本身的数是正数C.一个数的相反数一定有倒数D.任何一个有理数都能用数轴上的点表示【答案】D【解析】【分析】根据有理数的分类、绝对值、相反数和倒数以及数轴的相关知识判断即可.【详解】A选项：一个有理数不是正数就是负数，还有可能是0，说法错误，不符合题意，故A错误；B选项：绝对值是它本身的数是非负数，说法错误，不符合题意，故B错误；C选项：一个数的相反数不一定有倒数，如0的相反数是0，没有倒数，说法错误，不符合题意，故C错误；D选项：任何一个有理数都能用数轴上的点表示，说法正确，符合题意，故D正确．故选D．【点睛】此题考查了有理数的分类、绝对值、相反数和倒数以及数轴，掌握相关的知识点是解答此题的关键.3. 已知a b >，下列各式中一定成立的是（）．A. 0a b −<B. 77a b -<-C. 22ac bc >D. 22a b +<+【答案】B【解析】【分析】根据解不等式的性质将不等式变形，从而选出正确的选项．【详解】A 、选项：0a b −>，故A 错误；B 、选项：两边同乘17−，不等号要改变方向，即77a b -<-，故B 正确； C 、选项：当2c =0时，22ac bc =，故C 错误；D 、选项：a b >，则22a b +>+，故D 错误；故选B ．【点睛】本题考查不等式性质的应用，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 4. 已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）．A. a b −>B. a b −<−C. a b >−D. a a >−【答案】A【解析】【分析】观察数轴可得a<0，0b >，a b >，即可求解．【详解】解：根据题意得：a<0，0b >，a b >，∴a b −>．故选：A【点睛】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．5 有一所学校，开学时有x 位学生安排宿舍，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，最后还缺2间，可列方程……（）． A. 5243x x −+= B. 5243x x +=− C. 4(5)3(2)x x −+ D. 5243x x −=+.【答案】B【解析】【分析】根据题意列出等量关系：学生数量÷4+5间＝学生数量÷3-2间．【详解】两种方式学生数一样，宿舍总数也一样，则有5243x x +=−．故选B ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程式．二、填空题6. 高出海平面150米，记作150+米，那么海平面以下50米可记作_______米．【答案】50−【解析】【分析】根据题意找到相反意义的量，依据题意解题即可．【详解】高出海平面150米记作150+米，可知“+"”代表高出海平面，“150米”代表高出的距离，所以海平面以下50米可记作50−米．故答案为：50−．【点睛】我们在运用相反意义的量的时候，一定要先规定正的意义。

上海民办协和双语学校九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点复习(培优)

一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12D 解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（）A ．10%B ．29%C ．81%D ．14.5%A 解析：A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，根据题意得，()2100181x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-C解析：C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 4．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（）． A ．5a ≠B ．1a ≥且5a ≠C ．1a ≥D ．1a <且5a ≠B解析：B【分析】由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩，解得：a≥1且a≠5．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．5．下列方程中是一元二次方程的是（）A ．210x +=B ．220x -=C ．21x y +=D ．211x x +=B 解析：B【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【详解】解：A.210x +=，是一元一次方程，故本选项不符合题意．B.220x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意．C.21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意．D.211x x+=，该方程分式方程，故本选项不符合题意．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．6．若x=0是关于x的一元二次方程（a+2）x2- a-2x+a2+a-6=0的一个根，则a的值是（）A．a ≠2B．a=2 C．a=-3 D．a=-3或a=2B解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x2- a-2x+a2+a-6=0中，得： a2+a-6=0，解得：a1=﹣3，a2=2，∵a+2≠0且a﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．7．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（）A．4 B．5 C．6 D．7B解析：B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x-1）=10，2化简，得x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．8．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（） A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0B解析：B【分析】把0x =代入，求出a 的值即可．【详解】解：把0x =代入可得210a -=，解得1a =±，∵一元二次方程二次项系数不为0，∴1a ≠，∴1a =-，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．9．下列方程是一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x +=D 解析：D【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．【详解】解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．10．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣4＝0的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根B 解析：B求出根的判别式，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．【详解】解：∵△＝b 2﹣4ac ＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题11．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______．-1或【分析】先根据题意列出关于x 的方程整理为一般式再利用因式分解法求解即可【详解】解：根据题意得：3x2-6=x-2整理得：3x2-x-4=0∴（x+1）（3x-4）=0∴x+1=0或3x-4=0解析：-1或43 【分析】先根据题意列出关于x 的方程，整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意，得：3x 2-6=x-2，整理，得：3x 2-x-4=0，∴（x+1）（3x-4）=0，∴x+1=0或3x-4=0，解得1241,,3=-=x x ∴当x=-1或43时，二次式3x 2-6的值与x-2的值相等，故答案为：-1或43 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．方程230x -=的解为___________．【分析】先移项然后利用数的开方直接求出即可【详解】移项得解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解要仔细观察方程的特点解析：x=【分析】先移项，然后利用数的开方直接求出即可.【详解】移项得，23x=，解得：x=故答案为：x=【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.13．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为出x1和x2，则x1+x2+x1x2＝_____．﹣【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣＝﹣2x1x2＝﹣然后利用整体代入的方法计算【详解】根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2x1x2＝﹣所以x1+x2+x1x2＝﹣2﹣＝﹣故答案为：﹣【点睛】本解析：﹣7 2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣42＝﹣2，x1x2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】根据题意得x1+x2＝﹣42＝﹣2，x1x2＝﹣32，所以x1+x2+x1x2＝﹣2﹣32＝﹣72．故答案为：﹣72．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−ba，x1x2＝ca．14．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．20【分析】设每年绿化面积的增长率为x根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x 依题意得：3000（1+x）解析：20%【分析】设每年绿化面积的增长率为x ，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x ，依题意，得：3000（1+x ）2=4320，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 16．方程2350x x -=的一次项系数是______．-5【分析】根据一元二次方程的一般形式解答【详解】解：方程的一次项是其系数是故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程的一般式解题的关键是掌握一次项系数的定义解析：-5【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．【详解】解：方程2350x x -=的一次项是5x -，其系数是5-．故答案是：5-．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．17．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x步，列出方程_______．x（16-x）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x）步再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程【详解】解：矩形的长为x 步则宽为（16-x）步∴x（16-x）=60解析：x（16-x）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：矩形的长为x步，则宽为（16-x）步，∴x（16-x）=60．故答案为：x（16-x）=60【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．当m______时，关于x的一元二次方程2350mx x-+=有两个不相等的实数根．m ＜且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0解不等式组确定m的取值范围【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相解析：m＜920且m≠0．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0，解不等式组，确定m的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0，解得m＜920且m≠0，故当m＜920且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根．故答案是：m＜920且m≠0．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．19．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键解析：3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-32，ab=-12，将其代入11a b a b ab++=中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根， 32a b ∴+=-，12ab =-， 3112312a b a b ab -+∴+===-．故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 20．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的解析：6-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：228x -+=-解得：26x =-．故答案为：6-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程20x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．三、解答题21．某校园有一块正方形的空地，若从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分为花带），横向花带宽为2m ，纵向花带宽为1m ，栽种鲜花后剩余空地面积为42m 2，求原正方形空地的边长．解析：原正方形空地的边长为8m ．【分析】观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，列方程解决问题．【详解】解：设正方形空地的边长为xm ，由题意得()()2142x x --=，化简得23400x x --=，解得1285x x ==-，，因为0x ＞，故8x =，答：原正方形空地的边长为8m ．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—图形面积类问题，观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，由此列方程解决问题的思路是解题的关键．22．用配方法解方程：22510x x -+= 解析：15174x =+，25174x = 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可．【详解】解：22510x x -+=，系数化为1得：251022x x -+=，配方得：2255251()024162x x -+--+=，即：2517()416x -=，两边同时开平方得：54x -=，即1544x =+，2544x =-．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．23．解方程．（1）2560x x -+=．（2）23(21)(21)x x -=-．（3）23139x x x -=--．解析：（1）12x =，23x =；（2）112x =，22x =；（3）2x =- 【分析】（1）利用因式分解法解方程，即可得到答案；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程，即可得到答案；（3）先把分式方程化为整式方程，然后解方程即可得到答案．【详解】解：（1）2560x x -+=，(2)(3)0x x --=，∴12x =，23x =，∴原方程的解为：12x =，23x =．（2）23(21)(21)x x -=-，∴2(21)3(21)0x x ---=，∴(21)(213)0x x ---=，∴(21)(24)0x x --=， ∴112x =，22x =． ∴原方程的解为：112x =，22x =．（3）23139x x x -=--， ∴2(3)39x x x +-=-，∴22339x x x +-=-，∴36x =-，∴2x =-，经检验：2x =-为原方程的解，∴原方程的解为2x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法，注意解分式方程时组要检验．24．解下列方程（1）22(4)216x x +=-；（2）22x x =+．解析：（1）124,3x x ==-；（2）121,2x x =-=【分析】（1）化成一般式以后利用因式分解法解即可；（2）化成一般式以后利用因式分解法解即可；【详解】解：（1）28-x+4=x2x -x-12=0(x+3)(x-4)=0∴124,3x x ==-（2） 220x x --=(2)(1)0x x -+=121,2x x ∴=-=【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．25．已知关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个根x 1，x 2，且x 12+x 22＝8，求k 的值．解析：（1）见解析；（2）-1或13 【分析】（1）根据方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0计算判别式的值得到△＝（k ＋1）2≥0，即可证明结论；（2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝31k k -，x 1x 2＝()21k k-，再根据x 12+x 22＝8得出（31k k -）2﹣2•()21k k-＝8，解此方程即可求解．【详解】（1）证明：关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0中，∵a ＝k ，b ＝﹣（3k ﹣1），c ＝2（k ﹣1），△()()231421k k k ⋅⋅=-﹣- 2296188k k k k ++=--221k k =++2(1)k =+，∴无论k 为任何实数，△0≥．∴无论k 为任何实数，方程总有实数根；（2）解：根据题意得x 1+x 2＝31k k -，x 1x 2＝()21k k -， ∵x 12+x 22＝8，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝8，∴（31k k -）2﹣2•()21k k-＝8，整理得3k 2+2k ﹣1＝0，解得k 1＝13，k 2＝﹣1，经检验k 1＝13，k 2＝﹣1为原方程的解， ∵k ≠0，∴k 的值为﹣1或13．【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．26．用适当的方法解方程：（l ）2(3)26x x +=+（2）2810x x -+=．解析：（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】（1）用因式分解法求解可得；（2）用配方法求解即可．【详解】解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，∴（x+3）（x+1）=0，∴x+3=0或x+1=0，解得：x=-3或x=-1；（2）2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =，24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．（1）若每件衬衫降价5元，则每件商品盈利________元，每天可售出________件，商场每天盈利________元；（2）若每件衬衫降价x 元，则每件商品盈利________元，每天可售出________件（用含x 的代数式表示）；（3）若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？解析：（1）40，40，1600；（2）45x -，204x +；（3）每件衬衫应降价30元【分析】（1）每件衬衫降价5元，每件盈利=原来的盈利-5元；所售件数=20+多售出的件数；商场每天盈利=（原来的盈利-5元）×（20+多售出的件数）；（2）每件衬衫降价x 元，每件盈利=原来的盈利-x 元；所售件数=20+多售出的件数；（3）商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利-降价数．设每件衬衫应降价x 元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．【详解】解：（1）若每件衬衫降价5元，则每件商品盈利：45-5=40（元），每天可售出：20+4×5=40（件），商场每天盈利：40×40=1600（元），故答案为：40，40，1600；（2）若每件衬衫降价x 元，则每件商品盈利：45-x （元），每天可售出：20+4x （件）故答案为：45x -，204x +；（3）每件衬衫应降价x 元，根据题意得：(45)(20)2100x x --=2403000x x -+=解得：110x =，230x =当10x =时，20460x +=；当30x =时，204140x +=；∵要减少库存，∴应增加销售量，∴30x =∴每件衬衫应降价30元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用的销售问题，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，列出方方程.28．某文具商从荷花池小商品批发市场购进一批书包，每个进价50元．调查发现，当销售价为80元时，每季度可售出500个；如果售价每降低1元，那么平均每季度可多售出40个．（1）当降价2元时，平均每季度销售书包_____个．（2）某文具商要想平均每季度赢利18000元，且尽可能让利与顾客，应该如何定价？解析：（1）580；（2）70元．【分析】（1）根据降价后销量＝降价前销量＋增加的销量可求得结果；（2）设定价x 元，根据每季度的总利润＝每个玩具利润×降价后每天的销售数量列出方程，解方程可求得定价．【详解】（1）500240580+⨯=（个）．故答案为：580．（2）设定价x 元，根据题意得：(50)[50040(80)]18000x x -+-=，解得：1272.5,70x x ==，∵尽可能让利与顾客，70x ∴=．答：应该定价70元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目隐含的等量关系是解决问题的关键．。

上海民办新北郊初级中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(答案解析)

一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（） A ．2± B ．2- C ．2 D ．42．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（） A ．10B ．17C ．20D ．17或203．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（） A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=24．方程()55x x x +=+的根为（） A ．15=x ，25x =- B ．11x =，25x =- C ．0x =D ．125x x ==- 5．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．(2)(2)0x x -+=B ．220x -=C ．2(1)0x -=D ．2(1)20x ++=6．方程23x x =的根是（） A ．3x =B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x ==7．关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥-且3a ≠ B ．1a >-且3a ≠ C ．1a ≥-D ．1a >- 8．方程23x x =的解为（） A ．3x = B ．3x =- C ．10x =，23x = D ．10x =，23x =- 9．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（） A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠010．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（） A ．没有实数根 B ．有两不等实数根 C ．有两相等实数根 D ．无法确定 11．一元二次方程x 2=4x 的解是（）A ．x=4B ．x=0C ．x=0或-4D ．x=0或4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（） A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0二、填空题13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________． 14．解方程：268x x +=-解：两边同时加_________，得26x x ++________8=-+________ 则方程可化为（_______）2=________ 两边直接开平方得_____________ 即_________或_____________所以1x =__________，2x =___________．15．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．16．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．17．某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利_____万元．18．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．19．一元二次方程()10x x -=的根是________________________．20．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．三、解答题21．如图，有一道长为10m 的墙，计划用总长为54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD ．若花圃ABCD 面积为272m ，求AB 的长．22．解方程：（1）x 2+10x +9＝0；（2）x 23＝14． 23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下面的问题：例题：说明代数式m 2+2m+4的值一定是正数．解：m 2+2m+4＝m 2+2m+1+3＝（m+1）2+3． ∵（m+1）2≥0， ∴（m+1）2+3≥3，∴m 2+2m+4的值一定是正数．（1）说明代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数．（2）设正方形面积为S 1，长方形的面积为S 2，正方形的边长为a ，如果长方形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为4，请你比较S 1与S 2的大小关系，并说明理由． 24．设,a b 是一个直角三角形的两条直角边的长，且()()2222112a b ab +++=，求这个直角三角形的斜边长c 的值．25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．（1）若每件衬衫降价5元，则每件商品盈利________元，每天可售出________件，商场每天盈利________元；（2）若每件衬衫降价x 元，则每件商品盈利________元，每天可售出________件（用含x 的代数式表示）；（3）若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？26．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程， ∴240,20m m -=-≠， ∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=， ∴(10)(7)0x x --=， ∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形， ∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．3．B解析：B 【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2， ∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2， ∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．4．B【分析】根据因式分解法解方程即可；【详解】()55x x x +=+， ()()550+-+=x x x ，()()510x x +-=，11x =，25x =-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．5．D解析：D 【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得．【详解】A 、由因式分解法得：122,2x x ==-，此项不符题意；B 、由直接开平方法得：120x x ==，此项不符题意；C 、由直接开平方法得：121x x ==，此项不符题意；D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=，此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<，则此方程没有实数根，此项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各解法是解题关键．6．D解析：D 【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x ﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x ﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．【详解】解：∵x 2＝3x ， ∴x 2﹣3x ＝0， ∴x （x ﹣3）＝0， ∴x ＝0或x ＝3，故选：D ．本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．7．B解析：B【分析】方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x的一元二次方程，因此得到二次项∆>即可得到答案．系数不为0即当a-3≠0时，且判别式0【详解】∵关于x的方程()32a x4x10---=有两个不相等的实数根∴a-3≠0，且2∆--⨯-⨯-=+>a a=(4)4(3)(1)440a≥-且a≠3解得：1故选B．【点睛】本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a的不等式，是解题的关键．8．C解析：C【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：x2-3x=0，分解因式得：x（x-3）=0，可得x=0或x-3=0，解得：x1=3，x2=0．故选：C．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．A解析：A【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A．本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．10．B解析：B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△21432k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭＞0，由此即可得出：无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【详解】在方程()21210--+=k x kx 中，∵1a k =-，2b k =-，1c =， ∴()()224241b ac k k =-=---214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，∴无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．11．D解析：D 【分析】先移项，利用因式分解法解一元二次方程. 【详解】解：x 2=4x x 2-4x=0 x （x-4）=0 x=0或x=4，故选：D. 【点睛】此题考查解一元二次方程，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.12．C解析：C 【分析】利用直接开平方法分别求解可得．解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意； B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意；D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．二、填空题13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x 2=91 【分析】如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，故答案为：1+x+x 2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．14．999x+31x+3=±1x+3=1x+3=-1-2-4【分析】根据配方法求解即可【详解】解：两边同时加9得99则方程可化为1两边直接开平方得x+3=±1即x+3=1或x+3=-1所以-2-4故答案解析：9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4 【分析】根据配方法求解即可．【详解】解：两边同时加9，得26x x ++98=-+9，则方程可化为()23x +=1，两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以1x =-2，2x =-4．故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．15．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0， x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．16．20【分析】设每年绿化面积的增长率为x 根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x 依题意得：3000（1+x ）解析：20% 【分析】设每年绿化面积的增长率为x ，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x ，依题意，得：3000（1+x ）2=4320，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．120【分析】设平均年增长率为x 列式求出年平均增长率即可算出结果【详解】解：设平均年增长率为x 根据题意得：整理得：开方得：解得：（舍去）则平均年增长率为20∴该公司2018年盈利100(1+20)＝解析：120 【分析】设平均年增长率为x ，列式()21001144x +＝，求出年平均增长率，即可算出结果．【详解】解：设平均年增长率为x ，根据题意得：()21001144x +＝，整理得：()21 1.44x +＝，开方得：1 1.2x +=±，解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍去），则平均年增长率为20%，∴该公司2018年盈利100(1+20%)＝120（万元）．故答案为：120．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的求解方法．18．-1【分析】根据方程的根的判别式得出m 的取值范围然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1）α•β=m2-m 结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的解析：-1 【分析】根据方程的根的判别式，得出m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根， ∴△=[2（m-1）]2-4×1×（m 2-m ）=-4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根α，β， ∴α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，∴α2+β2=（α+β）2-2α•β=[-2（m-1）]2-2（m 2-m ）=12，即m 2-3m-4=0，解得：m=-1或m=4（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m 的一元二次方程．19．【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0然后解两个一次方程即可；【详解】∵∴x=0或x-1=0解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法先把方程的右边化为0再把左边通过因式分解解析：120,1x x ==【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可；【详解】∵()10x x -= ，∴ x=0或x-1=0，解得1x =0，21x = ，故答案为：1x =0，21x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，求解即可；20．直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=4x2=2再利用三角形三边的关系得到x=4然后根据勾股定理的逆定理进行判断【详解】解：x2-6x+8=0（x-4）（x-2）=0x-4=0或x-2=解析：直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1=4，x 2=2，再利用三角形三边的关系得到x=4，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．【详解】解：x 2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0，x-4=0或x-2=0，所以x 1=4，x 2=2，∵两边长分别为3和5，而2+3=5，∴x=4，∵32+42=52，∴这个三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、勾股定理的逆定理和三角形三边的关系，熟练掌握相关的知识是解题的关键．三、解答题21．AB 的长是12m【分析】设AB 的长是x m ，则BC 的长是（18-x ）m ，根据题意得方程，解方程即可得到结论．【详解】解：设AB 的长是x m ，则BC 的长是()18x -m ．根据题意，得()1872-=x x ．解这个方程，得16x =，212x =．当6x =时，181210-=>x （不合题意，舍去）．当12x =时，186-=x 符合题意．答：AB 的长是12m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．22．（1）121,9x x =-=-；（2）12x x == 【分析】（1）运用因式分解法求解即可（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵x 2+10x +9＝0，∴（x +1）（x +9）＝0，则x +1＝0或x +9＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣9；（2）x 2＝14整理，得：x 2﹣14＝0， ∵a ＝1，b c ＝﹣14， ∴△2﹣4×1×（﹣14）＝4＞0，则x ＝2b a-±＝22，即x 1＝22，x 2＝22-．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． 23．（1）见解析；（2）S 1＞S 2，见解析【分析】（1）利用配方法，将原式化成含平方代数式形式﹣（a ﹣3）2﹣1，可判断其值为负数；（2）用a 分别表示出S 1与S 2，再作差比较即可．【详解】解：（1）﹣a 2+6a ﹣10＝﹣（a 2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a ﹣3）2﹣1，∵（a ﹣3）2≥0，∴﹣（a ﹣3）2≤0，∴﹣（a ﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数；（2）S 1＞S 2，理由是：∵S 1＝a 2，S 2＝4（a ﹣3），∴S 1﹣S 2＝a 2﹣4（a ﹣3）＝a 2﹣4a+12＝a 2﹣4a+4+8＝（a ﹣2）2+8，∵（a ﹣2）2≥0，∴（a ﹣2）2+8≥8，∴S 1﹣S 2＞0，∴S 1＞S 2．【点睛】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．24【分析】对题目中所给的条件进行变形，利用整体思想求解出22a b +的值，从而结合勾股定理求解斜边长即可．【详解】由题意得()()22222120a b a b +++-=， ()()2222340a b a b +∴+-+=223a b ∴+=或224a b +=-(不合题意，舍去）则2223c a b =+=c ∴=负舍）．【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理的应用，能够准确从条件中求解出直角边的平方和是解题关键．25．（1）40，40，1600；（2）45x -，204x +；（3）每件衬衫应降价30元【分析】（1）每件衬衫降价5元，每件盈利=原来的盈利-5元；所售件数=20+多售出的件数；商场每天盈利=（原来的盈利-5元）×（20+多售出的件数）；（2）每件衬衫降价x 元，每件盈利=原来的盈利-x 元；所售件数=20+多售出的件数；（3）商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利-降价数．设每件衬衫应降价x 元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．【详解】解：（1）若每件衬衫降价5元，则每件商品盈利：45-5=40（元），每天可售出：20+4×5=40（件），商场每天盈利：40×40=1600（元），故答案为：40，40，1600；（2）若每件衬衫降价x 元，则每件商品盈利：45-x （元），每天可售出：20+4x （件）故答案为：45x -，204x +；（3）每件衬衫应降价x 元，根据题意得：(45)(20)2100x x --=2403000x x -+=解得：110x =，230x =当10x =时，20460x +=；当30x =时，204140x +=；∵要减少库存，∴应增加销售量，∴30x =∴每件衬衫应降价30元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用的销售问题，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，列出方方程.26．（1）25%；（2）35元【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x ）；三月份的销售量为：256（1+x ）（1+x ），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x 的值，即求出平均增长率；（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．【详解】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x ，根据题意可得：256（1+x ）2=400，解得：x1=14=25%，x2=94（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）由表可知：该商品每降价1元，销售量增加5件，设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40-25-m）（400+5m）=4250，解得：m1=5，m2=-70（不合题意舍去），40-5=35元．答：销售单价应定为35元，商品获利4250元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．。

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上海民办新复兴初级中学数学一元二次方程（培优篇）（Word 版含解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=， ∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=255易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35秒， ∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．2．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．（1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析【解析】【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题；（2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒，BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=，即54t -=，1t∴=；（2）当38a=，83t=时，1DN at==，而4CD=，DN CD∴<，∴点N在点C、D之间，1.54AM t==，4CD=，AM CD∴=，如图②中，连接AC交MD于O，90ABC BCD∠=∠=︒，180ABC BCD∴∠+∠=︒，//AB BC∴，AMD CDM∴∠=∠，BAC DCA∠=∠，在AOM和COD△中，AMD CDMAM CDBAC DCA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOM COD ASA∴≅△△，OA OC∴=，ADO CDOS S∆∆∴=，AFO CFOS S∆∆=，ADO AFO CDO CFOS S S S∆∆∆∆∴-=-，ADF CDFS S∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使1211x x-＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=7k ∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，（1）点C的坐标为；（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB ﹣OE=m ﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m （m ﹣8），即S=0.5m 2﹣4m （m ＞8）； b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，如图2所示：则BE=OE ﹣OB=8﹣m ，∴S=0.5DC•BE=0.5m （8﹣m ），即S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）； c 、当点B 与E 重合时，即m=8，△BCD 不存在；综上所述，S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②当S=6，m ＞8时，0.5m 2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m ＜8时，﹣0.5m 2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B 的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．5．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根， ∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6a a -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6，∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．6．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA 、OC 的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA ＞OC ），BE=5，tan ∠ABO=．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E ，求k 的值；（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A （12，0），C （﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q 1（10，﹣12），Q 2（﹣3，6﹣3）. 【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA ＞OC 求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO 的正切值求出OB 的长度，根据Rt △AOB 得出AB 的长度，作EM ⊥x 轴，根据三角形相似得出点E 的坐标，然后求出k 的值；(3)、分别以CE 为矩形的边，在点C 、E 处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P ，进而得到点Q ；以CE 为矩形对角线，则以CE 的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG•GP，∴GP=16，∵△CPE与△PCQ是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12，∵OC=6，∴OH=10，∴Q（10，﹣12），如图②作MN∥x轴，交EG于点N，EH⊥y轴于点H ∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG=9，EG=12，∴CE=15，∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR，HE=CR ∴Q（﹣3，6﹣3），考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+2﹣x）2＝12解得，x1＝x2＝2 2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=n﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（n﹣x）2=12，整理得2x2﹣2n x+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t ＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝12 x．【解析】【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE ＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．【详解】∵矩形AOBC中，C（6，4）∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t （1）∵四边形APQO是矩形∴AP＝OQ∴t＝6﹣2t解得：t＝2故答案为2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H∴四边形APHO是矩形∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°∵PQ＝5∴HQ3 =①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t ∴6﹣3t＝3解得：t＝1②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3解得：t＝3故答案为1或3．（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE∵∠POE＝45°∴∠PEO＝∠POE＝45°∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°∴∠MPE＝∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90 MPE AOPPE0P ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP（AAS）∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t ∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt △ENQ 中，EN 2+QN 2＝EQ 2 ∴（4﹣t ）2+（3t ﹣2）2＝（6﹣2t ）2 解得：t 1＝﹣2（舍去），t 2＝43 ∴AM ＝43+4＝163，EN ＝4﹣43＝83∴点E 坐标为（163，83） ∴直线OE 的函数表达式为y ＝12x ．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t 的值，常规做法是用t 表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t 的取值范围考虑方程的解的合理性．10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .（1）当32BG = 时，求AE 的长；（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =3）185BG =. 【解析】【分析】（1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，由勾股定理，得()()222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，此时四边形AEGF 是正方形，∴折痕226662EF =+=.（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH在Rt △CFH 中∵CF 2=CH 2+FH 2∴x 2=62+（10-x ）2解得：x=345， ∴DF=CH=GH=10-165，即BG=10-165×2=185， ②当FG=GC 时，则有：AF=FG=GC=x ，CH=DF=10-x ；∴GH=x-（10-x ）=2x-10，在Rt △FGH 中，由勾股定理易得：x 2=62+（2x-10）2，化简得：3x 2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。