(1)同向相加:若a>b,c>d,则a+c>b+d;
(2)异向相减:b a >,d c -⇒.
(3)正数同向相乘:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。
(4)乘方法则:若a>b>0,n∈N +,则n n b a >;
(5)开方法则:若a>b>0,n∈N +,则n n b a >;
(6)倒数法则:若ab>0,a>b,则b
1a 1<。2、基本不等式
定理:如果R b a ∈,,那么ab b a 222≥+(当且仅当a=b 时取“=”
号)
推论:如果0,>b a ,那么ab b a ≥+2
(当且仅当a=b 时取“=”号)算术平均数2b a +;几何平均数ab ;
推广:若0,>b a ,则b
a a
b b a b a 1122222+≥≥+≥+当且仅当a=b 时取“=”号;
3、绝对值不等式
(1)|x|<a(a>0)的解集为:{x|-a<x<a};
|x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a 或x<-a}。
(2)|b ||a ||b a |||
b ||a ||+≤±≤-4、不等式的证明:
(1)常用方法:比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法;
(2)在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用;
(3)证明不等式的过程中,放大或缩小应适度。
5、不等式的解法:
(1)一元二次型不等式的恒成立问题常用结论:
ax 2
+bx+c>0对于任意的x 恒成立⇔20040a a b ac >⎧=⎨-<⎩或检验;ax 2
+bx+c<0对于任意的x 恒成立⇔20040
a a
b a
c <⎧=⎨-<⎩或检验(2)解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式(组)是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数,方程的联系1求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集,要结合20ax bx c ++=的根及二次函数2y ax bx c =++图象确定解集.2对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>,设24b ac ∆=-,它的解按照000∆>∆=∆<,,可分为三种情况.相应地,二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此,我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >的解集,列表如下:
含参数的不等式应适当分类讨论。
6、线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,
直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下:
(1)设出未知数,确定目标函数。
(2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。
(3)由目标函数z=ax+by 变形为y=-b a x+b z ,所以,求z 的最值可看成是求直线y=-b a x+b z 在y 轴上截距的最值(其中a、b 是常数,z 随x,y 的变化而变化)。
(4)作平行线:将直线ax+by=0平移(即作ax+by=0的平行线),使直线与可行域有交点,且观察在可行域中使b z 最大(或最小)时所经过的点,求出该点的坐标。
(5)求出最优解:将(4)中求出的坐标代入目标函数,从而求出z 的最大(或最小)值。
7、在平面直角坐标系中,已知直线0x y C A +B +=,坐标平面内的点()00,x y P .
①若0B >,000x y C A +B +>,则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方.
②若0B >,000x y C A +B +<,则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方.
8、在平面直角坐标系中,已知直线0x y C A +B +=.
①若0B >,则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域;0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域.
②若0B <,则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域;0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域.
9、最值定理