数列和式放缩探究

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数列中的放缩问题

数列中的放缩问题在数列的世界里，放缩问题就像是打开了一扇新世界的大门。

大家好，今天我们来聊聊这个让人又爱又恨的数列放缩问题，听起来是不是有点高大上？但其实说穿了，就是把一个数列变得更大或更小，让它更好玩，更有趣。

想象一下，你在吃冰淇淋，甜筒那么小，真想把它放大变成一个大大的冰淇淋桶，嘿，放缩就是这个意思嘛！放缩也有可能是让它缩小，比如把一个大披萨切成一小块，还是那么好吃，分量刚好，真是妙不可言。

想知道怎么做吗？好，我们先从简单的开始。

有个数列，像小朋友一样，一个个排列得整整齐齐，突然来个放缩，啊，数列一下子就变得更大了，感觉就像在游乐场里飞起来一样。

你把每个数乘上一个放缩因子，哇，数列立刻就像打了鸡血，瞬间膨胀！比如，原来是1、2、3，变成了2、4、6，这样是不是觉得视觉冲击力十足？你看看，这数列也像长大了，跟着你的心情一起飞扬。

不过，放缩也不是随便来，它可得有讲究。

你不能随便把它放大放小，得要有个合理的依据。

就像选牛排一样，得看肉质，不能一味追求大！你得分析这个放缩因子的来源，是什么原因让你想改变这些数字？是因为想让它更符合某个特定的标准，还是为了让它在某个应用场景中更好地发挥作用？这些都是得考虑的哦。

再说说放缩的类型，真是多得让你眼花缭乱。

首先有线性放缩，就像在街上漫步，走得快慢随心所欲。

然后是非线性放缩，那可就复杂了，像坐过山车一样，有高有低，惊险刺激，心跳加速。

随着时间的推移，放缩可能会变得更加复杂，像是我们生活中的变化，有时候事情一波三折，你得灵活应对。

想象一下，数列放缩就像是调节音量，想听点轻音乐的时候，低一点；想狂欢派对时，调大音量，整个场子都跟着热闹起来。

这样一来，数列的性质也会随之改变。

比如，放缩之后，数列的极限、界限都有可能被打破，可能是好的变化，也可能带来新的挑战，真是好戏连台，妙趣横生。

放缩带来的并不只是简单的数字变化。

它还可能让我们在数学的海洋里遨游，让我们对于数列有更深层次的理解。

高中数学数列与不等式综合问题放缩法

数列与不等式综合问题一裂项放缩放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。

常见裂项放缩技巧：例1 求证（1）变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13. 二等比放缩（一般的，形如的数列，求证都可以等比放缩）例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=（1）求{a n }的通项公式2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....nk a a a +++<231111+++......+12222n<（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式例：求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-（1）求f （x ）的单调区间（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-，求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- （1）已知数列{a n }满足（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。

透视核心素养聚焦思维方法——“一类数列和式放缩”的探究

1 3n 2n
1
5 9
3n
(n
2)
，故
a1a1aa2 2…aan n119595(3(13212313313313n1n) )
an1 an
3n 3n1
2n 2n1
3n 33n
2n 2
2n
a1
3n 2n 3a23n3
2ann
1 13
； 9 5
(
1 32
1 33
…
1 3n
)
1 3 (1 10
a1
a2
an
3 2
。
10 2
压缩系数 λ , 考虑放弃前几项不放缩 ( 因前几项数值变
化较大 )，如从第 2 项起 ,当 n 2 时 ,假设 3n 2n 3n
分析：
，可采用内
恒成立 ,则
(1
)
[(
2 3
)
n
]max
4 9
,则
5 9
,从而
部压缩法，或主导项放缩法。证法1（内部压缩法）
n
3 2
3 2
；从而有
an
1 3
an1
...
(
1)n2 3
a2
（, 第
1(1
1 31
1 32
1 3n1
)
1 (1)n 3
1 1
3 2
证毕。
3
33
1
项不放缩），故
aa11
aa22
…
aann
aa11
aa22((11
3311a111331a1222
…33an1n1n22))
3 2
11
1111 55 11

放缩法典型例题

放缩法典型例题第一篇：放缩法典型例题放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到∴，又由条件得所以，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是．．（2）∵，，∴公比．∴．．∴3．放缩后为差比数列，再求和．例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m 时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列．j（1）求a4、a5，并写出an的表达式；的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=综上，..注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项第二篇：放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.1111111-=<2<=- nn+1n(n+1)nn(n-1)n-1n114411<===2(-)22n4n-1(2n+1)(2n-1)2n-12n+1n2-42.==>===<=2)=<====<== 4.2n2n2n-1115.n <==-(2-1)2(2n-1)(2n-2)(2n-1)(2n-1-1)2n-1-12n-16.n+22(n+1)-n11==- n(n+1)⋅2n+1n(n+1)⋅2n+1n⋅2n(n+1)⋅2n+1x2-x+n*c=(n∈N)例1.设函数y=的最小值为，最大值为，且abnnn2x+1（1）求cn；（2）证明：例2.证明：16<1+例3.已知正项数列{an}的前n项的和为sn，且an+2（1）求证：数列sn是等差数列；11117+++Λ+< 444c14c2c3cn4+Λ+<17 1=2sn，n∈N*； an{}（2）解关于数列n的不等式：an+1⋅(sn+1+sn)>4n-8（3）记bn=2sn,Tn=331111<Tn<-+++Λ+，证明：1 2b1b2b3bn例4.已知数列{an}满足：⎨n+2⎧an⎫an+1；⎬是公差为1的等差数列，且an+1=nn⎩⎭（1）求an；（2++Λ<2 例5.在数列{an}中，已知a1=2,an+1an=2an-an+1；（1）求an；（2）证明：a1(a1-1)+a2(a2-1)+a3(a3-1)+Λ+an(an-1)<32n+1an例6.数列{an}满足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）设bn=，求bn；（2）记cn=，求证：≤c1+c2+c3+Λ+cn< 162n(n+1)an+1an例7.已知正项数列{an}的前n项的和为sn满足：sn>1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）设数列{bn}满足an(2n-1)=1,并记Tn=b1+b2+b3+Λ+bn，b求证：3Tn+1>log2n(a+3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）例8.已知正项数列{an}满足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1 记b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）证明：(1+2111++Λ+](n≥2)。

数列和式放缩研究

方法来源2——不动点定理
压缩映射原理
若 f (x) 在 R 上满足： " x, y ? R ，有 f (x) - f ( y) ? l x y （ 0 ? l 1）——压缩条件
则称 f (x) 为定义在 R 上的一个压缩映射，此时， f (x) 在 R 上存在唯一的不动点 x0 （即满足 f (x0 ) = x0 ）.
+L
+ an
<3. 2
变式 1.已知 an
= 3n
1 - 2n (n?
N* ) ,证明不等式 a1 + a2
+L
+ an
< 13 . 10
变式 2.已知 an
= 3n
1 (n ?
- 2n
N* ) ,证明不等式 a1 + a2 +L
+ an
< 243 . 190
证明同上,只要取 M = 3时,为了使得 3n - 2n ? l 3n 恒成立,
2、高考压轴 3、数学竞赛
思想来源——两类极限问题（通项、和）
无穷级数敛散性：
n
¥
å å （1）若 lim n
ak
k =1
=S
，则称无穷级数
an
n=1Hale Waihona Puke 收敛.n¥
å å 若 lim n
ak
k =1
不存在，则称无穷级数
an
n=1
发散.
¥
¥
å å （2）若级数 an 收敛，则称 an 绝对收敛.
n=1
n=1
则 (1-
l
)?
[(
2 3
)n
]max
8 27

放缩法在数列求和中的基本策略

“放缩法”在数列求和中的基本策略放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。

常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。

常用的放缩技巧有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1).1n n (2n1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b ma ba ,mb a b a +<+>（4）+++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12n 11n 1()3121()211(1n131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++ （7）nn n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。

注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,D C ,C B ,B A >>>则D A >。

2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。

3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。

数列的放缩(含答案)

数列的放缩题型一:单调性法例1：证明：11115123136n n n n ++++>++-，2n n N *≥∈，.因为1111111112313233233n a n n n n n n n n =++++<++++++-++++ 所以n a 单调递增，156n a a >=例2：证明：1111121313n n n n<++++<+-，n N *∈.右边：11111(31)213231n n n n n n n++++<•-+=+--左边：1111112313n a n n n n n=+++++++-可以证明：11232n x n x n+>+- 44()(3)2*2n nn x n x n n>+-所以倒叙相加可得 1111111111()()1231333121n n nn n n n nn n++++++++++++++--+ 2*n >422*2nn n = 所以1n a >题型二:裂项法例1：证明：222211117147(32)6n +++<-，n N *∈.211(32)(34)(31)n n n <---例2：证明：2611151(1)(21)493n n n n ≤++++<++ 解析: 一方面⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一21111111111492334(1)11n n n n n n ++++>++++=-=⨯⨯+++方面:当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例3：证明：11112477121017(31)(52)25n n +++<⨯⨯⨯++提示：1313615(31)(52)55(31)(3)(3)(3)522n n n n n n =<++++-+例4：求证：22211171135(21)62(21)n n ++++>---，2n n N *≥∈，. 提示：211(21)(21)(21)n n n >--+例5：证明：222233131312n+++<---，n N *∈ 方法一:13123n n --≥⨯方法二:1111122323113()31(31)3(31)(31)3131n n nn n n n n n +++++⨯⨯=<=-------例6：已知当0x >时sin x x >，求证:211sinln 2(1)nk k =<+∑例7：已知函数()()cos sin 10f x x x x x =-+>。

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数列和式不等式放缩探究
摘要：放缩法证明数列和式不等式作为高中数学中的一个难点，让人望而生畏，无从下手。

本文结合两个典型例题，对放缩法证明数列和式不等式做一定的探究与解析。

关键词：数列和式不等式；放缩法
放缩法是指要让不等式A<B 成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A<C ，后证C<B ，是不等式问题里的一种方法。

常见技巧有：（1）舍掉（或加进）一些项；（2）在分式中放大或缩小分子或分母；（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）；（4）应用函数的单调性进行放缩；（5）根据题目条件进行放缩；
（6）构造等比数列进行放缩；（7）构造裂项条件进行放缩；（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩；（9）利用裂项法进行放缩；（10）利用错位相减法进行放缩。

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了。

数列和不等式是高中数学的两个重要内容，而数列不等式是这两个重要内容的交汇融合。

数列与不等式的交汇题作为高考的一类重要题型，屡次以数列不等式证明出现在高考试题中。

放缩法作为数列不等式证明的一种重要方法，由于其技巧性强与灵活多变，对学生而言难以掌握。

何如合理把握放缩的“尺度”，使放缩恰到好处？下面笔者采撷常见的数列和式不等式进行剖析。

一．放缩要有度
例1.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，对于任意*N n ∈满足：0>n a ，且n a 是n S 4和23n a -的
等差中项．
（1）求1a 的值；
（2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n 有，4
111122221<+++n a a a ．分析与解（1）13a =；（2）21n a n =+；
（3）22221111111()(21)4414441n a n n n n n n n ==<=-+++++，即21111()41
n a n n <-+，于是222121111111111111()()()(1)4122314
14n a a a n n n ⎡⎤++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=-<⎢⎥++⎣⎦，即对一切正整数n 有，
2221211114n a a a ++⋅⋅⋅+<，证毕。

个别学生会用1
2121)12(21)12(112+-=+<+=n n n n n a n 来放缩，这样则无法证明这个不等式。

与答案比较之后，发现
)12(21)22(21)12(112+<+<+=n n n n n a n ；究其原因，是放缩“放”大了。

在数列和式不等式的处理过程中，不仅要注重选择正确的放缩方法，在放
缩的过程中方所尺度的把握至关重要，稍不注意就会放缩过大或过小，从而无法达到预期的要求。

用放缩法证明数列和式不等式时，“度”的控制非常重要。

实践经验告诉我们，在这类问题中，放缩的时候经常会“留一手”：保留数列的第1项或者是第2项，后面各项再进行放缩，这样会比较逼近预期的目标，进而实现准确的放缩结果。

二．放缩要有向
我们在解题中可以发现，很多数列和式不等式，其放缩的目的是有利于数列求和；因此这些数列求和中不管放缩的手段是什么，它们大多归结为两类求和：裂项求和与等比数列求和。

例2.已知数列}{n a 满足11=a ，13n 1+=+a a n .
（1）证明}2
1
{+n a 是等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）证明：
2
31111321<++++n a a a a ．分析与解（1）略。

}21{+n a 是首项2
3211=+a ，公比为3的等比数列，所以213-=n n a 。

（2）法一：当2≥n 时，因为13n 1+=+a a n ，所以031>>+n n a a ，所以n
n a a 13111⋅<+，即1)31(1-<n n a ，所以233
11)31(11111
21<--<+++-n n a a a ，即证。

法二：当2≥n 时，1321-=n n a 1n )3
1(3311312-==+-+<n n ，以下同法一。

法三：当2≥n 时，
1321-=n n a 11-11-)31(32213322--=⋅<-+⋅=n n n n ，以下同法一。

法四：当2≥n 时，1321-=n n a 1
213)13(2)133)(13(2132---⋅-<+++-=-=n n n n n
1)3
1(-=n ，以下同法一。

法五：（待定系数法）设当1=n 时，n n 313λ≥-恒成立，则n 311≥-λ恒成立，所以3
11≥-λ，
所以32≤λ，从而1)3
1(33
221321-=<-=n n n n a ，以下同法一。

法六：若把n a 1放缩为等比数列，设公比为q ，则根据极限思想231111=-⋅q a ，所以3
1=q ，所以只需证明111)3
1()31(11--=⋅<n n n a a ，显然成立。

法七：当2≥n 时，
131********---<-=-n n n n a ，所以131131131131131211111132221---++---+--+<+++-n n n a a a 2
3<，即证。

等比数列是高中熟知的基本数列形式，若能将求和形式转化为等比数列，则易于求解，若数列的通项公式是指数类型或是能够转化为指数类型，大多放缩为等比数列。

同时，裂项求和在“和式”型数列不等式中也应用非常广泛，其关键是把所要求和的式子转化为两项的差，再利用前后相同项的消去，达到求和的目的。

因此只要根据问题的特征选择恰当的目标方向，解决数列和式不等式并非难事。

放缩法证明不等式，尺度不易掌握，技巧性强，但实际有迹可循，要想恰当地放缩，必须抓住问题特点，掌握放缩技巧，指向放缩目标，才能将问题迎刃而解；从而培训和提高自己的思维和逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，进一步提升自己的数学核心素养。