One-Way_ANOVA单因素方差分析解析

固定效应模型
xij i ij i 1, 2, , a j 1, 2, , n
其中αi是处理平均数与总平均数的离差，因这些离 差的正负值相抵，因此

i 1
n
i
0
如果不存在处理效应，各α i都应当等于0，否则至少 有一个α i≠0。因此，零假设为： H0：α1＝α2＝ … ＝αa＝0 备择假设为： HA：αi ≠ 0（至少有一个i）
(by RA Fisher)
例 调查5个不同小麦品系株高是否差异显著
品 I II III 系 IV V
1
2 3 4
64.6
65.3 64.8 66.0
64.5
65.3 64.6 63.7
67.8
66.3 67.1 66.8
71.8
72.1 70.0 69.1
69.2
68.2 69.8 68.3
5
和 平均数
方差分析原理
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
固定因素：
固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。
随机因素：
①因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。 ②从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该 因素的所有水平上。 随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。
固定效应模型
平方和与自由度的分解
x
i 1 j 1 a n i 1 j 1 a n ij
x xij xi xi x
i 1 j 1 a 2 n
2
a
n
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
xij xi 2 xij xi xi x xi x
i 1
2
1 a 2 x2 xi n i 1 na
减少计算误差 利于编程
x2 C na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
an 1
SS A
+
处理平方和
SSe
误差平方和
+ df A 处理自由度 df e 误差自由度
a 1
an a
MS A SS A / df A
处理均方
MSe SSe / df e
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
处理效应对均方的贡献
固定效应模型
方差分析统计量： Fdf
2 i 1 i 1 j 1
2
a
a
n
2
固定效应模型
x
i 1 j 1 a n ij
x n xi x xij xi
2 i 1 i 1 j 1
2
a
a
n
2
平方和 的分割 自由度 的分割
= SS T 总平方和
= df T 总自由度
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
xi xij ,
j 1 a n
n
xi
x xij ,
i 1 j 1
1 xi , i 1, 2, , a n 1 x x an
方差分析原理
线性统计模型：
A , df e
MS A MSe
若零假设成立，不存在处理效应，则组内变异和组间变异都 只反映随机误差( 2 )的大小，此时处理均方 ( MS A)和误差 均方( MS )大小相当，F 值则接近1，各组均数间的差异没
e
有统计学意义；反之，如果存在处理效应，则处理变异不仅 包含随机误差，还有处理效应引起的变异 (
2 )，此时F na
值显著大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据 F
值的大小可判断各组之间平均数有无显著差别。
固定效应模型
平方和的简易计算
SST xij x
i 1 j 1 a a n 2
x2 x na i 1 j 1
a n 2 ij
SS A n xi x
65.8
326.5 65.3
63.9
322.0 64.4
68.5
336.5 67.3
71.0
354.0 70.8
67.5
343.0 68.6
•因变量(响应变量):连续型的数值变量株高 •因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件 •一个因素：“品系” 单因素方差分析 •水平(Level)：因素的不同等级 不同“处理” •五个水平：品系I-V •重复(Repeat)：在特定因素水平下的独立试验 •五次重复
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance (One-Way ANOVA)
当比较的平均值的数目K≥3时，不能直接应 用t测验或u测验的两两之间的假设测验方法
2 1、当有k个处理平均数时，将有 个差数， CK 要对这诸多差数逐一进行检验，程序繁琐。 2、试验误差估计的精确度降低。 3、两两测验的方法会随着K的增加而大大增 加犯I型错误的概率。
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
方差分析：从总体上判断多组数据平均数 （K≥3） 之间的差异是否显著
方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成变 量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方 差的估值。然后进行F测验，判断各样本的总体 平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平均 数进行两两之间的比较。
xij i ij i 1, 2, , a j 1, 2, , n
模型中的xij是在第i次处理下的第j次观测值。μ是总 平均数。α i是对应于第i次处理的一个参数，称为 第i次处理效应(treatment effect)。ε ij是随机误差， 是服从N(0，σ 2)的独立随机变量。
i 1 j 1 i 1 j 1
a
n
2
x
i 1 j 1
a
n
ij
xi xi x xi x xij xi 0
i 1 j 1
a
n
x
i 1 j 1
a
n
ij
x n xi x xij xi