第04章 市场风险：风险价值VaR
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《风险价值VaR》课件
3 Conditional VaR
Conditional VaR基于超过VaR的损失，并考虑了损失分布的非对称性和尾部风险。
总结
通过本课件，您掌握了VaR的概念、计算方法、优缺点以及应用和扩展领域，未来VaR将在风险管理中发挥更 重要的作用。
风险监控
通过定期计算VaR，可以及时 发现和监控风险暴露，并采取 相应措施进行风险控制。
VaR 的改进和扩展
1 Expected Shortfall
Expected Shortfall是VaR的扩展，它衡量了在损失超过VaR时的平均损失。
2 Event VaR
Event VaR着重考虑特定事件可能引起的风险，更加关注极端事件的可能性。
VaR的优缺点
1 优点
提供了对风险的度量，有助于风险管理和决策制定。
缺点
仅仅是对可能最大损失的估计，不考虑损失的分布形状和偏度。
VaR的应用
金融风险管理
VaR广泛应用于金融机构中的 风险管理部门，帮助评估和管 理金融风险。
投资组合管理
VaR可用于评估投资组合的风 险水平，并帮助投资者制定合 适的投资策略。
《风险价值VaR》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将深入介绍风险价值VaR的概念、计算方法、应用 及其未来发展趋势。掌握VaR将有助于更好地理解风险管理和投资组合管理。
什么是风险价值VaR?
风险价值VaR的定义
风险价值VaR是衡量金融资产或投资组合在给定置信水平和时间跨度下的最大可能损失。
VaR的三要素——置信水平、时间跨度、风险资产
VaR的计算需要确定置信水平（损失发生的概率）、时间跨度（计算损失的时间范围）和风 险资产（待测的资产或组合）。
VaR的计算方法
Conditional VaR基于超过VaR的损失，并考虑了损失分布的非对称性和尾部风险。
总结
通过本课件，您掌握了VaR的概念、计算方法、优缺点以及应用和扩展领域，未来VaR将在风险管理中发挥更 重要的作用。
风险监控
通过定期计算VaR，可以及时 发现和监控风险暴露，并采取 相应措施进行风险控制。
VaR 的改进和扩展
1 Expected Shortfall
Expected Shortfall是VaR的扩展，它衡量了在损失超过VaR时的平均损失。
2 Event VaR
Event VaR着重考虑特定事件可能引起的风险，更加关注极端事件的可能性。
VaR的优缺点
1 优点
提供了对风险的度量，有助于风险管理和决策制定。
缺点
仅仅是对可能最大损失的估计，不考虑损失的分布形状和偏度。
VaR的应用
金融风险管理
VaR广泛应用于金融机构中的 风险管理部门，帮助评估和管 理金融风险。
投资组合管理
VaR可用于评估投资组合的风 险水平，并帮助投资者制定合 适的投资策略。
《风险价值VaR》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将深入介绍风险价值VaR的概念、计算方法、应用 及其未来发展趋势。掌握VaR将有助于更好地理解风险管理和投资组合管理。
什么是风险价值VaR?
风险价值VaR的定义
风险价值VaR是衡量金融资产或投资组合在给定置信水平和时间跨度下的最大可能损失。
VaR的三要素——置信水平、时间跨度、风险资产
VaR的计算需要确定置信水平（损失发生的概率）、时间跨度（计算损失的时间范围）和风 险资产（待测的资产或组合）。
VaR的计算方法
中级银行从业风险管理考试重点：第四章市场风险管理
中级银行从业风险管理考试重点：第四章市场风险管理知识点市场风险是指金融资产价格和商品价格的被动给商业银行表内头寸、表外头寸造成损失的风险。
市场风险包括：利率风险、汇率风险、股票风险和商品风险。
相对于信用风险，市场风险具有数据充分且易于计量的特点，更适于采用量化技术加以控制。
市场风险具有明显的系统性风险特征，难以通过在自身经济体内分散化投资完全消除。
4.1市场风险识别4.1.1市场风险的特征与分类《资本管理办法》规定，第一支柱下市场风险资本计量范围包括交易账户的利率风险和股票风险，以及交易账户和银行账户的汇率风险(含黄金)和商品风险。
利率风险，指市场利率变动的不确定性给商业银行造成损失的可能性。
按照来源不同可分为：重新定价风险、收益率曲线风险、基准风险和期权性风险。
汇率风险，指由于汇率的不利变动而导致银行业务发生损失的风险。
汇率风险通常源于以下业务活动：1.商业银行为客户提供外汇交易服务或进行自营外汇交易，不交包括外汇即期交易，还包括外汇远期、期货、互换和期权等交易;2.银行账户中的外币业务，如外币存款、贷款、债券投资、跨境投资等。
股票价格风险，指由于股票价格发生不利变动而给商业银行带来损失的风险。
商品价格风险，指商业银行所持有的各类商品及其衍生头寸由于商品价格发生不利变动而给银行造成经济损失的风险。
商品主要是指可以在场内自由交易的农产品、矿产品(包括使用)、贵金属(不含黄金)。
4.1.2交易账户和银行账户的划分交易账户和银行账户：交易账户包括为交易目的或对冲交易账户其他项目的风险而持有的金融工具和商品头寸;交易账户中的金融工具和商品头寸原则上还应满足以下条件：在交易方面不受任何限制，可以随时平盘;能够完全对冲以规避风险;能够准确估值;能够进行积极的管理。
除交易账户之外的其他表内外业务划入银行账户。
交易账户和银行账户风险计量的视角：交易账户业务主要以交易为目的，通常按市场价格计价(盯市)，缺乏可参考市价时可按模型定价(盯模)。
《风险价值(VaR)》第4章
第 2页
4.1 市场风险
《金融风险管理》 Financial Risk Management
朱 波
zhubo@
第 3页
引言
l 四种类型的市场风险：
Ø利率风险 Ø汇率风险 Ø股权风险 Ø商品价格风险
l 问题：如何度量市场风险？ l 风险可以用“预料不到结果”的标准差来进行度量（σ），也 称为波动率。 l “市场风险”在金融中有很多种表述形式。
l 如果两个变量是相互独立的，则有：
V(X 1 + X 2 )= V(X 1 )+V(X 2 )
l 独立与不相关 l 随机变量之积
《金融风险管理》 Financial Risk Management 朱 波
zhubo@ 第12页
正态分布
2 x ~ N ( µ , σ ) ，该正态 l 收益随机变量X服从正态分布，记为
朱 波
zhubo@
第 5页
l 但是，对“市场风险”的正确度量而言，上述方法都存 在一定的缺陷，例如，没有充分考虑“风险的时变性”、 “风险的加总问题”、“左偏、肥尾、波动率聚集”。
l 因此，为了正确地理解和描述市场风险，我们需要一些 概率论的基础知识。
《金融风险管理》 Financial Risk Management
l N次独立的贝努力实验
l 这在VaR的回测中用得较多。
《金融风险管理》 Financial Risk Management
朱 波
zhubo@
第18页
广义帕累托分布
《金融风险管理》 Financial Risk Management
朱 波
zhubo@
第11页
zhubo@
期望与方差
第04章 市场风险：风险价值VaR
Chapter 04 市场风险：风险价值VaR
王 鹏 博士 西南财经大学金融学院
wangp@
引言
❖ 金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千个市场变量。
❖ 某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合价值影响的 度量指标，如Delta、Gamma、Vega等，尽管这些风险度 量很重要，但并不能为金融机构高管和监管人员提供一个 关于整体风险的完整图像。
❖ 因此，在1年后，基于99％置信度的VaR为4900万美元。
9
Copyright @ Wang Peng，2010
4.2 VaR的计算例子
❖Example 3
❖ 一个1年期项目，有98％的概率收益200万美元，1.5％的概 率损失400万美元，0.5％的概率损失1000万美元。
10
Copyright @ Wang Peng，2010
8
Copyright @ Wang Peng，2010
4.2 VaR的计算例子
❖Example 2
❖ 假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元损失和 5000万美元收益之间，中间的任意结果具有均等的可能性。
❖ 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀 分布，损失大于4900万美元的可能性为1％。
引言
❖ 目前，VaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上 不同地区银行的风险资本金，包括针对市场风险、 信用风险和操作风险的资本金。
❖ 本章内容：
－ VaR的概念 － VaR的计算例子 － VaR与ES － VaR与资本金 － VaR中的参数选择 － 后验分析（Backtesting analysis）
2
Copyright @ Wa❖ 风险价值VaR （Value at Risk）是试图对金融机构的资产 组合提供一个单一风险度量，这一度量能够体现金融机构 所面临的整体风险。
王 鹏 博士 西南财经大学金融学院
wangp@
引言
❖ 金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千个市场变量。
❖ 某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合价值影响的 度量指标，如Delta、Gamma、Vega等，尽管这些风险度 量很重要，但并不能为金融机构高管和监管人员提供一个 关于整体风险的完整图像。
❖ 因此，在1年后，基于99％置信度的VaR为4900万美元。
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Copyright @ Wang Peng，2010
4.2 VaR的计算例子
❖Example 3
❖ 一个1年期项目，有98％的概率收益200万美元，1.5％的概 率损失400万美元，0.5％的概率损失1000万美元。
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Copyright @ Wang Peng，2010
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Copyright @ Wang Peng，2010
4.2 VaR的计算例子
❖Example 2
❖ 假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元损失和 5000万美元收益之间，中间的任意结果具有均等的可能性。
❖ 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀 分布，损失大于4900万美元的可能性为1％。
引言
❖ 目前，VaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上 不同地区银行的风险资本金，包括针对市场风险、 信用风险和操作风险的资本金。
❖ 本章内容：
－ VaR的概念 － VaR的计算例子 － VaR与ES － VaR与资本金 － VaR中的参数选择 － 后验分析（Backtesting analysis）
2
Copyright @ Wa❖ 风险价值VaR （Value at Risk）是试图对金融机构的资产 组合提供一个单一风险度量，这一度量能够体现金融机构 所面临的整体风险。
第4讲市场风险VaR
服从
式（27）的几何布朗运动随机过程 ，相关系数为
rij，均值为mi，方差为si，可将多变量方程写为
X = (X1, . . . , Xn)是多元正态随机向量，均值 等于0，方差矩阵为S，Sij = E(XXT) = rij,
第4讲市场风险VaR
• 产生随机向量X = (X1, . . . , Xn)的方法
第4讲市场风险VaR
蒙特卡罗模拟
• 采用蒙特卡罗模拟法，计算交易组合一天展望期 的VaR：
▫ 利用当前的市场变量对交易组合进行定价 ▫ 从Dxi服从的多元正态分布中进行一次抽样 ▫ 由Dxi的抽样计算出在交易日末的市场变量 ▫ 利用新产生的市场变量来对交易组合重新定价 ▫ 计算ΔP ▫ 重复2-5步的计算，得出ΔP的概率分布
▫ 计算方便 ▫ 根据中心极限定理，风险因子不一定需要满足正态性 ▫ 不需要定价模型，只需敏感因子
• 缺点
▫ 收益正态性假设 ▫ 不满足胖尾性 ▫ 需要估计波动率和相关系数 ▫ 无法进行敏感性分析 ▫ 无法计算置信区间
第4讲市场风险VaR
均值方差的推广
第4讲市场风险VaR
2、t分布 大多数收益率是“胖尾”的。可使用t分布来描述，
▫ VAR（均值）
•第二种VaR定义方式与经济资本分配和风险调整后资本收益率 （RAROC ）计算一致。
第4讲市场风险VaR
第4讲市场风险VaR
注： • 大多数 VaR 都是短期风险，如1天、10天（监管
者要求） • 巴塞尔协议规定p=99% • 对于内部资产，p=99.96%
第4讲市场风险VaR
第4讲市场风险VaR
•where VaR1, VaR2, and VaRV denote the one-day value at risk at the 99 percent confidence level for
风险价值VaR估计试验风险管理的基础和核心是对风险的定量分析和
风险价值VaR估计试验风险管理的基础和核心是对风险的定量分析和评估，即风险测量。
随着金融市场和金融交易的规模、动态性和复杂性的增加，金融理论和金融工程的发展，金融市场风险测量技术也变得更为综合、复杂。
金融风险不仅严重影响了机构投资者和金融机构的正常运营和生存，而且还对一国乃至全球金融及经济的稳定发展构成严重威胁。
目前，金融市场风险测量的主要方法包括灵敏度分析、波动性方法、VaR等。
其中，VaR 是目前金融市场风险测量的主流方法。
本节将主要对VaR加以简要介绍。
一、VaR的定义在险价值VaR（Value at Risk）方法被视为控制金融市场风险的最佳方法之一，目前在很多金融机构中得到了广泛的应用。
投资者可以运用VaR方法动态地评估和计量其所持有资产的风险，及时调整分散和规避风险，提高资产运作的效率。
在金融机构中，交易员可能不惜冒巨大的风险去追逐巨额利润，而使金融机构也承担巨大的风险。
利用VaR方法进行风险控制，可以在每个环节均明确进行金融风险大小的评估，尽可能的抑制过度投机行为的发生。
事实上，VaR概念的提出已经有了很久的历史。
VaR的出现使得金融资产组合在一定时期内最大可能损失的定量化成为可能。
从定义上看，是指在市场的正常波动和给定的置信水平下，某一金融资产或者证券投资组合在未来的特定的一段时间内的最大可能损失。
从分位点的角度来看，VaR描述的是一定目标时段下资产或资产组合损益分布的分位点。
如果我们选择置信水平为P，则VaR对应的是该资产或资产组合损益分布的上p分位点。
从统计的角度来看，VaR的定义如下：≤1))-( (1)(pp=VaRYP-其中，Y表示资产或资产组合的利润或损失，VaR表示置信水平p下的VaR值。
例如，在95%的置信水平下，VaR（95%）对应于损益分布上累积概率不超过5%的哪一点。
对某项1亿元的投资，在考察其一段时间的或有损失时，假设根据95%置信度求得的VaR为600万元，则依据上面的定义可得：我们有95%的把握判断该项投资在下一个时期的损失在600万元以内，或者说损失超过600万元的概率仅为5%。
风险价值VaR
排序，排序后 的收益率表 示为 R(1) , R(2) ,..., R(100) ，与 5%对应 的分位数是 排序后第
1005% 5 个数，即 R(5) 。
因此使用历史模拟法估计风险价值的一般公式是：
假设有 n 个收益率，第 K 个最小收益率 K n a,VaR S R(K ) 。
如果计算出的 K 不是整数，可以按照下面的公式计算相应的分位数：
乘以初始投资额，即可计算风险价值。
二.历史模拟法
假设收集到收益率的历史数据 R1， R2 ，．．．， RT 假设第 T+1 周期上收益率的所有可能取值就是这 T 个数值。 即用历史收益率作为收益率这个随机变量的分布的一个模拟。计 算分位数时只要求出这 T 个收益率的相应分位数即可。
历史模拟法
假设有 100 个历史收益率，计算 5%显著水平下的 VaR。首先把 100 个收益率从小到大
股票收益率的均值和波动率的估计 期权风险价值是标的资产风险价值乘以delta
期权风险价值的计算
例：假设购买基于微软的期权，微软股票价 格120，日收益率0，波动率2％，该期权的 delta等于1000。计算该期权的－天95％的 风险价值
VaR=－120×1000×（－1.65）×2%=2760
五 股票资产组合的风险价值
i
COV (Ri .Rp )
2 p
1 2 3
COV (R1.Rp )
COV (R2 .Rp ) /
COV
(
R3
.R
p
)
2 p
2 p
成分VaR:
VaRi wiiVaR
例子： 假设购买两种股票构成一个资产组合，已知
资产组 合
股票1
股票2
1005% 5 个数，即 R(5) 。
因此使用历史模拟法估计风险价值的一般公式是：
假设有 n 个收益率，第 K 个最小收益率 K n a,VaR S R(K ) 。
如果计算出的 K 不是整数，可以按照下面的公式计算相应的分位数：
乘以初始投资额，即可计算风险价值。
二.历史模拟法
假设收集到收益率的历史数据 R1， R2 ，．．．， RT 假设第 T+1 周期上收益率的所有可能取值就是这 T 个数值。 即用历史收益率作为收益率这个随机变量的分布的一个模拟。计 算分位数时只要求出这 T 个收益率的相应分位数即可。
历史模拟法
假设有 100 个历史收益率，计算 5%显著水平下的 VaR。首先把 100 个收益率从小到大
股票收益率的均值和波动率的估计 期权风险价值是标的资产风险价值乘以delta
期权风险价值的计算
例：假设购买基于微软的期权，微软股票价 格120，日收益率0，波动率2％，该期权的 delta等于1000。计算该期权的－天95％的 风险价值
VaR=－120×1000×（－1.65）×2%=2760
五 股票资产组合的风险价值
i
COV (Ri .Rp )
2 p
1 2 3
COV (R1.Rp )
COV (R2 .Rp ) /
COV
(
R3
.R
p
)
2 p
2 p
成分VaR:
VaRi wiiVaR
例子： 假设购买两种股票构成一个资产组合，已知
资产组 合
股票1
股票2
第4讲市场风险VaR
43
极值理论
F(u y ) F(u ) Fu(y ) 1 F(u )
• 极值理论可以描述一个变量 x 的经验概率分布的右尾 部状态. (如果要描述左尾部状态，我们可以使用变量 –x.） • 我们先选择右端尾部的一个数值 u • 我们可以使用 Gnedenko 的结论：随着分布 u 的增加，
计算VaR的步骤
• • • • • • 逐日盯市确认投资组合的市值 衡量风险因素的变化率，如波动率15% 设定时间区域，样本观察时间段，如10天 设定置信水平，如99%， 假设分布，如正态分布 分析前面信息数据，得出收入的分布概率，计算 潜在的最大损失，综合得出 VaR，如在99%的置 信水平的VaR为700美元
where VaR1, VaR2, and VaRV denote the one-day value at risk at the 99 percent confidence level for
注意，资产组合的VaR小于两个资产的VaR的和，这反映了 由于权益资产不完全相关而引起的资产组合效应。
均值方差法计算其他金融产品的VaR
假设持有风险资产，价值为V，将V表述为n个风险 因子fi的函数，i = 1, . . . , n.，则一阶泰勒展开近 似为
Di denotes the "delta”
假设风险因子都服从正态分布，则
均值方差分析的优缺点
• 优点：
▫ 计算方便 ▫ 根据中心极限定理，风险因子不一定需要满足正态性 ▫ 不需要定价模型，只需敏感因子
v ( v v ) i 1 i i 1 n 1/ i v n v i 1
n1 /
• 3、自助法
假定有500个数据 1. 由观测样本x=(x1，…，xn)构造经验分布函数Fn; 2. 从Fn中抽取简单样本X*=（X1， …，Xm ）， m<=n, 3. 重复步骤（2）N次，由Bootstrap子样得到样本p 分位数，xp，i，i=1，…，N。 4. 计算统计量: ▫ 由中心极限定理，可以得到xp近似服从正态分布， 由此可以得到分位点的点估计和区间估计。
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1000 X 2.5% 1% 1000
解得：X＝600（万美元）
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4.4 VAR和资本金
由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20 万美元，因此将这一盈利考虑在内，可得贷款 组合1年期99％的VaR＝580万美元。
单笔贷款的VaR之和＝200＋200＝400（万美 元） 这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效 应”的论断相悖。
CHAPTER 04 市场风险：风险价值VAR
引言
金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千 个市场变量。
某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合 价值影响的度量指标，如Delta、Gamma、 Vega等，尽管这些风险度量很重要，但并不能 为金融机构高管和监管人员提供一个关于整体 风险的完整图像。
对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求 在资本金计算中，要采用1年的持有期和99.9 ％的置信度。
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4.4 VAR和资本金
对于99.9％的置信度和1年时间，某个组合的VaR 为5000万美元，这意味着在极端条件下（理论上， 每1000年出现一次），该组合在1年时间内的损 失会超过5000万美元。
VaR是两个变量的函数：持有期T 和置信度X% VaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得 出，也可以由投资组合损失（Loss）的概率分布 得出。
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4.1 VAR的定义
当采用收益分布时，VaR等于收益分布第(100X) %分位数的负值
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4.1 VAR的定义
当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X% 分位数。
也就是说，我们有99.9％的把握认为，持有该组 合的金融机构不会在1年内完全损失所持有的资 本金。 如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度 选择吗？
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4.4 VAR和资本金
Artzner等（1999）认为，一个好的风险测度应该 满足： （1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件 下，A组合的收益均低于B组合，那么A组合的风 险测度值一定要大于B组合的风险测度值；
综合考虑两笔贷款。
由于每笔贷款的违约概率均为1.25％，且两笔 贷款不可能同时违约，所以两笔贷款中有一笔 贷款违约出现的概率为2.5％。 违约触发的损失介于0～1000万美元的概率为 均等。
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4.4 VAR和资本金
贷款组合99％的VaR是多少？
要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。 设该损失值为X，有：
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4.5 满足一致性条件的风险度量
在2.5％的尾部概率中，有2％的概率损失1000 万美元，有0.5％的概率损失100万美元。 因此，在2.5％的尾部分布范围内，有2％（占 2.5％的80％）的可能损失1000万美元，有0.5 ％（占2.5％的20％）的可能损失100万美元。
预期损失ES为0.8×10＋0.2×1＝8.2（百万美 元）
例：当T =5，X =97%时，VaR对应于投资组合 在5天后收益分布的3％分位数的负值，也对应 于投资组合R的计算例子
Example 1
假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分 布的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。 由正态分布的性质可知，收益分布的1％分位数为 2-2.33×10，即-21.3。 因此，对于6个月的时间期限，在99％置信度下的VaR 为21.3（百万美元）。
含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差， 那么第一个组合的风险一定要高，其所需要的资 本金数量更大。
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4.4 VAR和资本金
（2）转换不变性（Translation invariance）： 如果在交易组合中加入K 数量的现金，则风险 测度值必须减少K；
含义：如果在组合中加入K 数量的现金，则 该现金可以为损失提供对冲，相应的准备金要 求也应该可以减少K。
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4.4 VAR和资本金
Example 5
假定两个独立的贷款项目在1年内均有2％的概率 损失1000万美元，同时均有98％的概率损失100 万美元，因此，任意一个单笔贷款在期限为1年、 置信度为97.5％下的VaR均为100万美元。
将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有 0.02×0.02＝0.0004的概率损失2000万美元，有 2×0.02×0.98＝0.0392的概率损失1100万美元， 有0.98×0.98＝0.9604的概率损失200万美元。
4.4 VAR和资本金
（4）次可加性（Sub-additivity）：由两种资产构 成的投资组合的风险测度值应小于等于两种资产 各自风险测度值之和。
含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里” 的经典风险管理思想一致，即分散化投资的风险 一定要小于等于集中化投资的风险。
VaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远 满足条件（4）。
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4.4 VAR和资本金
（3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产 组合所包含的资产品种和相对比例不变，但资 产数量增至原来数量的n （n > 0）倍，则新组 合的风险测度值应该原组合风险测度值的n倍； 含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的 资本金要求也应该放大两倍。
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4.2 VAR的计算例子
Example 3 一个1年期项目，有98％的概率收益200万美元，1.5％的概率 损失400万美元，0.5％的概率损失1000万美元。
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4.2 VAR的计算例子
在这样的累积分布下，对应于99％累积概率的 损失为400万美元。
VaR＝400万美元
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4.2 VAR的计算例子
Example 2
假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元 损失和5000万美元收益之间，中间的任意结果具 有均等的可能性。 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美 元的均匀分布，损失大于4900万美元的可能性为 1％。 因此，在1年后，基于99％置信度的VaR为4900万 美元。
可以这样描述：我们有99％的把握认为在未来 1年后该项目损失不会超过400万美元。
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4.2 VAR的计算例子
Example 4
续上例，试求99.5％置信度下的VaR
上图显示，介于400万美元和1000万美元中的任 何损失值出现的可能性都不超过99.5％。 VaR在这一情形下不具备唯一性
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4.4 VAR和资本金
假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款 一定不会违约。
首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25％。如果 发生违约，损失均匀地介于0～1000万美元， 这意味着损失大于零的概率为1.25％；损失大 于500万的概率为0.625％；损失大于1000万的 1000 概率为零。 0
2×8.2 > 11.144，故该例中，ES满足次可加性。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均 就损失分布而言，VaR对第X 个分位数设定了100％的 权重，而对其它分位数设定了0权重；
ES对高于X ％分位数的所有分位数设定了相同的权重， 但对低于X ％分位数的所有分位数设定了0权重。 基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所 有分位数赋予不同权重，并由此定义“光谱型风险测 度”（Spectral risk measure）。
一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值， 即99.5%置信度下的VaR为700万美元。
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4.3 VAR与ES
在应用VaR时，实际上是在问“最坏的情况将会 是怎样”，这一问题是所有金融机构高级管理人 员都应关心的问题。 VaR将资产组合价值对各种不同类型市场变量的 敏感度压缩成一个数字，这使管理人员的工作大 为简化。
EStq Et 1 rt rt VaRtq
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4.3 VAR与预期损失
ES也是两个变量的函数：持有期T 和置信度X。
例如，当X ＝99，T ＝10天时，VaR＝6400万 美元的ES是指在10天后损失超过6400万美元 时的期望值。 ES比VaR更符合风险分散原理。
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4.3 VAR与ES
交易员所追求的概率分布：
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4.3 VAR与ES
许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更 大的收益。
某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控 制系统会使我的交易无法进行”。
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4.3 VAR与预期损失
预期损失ES
一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的 风险测度为预期损失－ES（Excepted shortfall），有时又被称为“条件VaR” （conditional VaR）、“条件尾部期望 （conditional tail expectation）”、“尾部损失” （tail loss）。 ES：超过VaR的损失期望值
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4.4 VAR和资本金
在时间期限为1年，97.5％的置信度下，贷款 组合的VaR为1100万美元，单笔贷款对应的 VaR之和为200万美元。
贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元 违反次可加性
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4.4 VAR和资本金
Example 6
解得：X＝600（万美元）
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4.4 VAR和资本金
由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20 万美元，因此将这一盈利考虑在内，可得贷款 组合1年期99％的VaR＝580万美元。
单笔贷款的VaR之和＝200＋200＝400（万美 元） 这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效 应”的论断相悖。
CHAPTER 04 市场风险：风险价值VAR
引言
金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千 个市场变量。
某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合 价值影响的度量指标，如Delta、Gamma、 Vega等，尽管这些风险度量很重要，但并不能 为金融机构高管和监管人员提供一个关于整体 风险的完整图像。
对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求 在资本金计算中，要采用1年的持有期和99.9 ％的置信度。
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4.4 VAR和资本金
对于99.9％的置信度和1年时间，某个组合的VaR 为5000万美元，这意味着在极端条件下（理论上， 每1000年出现一次），该组合在1年时间内的损 失会超过5000万美元。
VaR是两个变量的函数：持有期T 和置信度X% VaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得 出，也可以由投资组合损失（Loss）的概率分布 得出。
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4.1 VAR的定义
当采用收益分布时，VaR等于收益分布第(100X) %分位数的负值
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4.1 VAR的定义
当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X% 分位数。
也就是说，我们有99.9％的把握认为，持有该组 合的金融机构不会在1年内完全损失所持有的资 本金。 如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度 选择吗？
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4.4 VAR和资本金
Artzner等（1999）认为，一个好的风险测度应该 满足： （1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件 下，A组合的收益均低于B组合，那么A组合的风 险测度值一定要大于B组合的风险测度值；
综合考虑两笔贷款。
由于每笔贷款的违约概率均为1.25％，且两笔 贷款不可能同时违约，所以两笔贷款中有一笔 贷款违约出现的概率为2.5％。 违约触发的损失介于0～1000万美元的概率为 均等。
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4.4 VAR和资本金
贷款组合99％的VaR是多少？
要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。 设该损失值为X，有：
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4.5 满足一致性条件的风险度量
在2.5％的尾部概率中，有2％的概率损失1000 万美元，有0.5％的概率损失100万美元。 因此，在2.5％的尾部分布范围内，有2％（占 2.5％的80％）的可能损失1000万美元，有0.5 ％（占2.5％的20％）的可能损失100万美元。
预期损失ES为0.8×10＋0.2×1＝8.2（百万美 元）
例：当T =5，X =97%时，VaR对应于投资组合 在5天后收益分布的3％分位数的负值，也对应 于投资组合R的计算例子
Example 1
假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分 布的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。 由正态分布的性质可知，收益分布的1％分位数为 2-2.33×10，即-21.3。 因此，对于6个月的时间期限，在99％置信度下的VaR 为21.3（百万美元）。
含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差， 那么第一个组合的风险一定要高，其所需要的资 本金数量更大。
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4.4 VAR和资本金
（2）转换不变性（Translation invariance）： 如果在交易组合中加入K 数量的现金，则风险 测度值必须减少K；
含义：如果在组合中加入K 数量的现金，则 该现金可以为损失提供对冲，相应的准备金要 求也应该可以减少K。
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4.4 VAR和资本金
Example 5
假定两个独立的贷款项目在1年内均有2％的概率 损失1000万美元，同时均有98％的概率损失100 万美元，因此，任意一个单笔贷款在期限为1年、 置信度为97.5％下的VaR均为100万美元。
将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有 0.02×0.02＝0.0004的概率损失2000万美元，有 2×0.02×0.98＝0.0392的概率损失1100万美元， 有0.98×0.98＝0.9604的概率损失200万美元。
4.4 VAR和资本金
（4）次可加性（Sub-additivity）：由两种资产构 成的投资组合的风险测度值应小于等于两种资产 各自风险测度值之和。
含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里” 的经典风险管理思想一致，即分散化投资的风险 一定要小于等于集中化投资的风险。
VaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远 满足条件（4）。
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4.4 VAR和资本金
（3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产 组合所包含的资产品种和相对比例不变，但资 产数量增至原来数量的n （n > 0）倍，则新组 合的风险测度值应该原组合风险测度值的n倍； 含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的 资本金要求也应该放大两倍。
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4.2 VAR的计算例子
Example 3 一个1年期项目，有98％的概率收益200万美元，1.5％的概率 损失400万美元，0.5％的概率损失1000万美元。
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4.2 VAR的计算例子
在这样的累积分布下，对应于99％累积概率的 损失为400万美元。
VaR＝400万美元
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4.2 VAR的计算例子
Example 2
假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元 损失和5000万美元收益之间，中间的任意结果具 有均等的可能性。 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美 元的均匀分布，损失大于4900万美元的可能性为 1％。 因此，在1年后，基于99％置信度的VaR为4900万 美元。
可以这样描述：我们有99％的把握认为在未来 1年后该项目损失不会超过400万美元。
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4.2 VAR的计算例子
Example 4
续上例，试求99.5％置信度下的VaR
上图显示，介于400万美元和1000万美元中的任 何损失值出现的可能性都不超过99.5％。 VaR在这一情形下不具备唯一性
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4.4 VAR和资本金
假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款 一定不会违约。
首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25％。如果 发生违约，损失均匀地介于0～1000万美元， 这意味着损失大于零的概率为1.25％；损失大 于500万的概率为0.625％；损失大于1000万的 1000 概率为零。 0
2×8.2 > 11.144，故该例中，ES满足次可加性。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均 就损失分布而言，VaR对第X 个分位数设定了100％的 权重，而对其它分位数设定了0权重；
ES对高于X ％分位数的所有分位数设定了相同的权重， 但对低于X ％分位数的所有分位数设定了0权重。 基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所 有分位数赋予不同权重，并由此定义“光谱型风险测 度”（Spectral risk measure）。
一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值， 即99.5%置信度下的VaR为700万美元。
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4.3 VAR与ES
在应用VaR时，实际上是在问“最坏的情况将会 是怎样”，这一问题是所有金融机构高级管理人 员都应关心的问题。 VaR将资产组合价值对各种不同类型市场变量的 敏感度压缩成一个数字，这使管理人员的工作大 为简化。
EStq Et 1 rt rt VaRtq
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4.3 VAR与预期损失
ES也是两个变量的函数：持有期T 和置信度X。
例如，当X ＝99，T ＝10天时，VaR＝6400万 美元的ES是指在10天后损失超过6400万美元 时的期望值。 ES比VaR更符合风险分散原理。
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交易员所追求的概率分布：
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许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更 大的收益。
某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控 制系统会使我的交易无法进行”。
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4.3 VAR与预期损失
预期损失ES
一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的 风险测度为预期损失－ES（Excepted shortfall），有时又被称为“条件VaR” （conditional VaR）、“条件尾部期望 （conditional tail expectation）”、“尾部损失” （tail loss）。 ES：超过VaR的损失期望值
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4.4 VAR和资本金
在时间期限为1年，97.5％的置信度下，贷款 组合的VaR为1100万美元，单笔贷款对应的 VaR之和为200万美元。
贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元 违反次可加性
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4.4 VAR和资本金
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