1.1-1.2.1_数列的极限

a
使
| xRn0,若(aa10|)n000，0, as则.t.1偶N数an0N1,Nn，00，
N
故此数列发散。
数列极限
作业
习 题 1 （P5）
2(1)(4)； 3（提示:反之不成立举反例否定即可） 4 预习到P.11
例
4．证明：
lim
n
n2 2n2
1 3n

1 2
。
证明：
0 ，要使
n2 1 2n2 3n

1 2

2 3n 2(2n2 3n)

3n 2 2(2n2 3n)

3n 2(2n2
3n)

3 2(2n 3)

3 4n
1 n

放大
放大 放大
即 n 1 ，故取 N [1] ，
1000 L N [1]

n4 n 100
n1000 L
n N
恒有
1 an 1 4
an

1

1 100
1 an 1 1000
L
an 1
数列极限
定义 1（数列极限的“ N ”定义）
设有数列xn ， a 是常数。若对任意给定的正数 ，
总存在正整数 N，使得当 n N 时，恒有 xn a 成立，
数列极限
例 2．设 q 1 ，试证 lim qn 0 . n
证明：（1）若 q 0 ，则 qn 0 (n 1, 2, 故 lim qn 0 。
n
) ，这是常数列，
（2）若 0 q 1 ， 0 ，要使 qn 0 qn ，
只要 nln q ln ，不妨设 0 1 ， n ln ，
正六边形
正十二边形
K
数列极限
设 A 表示半径为 R 的圆的面积，
An 圆内接正 6 2n1 边形的面积

6

2n1

1 2
R2
sin
6
2
2n1
，
R
圆内接正 6 2n1 边形的面积数列为：
A
，
1
A
，
2
A
，…，
3
An
，…，
当 n 无限增大时，正 6 2n1 边形无限地接近于圆， An 就无限地接近于常数 A R2 。
1, 1, 1, 1, L ,( 1)n1, L ; 即 {(1)n1 }
数列极限
在研究数列时，常用以下两种观点之一看待数列。 几何观点：
数列{an } 可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上 的点 a1, a2 ,L , an ,L 。
函数观点：
数列{an } 可看作自变量为 n 的函数 an f (n), n N 。
则称数列xn 以 a 为极限，记作
lim
n
xn

a
或
xn a ( n )。
此时又称xn 收敛于 a。
如果数列xn 无极限，则称该数列发散。
“ N ”定义简写为：
0,
N N ,
只要n
N,
恒有
xn
a


lim
n
xn
a
数列极限
注：① 是 任意给定的正数， 具有 两重性：
示o
(
a
a
)
a
x
数列极限
三、用定义证明极限的几个例题 例 1．证明： lim n 1 。
n n 1
例 2．设 q 1 ，试证 lim qn 0 . n
例 3．证明： lim n a 1( a 1 )。
n
例 4．证明： lim n2 1 1 。 n 2n2 3n 2
N 必须满足使 n N 后的一切项 xn 均有 xn a
1 对于不同的 ，一般有不同的 N 。
2 对给定的 ，对应的 N 不是唯一的。 一般地，当 n N 时，能使 xn a 成立，
则当 n N1( N1 N )时， xn a 也能成立。
数列极限
ln q
故取
N


ln
ln q

，则当
n

N
时，恒有

qn 0
qn
，
∴ lim qn 0 。 n
综上可得，当 q 1时， lim qn 0 。
n
数列极限
例 3．证明： lim n a 1( a 1 )。
n
证明：
1
0 ，要使 n a 1 n a 1 ，只要 (a)n 1 ，
数列极限
用定义可证：
1
lim
n
n
0
(0 )
（自证）Baidu Nhomakorabea
特别是: lim 1 0, n n
lim
n
1 n2

0,
lim 1 0. n n
数列极限
例 5．证明数列xn (1)n 发散。
对证于明数：0a列只{1要Rx，n证，}若(发明{ax1散任n)}n意00不，实以a则数aa为| 奇都极1数不限n是a0 |此 1N数列，a的极1 限。0 ，


∵

0 ， N
[1 ] ，当 n

N
时，恒有
n2 1 2n2 3n

1 2
∴
lim
n
n2 2n2

1 3n

1 2
。
，
数列极限
※验证xn的极限是 a 的两种方法：
1.直接解不等式法
2. 放大法
注意：将 xn a 适当放大为 yn ，要掌握两条原则： ① yn 要比较简单； ②当 n 时，应有 yn 0 。
对于数列，关心的主要问题是： 当n无限增大时，an的变化趋势如何？
数列极限
二、数列极限的定义
例
1．观察当
n
无限增大时，数列

n

(1)n1 n

的变化趋势。
{an
}

{
n

(1)n1 n
}
：
2,
1, 2
4, 3
3, L , 4
n (1)n1 ,L
n
a2 a4 a6

④
lim
n
xn

a 数列极限的几何解释
" N"
定 义 0 N N
几 何 任给 存 在
解 释 0 项号N
只要n N, 恒有 xn a .
xN以后的所有的 xN1, xN2 , L
都落在 (a , a )中 .
图
x3 xN xN1 x N 3 xN 2 x2 x1
a5

a3

O
1 3 5 1 64
2 46
53
a1

2x
结论：当 n 无限增大时， an 无限接近于常数 1。
an

n

(1)n1 n
1
(1)n1 n
，|
an
1 |
1 n
，
数列极限
1 an 1 n
任 给 总存在正整数 使 当
1 4 1 100 1 1000 L
0
4
100
1
3
7
2
4
8
n
1
2n1
1
1 2n1
数列极限
割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.
三国时的刘徽提出的 “割圆求周” 的方法.他把圆周分 成六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分 割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.
数列极限
刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
数列极限
数列极限
一的
尺《
之庄
棰子
·
日 取 其 半
天战 下国 篇时 》代 引哲
万 用学
世 过家 不 一庄 竭 句周
话所
.
:
著
数列极限
战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下 篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭.
{an } ：剩余的长度
{bn } ：截去的总长度
n1
2
34
{an } 1
{bn } 0
即只要 1 ln a ln(1 ) ，从而有 n ln a ，
n
ln(1 )
取
N


ln a
ln(1
)

。
∵

0 ， N

ln a

ln(1


)

，当 n
N
时，恒有
n
a
1


，
∴ lim n a 1 。 n
数列极限
1 任意性
保证不等式 xn a 能刻划 xn 无限接近 a；
2 相对固定性
给定之后，就是一个固定的数。
②若 是 任意给定的正数， 则 c (c 是正常数), , 2,L 也都是任意给定的 正数，它们与 形式不同 ，但本质相同。
数列极限
③正整数 N ，在 给定之后，由 xn a 确定。
数列极限
2.1 数列极限的概念
一、数列的概念
按正整数顺序排列的一列数： a1, a2,L , an ,L 称为
数列，简记为{an } ，其中 an 称为通项或一般项。
例如： 1 , 2 , 3 , L , n , L ;
234
n 1
即
n

n

1

2, 4, 8, L ,2n , L ; 即 {2n }