信号分析与处理课后习题答案

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信号分析与处理课后习题答案

第五章快速傅里叶变换

1. 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us,每次复加需要10us, 用来就散N=1024点的DFT问:

(1)直接计算需要多少时间?用FFT计算呢?

(2)照这样计算,用FFT计算快速卷积对信号进行处理是,估计可实现实时处理的信号最咼频率?

解:

分析:直接利用DFT计算:复乘次数为M,复加次数为N(N-1);

利用FFT计算:复乘次数为0.5N log2 N,复加次数为Nlog2N ;

(1)直接DFT计算:

复乘所需时间T, N2 50us 10242 50us 52.4288s

复加所需时间T2 N(N 1) 10us 1024(1024 1) 10us 10.47552s

所以总时间T DFT T1 T262.90432s

FFT计算:

复乘所需时间T30.5N log2 N 50us 0.5 1024 log21024 50us 0.256s

复加所需时间T4 N log 2 N 10us 1024 log21024 10us 0.1024s

所以总时间为T FFT T3 T40.3584s

(2)假设计算两个N长序列为5)和X2(n)的卷积

计算过程为如下:

第一步:求Xdk),X2(k);所需时间为2 T FFT

第二步:计算X(k) X1(k)?X2(k),共需要N次复乘运算

所需时间为To N 50us 1024 50us 0.0512s

第三步:计算IFFT (X(k)),所需时间为T FFT

所以总时间为T 2 T FFT To 3 0.3584s 0.0512s 1.1264s

容许计算信号频率为N/T=911.3Hz

2. 设x(n)是长度为2N的有限长实序列,X(k)为x(n)的2N点得DFT

(1) 试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法;

(2) 若已知X(k),试设计用一次N点IFFT实现x(n)的2N点IDFT运算

解:本题的解题思路就是DIT-FFT思想。

(1)分析2N点的FFT,如下

在始于分别抽取偶数点和奇数点x(n) 得到两个N 长的实序列x1(n) 和

x2(n);

X1( n) = x(2 n), n = 0,1,…,N-1

X2( n) = x(2 n+1), n = 0,1,…,N-1

根据DIT-FFT的思想,只要球的x1(n)和x2(n)的N电DFT再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点的DFT因为x1(n)和x2(n) 均为实序

列,所以根据DFT的共轭对称性,可以用一次N点FFT求得X1(k) 和

X2(k) 。具体方法如下:

令y(n) = x1(n) + jx2(n)

Y(k) = DFT[y(n)], k = 0,1, …, N-1

则X1(k) = DFT[x1(n)] = Y ep(k) = 0.5[Y(k)+Y*(N-k)]

X2(k) = DFT[jx2(n)] = Y op(k) = 0.5[Y(k)-Y*(N-k)]

2N 点得DFT[x(n)] = X(k) 可由X1(k)和X2(k)得到

X(k) X1(k) W2k N X 2 ( k), k 0,1,L ,N 1

k

X(k) X1(k) W2k N X2(k),k N,N 1,L ,2N 1

这样,通过一次N点FFT计算就完成了计算2N点DFT当然由丫(k) 求x1(k) 和X2(k) 需要相对小的额外计算量。

(2)分析2N点的IFFT变换,如下

与⑴相同,设X1(n),x2(n),X1(k),X2(k); n,k = 0,1,…,N-1

则应满足关系式

X(k) X1(k) W2k N X2(k),k 0,1,L ,N 1

k

X(k N) X1(k) W2k N X 2 ( k)

由上式可解出

X1(k) 0.5[X(k) X(k N)]

X2(k) 0.5[X(k) X(k N)]W2N k 由以上分析可得出计算过程如下:

①由X(k)计算出X1(k)和X2(k),即

X1(k) 0.5[X(k) X(k N)]

X2(k) 0.5[X(k) X(k N)]W2N k

②由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列丫(k)

Y(k) = X 1(k) +jX 2(k) = 丫ep(k) + 丫°p(k) 其中Yep(k) = X1(k) ,Yop(k) = jX2(k), 进行N点IFFT 得到

y(n) IFFT [Y(k)] Re[y(n)] j Im[ y(n)], n 0,1,L ,N 1 由DFT的共轭对称性

Re[y( n)] 0.5[y( n) y*(n)] IDFT[Y;p(k)] xg) lm[y(n)] 0.5[y(n) y*( n)]

IDFT[Y°p(k)] jx?(n)

③由x1(n)和x2(n)合成x(n)

xl(-), n 偶

x(n) 2 4

x2(-——),n 奇

2

3. 请给出16点时域抽选输入倒序、输出顺序基2-FFT完整计算流图,注意W N P及其p值得确定。

解:

5

-1

(4)

第6章 无限长冲激响应(IIR )数字滤波器

1.设系统的差分方程为

y(n) 3y( n 1) 2y( n 2) x(n) 5x( n 1)

请画出该系统的直接型、级联型和并联型结构。 解:(1)直接-I 型结构:

1 1

1 5z 1 * 1 5z ___________________ ___________ * __________

1 3z 1

2z 2

1 z 1

1 2z

1

并联型结构 H (z )

1=人

(2) (3) c -

x(n)

z -1 -2

直接-II 型结构:

级联型结构:

y(n)

z -1

z -1

y(n)

z

-2

c

x(n)

z -1

0— x(n)

z -1

y(n)

z -1

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