2019届高考理科数学专题 高考中的圆锥曲线问题
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2019届高考理科数学专题
高考中的圆锥曲线问题
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()
A.-y2=1
B.x2-=1
C.-=1
D.-=1
2.设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠
F1PF2=90°,c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为()
A. B. C. D.
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是()
A.[,1)
B.(0,]
C.[,1)
D.(0,]
4.已知M,N为双曲线-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[,2],则直线PN的斜率的取值范围是()
A.(,)
B.[-,-]
C.[,]
D.[-,-]∪[,]
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知离心率为的椭圆C:+=1(0
6.在平面直角坐标系xOy中,抛物线Γ:x2=my(m≠0)的焦点为F,准线为l,A,B是Γ上两个不同的动点,且∠AFB=θ(θ为常数),2=+,过点M作l的垂线,垂足为N,若||=λ||,实数λ的最小值为-,则tan θ的值为.
三、解答题(共48分)
7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.
图5-1
8.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-且过点T(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围.
9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),AOB面积的最小值为16.
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.
图5-2
10.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l 与线段CB的交点为P.
(1)求点P的轨迹Γ的方程;
(2)已知Q为曲线Γ上一动点,M(3,0),过O(O为坐标原点)作线段QM的垂线交曲线Γ于E,D 两点,求的取值范围.
答案
1.B由题意得=tan 60°=,又双曲线C过点(,),所以)-)=1,联立方程得
解得所以双曲线C的标准方程是x2-=1,故选B.
-
2.D由题意知化简得(|PF1|-|PF2|)2=4,结合图形(图略),可得
|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1,b=-=,所以渐近线方程为y=±x,所以双曲线的两条渐近线的夹角为,故选D.
3.A由于以O为圆心,以b为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O为圆心,以c为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c≥b,则c2≥b2=a2-c2,所以2c2≥a2,所以1>e≥,故选A.
,k PN=.因为点P,M,N均在双曲线4.C设M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(m,n)(m≠±x0),则k PM=-
-
·=,即-y2=1上,所以-n2=1,-=1,两式相减得-) )-(n-y0)(n+y0)=0,化简得-
-
k PM·k PN=,又≤k PM≤2 即≤≤2 解得≤k PN≤,故选C.
5.2由椭圆C的长半轴长a=,离心率e===,知c=1,所以b=-=1,所以椭圆C的方程为+y2=1,所以A(0,1).设P(x,y),由两点间的距离公式可得
|PA|=-)=--=-), 因为-1≤y≤1 所以当y=-1时,|PA|取得最大值2.
6.因为2=+,所以=,所以M为线段AB的中点.设|AF|=x,|BF|=y,根据抛物线的定义,知|MN|=,因为|AB|2=x2+y2-2xy cos θ,且||=λ||,所以
λ2=()2==-=4(1-)≥4 1-)=2-2cos θ,当且仅当=时取等号.因为λ的最小值为-,所以2-2cos θ=(-)2,解得cos θ=,又0<θ≤π 所以θ=,所以tan θ=.
7.(1)因为椭圆C的离心率为=,所以-=,即a2=4b2,
所以椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2,
又椭圆C过点P(2,-1),所以4+4=4b2,解得b2=2,a2=8,
所以椭圆C的标准方程为+=1.(4分) (2)由题意,知直线PA,PB的斜率均存在且不为0,设直线PA的方程为y+1=k(x-2)(k≠0)
联立方程,得
-)-
消去y得(1+4k2)x2-8(2k2+k)x+16k2+16k-4=0, (6分) 所以2x1=-,即x1=-,
因为直线PQ平分∠APB,且PQ与x轴平行,所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数,
设直线PB的方程为y+1=-k(x-2)(k≠0) 同理可得x2=--.(9分)
又
-)
--)
所以y1-y2=k(x1+x2)-4k,
即y1-y2=k(x1+x2)-4k=k·--4k=-,x1-x2=.
所以直线AB的斜率k AB=-
-
=-=-,为定值.(12分)
8.(1)解法一依题意得-
解得(2分)
所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
解法二依题意得c=,2a=--) -)+
-)-)=4, (2分) 所以a=2于是b2=a2-c2=2,
所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.
①当k=0时,可设直线l的方程为y=y0(- 所以S=|2x0|·|y0|=|x0|·|y0|=2-)≤2 -)=2,当且仅当=2-,即|y0|=1时取等号,此时0 联立得消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-2)=0, (7分) 由Δ=(8km)2-4(1+4k2)·4(m2-2)>0,得8k2+2>m2(*), 则x1+x2=-,x1x2=-),所以可得AB的中点M(-,).(9分)