(完整版)高等数学(上)期末测试卷A
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2
t
dt dy =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭
⎫
⎝⎛+=x x x x x x
11)1ln(14
arctan 2x x -=()()C x f x xf +-'
0=高等数学(上)期末测试卷A
(100分钟,试卷满分100分)
一、填空题(30分)
1.函数()x f 在[]b a ,上连续是()x f 在[]b a ,上可积的 充分 条件;(充分、充要、必要)
2.就奇偶性而言,函数()2
1
121+-=x x f 是 奇 函数;其导函数是 偶 函数; 3.如果x
e
-是函数()x f 的一个原函数,则()⎰=dx x f C e x
+- ;
4.已知曲线4
222y x y b ax x y +-=--=和在点()1-1
,处相切,则a= 8/5 ,b= 2/5 ; 5.如果()x f 在[-1,1]上连续且平均值为2,则()=⎰-dx x f 1
1 4 ;
6.设函数()x f 在点0x 处可导,则=∆-∆+→∆x x f x x f x )
()2(lim
000
()
'
x f
;
7.设()()dt e t x f t
x
⎰-=01,则f(x)的极小值为 e -2 ;
()=-⎰+→x
dt
t x
x cos 11ln lim 2sin 0
4 ;
9.经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 12+=x y ;
10.设0)(),4)(3)(2)(1()(=----=x f x x x x x f ,方程有 3 个根,它们分别在区间 ; 二.计算下列各题(15分)
1.x x x
x x cos cos lim +-→∞
2.()dx x xf ⎰'
' 3.dx
x x ⎰
π
2cos
解:(过程略...)
=1 =
三、求下列函数的导数(15分)
⎰=122
arctan x dt
t y x
x x y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=1 ()⎩⎨
⎧-=+=t
t y t x arctan 1ln 2
解:(过程略...)
8. 1. 2. 3. 2 ()()()4,3,3,2,2,1
x e y ='x <<ξ0()x e x f =0
e e >ξ()x
e x e e x =->-0001
+>x e x ()()()1cos /cos 12'+⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅-+=y x xy y xy x y y 四、综合题(每题10分,共40分)
1.求平面曲线11
ln )sin(=+-y
x xy 在0=x 处的切线方程和法线方程。 解:
把x=0代入原式得:e y = 所以2'e e y -= 切线方程:()e x e e y +-=2
法线方程:()
e x e e y +--
=2
1
2.一物体由静止开始运动,经过t 秒后的速度是23t 。问:(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2)物体走完360米需要多少时间? 解:设位移方程为()t f y =,由速度和位移的关系可导:
()[]23t t f dx
d
= ()C t t f +=3
又因为物体由静止开始运动,()00=f C=0 即:()3t t f = (1)()m f 27333== (2)令3603=t 3360=t s 3.曲线x y sin =(2
0π≤≤x )与直线2
π
=
x ,0=y 围成一平面图形。求(1)此平面图形的面积
S ;(2)该平面绕x 轴旋转体的体积V ; (1)[]1cos sin 2
02
0=⎰-==π
πx xdx S
(2)[]4
221sin 22
2
0πππππ
=⋅⋅=⎰=dx x V
4.证明不等式x e x
+>1(0≠x )。(注:Lagrange 中值定理)
证明:设 当x>0时,f (x )在闭区间[0,x]上满足Lagrange 中值定理的条件; 且:因此,根据定理,应有
()ξ
e x e e x 00-=-
其中, 由于,因此,从上式可得: 于是