08-14江苏高考真题汇编-压轴题(数列、函数)(可编辑修改word版)

08-14 江苏高考数列与函数

一 概 述

以 08-14 近六年高考的江苏真题为背景，研究数列与函数两个部分解答题的命题特点，解题思路，解答技巧。 二 真题方法提炼

1 数列

（08）19．（1）设

是各项均不为零的n （ n ≥ 4 ）项等差数列，

且公差d ≠ 0 ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．

（i ） 当n = 4 时，求 a

1 的数值；

d

（ii ）求n 的所有可能值．

（2）求证：对于给定的正整数n ( n ≥ 4 )，存在一个各项及公差均不为零的等差数列

b 1，b 2 ? b n ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数

列． 初等数论的简单应用

2 3 4 5 7

（09）17．（本小题满分 14 分）

设 {a n }是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ， S n 为 其 前

n 项 和 ， 满 足

a 2 + a 2 = a 2 + a 2 ,S = 7 （1） 求数列

{a n }的通项公式及前n 项和S n ；

（2） 试求所有的正整数m ，使得

a m a m +1 为数列{a }中的项.

简单的分离常数，整体法

a m +2

n

n n （10）19．（16 分）设各项均为正数的数列{a }的前n 项和为S ，已知

2a

2 =a

1

+a

3

，数列{S n }是公差为d 的等差数列.

①求数列{a n }的通项公式（用n, d 表示）

② 设 c 为实数，对满足m +n = 3k且m ≠n 的任意正整数m, n, k ，不等式

S m +S

n

>cS

k

都成立。求证： c 的最大值为

9

2

基本不等式，初等数论的简单应用

a （12）20．（本小题满分 16 分）已知各项均为正数的两个数列{a n

} 和{b n

} 满

足： a n +1 =

n n

b n ∈ N * ．

??? b

?2 ?? （1）设b = 1 + n ，n ∈ N * ，求证：数列?? n

? ? 是等差数列；

n +1

n ??? a n ? ?? （2） 设b = 2 ? b

n ，n ∈ N * ，且{a } 是等比数列，求a 和b 的值．

n +1 n 1 1

n

基本不等式与函数单调性的应用

a

2

+ b 2

n n a

（13）19．(2013 江苏，19)(本小题满分 16 分)设{a n}是首项为a，公

差为d 的等差数列(d≠0)，S n是其前n 项和．记b

n

nS

n

n2+c

，n∈N*，其中c 为实

数．

(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k，n∈N*)；

(2)若{b n}是等差数列，证明：c＝0.

待定系数法求解

=

（11）20、设 M 为部分正整数组成的集合，数列{a }的首项a

1

= 1 ，前 n 项

和为S n ，已知对任意整数 k 属于 M ，当 n>k 时， S n +k + S n -k

（1）设 M=｛1｝， a 2 = 2 ，求a 5 的值；

= 2(S n + S k ) 都成立

（2） 设 M=｛3，4｝，求数列{a n }的通项公式

n

（14）20.(本小题满分 16 分)

设数列{a n } 的前n 项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n =a m ，则称{a n } 是“H 数列”.

(1)若数列{a n } 的前 n 项和S n = 2 n (n ∈N *),证明: {a n } 是“H数列”;

是等差数列,其首项a1 = 1 ,公差d < 0 .若{a n }是“H数列”,求d 的

(2)设{a n }

值；

(3)证明：对任意的等差数列{a n } ，总存在两个“H数列”{b n } 和{c n } ，使得

a n =

b n +

c n

(n ∈N *)成立.

1

2

2 函数

（ 08） 20． 已 知 函 数 f (x ) = 3 x - p

1

，

f (x ) = 2

? 3 x - p 2 （

x ∈ R , p 1, p 2 为 常 数）．函数 f (x ) 定义为：对每个给定的实数 x ， f (x ) = ? f 1 (x ), 若f 1 (x ) ≤

f 2 (x ) ?

f (x ), 若f (x ) > f (x ) ? 2 1 2

（1） 求 f (x ) = f 1 (x ) 对所有实数 x 成立的充分必要条件（用 p 1 , p 2 表示）；

（2） 设a , b 是两个实数，满足a < b ，且 p 1, p 2 ∈ (a ,b ) ．若 f (a ) = f (b ) ，求证：函数

f (x ) 在区间[a , b ] 上的单调增区间的长度之和为 b - a （闭区间[m , n ] 的长度定义

2

为n - m ）

用到不等式的知识 利用图像进行讨论

（09）20．(本小题满分16 分)

设a 为实数，函数f (x) = 2x2+ (x -a) | x -a | .

(1)若f (0) ≥1，求a 的取值范围；

(2)求f (x) 的最小值；

(3)设函数h(x) =f (x), x ∈(a, +∞) ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式

h(x) ≥ 1的解集.

利用图像分析求解

（10）20.（16 分）设 f (x ) 使定义在区间(1,+∞) 上的函数，其导函数为 f '(x ) .

如果存在实数 a 和函数 h (x ) ，其中 h (x ) 对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 h (x ) >0，使得

f '(x ) = h (x )(x 2 - ax + 1) ，则称函数 f (x ) 具有性质 P (a ) .

(1) 设函数 f (x ) = h (x ) +

b + 2

(x > 1) ，其中b 为实数x + 1

①求证：函数 f (x ) 具有性质 P (b )

②求函数 f (x ) 的单调区间

(2) 已 知 函 数 g (x ) 具 有 性 质 P (2) ， 给 定 x 1 , x 2 ∈ (1,+∞), x 1 < x 2 ,设m 为实数

= mx 1 + (1 - m )x 2 ， = (1 - m )x 1 + mx 2 ， 且 > 1,

> 1 ， 若 | g () - g () |<|

g (x 1 ) - g (x 2 ) |,求m 的取值范围先讨论内容较少，较易拿分的

深刻理解题目的含义，利用不等式的传递性，放缩的思想

（12）18．（本小题满分16 分）已知a，b 是实数，1 和-1是函数f (x) =x3 +ax2 +bx 的两个极值点．

（1）求a 和b 的值；

（2）设函数g(x) 的导函数g'(x) =f (x) + 2 ，求g(x) 的极值点；

（3）设h(x) =f ( f (x)) -c ，其中c ∈[-2 ，2] ，求函数y =h(x) 的零点个数．

找特殊点，待定系数法求高次多项式的根

利用图像找零点

（11）19、已知a，b 是实数，函数f (x) =x3+ax, g(x) =x 2+bx, f '(x) 和g '(x) 是f (x), g(x) 的导函数，若f '(x)g '(x) ≥ 0 在区间 I 上恒成立，则称f (x) 和g(x) 在区间 I 上单调性一致

（1）设a > 0 ，若函数f (x) 和g(x) 在区间[-1,+∞) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围；

（2）设a < 0, 且a ≠b ，若函数f (x) 和g(x) 在以a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值

找特殊点，缩小范围

（13）20．(2013 江苏，20)(本小题满分16 分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a 为实数．

(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围；

(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

常规方法

先找较易求解的进行讨论，同时结合图像

0 （14）19.(本小题满分 16 分)

已知函数 f (x ) = e x + e -x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f (x ) 是 R 上的偶函数；

(2) 若关于 x 的不等式 mf (x ) ≤ e -x + m - 1 在(0,+∞) 上恒成立，求实数 m 的取值范围；

(3) 已知正数 a 满足：存在 x 0 ∈[1,+∞) ，使得 f (x 0 ) < a (-x 3 + 3x 0 ) 成立.试比较e a -1 与a e -1 的大小，并证明你的结论.