2019-2020年高考数学一轮复习 第四篇三角函数、解三角形第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切教案 理
2019-2020年高考数学一轮复习 第四篇三角函数、解三角形第5讲 两角和
与差的正弦、余弦和正切教案 理
【xx 年高考会这样考】
1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值． 2．利用三角公式考查角的变换、角的范围． 【复习指导】
本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．
基础梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β；
(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C 2α：cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α. 3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
， sin α±cos α＝2sin ?
????α±π4.
4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2
＋b 2
sin(α＋φ)或
f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．
两个技巧
(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β
2；
α－β2＝? ????α＋β2－? ??
??α2＋β.
(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为1
4
的是( )．
A ．2cos 2 π
12
－1
B ．1－2sin 2
75° C.
2tan 22.5°
1－tan 2
22.5°
D ．sin 15°cos 15°
解析 2cos
2
π12－1＝cos π6＝32；1－2sin 2
75°＝cos 150°＝－32；2tan 22.5°1－tan 222.5°
＝ tan 45°＝1；sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝1
4.
答案 D
2．(xx·福建)若tan α＝3，则sin 2α
cos 2
α的值等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析
sin 2αcos 2 α＝2sin αcos α
cos 2
α
＝2tan a ＝2×3＝6，故选D. 答案 D
3．已知sin α＝2
3，则cos(π－2α)等于( )．
A ．－
53 B ．－19 C.19 D.53
解析 cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2
α－1＝2×49－1＝－19.
答案 B
4．(xx·辽宁)设sin ? ????π4＋θ＝1
3
，则sin 2θ＝( )．
A ．－79
B ．－19 C.19 D.7
9
解析 sin 2θ＝－cos ? ????π2＋2θ＝2sin 2? ????π
4＋θ－1＝2×? ????132－1＝－79.
答案 A
5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________. 解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°
1－tan 20°tan 40°
，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝3－3tan 20°·tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案
3
考向一 三角函数式的化简
【例1】?化简2cos 4x －2cos 2
x ＋
12
2tan ? ????π4－x sin 2? ???
?π
4＋x .
[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式． 解 原式＝－2sin 2x cos 2
x ＋
12
2sin ? ????π4－x cos 2? ??
?
?π
4－x cos ? ??
??π4－x
＝12
－sin 2
2x
2sin ? ????π4－x cos ? ????π4－x ＝12cos 2
2x sin ? ??
?
?π2－2x ＝1
2cos 2x .
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
【训练1】 化简：
α＋cos α－
α－cos α＋
sin 2α
.
解 原式＝
? ????2sin α2cos α2－2sin 2α2? ??
??2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α
2
cos α
＝
?
????cos α2－sin α2? ????cos α2＋sin α2sin α
2cos α
2
cos α
＝
? ??
??cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α
2cos α
＝cos αsin
α
2cos α2
cos α
＝tan α
2.
考向二 三角函数式的求值
【例2】?已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ? ????α－β2＝－19，sin ? ????α2－β＝2
3，求cos(α＋β)
的值．
[审题视点] 拆分角：α＋β2＝? ????α－β2－? ????α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．
解 ∵0＜β＜π
2
＜α＜π，
∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β
2
＜π，
∴cos ? ??
??α2－β＝ 1－sin 2
?
??
??α2－β＝53
，
sin ?
????α－β2＝
1－cos 2?
????α－β2＝459，
∴cos α＋β2＝cos ????
??? ????α－β2－? ????α2－β
＝cos ? ????α－β2cos ? ????α2－β＋sin ? ????α－β2sin ? ????α2－β
＝? ????－19×53＋459×23＝7527，
∴cos(α＋β)＝2cos
2
α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239
729
. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．
【训练2】 已知α，β∈? ????0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．
解 ∵α，β∈? ????0，π2，∴－π2＜α－β＜π2，
又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π
2＜α－β＜0.
∴1
cos
2
α－β＝1＋tan 2
(α－β)＝109
.
cos(α－β)＝31010，sin(α－β)＝－10
10.
又∵sin α＝45，∴cos α＝3
5.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝35×31010＋45×? ????
－1010＝1010
. 考向三 三角函数的求角问题
【例3】?已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π
2，求β.
[审题视点] 由cos β＝cos[α－(α－β)]解决．
解 ∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝13
14，
∵cos α＝17，β＜α＜π
2，
∴sin α＝1－cos 2
α＝437
∴sin(α－β)＝1－cos
2
α－β＝
33
14
， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2.∴β＝π3
.
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选
正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是?
????0，π2，选正、余弦
皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为? ????－π2，π2，选正弦较好． 【训练3】 已知α，β∈? ??
??－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2
＋33x ＋4＝0的两个根，
求α＋β的值．
解 由根与系数的关系得：tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4， ∴tan α＜0，tan β＜0，－π＜α＋β＜0. 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－33
1－4＝ 3.
∴α＋β＝－2π
3
.
考向四 三角函数的综合应用
【例4】?(xx·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2
x .
(1)求f ? ??
??π3的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．
[审题视点] 先化简函数y ＝f (x )，再利用三角函数的性质求解． 解 (1)f ? ????π3＝2cos 2π3＋sin 2π
3
＝－1＋34＝－1
4
.
(2)f (x )＝2(2cos 2
x －1)＋(1－cos 2
x ) ＝3cos 2
x －1，x ∈R . ∵cos x ∈[－1,1]，
∴当cos x ＝±1时，f (x )取最大值2； 当cos x ＝0时，f (x )取最小值－1.
高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质． 【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间????
??－π6，π2上的最大值和最小值．
解：f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x (1)f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)∵－π6≤x ≤π
2，
∴－π
3≤2x ≤π.
∴－
3
2
≤sin 2x ≤1. ∴f (x )的最大值为1，最小值为－
3
2
.
难点突破10——三角函数求值、求角问题策略
面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值
一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．
【示例】? (xx·江苏)已知tan ?
????x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．
二、给值求角
“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
【示例】? (xx·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，且α，β∈(0，π)，求2α
－β的值．
▲三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．
【示例】? (xx·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ
∈?
????0，π2.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π
2
，求cos φ的值．
2019-2020年高考数学一轮复习第四篇三角函数、解三角形第6讲正弦定
理和余弦定理教案理
【xx年高考会这样考】
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．
3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．
【复习指导】
1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．
2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理
1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以
变形为：
(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；
(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos_A ，b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos_B ，c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos_C ．余弦定
理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r
是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则
一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ?a ＞b ?sin A ＞sin B . 两类问题
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.106
3
D ．5 6
解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c
sin C ，
即10
32＝c 2
2
.∴c ＝1063.
答案 C
2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b
，则B 的值为( )．
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 解析 由正弦定理知：
sin A sin A ＝cos B
sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B
3．(xx·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°
解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝1
2
，
∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C
4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1
3，则△ABC 的面积为( )．
A ．3 3
B ．2 3
C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝1
3
，0＜C ＜π，
∴sin C ＝22
3，
∴S △ABC ＝1
2
ab sin C
＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C
5．已知△ABC 三边满足a 2
＋b 2
＝c 2
－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2
＋b 2
－c 2
＝－3ab ，
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32
，
故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°
考向一 利用正弦定理解三角形
【例1】?在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .
[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．
解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2
sin 45°
，
∴sin A ＝
32
. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.
当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，
c ＝b sin C sin B ＝6＋22
；
当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，
c ＝b sin C sin B ＝6－22
.
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
【训练1】 (xx·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π
4
，tan A ＝2，则sin A ＝________；a
＝________.
解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且
sin A cos A
＝2，sin 2A ＋cos 2
A ＝1， 联立解得sin A ＝25
5，
再由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，
代入数据解得a ＝210. 答案
25
5
210 考向二 利用余弦定理解三角形
【例2】?在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b
2a ＋c .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
[审题视点] 由cos B cos C ＝－b
2a ＋c
，利用余弦定理转化为边的关系求解．
解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
将上式代入cos B cos C ＝－b
2a ＋c
得：
a 2＋c 2－
b 22a
c ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c
， 整理得：a 2
＋c 2
－b 2
＝－ac .
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12
.
∵B 为三角形的内角，∴B ＝2
3π.
(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，
B ＝23
π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
得b 2
＝(a ＋c )2
－2ac －2ac cos B ，
∴13＝16－2ac ? ??
??1－12，∴ac ＝3.
∴S △ABC ＝12ac sin B ＝33
4
.
(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (xx·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2
A
2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；
(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2
A
2＋cos A ＝0，
得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－1
2，
∵0＜A ＜π，∴A ＝2π
3.
(2)由余弦定理得，
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，A ＝
2π3
， 则a 2
＝(b ＋c )2
－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4，
有12＝42
－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝ 3.
考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】?在△ABC 中，若(a 2
＋b 2
)sin(A －B )＝(a 2
－b 2
)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2
＋b 2
)sin(A －B )＝(a 2
－b 2
)sin C ， 得b 2
[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2
[sin C －sin(A －B )]， 即b 2
sin A cos B ＝a 2
cos A sin B ，
即sin 2
B sin A cos B ＝sin 2
A cos
B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π
2
.
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c
cos C
；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴
sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C
cos C
. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B
考向三 正、余弦定理的综合应用
【例3】?在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π
3.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．
[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．
解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2
＋b 2
－ab ＝4.
又因为△ABC 的面积等于3，所以1
2ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组???
??
a 2
＋b 2
－ab ＝4，ab ＝4，
解得???
??
a ＝2，
b ＝2.
(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π
6
，
a ＝
433，b ＝23
3
； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .
联立方程组?
??
??
a 2＋
b 2
－ab ＝4，
b ＝2a ，
解得???
??
a ＝
233，b ＝433.
所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233
.
正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题． 【训练3】 (xx·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos
B ＝4
5
，b ＝2.
(1)当A ＝30°时，求a 的值；
(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝3
5
.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝10
3
，
所以a ＝5
3
.
(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝3
5，
所以3
10
ac ＝3，ac ＝10.
由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，
得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2
＝20.
所以(a ＋c )2
－2ac ＝20，(a ＋c )2
＝40. 所以a ＋c ＝210.
阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错
【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,
【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边
角条件.
【示例】?(xx·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．
错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B ＋C )＝0， 知cos A ＝12，∴A ＝π
3，
根据正弦定理a sin A ＝b
sin B 得： sin B ＝
b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π
4
. 以下解答过程略．
正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π
3.
在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b
sin B
，
∴sin B ＝b sin A a ＝2
2
.
∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝5
12π.
∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝
22×12＋22×32＝6＋2
4
. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×
6＋24＝3＋1
2. 【试一试】 (xx·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋
b cos 2 A ＝2a .
(1)求b
a
；
(2)若c 2
＝b 2
＋3a 2
，求B . [尝试解答] (1)由正弦定理得， sin 2
A sin
B ＋sin B cos 2
A ＝2sin A ，即 sin
B (sin 2
A ＋cos 2
A )＝2sin A .
故sin B ＝2sin A ，所以b a
＝ 2. (2)由余弦定理和c 2
＝b 2
＋3a 2
，得cos B ＝1＋3a
2c
.
由(1)知b 2
＝2a 2
，故c 2
＝(2＋3)a 2
.
可得cos 2
B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.
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三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α α αcos sin tan = ， 平方关系：1cos sin 22=+αα， 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （） 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b = ?tan 。 八、正弦定理
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
高中数学公式三角函数公式大全
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
高中三角函数公式大全必背知识点
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式
高考数学三角函数公式
高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα
三角函数公式大全(很详细)
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
高中常用三角函数公式大全
高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa
cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
高中数学三角函数公式大全
高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
最全高中数学三角函数公式
定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式
公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
(完整版)高中三角函数公式大全整理版
高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正弦定理：在△ABC 中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式
必修4三角函数公式大全(经典)
三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)]
高一三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)]
高三数学知识点总结三角函数公式大全
2014高三数学知识点总结：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}
三角函数公式大全
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
(完整版)高中高考数学三角函数公式汇总.doc
高中数学三角函数公式汇总（正版）一、任意角的三角函数 在角正弦：正切：正割：的终边上任取一点 P(x, y) ，记： 2 2 rx y ，．． y x sin 余弦： cos r r y x tan 余切： cot x y r r sec 余割： csc x y 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正．． 切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sin csc 1 ， cos sec 1， tan cot 1 。 商数关系： tan sin ， cot cos 。cos sin 平方关系： sin 2 cos2 1，1 tan 2 sec2 ，1 cot 2 csc2 。三、诱导公式 ⑴2k( k Z ) 、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名 ．． 不变，符号看象限） ⑵、、3 、 3 的三角函数值，等于的异名函数值， 222 2 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看 ．． 象限）
四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan 五、二倍角公式 sin 22sin cos cos2cos2sin 22cos2 1 1 2sin2( ) 2tan tan2 1 tan2 二倍角的余弦公式( ) 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） 1 cos 2 2cos2 1 cos2 2 sin 2 1 sin 2 (sin cos )2 1 sin 2 (sin cos )2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 ，tan 1 cos2 sin 2 cos 2 ， 2 sin 2 。 1 cos2 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） 2 tan 1 tan 2 ， tan 2 2 tan 。 sin 2 2 ， cos2 tan2 1 tan 2 1 tan 1 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。 七、和差化积公式 sin sin 2 sin cos⑴ 2 2
高中数学三角函数公式大全
高中数学三角函数公式大全三角函数和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 三角函数积化和差公式 sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 三角函数万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 三角函数半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三角函数三倍角公式 sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα
三角函数倍角公式 sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数两角和与差公式 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
高一数学三角函数公式大全
高一数学三角函数公式大全 sinα=∠α的对边/斜边 cosα=∠α的邻边/斜边 tanα=∠α的对边/∠α的邻边 cotα=∠α的邻边/∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA2) (注：SinA2是sinA的平方sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina 三角函数辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A2+B2)’(1/2) cost=A/(A2+B2)’(1/2) tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三角函数推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1- 2sin2a)sina=3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2- sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°- a)/2]cos[(60°-a)/2]=4s inasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a- (√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{- 2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=- 4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)