(完整版)高等数学(上)期末测试卷A

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2

t

dt dy =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭

⎝⎛+=x x x x x x

11)1ln(14

arctan 2x x -=()()C x f x xf +-'

0=高等数学(上)期末测试卷A

(100分钟,试卷满分100分)

一、填空题(30分)

1.函数()x f 在[]b a ,上连续是()x f 在[]b a ,上可积的 充分 条件;(充分、充要、必要)

2.就奇偶性而言,函数()2

1

121+-=x x f 是 奇 函数;其导函数是 偶 函数; 3.如果x

e

-是函数()x f 的一个原函数,则()⎰=dx x f C e x

+- ;

4.已知曲线4

222y x y b ax x y +-=--=和在点()1-1

,处相切,则a= 8/5 ,b= 2/5 ; 5.如果()x f 在[-1,1]上连续且平均值为2,则()=⎰-dx x f 1

1 4 ;

6.设函数()x f 在点0x 处可导,则=∆-∆+→∆x x f x x f x )

()2(lim

000

()

'

x f

7.设()()dt e t x f t

x

⎰-=01,则f(x)的极小值为 e -2 ;

()=-⎰+→x

dt

t x

x cos 11ln lim 2sin 0

4 ;

9.经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 12+=x y ;

10.设0)(),4)(3)(2)(1()(=----=x f x x x x x f ,方程有 3 个根,它们分别在区间 ; 二.计算下列各题(15分)

1.x x x

x x cos cos lim +-→∞

2.()dx x xf ⎰'

' 3.dx

x x ⎰

π

2cos

解:(过程略...)

=1 =

三、求下列函数的导数(15分)

⎰=122

arctan x dt

t y x

x x y ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=1 ()⎩⎨

⎧-=+=t

t y t x arctan 1ln 2

解:(过程略...)

8. 1. 2. 3. 2 ()()()4,3,3,2,2,1

x e y ='x <<ξ0()x e x f =0

e e >ξ()x

e x e e x =->-0001

+>x e x ()()()1cos /cos 12'+⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅-+=y x xy y xy x y y 四、综合题(每题10分,共40分)

1.求平面曲线11

ln )sin(=+-y

x xy 在0=x 处的切线方程和法线方程。 解:

把x=0代入原式得:e y = 所以2'e e y -= 切线方程:()e x e e y +-=2

法线方程:()

e x e e y +--

=2

1

2.一物体由静止开始运动,经过t 秒后的速度是23t 。问:(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2)物体走完360米需要多少时间? 解:设位移方程为()t f y =,由速度和位移的关系可导:

()[]23t t f dx

d

= ()C t t f +=3

又因为物体由静止开始运动,()00=f C=0 即:()3t t f = (1)()m f 27333== (2)令3603=t 3360=t s 3.曲线x y sin =(2

0π≤≤x )与直线2

π

=

x ,0=y 围成一平面图形。求(1)此平面图形的面积

S ;(2)该平面绕x 轴旋转体的体积V ; (1)[]1cos sin 2

02

0=⎰-==π

πx xdx S

(2)[]4

221sin 22

2

0πππππ

=⋅⋅=⎰=dx x V

4.证明不等式x e x

+>1(0≠x )。(注:Lagrange 中值定理)

证明:设 当x>0时,f (x )在闭区间[0,x]上满足Lagrange 中值定理的条件; 且:因此,根据定理,应有

()ξ

e x e e x 00-=-

其中, 由于,因此,从上式可得: 于是

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