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2019届高考理科数学专题 高考中的圆锥曲线问题

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专题18 圆锥曲线综合-2019年高考理数母题题源系列(天津专版)(解析版)

专题18 圆锥曲线综合-2019年高考理数母题题源系列(天津专版)(解析版)

【母题原题1】【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【答案】（1）22154x y +=；（2或． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,c b a ==222a b c =+，可得a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+，专题18 圆锥曲线综合进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -． 由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =±所以，直线PB的斜率为5或5-． 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．【母题原题2】【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值． 【答案】（1）22194x y +=；（2）111228或． 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-． 又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以k 的值为12或1128． 【母题原题3】【2017年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =；（2）330x -=或330x -=．【解析】（1）设F 的坐标为(,0)c -． 依题意，12c a =，2pa =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠， 与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =或2634my m -=+． 由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m mB m m -+-++． 由2(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m--+-+-+-=++， 令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+，所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD △22162232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||3m =，所以3m =±．所以，直线AP 的方程为330x +-=或330x --=．【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题中第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线的方程，第二步联立方程组求出点的坐标，写出直线的方程，利用面积求直线方程，利用代数的方法解决几何问题，即坐标化、方程化、代数化，这是解题的关键．（1）由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线的方程；（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，解出,P Q 两点的坐标，把直线AP 的方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线的方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △解方程求出m ，可得直线AP 的方程．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握． 【知识总结】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （或x ）得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，即联立两个方程得00Ax By C Fx y ++=⎧⎨=⎩，（，），消去y （或x ）得ax 2+bx+c=0（或ay 2+by+c=0）．以ax 2+bx+c=0为例进行讨论． （1）当a ≠0时，设一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l 与圆锥曲线C 相交；Δ=0⇔直线l 与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线l 与圆锥曲线C 相离．（2）当a=0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．注意：直线与椭圆（或圆）只有一个公共点是直线与椭圆（或圆）相切的充要条件，而直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点只是直线与双曲线（或抛物线）相切的必要不充分条件． 结论：（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．（2）过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．2．圆锥曲线中弦的相关问题（1）弦长的求解①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；②当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两个不同的点，则弦长|x 1–x 2|y 1–y 2|（k ≠0）； ③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． （2）弦中点问题圆锥曲线以P （x 0，y 0）（y 0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：其中k=1212y y x x --（x 1≠x 2），（x 1，y 1），（x 2，y 2）为弦的端点坐标．【方法总结】1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略： 一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解． 2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题 （1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．②面积问题常采用S三角形=12×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．（2）弦中点问题的解决方法①用“点差法”求解弦中点问题的步骤②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．点差法的用途：（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题（1）最值问题的求解方法①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．（2）求参数取值范围的常用方法①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题 （1）求解定点问题常用的方法①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明； ②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标． ③求证直线过定点（x 0，y 0），常利用直线的点斜式方程y –y 0=k （x –x 0）来证明． （2）求解定值问题常用的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．有关存在性问题的求解策略（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在． （2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．1．【天津市第一中学2019届高三下学期第五次月考数学】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F 、2F ，12F F =若圆Q 方程(()2211x y -+-=，且圆心Q 满足122QF QF a +=．（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点()0,1P 的直线1:1l y kx =+交椭圆1C 于A 、B 两点，过P 与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C 、D 两点，M 为线段CD 中点，若MAB △的面积为5，求k 的值． 【答案】（1）22142x y +=（2）k =【解析】（1）由题意可知：()1F，)2F，)Q12242a QF QF a ∴=+=⇒=，c =2222b a c ∴=-=，∴椭圆1C 的方程为22142x y+= （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，得()2212420kxkx ++-=，()222168213280k k k ∆=++=+>，122412k k x x +=-+，122212kx x =-+，12212AB x k ∴=-=+，M 为线段CD 中点，MQ CD ∴⊥，又12l l ⊥，//MQ AB ，MAB QAB S S ∴=△△，又点Q 到1l的距离d =，125MABSAB d ∴=⋅==△()()422222847180228902k k k k k k ∴--=⇒-+=⇒=⇒=．此时2:12l y x =±+，圆心Q 到2l的距离1h ==<，成立． 综上，k =【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2．【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练（一模）数学】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭，满足0m ≠，且m ≠ （1）求椭圆C 的方程；（2）若BME △面积是AMF △面积的5倍，求m 的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1m =±．【解析】（1）由题意可得：222222c e a AB b a b c ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆的方程为2214x y +=．（2）()()10,1,0,1,,2A B M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m=， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m =-，由221,411,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140mx mx +-=，∴240,1mx x m ==+，∴22241,11m m E m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 由221,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120m x mx +-=， ∴2120,9mx x m ==+，∴222129,99m m F m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．∵11sin sin 22AMF BME S MA MF AMF S MB ME BME =∠=∠△△，，AMF BME ∠=∠， 5AMF BME S S =△△，∴5MA MF MB ME =，∴5MAMBME MF=，∴22541219m mm mm m m m =--++， ∵0m ≠，且m ≠21m =，∴1m =±为所求． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一）数学】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离（1）求椭圆C 的方程； （2）设与圆O ：2234x y +=相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．【答案】（1）2213x y +=；（2【解析】（1）由题设：c bc a == 解得223,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2213x y +=．（2）设()()1122,x ,A x y B y 、， ①当AB ⊥x轴时，AB =，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，=，得()22314m k =+， 把y kx m =+代入椭圆方程消去y ， 整理得()222316330k x kmx m +++-=，有()2121222316,3131m km x x x x k k --+==++， ()()()()()222222212222121361k13131m k m AB x x k k k ⎡⎤-⎢⎥=+-=+-⎢⎥++⎣⎦()()()()()()2222222221213131913131k k m kk kk++-++==++()242221212330196196k k k k k k =+=+≠++++1234236≤+=⨯+，当且仅当2219,k k =，即3k =±时等号成立． 当0k =时，AB ，综上所述max 2AB =，从而△AOB【名师点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．4．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △面积为3，求k 的值． 【答案】（1）22142x y +=；（2）±【解析】（1）由题意，知2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=． （2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -．由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=．设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，()()422644218416k k k ∆∴=-+-=， 2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+． ()2012214221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭， 0012OP y k x k ∴==-，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=， ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12AB x ∴=-==12AP AB ==，241132221APMkS AP d k ∴=⋅==+△． 3AOMS =△，243213k k ∴=+，解得k =． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．5．【天津市河北区2019届高三一模数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）y =0或y =23x ．【解析】（1）由题222224112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a=b，c，∴椭圆C 的方程为22182x y +=． （2）由题，当1l 的斜率k =0时，PQ直线2:0l x y +=-与y 轴的交点（0，满足题意； 当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2214k x +=8，22814x k =+， 设P （00x y ，），则Q （00x y --，），222002288 ,,1414k x y PO k k ∴==∴==++ 又PQ 的垂直平分线方程为1y x k=-，由10y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得1x k y ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，M ⎛∴ ⎝⎭，MO ∴=，∵MPQ △为等边三角形，,MO ∴==解得k =0（舍去），k =23，∴直线1l 的方程为y =23x ，综上可知，直线1l 的方程为y =0或y =23x ． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查方程求法，弦长公式，等边三角形的应用，准确转化与化归，熟练计算是关键，是中档题．6．【天津市红桥区2019届高三一模数学】设1F 、2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，122F F =，直线1过1F 且垂直于x 轴，交椭圆C 于A 、B 两点，连接A 、B 、2F ，所组成的三角形为等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线m 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试问：椭圆C 上是否存在点P ，使O P O M O N =+成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）椭圆22:132x yC +=；（2）3(,22P ±【解析】（1）由122F F =可得1c =， 等边三角形2ABF △中：1AF =2AF =，则1AF+22AF a =，得a =又因为222b a c =-，所以b =则椭圆22:132x y C +=．（2）设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则由题意知的m 斜率为一定不为0，故不妨设:(1)m y k x =-，代入椭圆22:132x y C +=的方程中，整理得2222(32)6360k x k x k +-+-=，显然>0∆．由韦达定理有：2122632k x x k +=+，21223632k x x k -=+①且22121224(1)(1)32k y y k x x k -=--=+②假设存在点P ，使OP OM ON =+成立，则其充要条件为： 点1212(,)P x x y y ++，点P 在椭圆上，即221212()()132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=， 又A B 、在椭圆上，即2211236x y +=，2222236x y +=，故由①②代入：12124660x x y y ++=，解得k =3(,22P ±． 【名师点睛】解决解析几何中探索性问题的方法：存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．7．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F，且过点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线:(0)l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为M ，另一个交点为G ，过点F 且斜率为–1的直线与l 交于点N ，103FGM MNF S S =△△，求k 的值． 【答案】（1）2211612x y +=；（2）32k =或926k =【解析】（1）由题意得：222241231a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2216,12a b ==（负值舍去），所以椭圆的标准方程为：2211612x y +=；（2）设点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，由题意可得120y y >>，由103FGM MNF S S =△△，可得53FOM MNF S S =△△，52FON FOM S S =△△，即2125y y =，可得2211612y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，可得1y =易得NF 的解析式为：20x y +-=， 由20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，消去x ，可得221ky k =+，5221kk =⋅+，整理得：25296270k k -+=，解得32k =或926k =．【名师点睛】本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的关系，综合性大，由已知得出2125y y =是解题的关键．8．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知椭圆22221x y E a b=:+（0a b >>），12,F F 为其左右焦点，12,B B为其上下顶点，已知椭圆过点)，且四边形1122F B F B 的面积为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过定点()2,0M -的直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，若MP MQ λ=，当11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求OPQ △面积S 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）283⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵椭圆过点)，∴a =又∵四边形1122F B F B 的面积为2，∴22bc =， 结合222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）依题意，可设:2l x ty =-，联立222 12x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222420t y ty +-+=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，由0∆>，解得22t >， 且12242t y y t +=+，12222y y t =+，且易知()20M ，-，由 M P λMQ =可得12y y λ=， ∴()22222412 22t y t y t λλ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则221822t λλt ++=+，∵11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴9162,231λλ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，∴229182362t t <+<，∴24187 t <<，满足0∆>， ∴12122122OMQ OMPS S S OM y y y y t =-=-=-==⋅+△△，设m =m ∈⎝，∴22t m=+，∴244S m m m==++，∵4m m +在m ∈⎝递减，故S 关于m 递增，∴2,83S ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．本题在得到面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键．9．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学】设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线22:4C x y =的焦点重合，1F ，2F 分别是椭圆1C 的左、右焦点，离心率36=e ，过椭圆1C 右焦点2F 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得1OA OB ⋅=-，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由； （3）设点(),0M t 是一个动点，若直线l 的斜率存在，且N 为AB 中点，AB MN ⊥，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；（2）答案见解析；（3）03t <<．【解析】（1）抛物线22:4C x y =的焦点坐标为()0,1，故1b =，结合2231c e a a c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩可得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2213x y +=． （2）很明显直线的斜率存在，设()()1122,,,A x y B x y ，假设存在满足题意的直线方程：(y k x =，与椭圆方程2213x y +=联立可得：()()222231630k x x k +-+-=，则2212122263,3131k x x x x k k -+==++，则(212121212OA OB x x y y x x k x x⋅=+=+()()222121212k x x x x k =+++，结合题意和韦达定理有：()2222222631213131k k k k k -+⨯⨯+=-++，解得12k =±，即存在满足题意的直线方程：(12y x =±． （3）设()()()1122,,,,,N N Ax y B x y N x y ，设直线AB的方程为(()0y k x k =≠，由于222212121,133x x y y +=+=，两式作差整理变形可得：()()()()121212123x x x x y y y y +-=-+-，即3NNy k x =-① 又1N N y x t k=--②(N N y k x =③①×②可得：32N x t =④④代入③可得：32N y k t ⎛=⎝⑤④⑤代入①整理可得：2221133t k k ==++， 0k ≠，∴210k >，据此可得：211033k <<+，从而03t <<． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．10．【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）2019届高三上学期】设椭圆222210x y a b a b+=>>（）的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的焦距为AB 的斜率为23-． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线0l y kx k =<：（）与椭圆交于M N ，两点，且点M 在第二象限．l 与AB 延长线交于点P ，若BNP △的面积是BMN △面积的3倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2）89-．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得23ba ⎧-=-⎪=，所以32ab ==，， 所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点()()1100M x y P x y ，，，，由题意，010x x <<且()11N x y --，， 由BNP △的面积是BMN △面积的3倍，可得3PN MN =，所以3PN MN =，从而()()101011322x x y y x y ----=--，，， 所以1016x x x --=-，即015x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由236x y y kx +=⎧⎨=⎩，消去y ，可得0632x k =+．由方程组22194x y y kx⎧+==⎪⎨⎪⎩，消去y，可得1x = 由015x x =，可得632k =+， 整理得2182580k k ++=，解得89k =-或12k =-． 当89k =-时，090x =-<，符合题意；当12k =-时，0120x =>，不符合题意，舍去．综上，k 的值为89-．【名师点睛】本小题主要考查利用解方程组的方法求椭圆的标准方程，考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线和椭圆交点坐标的求法，考查三角形面积的利用，考查化归与转化的数学思想方法．属于中档题．11．【天津市和平区耀华中学2019届高三第一次校模拟考试数学】已知A 是圆224x y +=上的一个动点，过点A 作两条直线12l l ，，它们与椭圆2213xy +=都只有一个公共点，且分别交圆于点M N ，．（1）若()20A -，，求直线12l l ，的方程； （2）①求证：对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ②求AMN △面积的取值范围．【答案】（1）22y x y x =--=+，；（2）①证明见解析；②⎡⎤⎣⎦．【解析】（1）设直线的方程为()2y k x =+，代入椭圆2213x y +=，消去y ，可得()222213121230kxk x k +++-=，由0∆=，可得210k -=，设12l l ，的斜率分别为121211k k k k ∴=-=，，，， ∴直线12l l ，的方程分别为22y x y x =--=+，；（2）①证明：当直线12l l ，的斜率有一条不存在时，不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x =当1l 的方程为x =1l 与圆的交点坐标为)1±，2l ∴的方程为1y =（或121y l l =-⊥，成立，同理可证，当1l 的方程为x =当直线12l l ，的斜率都存在时，设点()A m n ，且224m n +=， 设方程为()y k x m n =-+，代入椭圆方程， 可得()221363230kxk n km x n km ++-+--=（）（），由0∆=化简整理得()2223210mkmnk n -++-=，()2222243230m n m k mnk m +=∴-++-=，， 设12l l ，的斜率分别为12k k ，，12121k k l l ∴=-∴⊥，成立， 综上，对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ②记原点到直线12l l ，的距离分别为12d d ，， 因为MA NA ⊥，所以MN 是圆的直径，所以2221212224MA d NA d d d OA ==+==，，，AMN △面积为12122S MA NA d d =⨯=，()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+，[][]221131216d S ∈∴∈，，，，4S ⎡⎤∴∈⎣⎦．【名师点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及求范围问题，综合性强，难度大．解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解．12．【天津市河北区2019届高三二模数学】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，且短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与椭圆C 交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）22182x y +=；（2）直线AB 与直线OP 平行，说明见解析．【解析】（1）由题意的：224112a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得a =b = ∴椭圆C 的方程为22182x y +=． （2）直线AB 与直线OP 平行，证明如下： 由题意，直线PA 的斜率存在且不为零，,PA PA '关于:2l x =对称，则直线PA 与PA '斜率互为相反数，设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2218221x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得()()222241168161640k x k k x k k +--+--=， 21216164241k k x k --∴=+，21288241k k x k --∴=+， 同理22288241k k x k +-=+，1221641k x x k ∴-=-+，()1121y k x =-+，()2221y k x =--+， ()121228441k y y k x x k k ∴-=+-=-+，121212AB y y k x x -∴==-， 又12OP k =，AB OP k k ∴=，故直线AB 与直线OP 平行．【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程求解、椭圆中的定值问题．本题解题的关键是能够通过直线与方程联立，借助韦达定理利用变量表示出点的坐标，从而可解得斜率为定值，进而证得结论．13．【天津市红桥区2019届高三二模数学】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，且FAB △的面积是1+． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），则直线1PQ 与x 轴交于点H ，求PQH △面积的取值范围． 【答案】（1）2214x y +=；（2）0,2PQH S ⎛∈ ⎝⎭△． 【解析】（1）由c e a ==得c =，则()111122FAB S a c b ab ⎛=+⋅=⨯+=+ ⎝⎭△2ab ⇒=， 则22222434a b c a a =+=+，解得：2a =，则1b =，c =， ∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）由1P 与Q 不重合可知：0m ≠，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：()224230m y my ++-=，0m ≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()111,P x y -， 则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 直线1PQ 的方程为：()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，解得212112112112x x x y x yx x y y y y y -+=+⋅=++，又111x my =+，221x my =+，则()()()211212121212121211221my y my y my y y y my y x y y y y y y +++++===++++2266411314224mm m m m m --+=+=+=+=--+． 即直线1PQ 与x 轴交点为：()4,0H ， ()1221341224PQHS y y m ∴=⨯-⨯-==+△，0m ≠，令t >223m t =-，26611PQH t S t t t∴==++△，当t >1t t+单调递增，则13t t+>，61t t∴<=+，又601t t>+， 0,2PQHS ⎛∴∈ ⎝⎭△． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的三角形面积的取值范围问题，解题的关键是能够通过已知条件确定出H 点坐标，从而将所求面积转化为求解函数值域的问题，通过函数值域的求法求得所求范围，本题思路虽然不复杂，但计算量较大，属于偏难题．14．【天津南开中学第五次月考数学】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点1⎛- ⎝⎭，且椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ，直线()0y kx k =>与直线AB 交于点D ，与椭圆交于E F ，两点（点E 在第一象限），满足ED DF λ=． （1）求椭圆的方程； （2）若四边形AEBF 的面积为145，求实数λ的值． 【答案】（1）2214x y +=；（2）16．【解析】（1）由题意可得c e a ==，又由点1⎛- ⎝⎭在椭圆上，即221314a b +=， 解得2241a b ==，，所求椭圆方程为2214x y +=；（2）由()()2,00,1A B ，，直线AB 的方程分别为22x y +=，设()00,D x kx ，联立方程组22y kx x y =⎧⎨+=⎩，解得0212x k =+，所以22,1212k D k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，又由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22144k x +=． 设()()1122E x y F x y ，，，，其中12x x >，故1212x x y y =-==-=．由题设，1BO =，2AO =．所以四边形AEBF 的面积为()()1122BEF AEF E F E F S S S OA y y OB x x =+=-+-△△1121214225E E k x y x y +=+=+===， 所以2242560k k -+=，23k ∴=或38， 23k =时，646464555577E F D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，1283535ED ，⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，7248=3535DF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，所以1=6λ；38k =时，838383555577E F D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，， 1663535ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，9636=3535DF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，所以1=6λ．综上，1=6λ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．15．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，它的一个顶点恰好是抛物线2x =-的焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过动点(0,)(0)M m m b <<的直线交x 轴的负半轴于点N ，交C 于点,A B （A 在第一象限），且M 是线段AN 的中点，过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点D ，延长线DM 交C 于点G ． ①设直线AM ，DM 的斜率分别为k ，'k ，证明：'30k k +=； ②求直线BG 的斜率的最小值．【答案】（1）22163x y +=；（2【解析】（1）抛物线2x =-的焦点是(0,，b ∴=22c a =且222a b c =+，a ∴=c = ∴椭圆C 的方程22163x y +=． （2）①设()00,A x y ，那么()00,D x y -，M 是线段AN 的中点()0,2A x m ∴，()0,2D x m -，。

专题17 圆锥曲线-2019年高考数学考纲解读与题型示例含答案

专题17 圆锥曲线-2019年高考数学考纲解读与题型示例含答案

专题17 圆锥曲线【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)． 【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． (2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义． ②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1来说，抓住a 、b 、c 间的关系是关键.【变式探究】(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.【变式探究】(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)． 设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2.所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．8 答案 A【感悟提升】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 D解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上， ∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4， 可得双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt△ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3. ∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 题型二 圆锥曲线的几何性质例2、 (2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 答案3－1 2解析 方法一 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，则n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.方法二 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ， 则n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2. 如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点， 设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1. 又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N两点，则FM →·FN →等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D【变式探究】(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33， 所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt△OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(2017·全国Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22 答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k >0， 依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， ∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . ∵cos∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos∠AF 2B ， ∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形． ∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2＝3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C ．(1,2) D.(]1，2 答案 A解析 根据正弦定理可知sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|，||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73.又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式探究】(1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ， 则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二 圆心到直线l 的距离为c 2－⎝⎛⎭⎪⎫223c 2＝c3， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c＝c3，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴c ＝2a ，b ＝3a ， ∴渐近线方程为y ＝±3x . 题型三 直线与圆锥曲线例3、(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 【变式探究】(2018·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1. (2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin∠OAB ，而∠OAB ＝π4， 所以|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4 . 由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128. 所以k 的值为12或1128. 【变式探究】[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)， 联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝23x ＋，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)．∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.【答案】D【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.【变式探究】(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22. (1)求椭圆的离心率；学_科网(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c 2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22. 又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12. (2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c＝1， 即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2， 即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2. 由已知|FQ |＝3c 2， 有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22， 整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)， 即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝ (c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2， 所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ， 所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8， 所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ， 整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点． (1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率； (2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a 3a 2＋b2，求椭圆的短轴与长轴的比值． 解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ，∴|AB |＝2b 2a ＝12a ， 即a 2＝4b 2， 故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ， 得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0， Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2， ∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·8a 2b 4a 2＋b 2 ＝4ab 2a 2＋b 2＝2a 3a 2＋b 2， ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12， ∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22. 【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x 20)(x 0≠0)．(1)求直线AB 的方程；(2)求|OB ||OD |的值． 解 (1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0.所以直线AB 的方程y －x 20＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，即直线AB 的方程为2x 0x －y －x 20＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2， y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以(1－mx 0)216m 4＝x 2012m 2， 解得mx 0＝－3±23，满足Δ>0. 所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43， 故|OB ||OD |＝|y B ||y D |＝43±6.。

2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)

2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)

2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。

（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。

已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。

P为C上一点，且PF⊥x轴。

过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。

若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。

2019届高考理科数学专题 高考中的圆锥曲线问题

2019届高考理科数学专题 高考中的圆锥曲线问题

理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
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命题角度有:
(1)证明直线、圆过定点; (2)求代数式为定值、求点到直线的距离为定值、求线段的长度为定值、与 曲线上的动点有关的定值问题.
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
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考向1 圆锥曲线的标准方程和几何性质
圆锥曲线的标准方程的求解,是高考的必考题型,一般出现在选择题和
解答题的第(1)问中;圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,主要的命题角
度有:求椭圆、双曲线的离心率,抛物线的准线,双曲线的渐近线.
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
考向4 圆锥曲线中的探索性问题
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
考情揭秘 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考的必考内容，在高考 中一般以两道小题和一道解答题的形式出现，涉及的主要方向有：圆锥曲 线的标准方程、几何性质、位置关系、定点定值问题、最值问题、范围问 题、探索性问题.对于解答题，第（1）问一般起点低，但第（2）问或第 （3）问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生运算求解能力的要求较高， 通常以压轴题的形式出现.
理科数学 微专题5：高考中的圆锥曲线问题
考向4 圆锥曲线中的探索性问题
圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性,此类问题的条件和结论
不完备,需要结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、抽象、

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

高考数学(理)真题专题汇编：圆锥曲线与方程

高考数学(理)真题专题汇编：圆锥曲线与方程

高考数学（理）真题专题汇编：圆锥曲线与方程一、选择题1.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷） 渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A.22B. 1C. 2D. 22.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①B. ②C. ①②D. ①②③3.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b4.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为A 2B 3C ．2D 55.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．86.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为ABC．D．7.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=8.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）设F 1，F 2是双曲线C ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP |，则C 的离心率为A ．5B ．2C ．3D ．29.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为(A) 221412x y -=(B) 221124x y -= (C) 22139x y -=(D) 22193x y -=10.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ）已知F1，F2是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A.23B．12C．13 D．14二、填空题11.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 12.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）设F 1，F 2为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.13.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．14.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.15.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．16.【来源】2018年高考真题——理科数学（北京卷）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 17.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ▲ ．三、解答题18.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知点F (1,0)为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S.（I ）求p 的值及抛物线的标准方程； （Ⅱ）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 19.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷） 已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷） （本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.21.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为22.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）（12分）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：△PQG 是直角三角形； （ii ）求△PQG 面积的最大值.23.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.24.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．25.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．26.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：13422=+y x 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：k ＜21-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0=++FB FA FP ．证明：|FA |，|FP |，|FB |成等差数列，并求该数列的公差．27.【来源】2018年高考真题——理科数学（北京卷）（本小题14分）已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．28.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1 (3,)2，焦点为12(3,0),(3,0)F F-，圆O 的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为26，求直线l的方程．29.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）(本小题满分14分)设椭圆22221x xa b+=(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为5，点A的坐标为(,0)b，且62FB AB⋅=（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：(0)y kx k=>与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若524AQAOQPQ=∠(O为原点) ，求k的值.30.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II）（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．试卷答案1. C 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c ==的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 2. C 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y+=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C. 3. B 【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B. 4. A ∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=解得2ca =2e =.5. D抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p ，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p .6. A由双曲线的方程22042x y -=可得一条渐近线方程为2y x =；在PFO ∆中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF因为2tan POF=2∠得到3PO =;所以13326224S PFO ∆=⨯⨯=;故选A. 7. B由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+by a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+y x . 8. C 由题可知在中，在 中,故选C. 9. C分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.10.D因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由AP斜率为得，，由正弦定理得 ,所以，选D.11.15【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.OF OM|=c=，【详解】方法1：由题意可知||=|2由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 求得315,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PFk ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径. 12.15)已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.13. 2由112,0F A AB F B F B =⋅=知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602be a=+=+︒=.14.2y x =±【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b-=，解得2b =或2b =-，因为0b >，所以2b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 15. 2 设则所以所以取AB中点 ,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为 ,因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1)所以，则即故答案为2.16.；312分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，17.2分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.18.（I ）由题意得12p =，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1. （Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t -=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t -+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-≥=+++++.当m =12S S取得最小值1+，此时G （2，0）. 19.(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。

2019年高考理数——圆锥曲线(解答)

2019年高考理数——圆锥曲线(解答)

2019年高考理数——圆锥曲线1.(19全国一理19．（12分）)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB u u u r u u u r，求|AB |．2.(19全国二理21．（12分）)已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.3.(19全国三理21．)已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.4.(19北京理（18）（本小题14分）)已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．设椭圆22 221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．6.(19浙江21．（本小题满分15分）)如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q 在点F的右侧．记,AFG CQG△△的面积分别为12,S S．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．参考答案：1．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．2．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k=+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．3．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或4.解：（Ⅰ）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =.（Ⅱ）抛物线C 的焦点为(0,1)F -.设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =.令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-.设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++u u u r u u u r 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++24(1)n =-++ 令0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.5. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =， 2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=． （Ⅱ）解：由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k=-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k -=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k =-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或．6.（1）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1. （2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故 220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =12S S取得最小值1+，此时G （2，0）．7.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以32 y=-.因此3(1,)2E--.11。

2019年数学圆锥曲线分析

2019年数学圆锥曲线分析

2019年高考各地区圆锥曲线汇总（2019，浙江，21）如图，已知点)0,1(F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于Q ，且Q 在F 的右侧，记△AFG ，△CQG的面积分别为21,S S .（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求21S S 的最小值及此时点G 的坐标.解析：（Ⅰ）由题得12=p ，及2=p 所以抛物线的准线方程为12-=-=p x （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的方程为xy 42=设)2,(2t t A ，所以122-=t t k AF ，故121:2+-=y tt x l AF 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==121422y t t x x y 得04)1(222=---y t t y 设),(22y x B ，),(33y x C 所以422-=⋅y t ，即t y 22-=，又B 在抛物线上，所以221t x =所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-t tB 2,12因为G 为△ABC 的重心，由坐标重心公式得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++322,313322y t t x t t G 由题得0223=+-y t t ，所以t ty 223-=因为C 在抛物线上，所以231⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t x ，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t C 22,12所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,3222224t t t G 因为t t t t t t t k AC 2122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=所以)(22:2t x t t y l AC -=-，令0=y ，得12-=t x 所以()0,12-t Q 由于Q 在F 的右侧，故112>-t ，即22>t |2||13222|212241t tt t S ⋅-+-⋅=t tt t t t S 22322212122422-⋅+---⋅=所以122124242421---=--=t t t t t S S 令)0(22>-=m t m ，22+=m t 所以231324123412342221+=+-≥++-=++-=mm m m m S S 当且仅当3=m 时，不等式取等号所以21S S 的最小值为231+，此时)0,2(Q （2019,全国Ⅰ文，21）已知点B A ,关于坐标原点O 对称，4||=AB ，M 过点B A ,且与直线02=+x 相切.（Ⅰ）若A 在直线上0=+y x ，求M 的半径；（Ⅱ）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MP MA -为定值？并说明理由.解析：（Ⅰ）设圆M 的半径为r由于圆M 经过B A ,，所以圆心M 经过B A ,的垂直平分线，又A 经过0=+y x ，所以圆心M 经过直线xy =设),(a a M ，由于圆M 与2-=x 相切，所以ra =+|2|因为AB 中点O 与M 共线，所以AOMO ⊥由题可知2=AO ，所以2224a r +=联立⎩⎨⎧+==+2224|2|a r r a ，解得当0=a 时，4=r 当4=a 时，6=r 所以圆M 的半径为4或6（Ⅱ）设),(y x M ，由题得rx =+|2|又AO MO ⊥，所以2224ry x =++所以222)2(4+=++x y x ，化简得xy 42=故M 的轨迹为抛物线所以存在定点)0,1(P ，动点A 在直线1-=x ，使得||||MA MP -为定值，定值为0（2019,全国Ⅰ理，19）已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为B A ,，与x 轴的交点为P .（Ⅰ）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（Ⅱ）若3AP PB = ，求||AB .解析：（Ⅰ）设直线m y x l +=32:，设),(),,(2211y x B y x A 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y m y x 3322得0322=--m y y 所以⎩⎨⎧-=*=+(**)3)(22121m y y y y由题得254||||21=+⇒=+x x BF AF 252)(322121=++=+m y y x x 所以127=m ，所以12732:+=y x l （Ⅱ）由（Ⅰ）知m y x l +=32:，令0=y ，得m x =所以)0,(m P 由于3AP PB = ，得),(3),(2211y m x y x m -=--即*)*(*321y y -=由(*)和*)*(*得1,321-==y y 代入(**)得1=m 所以31341249414)(11||212212=+⋅+=-+⋅+=m y y y y k AB （2019,全国Ⅱ文，20）已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为C 上一点,O 为坐标原点.（Ⅰ）若△2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（Ⅱ）如果存在点P ，使得21PF PF ⊥，且△21PF F 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.解析：（Ⅰ）连接1PF ，由题得△2POF 为等边三角形，所以 9021=∠PF F 因为c PF OF ==22，又因为aPF PF 221=+所以ca PF -=21所以2212221F F PF PF =+，即02222=-+a ac c 所以0222=-+e e ，解得13-=e （Ⅱ）设),(00y x P 由题知(*)162||210=c y因为21PF PF ⊥，所以10000-=-⋅+cx y c x y ，即(**)22020c y x =+又因为P 在椭圆上，所以*)*(*1220220=+by a x 又*)*(*(**),(*),可得4=b ，)()(2222022b c a x b a -=-，所以22bc ≥因为3222222=≥+=b c b a ，所以24≥a ，当且仅当c b =取等号所以),24[+∞∈a （2019,全国Ⅱ理，21）已知点)0,2(-A ，)0,2(B ，动点),(y x M 满足直线AM 与BM 的斜率之积为21-，记M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（Ⅱ）过坐标原点的直线交C 于Q P ,两点，点P 在第一象限，x PE ⊥轴，垂足为E 连接QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：△PQG 是直角三角形；（ii ）求△PQG 面积的最大值.解析：（Ⅰ）由题得21-=⋅BM AM k k ，即2122-=-⋅+x y x y 整理得)2|(|12422≠=+x y x 所以C 为椭圆（Ⅱ）（i ）设直线kxy l PQ =:联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=12422y x kx y 得2212k x +±=设)0,(),,(),,(11111x E kx x Q kx x P --所以2211k x kx k QE ==，则)(2:1x x k y l QE -=联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=124)(2221y x x x k y 得=-+-+42)21(121222x k x x k x k 设),(22y x G 所以2121221k x k x x +=+-，即22122)23(k k x x ++=，则21322k x k y +=所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2132212,2)23(k x k k k x G 则k x k k x kx k x k k PG 12)23(212211213-=-++-+=所以1-=⋅PQ PG k k ，所以△PQG 为直角三角形（ii ）不妨设01>x ，0>k ，所以2112||k x PQ +=22122112212|2)23(|1||k k kx k k x x k PG ++=++-+=所以1)1(2)1(8)2)(21()1(82121221||||21222222121+++=+++=++⋅+⋅==kk k k k k k k k k kx k x PG PQ S PQG △令)2(1≥+=t k k t ，所以t t t t S PQG 1281282+=+=△设t t t f 21)(+=，则212)(tt f -='所以当),2(+∞∈t 时0)(>'t f ，)(t f 单调递增所以29)2()(=≥f t f 所以916298=≤PQG S △所以△PQG 面积的最大值为916（2019,全国Ⅲ，21）已知曲线2:2x y C =，D 为直线21-=y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A ,.（Ⅰ）证明：直线AB 过定点；（2019,全国Ⅲ文，21（Ⅱ））（Ⅱ）若以)25,0(E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.（2019,全国Ⅲ理，21（Ⅱ））（Ⅲ）若以)25,0(E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积解析：（Ⅰ）设21,(0-x D ，易得直线AB 的方程为210+=x x y 当0=x 时，21=y 所以直线AB 过定点)21,0(（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==21202x x y y x 得01202=--x x x 所以0212x x x =+，121-=x x 121)(2021021+=++=+x x x x y y 所以AB 的中点212,(200+x x P 设该圆的半径为r 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+r x x r x 2202020)25212(12，解得10±=x ，00=x 当00=x 时，2=r ，所以圆的方程为4)25(22=-+y x当10±=x 时，2=r ，所以圆的方程为225(22=-+y x （Ⅲ）=-+=||1||212x x k AB )1(220x +设E 点到直线AB 的距离为1d ，D 点到直线AB 的距离为2d 所以()21||21d d AB S +=由（Ⅱ）知00=x 或10±=x 当00=x 时21:=y l AB 所以2||=AB ，21=d ，12=d 所以33221=⨯⨯=S 当10±=x 时，21:+±=x y l AB 所以4||=AB ，2221=+d d 所以24=S （2019,北京文，19）已知椭圆1:2222=+by a x C 的右焦点为)0,1(，且经过点()1,0A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线)1(:±≠+=t t kx y l 与椭圆C 交于两个不同点Q P ,，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2||||=ON OM ，求证：直线l 经过定点解析：（Ⅰ）由题得1,1==b c ，所以2=a 所以椭圆C 的方程为1222=+y x （Ⅱ）设),(),,(2211y x Q y x P 111x y k AP -=，所以x x y y l AP 1111:-=-令0=y ，则111y x x -=所以)0,1(11y x M -，同理)0,1(22y x N -联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 1222得0224)12(222=-+++t ktx x k 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+12221242221221k t x x k kt x x 有题得2|1||1|2211=--y x y x 所以212))((22121221=+-++-+t t x x k kt x x k x x 212124)(122212222222222=+-++--++-+-t t k kt k kt k t k k t 整理得0=t 所以kx y l =:，所以l 恒过定点)0,0(（2019,北京理，18）已知抛物线py x C 2:2-=，经过点)1,2(-.（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作直线不为0的直线l 交抛物线C 于N M ,两点，直线1-=y 分别交直线ON OM ,于点A 和B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴的两个定点.解析：（Ⅰ）因为C 经过)1,2(-所以p 24=，即2=p 所以y x C 4:2-=准线方程为1=y （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，设直线1:-=kx y l MN 联立⎩⎨⎧-=-=yx kx y 412得0442=-+kx x 所以k x x 421-=+，421-=x x 因为11x y k OM =，所以x x y y l OM 11:=令1-=y ，得11y x x -=，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,11y x A 同理⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,22y x B 设y 轴上点),0(t Q ，因为圆经过Q ，所以0QA QB ⋅= 11,1x QA t y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，22,1x QB t y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以0)1(22121=++t y y x x ，4)1(2=+t 解得3-=t 或1=t 所以以AB 的圆经过y 轴两个定点)1,0(),3,0(-（2019,江苏，17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆22224)1(:a y x F =+-交于点A ，与椭圆C 交于点D ，连接1AF 并延长交圆2F 于点B ，连接2BF 交椭圆C 于点E ，连接1DF .已知251=DF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点E 的坐标.解析：（Ⅰ）有题得1=c 因为ab DF 22||=，221=F F 所以425424=+a b ，所以a b 322=又因为222c a b -=，所以02322=--a a ，解得2=a ，3=b 所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x （Ⅱ）易得)4,1(A ，所以2241==AF k 所以22:1+=x y l AF 联立⎩⎨⎧=+-+=16)1(2222y x x y 得011652=-+x x 所以511-=B A x x ，即511-=B x ，512-=B y 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--512,511B ，则4351115122=+=BF k ，所以)1(43:2-=x y l BF 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)1(4313422x y y x 得013672=--x x 解得1-=x 或713=x 因为E 是直线2BF 与椭圆的交点，所以1-=x 所以23-=y ，所以E 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1（2019,天津文，19）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知||2||3OB OA =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为43的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4=x 上，且AP OC //，求椭圆的方程.解析：（Ⅰ）由题得b a 23=，即2243ba =又因为222cb a +=，所以224ca =所以椭圆的离心率21=e （Ⅱ）设圆心),4(m C ，圆的半径为r由（Ⅰ）得c a 2=，c b 3=，所以椭圆的方程为1342222=+cy c x 设)(43:c x y l +=联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=134)(432222c y c x c x y 得0136722=-+c cx x 解得c x =或c x 713-=当c x =时，c y 23=，满足题意当c x 713-=时，c y 149-=，不符合题意故⎪⎭⎫ ⎝⎛c c P 23,因为AP OC //，所以APOC k k =)0,2()0,(c A a A -⇒-所以cc c m 2234+=，解得2=m 因为圆C 与x 轴相切，所以2=r 所以圆的方程为()()42422=-+-y x又因为圆C 与直线l 相切，所以2534=+c ，解得2=c 所以32,4==b a 所以椭圆的标准方程为1121622=+y x （2019,天津理，18）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上，下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若||||OF ON =（O 为原点），且MN OP ⊥，求直线PB 的斜率.解析：（Ⅰ）由题得55,2==a c b 又因为222c b a +=，可得52=a 所以椭圆的方程为14522=+y x （Ⅱ）由题得)2,0(B ，设),(00y x P 所以002x y k PB -=，所以22:00+-=x x y y l PB 令0=y ，解得0022y x x -=，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2200y x M 因为1||=OF ，N 在y 轴负半轴，且||||ON OF =所以)1,0(-N 由于MN OP ⊥，所以0OP MN ⋅= 则(*)2202020y y x -=因为P 在椭圆上，所以(**)1452020=+y x 由(*)和(**)得710,730200-=±=y x 所以5302±=PB k （2019,上海，20）已知椭圆14822=+y x ，21,F F 为其左、右焦点，直线l 过点2F 且交椭圆于B A ,两点.（Ⅰ）AB 垂直于x 轴，求AB ；（Ⅱ）若 901=∠AB F ，且A 在x 轴上方，求B A ,两点坐标；（Ⅲ）直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N ，问：是否存在直线l ，使得MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）由于2,22==b a 所以222282||2===a b AB （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A 由题得120AF AF ⋅= 所以42121=+y x 又因为A 在椭圆上，所以1482121=+y x 联立可得2,011==y x 所以直线AB 的方程为xy -=2联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148222y x x y 得⎩⎨⎧==20y x 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3238y x 所以)2,0(A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,38B （Ⅲ）设直线AB 为myx +=2联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=148222y x my x 得044)2(22=-++my y m 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2424221221m y y m m y y 2111+=x y k AF ，所以)2(2:111++=x x y y l AF 令0=x ，则2211+=x y y 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22,011x y M ，同理⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22,022x y N 所以|16)(4|||8|2222|2|2222|212121221221122111+++-=+-+=+-+=y y m y y m y y x y x y x y x y S MN F △因为||1||11||212212y y m y y k AB -+=-+=，点1F 到直线AB 的距离214m d +=所以||2211y y S AB F -=△由题得||2|16)(4|||8212121221y y y y m y y m y y -=+++-1162162442222=++-++-m m m m 所以|8||2|22m m -=+，解得3±=m所以直线AB 的方程为23+±=y x 故存在直线23:+=y x l 使得MN F AB F S S 11△△=。

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用方面，我们可以寻找符合条件的等量关系和进行等价转换，数形结合。

需要注意的是，定义的适用条件也要考虑清楚。

典型例题：例1：已知动圆M与圆C1：(x+1)^2+y^2=36内切，与圆C2：(x-1)^2+y^2=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：已知方程x^2/y^2+1=1表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断焦点位置之前，需要先将圆锥曲线化成标准方程。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题：例1：已知方程x^2/a^2+y^2/b^2=1表示的焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围。

例2：已知方程9-x^2/5-y^2/k=0，求k的取值使得方程为椭圆或双曲线。

题型三：圆锥曲线焦点三角形问题圆锥曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

常用正弦、余弦定理求解。

同时，PF，PF' = n，m+n，m-n，mn，m+n这四个关系也有应用。

典型例题：例1：椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求ΔF1PF2的面积。

例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求ΔF1PF2的面积。

双曲线的标准方程为什么？题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在求离心率、渐近线时，需要利用a、b、c三者的相等或不等关系式进行计算，同时注重数形结合思想和不等式解法。

典型例题：例1：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，渐近线方程为y=(b/a)x，求a、b、c的大小关系式和渐近线的最值或范围。

2019二卷数学圆锥曲线

2019二卷数学圆锥曲线

2019二卷数学圆锥曲线
2019年高考数学二卷的圆锥曲线部分，是许多考生心中的痛点。

圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，它涉及的知识点广泛，对思维能力要求高，因此难度较大。

在2019年的高考数学二卷中，圆锥曲线部分更是成为了一个难点，许多考生在此部分失分严重。

圆锥曲线部分主要考察了椭圆的性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系等知识点。

其中，最让考生头疼的是计算问题。

由于涉及到的数学公式较多，计算过程繁琐，很多考生在解题过程中出现了错误，导致最终答案不准确。

为了更好地掌握圆锥曲线部分的知识点，考生需要在平时的学习中多加练习。

通过大量的练习，考生可以逐渐掌握解题技巧，提高计算能力和思维敏捷度。

此外，考生还需要注重基础知识的学习，掌握椭圆的基本性质和标准方程，以便在解题时能够灵活运用。

除了练习和基础知识的学习，考生还需要注意一些细节问题。

例如，在解题过程中要仔细审题，避免因为看错题目或理解错误而导致失分。

同时，考生还需要注意计算的准确性和速度，在考试时合理安排时间，避免因为时间不够而影响最终成绩。

总之，2019年高考数学二卷的圆锥曲线部分难度较大，需要考生在平时的学习中多加练习，注重基础知识的学习和细节问题的处理。

只有这样，考生才能够在考试中取得更好的成绩。

2019年高考圆锥曲线部分大题解析

2019年高考圆锥曲线部分大题解析

2019年高考圆锥曲线部分大题解析1.已知点P在抛物线C:y^2=4x的y轴左侧（不含y轴）一点，且存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在C上。

1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；对于抛物线C:y^2=4x上的动点P(x,y)，求△PAB面积的取值范围。

2）若P是半椭圆x^2/4+y^2/16=1上的一点，解析：（1）设P(x,y)，A(y1^2/4,y1)，B(y2^2/4,y2)。

由于PA、PB的中点均在C上，因此有：PA: y^2-2yy1+4x-y1^2=0PB: y^2-2yy2+4x-y2^2=0解得y1+y2=2y，y1y2=8x-y^2.因此，PM的斜率为(y1-y2)/(y/2-x)=2(y1-y2)/(y-4x)，而C的导数为dy/dx=2/y，因此PM与C的切线垂直，即PM垂直于y轴。

2）由(1)可知y1+y2=2y，y1y2=8x-y^2.因此，|PM|=1/2√(y1+y2)^2/4-(y/2-x)^2=y^2/2-3x，|y1-y2|=2√(y1y2)=2√(8x-y^2)。

因此，|PM|·|y1-y2|=1/2(y-4x)^2/3，因此△PAB的面积范围为[6√2,15/√2]。

2.已知斜率为k的直线l与椭圆C: 4x^2/3+y^2/4=1交于A、B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)。

1）证明：k<-1/2；2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FP+FA+FB=0，证明：FP、FA、FB为等差数列，并求出该数列的公差。

解析：（1）由中点弦公式k=-2m/(4/3)=-(3/2)m，因此k<-1/2.2）由题意知FA+FB=2FM，FP=-2FM，因此P(1,-2m)。

因为点P在椭圆上，代入可得m=3，k=-1/2，即|F P|=2/√5.根据第二定义可知，|FA|=2-2x1/√(16-9x1^2)，|FB|=2-2x2/√(16-9x2^2)，|FA|+|FB|=4-(x1+x2)/√(16-9x1^2)(16-9x2^2)。

2019年高考数学理真题分项解析：专题09 圆锥曲线

2019年高考数学理真题分项解析：专题09 圆锥曲线

专题九 圆锥曲线1.【2019高考新课标Ⅰ，理10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2.【2019高考新课标Ⅱ，理8】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．3.【2019高考新课标Ⅱ，理11】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A. 2B. 3C. 2D.5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．4.【2019高考新课标Ⅲ，理10】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A.324B.322C. 22D. 32【解析】 【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题． 【详解】由222,2,6,a b c a b ===+=．6,2P PO PF x =∴=Q ， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上， 1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5.【2019高考北京卷，理4】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B .【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.6.【2019高考北京卷，理8】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.7.【2019高考天津卷，理5】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A .2B. 3C. 2D. 5【答案】D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题18圆锥曲线的综合问题热点难点突破理含解析

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题18圆锥曲线的综合问题热点难点突破理含解析

圆锥曲线的综合问题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 2与抛物线y 2＝4的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，求|AC |＋|BD |的最小值．解 (1)抛物线y 2＝4的焦点坐标为(1,0)，所以c ＝1，又因为e ＝c a ＝1a ＝33，所以a ＝3， 所以b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)①当直线BD 的斜率存在且≠0时，直线BD 的方程为y ＝(＋1)，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1， 并化简得(32＋2)2＋62＋32－6＝0. Δ＝364－4(32＋2)(32－6)＝48(2＋1)>0恒成立．设B (1，y 1)，D (2，y 2)，则1＋2＝－6k 23k 2＋2，12＝3k 2－63k 2＋2， |BD |＝1＋k 2·|1－2|＝()1＋k 2·[]x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝43()k 2＋13k 2＋2. 由题意知AC 的斜率为－1k， 所以|AC |＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13×1k2＋2＝43()k 2＋12k 2＋3.|AC |＋|BD |＝43()k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋2＋12k 2＋3 ＝203()k 2＋12()3k 2＋2()2k 2＋3≥203()k 2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤()3k 2＋2＋()2k 2＋322 ＝203()k 2＋1225k 2＋124＝1635. 当且仅当32＋2＝22＋3，即＝±1时，上式取等号，故|AC |＋|BD |的最小值为1635. ②当直线BD 的斜率不存在或等于零时，可得|AC |＋|BD |＝1033>1635. 综上，|AC |＋|BD |的最小值为1635. 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为点D ，右焦点为F 2(1,0)，延长DF 2交椭圆C 于点E ，且满足|DF 2|＝3|F 2E |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 2作与轴不重合的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，设椭圆C 的左顶点为点H ，且直线HA ，HB 分别与直线＝3交于M ，N 两点，记直线F 2M ，F 2N 的斜率分别为1，2，则1与2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)椭圆C 的上顶点为D (0，b )，右焦点F 2(1,0)，点E 的坐标为(，y )．∵|DF 2|＝3|F 2E |，可得DF 2→＝3F 2E →，又DF 2→＝(1，－b )，F 2E →＝(－1，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝43，y ＝－b 3，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫432a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 32b 2＝1，又a 2－b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.∴y M ＝y 1()3＋2x 1＋2.同理可得y N ＝y 2()3＋2x 2＋2，∴M ，N 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，y 1()3＋2x 1＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，y 2()3＋2x 2＋2， ∴12＝y M －03－1·y N －03－1＝14y M y N ＝14·y 1()3＋2x 1＋2·y 2()3＋2x 2＋2＝y 1y 23＋224()my 1＋1＋2()my 2＋1＋2＝y 1y 23＋224⎣⎡⎦⎤m 2y 1y 2＋()1＋2m ()y 1＋y 2＋()1＋22＝－11－62m 2＋24⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－m 2m 2＋2＋－2()1＋2m 2m 2＋2＋3＋22＝－11－62m 2＋24×6＋42m 2＋2＝42－98. ∴1与2之积为定值，且该定值是42－98. 6．已知平面上动点P 到点F ()3，0的距离与到直线＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为m ＋ny ＝1.①设直线l 与圆2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程，并探究：若M (m ，n )是曲线Γ：A 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：m ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设P (，y )，由题意，得()x －32＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32. 整理，得x 24＋y 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2， ∵直线与圆有两个不同交点C ，D ，∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2. 又∵m 24＋n 2＝1(m ≠0)，∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4.∵|m |≤2，∴0<m 2≤4，∴0<1－43m 2＋4≤34. ∴|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(]0，3，即|CD |的取值范围为(]0，3.②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1；当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为＝12. 根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为42＋y 2＝1.下面证明：直线m ＋ny ＝1(n ≠0)与42＋y 2＝1相切， 其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4.由⎩⎨⎧ 4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得(m 2＋4n 2)2－2m ＋1－n 2＝0，即42－2m ＋1－n 2＝0，∴Δ＝4m 2－16()1－n 2＝4()m 2＋4n 2－4＝0恒成立，从而直线m ＋ny ＝1与椭圆E ′：42＋y 2＝1恒相切． 若点M ()m ，n 是曲线Γ：A 2＋By 2＝1()A ·B ≠0上的动点，则直线l ：m ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A ＋y 2B ＝1()A ·B ≠0恒相切．7. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F 2(1,0)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝(－4)(≠0)与椭圆C 由左至右依次交于M ，N 两点，已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程．解析：(1)由F 2(1,0)，知c ＝1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1＋b 2，1a 2＋94b 2＝1，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为y ＝(－4)，所以直线l 过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G 在直线＝0上．当直线l 过椭圆C 的上顶点时，M (0，3)，所以直线l 的斜率＝－34，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x －4x 24＋y 23＝1，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝335，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335， 由(1)知A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 所以直线lA 1M 的方程为y ＝32(＋2)，直线lA 2N 的方程为y ＝－332(－2)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，332，所以G 在直线＝1上．当直线l 不过椭圆C 的上顶点时，设M (1，y 1)，N (2，y 2)，由 ⎩⎨⎧ y ＝k x －4x 24＋y 23＝1，得(3＋42)2－322＋642－12＝0， 所以Δ＝(－322)2－4×(3＋42)·(642－12)＞0，得－12＜＜12， 1＋2＝32k 23＋4k 2，1·2＝64k 2－123＋4k 2， 易得直线lA 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(＋2)，直线lA 2N 的方程为y ＝y 2x 2－2(－2)，当＝1时，3y 1x 1＋2＝－y 2x 2－2得212－5(1＋2)＋8＝0，所以264k 2－123＋4k 2－5×32k 23＋4k 2＋83＋4k 23＋4k 2＝0显然成立，所以G 在直线＝1上． 8．已知平面直角坐标系内两定点A (－22，0)，B (22，0)及动点C (，y )，△ABC 的两边AC ，BC 所在直线的斜率之积为－34.(1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若(1)中轨迹E 上存在两点M ，N 使得MP →＝2PN →，求以AP 为直径的圆的面积的取值范围．解析：(1)由已知，AC ·BC ＝－34，即y x ＋22·y x －22＝－34， 所以32＋4y 2＝24，又三点构成三角形，所以y ≠0， 所以点C 的轨迹E 的方程为x 28＋y 26＝1(y ≠0)． (2)设点P 的坐标为(0，t )当直线MN 的斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63. 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝＋t (≠0)， M (1，y 1)，N (2，y 2)，则由MP →＝2PN →得1＝－22. ① 联立得⎩⎨⎧ y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1，得(3＋42)2＋8t ＋4t 2－24＝0，当Δ＞0得642t 2－4(3＋42)(4t 2－24)＞0，整理得t 2＜82＋6.所以1＋2＝－8kt 3＋4k 2，12＝4t 2－243＋4k 2， ②。

2019届高考理数9.8圆锥曲线的综合问题

2019届高考理数9.8圆锥曲线的综合问题

§9.8圆锥曲线的综合问题考纲解读分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.五年高考考点一定值与最值及范围问题1.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.解析(1)设直线AP的斜率为k,k==x-,因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)解法一:联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是x Q=.因为|PA|==(k+1),|PQ|=(x Q-x)=-,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.解法二:如图,连接BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ=·(-)=·-.易知P(x,x2),则·=2x+1+2x2-=2x2+2x+,=+=x2+x++x4-x2+=x4+x2+x+.Ⅰ|AP|·|PQ|=-x4+x2+x+.设f(x)=-x4+x2+x+,则f'(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,Ⅰf(x)在上为增函数,在上为减函数,Ⅰf(x)max=f(1)=.故|AP|·|PQ|的最大值为.2.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M是线段OC 延长线上一点,且|MC|Ⅰ|AB|=2Ⅰ3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.解析(1)由题意知e==,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y整理得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=.由题意可知圆M的半径r=|AB|=·.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立得x2=,y2=,因此|OC|==.由题意可知sin==,而==,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此=·=·=·≥1,当且仅当=,即t=2时等号成立,此时k1=±,所以sin≤,因此≤,所以∠SOT的最大值为.综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率k1=±.3.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).(1分)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.(4分)因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(5分)(2)由题意,t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.(7分)由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+|=.(8分)由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.(9分)由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.(10分)t>3等价于=<0,即<0.(11分)由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).(12分)教师用书专用(4—15)4.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.答案B5.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案6.(2016山东,21,14分)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2.求的最大值及取得最大值时点P的坐标.解析(1)由题意知=,可得a2=4b2.因为抛物线E的焦点F的坐标为,所以b=,所以a=1.所以椭圆C的方程为x2+4y2=1.(2)(i)设P(m>0).由x2=2y,可得y'=x,所以直线l的斜率为m.因此直线l方程为y-=m(x-m),即y=mx-.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.由Δ>0,得0<m<(或0<m2<2+),(*)且x1+x2=,因此x0=.将其代入y=mx-,得y0=.因为=-,所以直线OD方程为y=-x.联立得点M的纵坐标y M=-,所以点M在定直线y=-上.(ii)由(i)知直线l方程为y=mx-.令x=0,得y=-,所以G.又P,F,D,所以S1=·|GF|·m=,S2=·|PM|·|m-x0|=××=.所以=.设t=2m2+1.则===-++2,当=,即t=2时,取到最大值,此时m=,满足(*)式,所以P点坐标为.因此的最大值为,此时点P的坐标为.7.(2015课标全国Ⅰ,20,12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.解析(1)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M==,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P.由得=,即x P=.将点的坐标代入l的方程得b=,因此x M=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是=2×,解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.8.(2015浙江,19,15分)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,Ⅰ将AB中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-.Ⅰ由ⅠⅠ得m<-或m>.(2)令t=∈∪,则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.9.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解析(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立得消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=>,解得-<x<-1,或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.Ⅰ当x∈时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈.Ⅰ当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.10.(2014浙江,21,15分)如图,设椭圆C:+=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.解析(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为.又点P在第一象限,故点P的坐标为.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离d=,整理得d=.因为a2k2+≥2ab,所以≤=a-b,当且仅当k2=时等号成立.所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.11.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.Ⅰ(i)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k≠0时,方程Ⅰ的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).Ⅰ设直线l与x轴的交点为(x0,0),由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.Ⅰ1°若由ⅠⅠ解得k<-1或k>.即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.2°若或则由ⅠⅠ解得k∈或-≤k<0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.3°若则由ⅠⅠ解得-1<k<-或0<k<.即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.12.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.解析(1)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|==,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2.而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2.综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.13.(2013陕西,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.解析(1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,Ⅰ|O1M|=,又|O1A|=,Ⅰ=,化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,Ⅰ动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x. (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x1+x2=,Ⅰx1x2=,Ⅰ因为x轴平分∠PBQ,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,Ⅰ将Ⅰ,Ⅰ代入Ⅰ得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,Ⅰk=-b,此时Δ>0,Ⅰ直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).14.(2013安徽,18,12分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解析(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q的坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1.化简得=-(2a2-1).Ⅰ将Ⅰ代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.15.(2013山东,22,13分)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2.若k≠0,试证明+为定值,并求出这个定值.解析(1)由于c2=a2-b2,将x=-c代入椭圆方程+=1,得y=±,由题意知=1,即a=2b2.又e==,所以a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)解法一:设P(x0,y0)(y0≠0).又F1(-,0),F2(,0),所以直线PF1,PF2的方程分别为:y0x-(x0+)y+y0=0,:y0x-(x0-)y-y0=0.由题意知=.由于点P在椭圆上,所以+=1.所以=.因为-<m<,-2<x0<2,所以=.所以m=x0.因此-<m<.解法二:设P(x0,y0).当0≤x0<2时,Ⅰ当x0=时,直线PF2的斜率不存在,易知P或P.若P,则直线PF1的方程为x-4y+=0.由题意得=-m,因为-<m<,所以m=.若P,同理可得m=.Ⅰ当x0≠时,设直线PF1,PF2的方程分别为y=k1(x+),y=k2(x-).由题意知=,所以=.因为+=1,并且k1=,k2=,所以===,即=.因为-<m<,0≤x0<2且x0≠,所以=.整理得m=,故0≤m<且m≠.综合ⅠⅠ可得0≤m<.当-2<x0<0时,同理可得-<m<0.综上所述,m的取值范围是.(3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).联立得整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(-2kx0y0+k2-1)=0.由题意知Δ=0,即(4-)k2+2x0y0k+1-=0.又+=1,所以16k2+8x0y0k+=0,故k=-.由(2)知+=+=,所以+==·=-8,因此+为定值,这个定值为-8.考点二存在性问题1.(2015北京,19,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)由题意得解得a2=2.故椭圆C的方程为+y2=1.设M(x M,0).因为m≠0,所以-1<n<1.直线PA的方程为y-1=x,所以x M=,即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(x N,0),则x N=.“存在点Q(0,y Q)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,y Q)使得=”,即y Q满足=|x M||x N|.因为x M=,x N=,+n2=1,所以=|x M||x N|==2.所以y Q=或y Q=-.故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.点Q的坐标为(0,)或(0,-).2.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,所以设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意得Δ=+=0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=,当≠4时,k AE==-=,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.教师用书专用(3)3.(2013湖北,21,13分)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.解析依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1:+=1,C2:+=1.其中a>m>n>0,λ=>1.(1)解法一:如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|,所以=.在C1和C2的方程中,分别令x=0,可得y A=m,y B=n,y D=-m,于是===.若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.解法二:如图1,若直线l与y轴重合,则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|.所以===.若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.(2)解法一:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则d1==,d2==,所以d1=d2.又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ,即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)·|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是=.Ⅰ将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得x A=,x B=.根据对称性可知x C=-x B,x D=-x A,于是===.Ⅰ从而由Ⅰ式和Ⅰ式可得=.Ⅰ令t=,则由m>n,可得t≠1,于是由Ⅰ式可解得k2=.因为k≠0,所以k2>0.于是Ⅰ式关于k有解,当且仅当>0,等价于(t2-1)<0.由λ>1,可解得<t<1,即<<1,由λ>1,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.解法二:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则d1==,d2==,所以d1=d2.又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ.因为===λ,所以=.由点A(x A,kx A),B(x B,kx B)分别在C1,C2上,可得+=1,+=1,两式相减可得+=0,依题意得x A>x B>0,所以>.所以由上式解得k2=.因为k2>0,所以由>0,可解得1<<λ.从而1<<λ,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一定值与最值及范围问题1.(人教A选2—1,二A,5,变式)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x无交点,则其离心率e的取值范围是()A.(1,2)B.(1,2]C.(1,)D.(1,]答案D2.(2017湖南长沙模拟,11)P是双曲线C:-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为()A.1B.2+C.4+D.2+1答案D3.(2018河北五校12月联考,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF的面积为(O是坐标原点).(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上的一点,过P的直线l与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限,切点为M,证明:|PF|+|PM|为定值.解析(1)设椭圆的半焦距为c,由已知得⇒Ⅰ椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:以短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1,F(1,0),设P(x0,y0),则+=1(0<x0≤).Ⅰ|PF|=====(2-x0).又l与圆x2+y2=1相切于M,Ⅰ|PM|=====x0,Ⅰ|PF|+|PM|=(2-x0)+x0=,为定值.考点二存在性问题4.(2018四川乐山模拟,20)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2+=0,过A,Q,F2三点的圆的半径为2.过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H 两点(点G在点M,H之间).(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.解析(1)因为2+=0,所以F1为F2Q的中点.由F1(-c,0),F2(c,0)及已知得Q的坐标为(-3c,0),因为AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,且过A,Q,F2三点的圆的圆心为F1(-c,0),半径为2c,所以2c=2,解得c=1,所以a=2,b=,所以所求椭圆方程为+=1.(2)假设存在点P满足题意,由已知得l的方程为y=kx+2(k>0),与椭圆方程联立,消去y可得(3+4k2)x2+16kx+4=0.设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1+x2=-,Δ=(16k)2-16(3+4k2)>0,又k>0,Ⅰk>.+=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2)=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4),=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)).由于菱形的对角线互相垂直,故(+)·=0,所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0,即(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0.因为k>0,所以x2-x1≠0.所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0.所以(1+k2)+4k-2m=0.解得m=-,即m=-.因为k>,所以+4k≥2=4当且仅当k=时,“=”成立,所以-≤m<0,故存在满足题意的点P,且m的取值范围是.5.(2017河北唐山模拟,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问:是否存在k使得以CD为直径的圆过E点?请说明理由.解析(1)直线AB的方程为bx-ay-ab=0,依题意可得解得Ⅰ椭圆的方程为+y2=1.(2)存在.理由:假设存在这样的k.联立得(1+3k2)x2+12kx+9=0,由题意知Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0,Ⅰ设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-,Ⅰx1·x2=,Ⅰ而y1·y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE⊥DE时成立,则y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,Ⅰ(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0,Ⅰ将ⅠⅠ代入Ⅰ整理得k=,经验证,k=时Ⅰ成立.综上可知,存在k=使得以CD为直径的圆过点E.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:30分钟)一、选择题(共5分)1.(2017河南郑州一模,11)已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则·的值为()A.3B.4C.5D.与P的位置有关答案A二、解答题(共30分)2.(2018湖南长沙模拟)已知动圆M在圆F1:(x+1)2+y2=外部且与圆F1相切,同时还在圆F2:(x-1)2+y2=内部与圆F2相切.(1)求动圆圆心M的轨迹方程;(2)记(1)中求出的轨迹为C,C与x轴的两个交点分别为A1、A2,P是C上异于A1、A2的动点,直线l:x=与x轴交于点D,直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|为定值.解析(1)设动圆M的半径为r,由已知得|MF1|=+r,|MF2|=-r,|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|,ⅠM点的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,故圆心M的轨迹方程为+=1.(2)设P(x0,y0),由已知得A1(-2,0),A2(2,0),则=,直线PA1的方程为:y=(x+2),=,直线PA2的方程为:y=(x-2),当x=时,E,F,Ⅰ|DE|·|DF|=(+2)×(-2)=×2,又Ⅰ(x0,y0)满足+=1,Ⅰ=-,Ⅰ|DE|·|DF|=-×2=,为定值.3.(2017广东汕头二模,20)已知O为坐标原点,圆M:(x+1)2+y2=16,定点F(1,0),点N是圆M上一动点,线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q,点Q的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点,曲线E与y轴的交点分别为B1、B2,直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点,请问线段长之积|OC|·|OD|是否为定值?如果是,请求出定值;如果不是,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若点C的坐标为(-1,0),过点C的直线l与E相交于A、B两点,求△ABD面积的最大值.解析(1)连接FQ,则|FQ|=|NQ|,Ⅰ|MQ|+|FQ|=|MQ|+|QN|=|MN|=4>|MF|,根据椭圆的定义得,E是以M(-1,0),F(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆,Ⅰ2a=4,即a=2,又Ⅰ焦点为(1,0),即c=1,Ⅰb2=a2-c2=4-1=3.故点Q的轨迹E的方程为+=1.(2)是定值.设P(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±3),不妨设B1在y轴负半轴上,则直线B1P的方程为y=x-.令y=0,得x C=,同理得x D=,Ⅰ|OC|·|OD|=|x C|·|x D|=.Ⅰ点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点,Ⅰ+=1,即3=4(3-),Ⅰ|OC|·|OD|==4,因此|OC|·|OD|是定值,且定值为4.(3)当点C的坐标为(-1,0)时,点D(-4,0),|CD|=3,设直线l的方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3m2+4)y2-6my-9=0,Δ=36(4m2+4),y1,2=,Ⅰ|y1-y2|=,△ABD的面积S=×|y1-y2|×3=·==.Ⅰm2≥0,Ⅰ≥1,又函数y=3x+在[1,+∞)上为增函数,Ⅰ3+≥4,ⅠS≤,Ⅰ当m=0,即直线AB的方程为x=-1时,△ABD的面积最大,且最大值为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法1.(2017江西南昌NCS项目模拟,11)抛物线y2=8x的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,若x1+x2+4=|AB|,则∠AFB的最大值为()A. B. C. D.答案D2.(2018天津模拟,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0),且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.(1)求椭圆C的离心率;(2)若点M在椭圆C上,不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,与直线OM相交于点N,且N是线段AB 的中点,求△OAB面积的最大值.解析(1)由题意得a-c=b,则(a-c)2=b2,结合b2=a2-c2,得(a-c)2=(a2-c2),即2c2-3ac+a2=0,亦即2e2-3e+1=0,结合0<e<1,解得e=.所以椭圆C的离心率为.(2)由(1)得a=2c,则b2=3c2.将代入椭圆方程+=1,解得c2=1.所以椭圆方程为+=1.易得直线OM的方程为y=x.当直线l的斜率不存在时,线段AB的中点不在直线y=x上,故直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),与+=1联立消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由y1+y2=k(x1+x2)+2m=,得线段AB的中点坐标为N,因为N在直线y=x上,所以-=2×,解得k=-.所以Δ=48(12-m2)>0,得-2<m<2,且m≠0,|AB|=|x2-x1|=·=·=.又原点O到直线l的距离d=,所以S△OAB=××=≤·=.当且仅当12-m2=m2,即m=±时等号成立,符合-2<m<2,且m≠0.所以△OAB面积的最大值为.3.(2017河南新乡调研,21)设O为坐标原点,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,抛物线C2:x2=-ay的准线方程为y=.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(2)设过定点M(0,2)的直线与椭圆C1交于不同的两点P,Q,若O在以PQ为直径的圆的外部,求直线的斜率的取值范围.解析(1)由题意得=,Ⅰa=2,故抛物线C2的方程为x2=-2y,又e=,Ⅰc=,Ⅰb=1,从而椭圆C1`的方程为+y2=1.(2)显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2).由得(1+4k2)x2+16kx+12=0,ⅠΔ=(16k)2-4×12×(1+4k2)>0,Ⅰk∈∪,x1+x2=,x1x2=,根据题意,得0<∠POQ<⇔·>0,Ⅰ·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+2k×+4=>0,Ⅰ-2<k<2,综上得k∈∪.方法2圆锥曲线中的定值、定点问题的解题方法4.(2018江苏启东模拟,20)设顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4),过P作抛物线的动弦PA,PB,并设它们的斜率分别为k PA,k PB.(1)求抛物线的方程;(2)若k PA+k PB=0,求证直线AB的斜率为定值,并求出其值;(3)若k PA·k PB=1,求证直线AB恒过定点,并求出其坐标.解析(1)依题意,可设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),因抛物线过点(2,4),故42=4p,解得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则k PA===,同理,k PB=,k AB=.Ⅰk PA+k PB=0,Ⅰ+=0,Ⅰ=,Ⅰy1+4=-y2-4,Ⅰy1+y2=-8,Ⅰk AB=-1.Ⅰ直线AB的斜率恒为定值-1.(3)Ⅰk PA k PB=1,Ⅰ·=1,Ⅰy1y2+4(y1+y2)-48=0.直线AB的方程为y-y1=,即(y1+y2)y-y1y2=8x.将y1y2=-4(y1+y2)+48代入上式得(y1+y2)(y+4)=8(x+6),该直线恒过定点(-6,-4),命题得证.5.(2018河南新乡模拟,20)已知右焦点为F的椭圆M:+=1(a>)与直线y=相交于P,Q两点,且PF⊥QF.(1)求椭圆M的方程:(2)O为坐标原点,A,B,C是椭圆M上不同的三点,并且O为△ABC的重心,试探究△ABC的面积是否为定值.若是,求出这个定值;若不是,说明理由.解析(1)设F(c,0),P,Q,将点P的坐标代入椭圆方程可得+=1,即t2=a2,Ⅰ由PF⊥QF,可得·=-1,即c2-t2=-,Ⅰ由ⅠⅠ可得c2=a2-.又a2-c2=3,解得a=2,c=1,故椭圆方程为+=1.(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,由O为△ABC的重心,可得=-(+)=,由C在椭圆上,得3+4=12,化简可得4m2=3+4k2,|AB|=·=·=·,C到直线AB的距离d==,S△ABC=|AB|·d=·=·=.当直线AB的斜率不存在时,|AB|=3,d=3,S△ABC=|AB|·d=.综上可得,△ABC的面积为定值.6.(2017福建福州模拟,20)已知点P是直线l:y=x+2与椭圆+y2=1(a>1)的一个公共点,F1,F2分别为该椭圆的左,右焦点,设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C.(1)求椭圆C的标准方程及离心率;(2)已知A,B为椭圆C上关于y轴对称的两点,Q是椭圆C上异于A,B的任意一点,直线QA,QB分别与y轴交于点M(0,m),N(0,n),试判断mn是否为定值,如果为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.解析(1)联立得(a2+1)x2+4a2x+3a2=0.Ⅰ直线y=x+2与椭圆有公共点,ⅠΔ=16a4-4(a2+1)×3a2≥0,得a2≥3,又a>1,Ⅰa≥,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,故当a=时,|PF1|+|PF2|取得最小值,此时椭圆C的标准方程为+y2=1,离心率为=.(2)mn为定值.设A(x1,y1),B(-x1,y1),Q(x0,y0)(y0≠y1),且已知M(0,m),N(0,n),由题意知k QA=k QM,Ⅰ=,即m=y0-=,同理,得n=,Ⅰmn=·=,又+=1,+=1,Ⅰ=1-,=1-,Ⅰmn===1,Ⅰmn为定值1.方法3存在性问题的解题策略7.(2016吉林长春外国语学校第一次质量检测,21)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,若4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值并证明你的结论;若不是,请说明理由.解析(1)依题意可得又a2=b2+c2,Ⅰa=2,b=1.Ⅰ椭圆C的方程是+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,Ⅰ直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,且4k=k1+k2,Ⅰ4k=+=+,得2kx1x2=m(x1+x2),Ⅰm2=,经检验满足Δ>0.。

2019高考数学圆锥曲线与方程真题汇总(一题不拉)

2019高考数学圆锥曲线与方程真题汇总(一题不拉)

(2019•上海20)已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；(2)当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；(3)若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S =V V ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)依题意，2(2,0)F ，当AB x ⊥轴时，则A，(2,B ，得||AB = (2)设1(A x ，1)y ，11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒Q ，∴2212111111(2,)(2,)40AF AF x y x y x y =+-=-+=u u u r u u u u r g g ，又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即22114(1)8x y =-，∴221144(1)08x x -+-=，解得10x =，即(0,2)A ．直线:2AB y x =-+，联立222184y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得8(3B ，2)3-；(3)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ，直线:2l x my =+，则11212121||||2||2F AB S F F y y y y =-=-V g ，1134341||||||2F MN S FO y y y y =-=-V g ． 联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)440m y my ++-=．则12242m y y m +=-+，12242y y m -=+． 由直线1AF 的方程：11(2)2y y x x =++，得M 纵坐标13122y y x =+；由直线1BF 的方程：22(2)2y y x x =++，得N 的纵坐标24222y y x =+． 若11F AB F MNS S =V V ，即12342||||y y y y -=-，121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，12|(4)(4)|4my my ∴++=，21212|4()16|4m y y m y y +++=，代入根与系数的关系，得22244|416|422m m m m m --++=++g，解得m =．∴存在直线20x +-=或20x --=满足题意．(2019•上海12)已知2()||(1,0)1f x a x a x =->>-，()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图象上任意一点P ，在其图象上总存在另一点(Q P 、Q 异于)A ，满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a = ．【解答】解：由题意，可知： 令2()||01f x a x =-=-，解得：21x a=+，∴点A 的坐标为：2(1a +，0)．则2,11()2,1AAa x x x f x a x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪-+>⎪-⎩…．()f x ∴大致图象如下：由题意，很明显P 、Q 两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P 在左边曲线上，点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k ，则2:(1)AP l y k x a=--． 联立方程：2(1)21y k x ay ax ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，整理，得：222[(2)](1)20kx a k x k a a a +-+++--=．2(2)22P A a k a a x x k a k-+∴+=-=+-．21A x a =+Q ，221P A a ax x a k k∴=+--=-． 再将1P ax k=-代入第一个方程，可得： 2P k y a a=--． ∴点P 的坐标为：(1a k -，2)k a a--．||AP ∴==AP AQ ⊥Q ，∴直线AQ 的斜率为1k -，则12:(1)AQ l y x k a=---．同理类似求点P 的坐标的过程，可得： 点Q 的坐标为：2(1,)ak a ak-+．||AQ ∴===||||AP AQ =Q ，及k 的任意性，可知：224a a=，解得：a =(2019•上海9)过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A ，B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，则λ= ．【解答】解：过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A ，B ，A 在B 上方，依题意：得到：(1A ，2)(1B ，2)-，设点(,)M x y ，所以：M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，则：(x ，)(1y λ=，2)(2)(1λ+-，2)(22λ-=-，4)，代入24y x =，得到：3λ=． 故答案为：3(2019•浙江21)如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积分别为1S ，2S ． (Ⅰ)求p 的值及抛物线的准线方程； (Ⅱ)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【解答】解：(Ⅰ)由抛物线的性质可得：12p=，2p ∴=，∴抛物线的准线方程为1x =-； (Ⅱ)设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，(C C x ，)C y ，重心(G G x ，)G y ，令2A y t =，0t ≠，则2A x t =，由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为2112t x y t -=+，代入24y x =，得：222(1)40t y y t ---=，24B ty ∴=-，即2B y t =-，21(B t ∴，2)t -，又1()3G A B C x x x x =++，1()3G A B C y y y y =++，重心在x 轴上，∴220C t y t -+=，21(()C t t∴-，12())t t -，422222(3t t G t -+，0)，∴直线AC 的方程为222()y t t x t -=-，得2(1Q t -，0)，Q Q 在焦点F 的右侧，22t ∴>，∴424222142442222521|||2|||||223221222211|||||1||2|23A C t t t FG y S t t t t t t S t t QG y t t t t-+--====--+-----g g g g，令22m t =-，则0m >，1221322213433424S m S m m m m m m=-=--=++++++g …，∴当3m =时，12S S 取得最小值为31+，此时(2,0)G ． (2019•浙江15)已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．【解答】解：椭圆22195x y +=的3a =，5b =，2c =，23e =，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆，连接AO ，可得||2||4PF AO '==，设P 的坐标为(,)m n ，可得2343m -=，可得32m =-，15n =，由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为 15215322=-+． 另解：由||2||4PF AO '==，||642PF =-=，||24FF c '==，可得416161cos 2244PFF +-'∠==⨯⨯，115sin 116PFF '∠=-=，可得直线PF 的斜率为sin 15cos PFF PFF '∠='∠．故答案为：15．(2019•浙江2)渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( ) A ．22B ．1C ．2D ．2【解答】解：根据渐近线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a = 则该双曲线的离心率为2ce a==，故选：C ． (2019•江苏17)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．【解答】解：(1)如图，22F A F B =Q ，22F AB F BA ∴∠=∠，22212F A a F D DA F D F D ==+=+Q ，1AD F D ∴=，则11DAF DF A ∠=∠，12DF A F BA ∴∠=∠，则12//F D BF ，1c =Q ，221b a ∴=-，则椭圆方程为222211x y a a +=-，取1x =，得21D a y a -=，则22112a a AD a a a -+=-=． 又152DF =，∴2152a a +=，解得2(0)a a =>．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)由(1)知，3(1,)2D ，1(1,0)F -，∴2133224BF DF k k ===，则23:(1)4BF y x =-，联立223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22118390x x --=． 解得11x =-或2137x =(舍)． ∴132y =-．即点E 的坐标为3(1,)2--．(2019•江苏7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．【解答】解：Q 双曲线2221(0)y x b b -=>经过点(3,4)，∴221631b-=，解得22b =，即b ．又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是y =．故答案为：y =．(2019•天津文19)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已|2||(OA OB O =为原点)． (Ⅰ)求椭圆的离心率； (Ⅱ)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．【解答】解：(Ⅰ|2||OA OB =2b =，可得12c e a ==；(Ⅱ)b =，12c a =，即2a c =，b =，可得椭圆方程为2222143x y c c +=，设直线FP 的方程为3()4y x c =+，代入椭圆方程可得2276130x cx c +-=，解得x c =或137cx =-，代入直线PF 方程可得32c y =或914cy =-(舍去)，可得3(,)2c P c ，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，可设(4,)C t ，可得3242ctc c=+，解得2t =，即有(4,2)C ，可得圆的半径为2，由直线FP 和圆C 相切的条件为d r =2=，解得2c =，可得4a =，b =椭圆方程为2211612x y +=．(2019•天津理18)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点)，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【解答】解：(Ⅰ)由题意可得24b =，即2b =，c e a ==222a b c -=，解得a =，1c =，可得椭圆方程为22154x y +=；(Ⅱ)(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程224520x y +=，可得22(45)200k x kx ++=，解得22045k x k =-+或0x =，即有220(45kP k -+，22810)45k k -+，2y kx =+，令0y =，可得2(M k-，0)，又(0,1)N -，OP MN ⊥，可得281011220k k k-=---g ，解得k =可得PB的斜率为 (2019•天津理5文6)已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点)，则双曲线的离心率为( ) ABC ．2D【解答】解：Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．(1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l Q 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点)，2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24ba=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为ce a=故选：D ．(2019•北京文19)已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若||||2OM ON =g，求证：直线l 经过定点． 【解答】解：(Ⅰ)椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．可得1b c ==，a =，则椭圆方程为2212x y +=；(Ⅱ)证明：y kx t =+与椭圆方程2222x y +=联立，可得222(12)4220k x ktx t +++-=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，△2222164(12)(22)0k t k t =-+->，122412kt x x k+=-+，21222212t x x k -=+，AP的方程为1111y y x x -=+，令0y =，可得111xx y =-，即11(1x M y -，0)； AQ 的方程为2211y y x x -=+，令0y =，可得221x y y =-．即22(1xN y -，0)． 1212121212(1)(1)1()1()()(2)y y y y y y kx t kx t kx kx t --=+-+=+++-++2222222224(1)(12)()()121212t kt t t t k kt k k k k --=+-++--=+++g g ，||||2OM ON =g ，即为1212||211x xy y =--g ，即有22|1|(1)t t -=-，由1t ≠±，解得0t =，满足△0>，即有直线l 方程为y kx =，恒过原点(0,0)．(2019•北京文11)设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 ．【解答】解：如图，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，Q 所求圆的圆心F ，且与准线1x =-相切，∴圆的半径为2． 则所求圆的方程为22(1)4x y -+=． 故答案为：22(1)4x y -+=．(2019•北京文5)已知双曲线2221(0)x y a a-=>，则(a = )AB ．4C ．2D ．12【解答】解：由双曲线2221(0)x y a a -=>，得21b =，又c e a =，得225c a =，即2222215a b a a a ++==，解得214a =，12a =． 故选：D ．(2019•北京理18)已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． (Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程；(Ⅱ)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解答】解：(Ⅰ)抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =，可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；(Ⅱ)证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，可得124x x k +=-，124x x =-，直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-，直线ON 的方程为22y y x x =，即24x y x =-，可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-，可得AB 的中点的横坐标为121142()224k k x x -+==-g ，即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为12||144||222AB x x =-==，可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+，化为224(1)4x kx y -++=，由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．(2019•北京理8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【解答】解：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈，所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=„，(当x y =时取等)，222x y ∴+„，∴，即曲线C 上y ，根据对称性可得：曲线C ②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．(2019•北京理4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【解答】解：由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =． 故选：B ．(2019•新课标Ⅲ文21)已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． (1)证明：直线AB 过定点．(2)若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【解答】(1)证明：设D (t ，−12)，A (x 1，y 1)，则x 12=2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1−t=x 1，整理得：2tx 1﹣2y 1+1＝0．设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2﹣2y 2+1＝0． 故直线AB 的方程为2tx ﹣2y +1＝0． ∴直线AB 过定点(0，12)；(2)解：由(1)得直线AB 的方程y ＝tx +12． 由{y =tx +12y =x22，可得x 2﹣2tx ﹣1＝0． 于是x 1+x 2=2t ，y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1．设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2+12)，由于EM →⊥AB →，而EM →=(t ，t 2−2)，AB →与向量(1，t )平行，∴t +(t 2﹣2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1． 当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4； 当t ＝±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2．(2019•新课标Ⅲ理21)已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【解答】解：(1)证明：y =x 22的导数为y ′＝x ，设切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即有y 1=x 122，y 2=x 222，切线DA 的方程为y ﹣y 1＝x 1(x ﹣x 1)，即为y ＝x 1x −x 122，切线DB 的方程为y ＝x 2x −x 222，联立两切线方程可得x =12(x 1+x 2)，可得y =12x 1x 2=−12，即x 1x 2＝﹣1，直线AB 的方程为y −x 122=y 1−y 2x 1−x 2(x ﹣x 1)，即为y −x 122=12(x 1+x 2)(x ﹣x 1)，可化为y =12(x 1+x 2)x +12，可得AB 恒过定点(0，12)；(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝kx +12，由(1)可得x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣1，AB 中点H (k ，k 2+12)，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为|EH |，可得|12−52|√1+k 2=√k 2+(k 2−2)2，解得k ＝0或k ＝±1，即有直线AB 的方程为y =12或y ＝±x +12，由y =12可得|AB |＝2，四边形ADBE 的面积为S △ABE +S △ABD =12×2×(1+2)＝3； 由y ＝±x +12，可得|AB |=√1+1•√4+4=4，此时D (±1，−12)到直线AB 的距离为|1+12+12|√2=√2；E (0，52)到直线AB 的距离为|12−52|√2=√2，则四边形ADBE 的面积为S △ABE +S △ABD =12×4×(√2+√2)＝4√2； 法二：(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx +12． 由{y =tx +12y =x22，可得x 2﹣2tx ﹣1＝0． 于是x 1+x 2＝2t ，x 1x 2＝﹣1，y 1+y 2＝t (x 1+x 2)+1＝2t 2+1，|AB |=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1=√t 2+1，d 2=2√t +1．因此，四边形ADBE 的面积S =12|AB |(d 1+d 2)＝(t 2+3)√t 2+1． 设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2+12)．由于EM →⊥AB →，而EM →=(t ，t 2−2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t +(t 2﹣2)t ＝0．解得t ＝0或t ＝±1．当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4√2． 综上，四边形ADBE 的面积为3或4√2． (2019•新课标Ⅲ理14文15)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为 ． 【解答】解：设M (m ，n )，m ，n ＞0，椭圆C ：x 236+y 220=1的a ＝6，b ＝2√5，c ＝4，e =c a =23，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，△MF 1F 2为等腰三角形，可能|MF 1|＝2c 或|MF 2|＝2c ，即有6+23m ＝8，即m ＝3，n =√15； 6−23m ＝8，即m ＝﹣3＜0，舍去． 可得M (3，√15)． 故答案为：(3，√15)．(2019•新课标Ⅲ文理10)双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A ．3√24B ．3√22 C ．2√2 D ．3√2【解答】解：双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F (√6，0)，渐近线方程为：y =±√22x ，不妨P 在第一象限，可得tan ∠POF =√22，P (√62，√32)，所以△PFO 的面积为：12×√6×√32=3√24． 故选：A ．(2019•新课标Ⅱ文20)已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解答】解：(1)连接1PF ，由2POF ∆为等边三角形可知在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，2||PF c =，1||PF =，于是122||||1)a PF PF c =+=，故曲线C 的离心率1ce a==． (2)由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当：1||2162y c =g ，1y y x c x c=-+-g ，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b +=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c =，故4b =，由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b …，从而2222232a b c b =+=…，故a …4b =，a …点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞．(2019•新课标Ⅱ理21)已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．【解答】解：(1)由题意得1222y y x x ⨯=-+-，整理得曲线C 的方程：221(0)42x y y +=≠，∴曲线C 是焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆；(2)()i 设0(P x ，0)y ，则0(Q x -，0)y -，0(E x ，0)，(G G x ，)G y ，∴直线QE 的方程为：000()2y y x x x =-，与22142x y +=联立消去y ，得22222220000000(2)280x y x x y x x y x +-+-=，∴2220000220082G x y x x x x y --=+，∴2002200(8)2G y x x x y -=+，∴220000022000(4)()22G G y y x y y x x x x y --=-=+，∴G PG G y y k x x -=-220000220020002200(4)2(8)2y x y y x y x y x x y ---+=--+232300000002320000004282y y x y y x y x x y x x y ----=--- 2200022000(432)2(4)y x y x y x --=--，把220024x y +=代入上式，得2200022000(434)2(442)PG y x x k x y y --+=--+ 20020022y x x y -⨯=00x y =-，0000()1PQ PG y xk k x y ∴⨯=⨯-=-，PQ PG ∴⊥，故PQG ∆为直角三角形； 1()||()2PQG G Q ii S PE x x ∆=⨯- 001()2G y x x =+ 200002200(8)1[]22y x y x x y -=++ 22200000220082122y x y y x x y -++=⨯+ 20002200(4)2y x x x y +=+ 222000002200(2)2y x x y x x y ++=+ 22000022002()2y x x y x y +=+ 220000222200008()(2)(2)y x x y x y x y +=++ 330000442200008()225y x x y x y x y +=++ 0000200008()2()1x y y x x y y x +=++令0000x y t y x =+，则2t …，2881212PQG t S t t t∆==++ 利用“对号”函数1()2f t t t =+在[2，)+∞的单调性可知，19()4(222f t t +==…时取等号)，∴816992PQG S ∆=„(此时00x y =，故PQG ∆面积的最大值为169． (2019•新课标Ⅱ理11文12)设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为()ABC ．2D【解答】解：如图，以OF 为直径的圆的方程为220x y cx +-=，又圆O 的方程为222x y a +=，PQ ∴所在直线方程为2a x c=．把2a x c =代入222x y a +=，得2ab PQ c =，再由||||PQ OF =，得2ab c c=，即22244()a c a c -=，22e ∴=，解得e故选：A ．(2019•新课标Ⅱ理8文9)若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则(p = )A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：由题意可得：23()2pp p -=，解得8p =．故选：D ．(2019•新课标Ⅰ理10文12)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【解答】解：22||2||AF BF =Q ，2||3||AB BF ∴=，又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=，又12||||2BF BF a +=，2||2a BF ∴=，2||AF a ∴=，13||2BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=，12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=，在△12BF F 中，由余弦定理可得222134()()22cos 222a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得214202a a a -+=，解得23a =，a ∴=． 222312b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：22132x y +=．故选：B ．(2019•新课标Ⅰ文10)双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130︒，得tan130tan50b a -=︒=-︒，则sin50tan50cos50b a ︒=︒=︒，∴2222222222501115050b c a c sin a a a cos cos -︒==-==-︒︒，得22150e cos =︒，1cos50e ∴=︒． 故选：D ．(2019•新课标Ⅰ理19)已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．(1理)若||||4AF BF +=，求l 的方程； (2理)若3AP PB =u u u r u u u r，求||AB ．【解答】解：(1理)设直线l 的方程为3()2y x t =-，将其代入抛物线23y x =得：22999(3)0424x t x t -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1293422934t x x t ++==+，①，212x x t =②，由抛物线的定义可得：1243||||2432AF BF x x p t +=++=++=，解得712t =，直线l 的方程为3728y x =-． (2理)若3AP PB =u u u r u u u r ，则123y y =-，∴1233()3()22x t x t -=-⨯-，化简得1234x x t =-+，③由①②③解得1t =，13x =，213x =，||AB ∴=． (2019•新课标Ⅰ文21)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M e 过点A ，B 且与直线20x +=相切．(1)若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【解答】解：M Q e 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M e 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =，又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中，2221(||)2d AB R +=，即224R +=① 又M Q e 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴e 的半径为2或6；(2)Q 线段AB 为M e 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上，设点M的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M Q e 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+，22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++，24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．。

2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线

2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线

(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y xB. 12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x答案： B解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+by a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+yx . (2019全国1)16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=，则C 的离心率为 . 答案：2解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b e a=+=+︒=.(2019全国1) 19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3=，求||AB . 答案：（1）07128=+-x y ；（2）3134. 解答：（1）设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ， 联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆， ∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB . （2019全国2）8. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案：D 解答：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p .（2019全国2）11. 设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案:A解答：∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=解得2ca=，即2e =.（2019全国2）21. 已知点(2,0),(2,0)A B -，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .①证明：PQG ∆是直角三角形； ②求PQG ∆的面积的最大值. 答案： 见解析 解答：(1)由题意得：1222y y x x ⋅=-+-，化简得： 221(2)42x y x +=≠±，表示焦点在x 轴上的椭圆（不含与x 轴的交点）.(2) ①依题意设111100(,),(,),(,)P x y Q x y G x y --，直线PQ 的斜率为k (0)k > ，则101010101010,PG GQ y y y y y y k k x x x x x x ---+===---+，∴2210221012PG GQy y k k x x -⋅==--， 又1111122GQ EQ y y kk k x x x -====--，∴1PG k k=-， ∴PG PQ ⊥，即PQG ∆是直角三角形.②直线PQ 的方程为(0)y kx x =>，联立22142y kx x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得12122121x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ ， 则直线21111111111:()k PG y x x y x x kx x x k k k k k +=--+=-++=-+， 联立直线PG 和椭圆C ，可得222221122224(1)2(1)(1)40x k x k x x k k k +++-+-=， 则211024(1)2x k x x k ++=+，∴2111012114(1)()222PQGx k S y x x kx k ∆+=+=⋅+ 2222422218()8(1)8(1)1(2)(21)2522()5k k k k k k k k k k k k +++===++++++， 令1t k k=+，则2t ≥，∴2288812(2)5212PQG t t S t t t t∆===-+++， ∵min 19(2)2t t+=， ∴max 16()9PQG S ∆=. （2019全国3）10.双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ∆的面积为（ ）A: 4B:2C:D:答案: A解析：由双曲线的方程22042x y -=可得一条渐近线方程为2y x =；在PFO ∆中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF因为tan ∠得到PO =;所以12S PFO ∆==;故选A;（2019全国3）15.设1F、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.（2019全国3）21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点.过D 作C 的两条切线,切点分别是A ,B ,（1）证明：直线AB 过定点;（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 答案：见解析； 解答：（1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为012y k x =-，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ∆=-=，解得01k =±，并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以直线AB 的方程为12y =； 当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22y kx mx y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消y 并化简得2220x kx m --=，∵有两个交点∴2480k m ∆=+>， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有，122x x k +=，122x x m =-，由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2()2x f x =的图像，则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①， 同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②， 联立①，②并消去x 可得122112y y y y x x x x ---=-， 由已知可得两条切线的交点在直线12y =-上，则有 22122112112222x x x x x x -----=-，化简得，12212112(1)()2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠，即1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验12m =满足条件，所以直线AB 的方程为12y kx =+过定点1(0,)2， 综上所述，直线AB 过定点1(0,)2得证.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y kx =+，当0k =时，即直线AB 方程为12y =，此时点D 的坐标为1(0,)2-，以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1(0,)2F 恰为AB 中点，此时1123322ADBE S AB ED =⋅=⨯⨯=；当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+，则AB 中点坐标为21(,)2H k k +，由已知可得EH AB ⊥，即2152210EH k k k k k +-⋅=⋅=--， 解得，1k =±，由对称性不妨取1k =，则直线方程为12y x =+， 求得D 的坐标为1(1,)2-，4AB =，E 到直线AB距离1d ==D 到直线AB距离2d ==则121122ADBE S AB d AB d =⋅+⋅=， 综上所述，四边形ADBE 的面积为3或（2019北京）4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.（2019北京）18.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ONx x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019天津）5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF=（O 为原点），则双曲线的离心率为C. 2 【答案】D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。

2019年全国高考数学·分类汇编 专题21 圆锥曲线综合(解析版)

2019年全国高考数学·分类汇编 专题21 圆锥曲线综合(解析版)

专题21圆锥曲线综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【母题来源三】【2017年高考全国II 理数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【命题意图】（1）掌握直线方程的几种形式，掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（2）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（3）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.【方法总结】（一）求直线方程的常用方法有（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．（3）直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．（4）求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.（二）求圆的方程（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．（三）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （四）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （五）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（六）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学试题】已知点M 为直线1:1l x =-上的动点，()1,0N ，过M 作直线1l 的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）若直线()2:0l y kx m k =+≠与圆()22:36E x y -+=相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线2l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）直线2l 的方程为y =或y =.2．（重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左顶点为(20)M -，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(10)N ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当MA MB ⋅u u u r u u u r取得最大值时，求MAB △的面积．【答案】（1）22:142x y C +=；（2 3．【湖南省郴州市2019届高三第二次教学质量监测试卷数学试题】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点.（1）若以A ，B 为直径的圆的方程为22(2)(3)16x y -+-=，求抛物线C 的标准方程； （2）过A ，B 分别作抛物线的切线1l ，2l ，证明：1l ，2l 的交点在定直线上. 【答案】（1）24x y =；（2）见解析.4．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学试题】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列． 【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.5．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三)数学（理)试题】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，()02,M y -是C 上一点，且2MF =．（1）求C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 两点作抛物线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =；（2）见解析.6．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若AP PB λ=u u u r u u u r，当0t <时，求λ的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）31,2λ⎛+∈ ⎝⎦.7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>离心率为2，直线1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.8．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，()02,A y 是E 上一点，且2AF =. （1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.【答案】（1）E 的方程为24x y =；（2）见解析.。

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2019届高考理科数学专题
高考中的圆锥曲线问题
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()
A.-y2=1
B.x2-=1
C.-=1
D.-=1
2.设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠
F1PF2=90°,c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为()
A. B. C. D.
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是()
A.[,1)
B.(0,]
C.[,1)
D.(0,]
4.已知M,N为双曲线-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[,2],则直线PN的斜率的取值范围是()
A.(,)
B.[-,-]
C.[,]
D.[-,-]∪[,]
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知离心率为的椭圆C:+=1(0<b<)与y轴的正半轴交于A点, P为椭圆上任意一点,则|PA|的最大值为.
6.在平面直角坐标系xOy中,抛物线Γ:x2=my(m≠0)的焦点为F,准线为l,A,B是Γ上两个不同的动点,且∠AFB=θ(θ为常数),2=+,过点M作l的垂线,垂足为N,若||=λ||,实数λ的最小值为-,则tan θ的值为.
三、解答题(共48分)
7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.
图5-1
8.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-且过点T(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围.
9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),AOB面积的最小值为16.
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.
图5-2
10.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l 与线段CB的交点为P.
(1)求点P的轨迹Γ的方程;
(2)已知Q为曲线Γ上一动点,M(3,0),过O(O为坐标原点)作线段QM的垂线交曲线Γ于E,D 两点,求的取值范围.
答案
1.B由题意得=tan 60°=,又双曲线C过点(,),所以)-)=1,联立方程得
解得所以双曲线C的标准方程是x2-=1,故选B.
-
2.D由题意知化简得(|PF1|-|PF2|)2=4,结合图形(图略),可得
|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1,b=-=,所以渐近线方程为y=±x,所以双曲线的两条渐近线的夹角为,故选D.
3.A由于以O为圆心,以b为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O为圆心,以c为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c≥b,则c2≥b2=a2-c2,所以2c2≥a2,所以1>e≥,故选A.
,k PN=.因为点P,M,N均在双曲线4.C设M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(m,n)(m≠±x0),则k PM=-
-
·=,即-y2=1上,所以-n2=1,-=1,两式相减得-) )-(n-y0)(n+y0)=0,化简得-
-
k PM·k PN=,又≤k PM≤2 即≤≤2 解得≤k PN≤,故选C.
5.2由椭圆C的长半轴长a=,离心率e===,知c=1,所以b=-=1,所以椭圆C的方程为+y2=1,所以A(0,1).设P(x,y),由两点间的距离公式可得
|PA|=-)=--=-), 因为-1≤y≤1 所以当y=-1时,|PA|取得最大值2.
6.因为2=+,所以=,所以M为线段AB的中点.设|AF|=x,|BF|=y,根据抛物线的定义,知|MN|=,因为|AB|2=x2+y2-2xy cos θ,且||=λ||,所以
λ2=()2==-=4(1-)≥4 1-)=2-2cos θ,当且仅当=时取等号.因为λ的最小值为-,所以2-2cos θ=(-)2,解得cos θ=,又0<θ≤π 所以θ=,所以tan θ=.
7.(1)因为椭圆C的离心率为=,所以-=,即a2=4b2,
所以椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2,
又椭圆C过点P(2,-1),所以4+4=4b2,解得b2=2,a2=8,
所以椭圆C的标准方程为+=1.(4分) (2)由题意,知直线PA,PB的斜率均存在且不为0,设直线PA的方程为y+1=k(x-2)(k≠0)
联立方程,得
-)-
消去y得(1+4k2)x2-8(2k2+k)x+16k2+16k-4=0, (6分) 所以2x1=-,即x1=-,
因为直线PQ平分∠APB,且PQ与x轴平行,所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数,
设直线PB的方程为y+1=-k(x-2)(k≠0) 同理可得x2=--.(9分)
又
-)
--)
所以y1-y2=k(x1+x2)-4k,
即y1-y2=k(x1+x2)-4k=k·--4k=-,x1-x2=.
所以直线AB的斜率k AB=-
-
=-=-,为定值.(12分)
8.(1)解法一依题意得-
解得(2分)
所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
解法二依题意得c=,2a=--) -)+
-)-)=4, (2分) 所以a=2于是b2=a2-c2=2,
所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.
①当k=0时,可设直线l的方程为y=y0(-<y0<且y0≠0) A(-x0,y0),B(x0,y0),则+=1,
所以S=|2x0|·|y0|=|x0|·|y0|=2-)≤2 -)=2,当且仅当=2-,即|y0|=1时取等号,此时0<S≤2.(6分) ②当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-2)=0, (7分)
由Δ=(8km)2-4(1+4k2)·4(m2-2)>0,得8k2+2>m2(*),
则x1+x2=-,x1x2=-),所以可得AB的中点M(-,).(9分)。

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