《贝叶斯统计》PPT课件
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《贝叶斯估计》PPT课件
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ
已有一个认识，这个认识就是先验分布π (θ )。通
过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结
果就是后验分布 ( x1,。, xn后) 验分布是三种信息 的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前进一
1)
,
x
0,1, n
( x)
(n 2)
x (1 )nx ,0 1
(x 1)(n x 1)
即
X ~ Be(x 1, n x 1)
9
贝叶斯统计学首先要想方设法先去寻求θ的先验分布。 先验分布的确定大致可分以下几步： 第一步，选一个适应面较广的分布族作先验分布族， 使它在数学处理上方便一些，这里我们选用β分布族
步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识
由π(θ)调整到 应建立在后验分布
( 。x1,所,以xn)对θ的统计推断就 ( 的x1,基础, xn上) 。
7
例1 设事件A(产品为废品)的概率为 ，即P(A) 。 为了估计 而作n次独立观察，其中事件A出现次数
为X，则有X服从二项分布 b(n, )
第三章 贝叶斯估计
§3.1贝叶斯推断方法 一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐(E.L.Lehmann1894~1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息：
1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们 的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体是正 态分布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有 总体信息，就要想方设法在统计推断中使用。
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x|θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。
贝叶斯统计ppt课件
29
二 参数的Bayes点估计
（3）后验中位数估计
若 Me是后验分布h(θ| x )的中位数， 则 Me称为θ的后验中位数估计。即若
u0.5 h( x)d 0.5
则后验分布中位数估计
Me u0.5
30
二 参数的Bayes点估计
以上三种估计统称θ的Bayes估计，记为
或简记B 为 。它们 皆是样本观察值
18
历史迭代图
不收敛 收敛
19
(2)观察自相关性图 （m）
自相关性图用于描述（m）序列在不同迭代
延迟下的相关性，延迟i的自相关性是指相 距i步的两迭代之间的相关性。具有较差的 性质的链随着迭代延迟的增加会表现出较 慢的自相关衰弱。
20
21
22
23
Bayes Bayes统计推断
Bayes统计推断概述 参数的Bayes点估计 Bayes区间估计 Bayes假设检验
选择检验统计量，确定抽样分布，等等。
41
四 Bayes假设检验
Bayes假设检验不同型：
简单假设 简单假设
复杂假设 复杂假设 假单假设 复杂假设
42
四 Bayes假设检验
Bayes因子
设两个假设Θ0，Θ1的先验概率分布为π0与π1，
即：
0 P( 0 ),1 P( 1)
则 0 1 称为先验概率比。
3
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
贝叶斯估计PPT课件
贝 叶 斯 统 计(Bayesian Statistics)
（Bayes，Thomas）(1702─1761)
贝叶斯是英国数学家.1702年生于伦敦；1761年4月17日 卒于坦布里奇韦尔斯.
贝叶斯是一位自学成才的数学家.曾助理宗教事务，后来 长期担任坦布里奇韦尔斯地方教堂的牧师.1742年，贝叶斯被 选为英国皇家学会会员.
如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶 斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝 叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
贝叶斯方法(Bayesian approach )
• 贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系 统地阐述和解决统计问题的方法(Samuel Kotz和 吴喜之,2000)。
P(
i) n
i
,i
1,2,...,n
若这个分布的概率部 绝分 大在 0附近,那么,该产品为 "信得过产"品 ,
可见假定以后每天取 都几 抽件产品与历史的 资不 料合格率分布一 ,
使用单位就可以确"认 免为 检产品 ".
基于上述三种信息（总体信息、样本信息和先验信息）进行的 统计推断被称为贝叶斯统计学。它与经典统计学的主要差别在于 是否利用先验信息。贝叶斯统计学派把任意一个未知参数都看成 随机变量，应用一个概率分布去描述它的未知状况，该分布称为 先验分布。
信息处理
样 本 信 息
先 验 信 息 贝 叶 斯 定 理
后 验 信 息
统 计 推 断
从概率论的Bayes公式谈起
设自然状态有k种， 1，2，…， k， P（i）表示自然状态i发生的先验概率分布， P（x︱i）表示在状态i条件，事件为x的概 率。 P（i ︱x ）为i发生的后验概率。
（Bayes，Thomas）(1702─1761)
贝叶斯是英国数学家.1702年生于伦敦；1761年4月17日 卒于坦布里奇韦尔斯.
贝叶斯是一位自学成才的数学家.曾助理宗教事务，后来 长期担任坦布里奇韦尔斯地方教堂的牧师.1742年，贝叶斯被 选为英国皇家学会会员.
如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶 斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝 叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
贝叶斯方法(Bayesian approach )
• 贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系 统地阐述和解决统计问题的方法(Samuel Kotz和 吴喜之,2000)。
P(
i) n
i
,i
1,2,...,n
若这个分布的概率部 绝分 大在 0附近,那么,该产品为 "信得过产"品 ,
可见假定以后每天取 都几 抽件产品与历史的 资不 料合格率分布一 ,
使用单位就可以确"认 免为 检产品 ".
基于上述三种信息（总体信息、样本信息和先验信息）进行的 统计推断被称为贝叶斯统计学。它与经典统计学的主要差别在于 是否利用先验信息。贝叶斯统计学派把任意一个未知参数都看成 随机变量，应用一个概率分布去描述它的未知状况，该分布称为 先验分布。
信息处理
样 本 信 息
先 验 信 息 贝 叶 斯 定 理
后 验 信 息
统 计 推 断
从概率论的Bayes公式谈起
设自然状态有k种， 1，2，…， k， P（i）表示自然状态i发生的先验概率分布， P（x︱i）表示在状态i条件，事件为x的概 率。 P（i ︱x ）为i发生的后验概率。
Bayes统计Full ppt课件
A:试制5个产品，全是高质量的产品。 依Bayes思想，A的发生可以用来修正原先的判断
即求： (1|A), (2|A)
12
Bayes统计Full
P(A|1)=0.95=0.590 P(A|2)=0.75=0.168 由离散Bayes公式：
(1|A)=P(A|1)(1)/P(A) (2|A)=P(A|2)(2)/P(A)
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Bayes统计Full
贝叶斯推断的基本步骤如下：
选择一个概率密度函数 f ( ) ，用来表示在取得数据之
前我们对某个参数 的信念。我们称之为先验分布。
选择一个模型 f ( x | )（在参数推断中记为 f ( x ; ) ） 来
反映在给定参数 情况下我们对x的信念。
当得到数据 X1, X2,…Xn 后，我们更新我们的信念并且
为了得到后验的均值，我们必须计算
n
f |xn d
nf n fd
在这个例子中可以解析计算。后验恰好为Beta分布
f p; ,
p11 p 1
其中参数
p s1 n2
f p |x n
s 1， n s 1，均值为
n2
ps111pns11
s1 ns1
25
Bayes统计Full
p的极大似然估计为 p s n ，为无偏估计。
②后验分布。
根据样本分布和未知参数的先验分布，用概率论中求条件概 率分布的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。 因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。
贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据 后验分布，而不能再涉及样本分布，即对没有观察到 的样本不予考虑。
9
Bayes统计Full
值。 将 视为随机变量且具有先验分布具有实际意义，能拓广
即求： (1|A), (2|A)
12
Bayes统计Full
P(A|1)=0.95=0.590 P(A|2)=0.75=0.168 由离散Bayes公式：
(1|A)=P(A|1)(1)/P(A) (2|A)=P(A|2)(2)/P(A)
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Bayes统计Full
贝叶斯推断的基本步骤如下：
选择一个概率密度函数 f ( ) ，用来表示在取得数据之
前我们对某个参数 的信念。我们称之为先验分布。
选择一个模型 f ( x | )（在参数推断中记为 f ( x ; ) ） 来
反映在给定参数 情况下我们对x的信念。
当得到数据 X1, X2,…Xn 后，我们更新我们的信念并且
为了得到后验的均值，我们必须计算
n
f |xn d
nf n fd
在这个例子中可以解析计算。后验恰好为Beta分布
f p; ,
p11 p 1
其中参数
p s1 n2
f p |x n
s 1， n s 1，均值为
n2
ps111pns11
s1 ns1
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Bayes统计Full
p的极大似然估计为 p s n ，为无偏估计。
②后验分布。
根据样本分布和未知参数的先验分布，用概率论中求条件概 率分布的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。 因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。
贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据 后验分布，而不能再涉及样本分布，即对没有观察到 的样本不予考虑。
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Bayes统计Full
值。 将 视为随机变量且具有先验分布具有实际意义，能拓广
6.4贝叶斯估计ppt课件
其中
是x1, x2 , …, xn 的边际概率函数，它与 无关，不
含 是条的件任分m ( 何布x 1 , 信L (, 息x n ) 。x 1因 , xh 2此( ,x …1 能, L ,用x,x nn 来), ，对) 它d 的 作 计 出p 算( x 推1 公, L 断式,x 的n 是|仅)() d
(|x 1 ,L ,x n ) h m (x ( 1 x ,1 L 6,.4L 贝,叶x ,斯n x 估,n 计))p p ( (x x 1 1 ,,L L ,,x x n n ||
)() )()d
这个条件分布称为 的后验分布，它集中了总体、 样本和先验中有关 的一切信息。
后验分布( x1, x2 , …, xn )的计算公式就是
• 条件概率
f (x | y) f ( y)dy
• 利用贝叶斯规则将数据和参数的分布联合起来
f ( | x) f (x | ) f ( )
f (x | ) f ( )d
6.4贝叶斯估计
贝叶斯方法
贝叶斯推断的基本步骤如下：
• 选择一个概率密度函数 f ( )，用来表示在取得
数据之前我们对某个参数 为先验分布。
6.4贝叶斯估计
批评1：置信区间
• 置信区间：
• 解释：区间[u1,u2]覆盖u的概率
•
不是u位于区间的概率
• 缺点：u不是变量
6.4贝叶斯估计
批评2：评价方法
• 假设检验、参数估计等都是多次重复的结果； • 想知道：
• 一次实验发生的可能性
6.4贝叶斯估计
回忆贝叶斯规则
• 亦称贝叶斯定理
f (y | x) f (x | y) f (y)
•
参数作为随机变量
是x1, x2 , …, xn 的边际概率函数，它与 无关，不
含 是条的件任分m ( 何布x 1 , 信L (, 息x n ) 。x 1因 , xh 2此( ,x …1 能, L ,用x,x nn 来), ，对) 它d 的 作 计 出p 算( x 推1 公, L 断式,x 的n 是|仅)() d
(|x 1 ,L ,x n ) h m (x ( 1 x ,1 L 6,.4L 贝,叶x ,斯n x 估,n 计))p p ( (x x 1 1 ,,L L ,,x x n n ||
)() )()d
这个条件分布称为 的后验分布，它集中了总体、 样本和先验中有关 的一切信息。
后验分布( x1, x2 , …, xn )的计算公式就是
• 条件概率
f (x | y) f ( y)dy
• 利用贝叶斯规则将数据和参数的分布联合起来
f ( | x) f (x | ) f ( )
f (x | ) f ( )d
6.4贝叶斯估计
贝叶斯方法
贝叶斯推断的基本步骤如下：
• 选择一个概率密度函数 f ( )，用来表示在取得
数据之前我们对某个参数 为先验分布。
6.4贝叶斯估计
批评1：置信区间
• 置信区间：
• 解释：区间[u1,u2]覆盖u的概率
•
不是u位于区间的概率
• 缺点：u不是变量
6.4贝叶斯估计
批评2：评价方法
• 假设检验、参数估计等都是多次重复的结果； • 想知道：
• 一次实验发生的可能性
6.4贝叶斯估计
回忆贝叶斯规则
• 亦称贝叶斯定理
f (y | x) f (x | y) f (y)
•
参数作为随机变量
ch0 引言 贝叶斯统计课件
4.贾乃光编著，数理统计——贝叶斯统计学，中国林业 出版社，
5.James等著，贝叶斯统计学：原理、模型与应用，中 国统计出版社，1992
2020/9/19
2020/9/19
在统计推断的基本理论和方法之间的差异
• 1.频率统计学派与贝叶斯学派在进行统计推断时 的依据不同；
• 2.对概率的概念的理解有差别：频率学派坚持概 率的频率解释，并在这个基础上去理解一切统计 推断的结论；与此相反，贝叶斯学派赞成主观概 率，概率是认识主体对事件出现可能性大小的相 信程度，它不依赖事件能否重复；（Page4例1.3 ）
2020/9/19
2.后验分布的统计推断
后验分布是贝叶斯统计推断的出发点与 关键所在，对于一般参数先验分布而言，其 后验分布都相当复杂，很难纳入目前已知的 统计分布类别之中，因此常用基于计算机的 方法来计算或近似参数后验分布特征。
2020/9/19
总体信息：即总体分布或所属分布族给我 们的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体 是正态分布”在统计推断中都发挥重要作用， 只要有总体信息，就要想方设法在统计推断中 使用。
样本信息：即从总体抽取的样本提供给我 们的信息，这是最“新鲜”的信息，且越多越 好，这是任一种统计推断中都必不可少的。
2020/9/19
可查标准正态 N(0,1) 的表，得双侧 α 分位点的值 ，
2020/9/19
2020/9/19
2020/9/19
2020/9/19
（2）标准不妥
2020/9/19
2020/9/19
1.先验分布理论的研究
先验分布的选择是贝叶斯统计推断的前提，它 大体上可以分为无信息先验分布和共轭先验分布两 大类，当然，大多数所谓无信息先验分布实际上很 可能包含一些或很多信息，例如，最常用的无信息 先验分布为局部均匀分布，也就是在参数θ的值域 Θ上的均匀分布，然而均匀分布在参数变换时一般 不满足不变性，即变换后的分布不是均匀分布。又 如对标准差σ的均匀分布就不会变成σ2的一个均匀 分布。无信息先验分布一般应满足以下几条性质： 不变性、相合的边缘化、相合的抽样性质、普遍性 和容许性。
5.James等著，贝叶斯统计学：原理、模型与应用，中 国统计出版社，1992
2020/9/19
2020/9/19
在统计推断的基本理论和方法之间的差异
• 1.频率统计学派与贝叶斯学派在进行统计推断时 的依据不同；
• 2.对概率的概念的理解有差别：频率学派坚持概 率的频率解释，并在这个基础上去理解一切统计 推断的结论；与此相反，贝叶斯学派赞成主观概 率，概率是认识主体对事件出现可能性大小的相 信程度，它不依赖事件能否重复；（Page4例1.3 ）
2020/9/19
2.后验分布的统计推断
后验分布是贝叶斯统计推断的出发点与 关键所在，对于一般参数先验分布而言，其 后验分布都相当复杂，很难纳入目前已知的 统计分布类别之中，因此常用基于计算机的 方法来计算或近似参数后验分布特征。
2020/9/19
总体信息：即总体分布或所属分布族给我 们的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体 是正态分布”在统计推断中都发挥重要作用， 只要有总体信息，就要想方设法在统计推断中 使用。
样本信息：即从总体抽取的样本提供给我 们的信息，这是最“新鲜”的信息，且越多越 好，这是任一种统计推断中都必不可少的。
2020/9/19
可查标准正态 N(0,1) 的表，得双侧 α 分位点的值 ，
2020/9/19
2020/9/19
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2020/9/19
（2）标准不妥
2020/9/19
2020/9/19
1.先验分布理论的研究
先验分布的选择是贝叶斯统计推断的前提，它 大体上可以分为无信息先验分布和共轭先验分布两 大类，当然，大多数所谓无信息先验分布实际上很 可能包含一些或很多信息，例如，最常用的无信息 先验分布为局部均匀分布，也就是在参数θ的值域 Θ上的均匀分布，然而均匀分布在参数变换时一般 不满足不变性，即变换后的分布不是均匀分布。又 如对标准差σ的均匀分布就不会变成σ2的一个均匀 分布。无信息先验分布一般应满足以下几条性质： 不变性、相合的边缘化、相合的抽样性质、普遍性 和容许性。
贝叶斯统计ppt课件
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（一）预备知识
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5
（二）基本思想
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（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
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立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
x=(x1,x2,…,xn)T 的函数，即
(x) (x1,x2, , xn )
在一般场合下，这三种估计是不同的，
当后验分布h(θ| x )对称时，这三种估计 是相等的。
31
三 Bayes区间估计
经典区间估计
参数θ是未知常数（非随机变量），其置信 度为1-α的区间估计[θL ,θU]满足
P(L U ) 1
理解为进行了大量重复试验，随机区间 [θL ,θU ]包含常数θ的概率为1-α （θL ,Θu样本x的 函数，是随机变量）。
32
三 Bayes区间估计
经典统计学中，对给定的样本容量n，若进 行多次反复的抽样，得到了众多个不同的 区间，其中每个区间，要么包含θ的真值， 要么不包含θ的真值。
=
0 0
建议分布为N( 0 ，I)，再由它生成一个随机向量作为 0
1，然后看接受概率a,设先验 ( )为均匀分布，设 p(x,x' )=p（x'，x），则a min(1, ( ' ))
( )
15
三、MCMC方法的收敛性诊断
要多久链才可以不依赖于其初始值以及需 要多久该链能完全挖掘目标分布函数支撑 的信息。
（一）预备知识
4
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（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
x=(x1,x2,…,xn)T 的函数，即
(x) (x1,x2, , xn )
在一般场合下，这三种估计是不同的，
当后验分布h(θ| x )对称时，这三种估计 是相等的。
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三 Bayes区间估计
经典区间估计
参数θ是未知常数（非随机变量），其置信 度为1-α的区间估计[θL ,θU]满足
P(L U ) 1
理解为进行了大量重复试验，随机区间 [θL ,θU ]包含常数θ的概率为1-α （θL ,Θu样本x的 函数，是随机变量）。
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三 Bayes区间估计
经典统计学中，对给定的样本容量n，若进 行多次反复的抽样，得到了众多个不同的 区间，其中每个区间，要么包含θ的真值， 要么不包含θ的真值。
=
0 0
建议分布为N( 0 ，I)，再由它生成一个随机向量作为 0
1，然后看接受概率a,设先验 ( )为均匀分布，设 p(x,x' )=p（x'，x），则a min(1, ( ' ))
( )
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三、MCMC方法的收敛性诊断
要多久链才可以不依赖于其初始值以及需 要多久该链能完全挖掘目标分布函数支撑 的信息。
贝叶斯决策理论课件(PPT90页)
Some about Bayes(2)
一所学校里面有 60% 的男生，40% 的女生。男生总是穿长 裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。假设你走在校园中， 迎面走来一个穿长裤的学生（很不幸的是你高度近似，你 只看得见他（她）穿的是否长裤，而无法确定他（她）的 性别），你能够推断出他（她）是女生的概率是多大吗？
要决策分类的类别数是一定的
引言
在连续情况下，假设对要识别的物理对象有d种特征
观察量x1,x2,…xd，这些特征的所有可能的取值范围构 成了d维特征空间。
称向量 x x1, x2, , xd T x Rd 为d维特征向量。
假设要研究的分类问题有c个类别，类型空间表示
为：
1,2 , ,i ,c
P(B|LB)∝P(LB|B)P(B)∝0.75P(B) P(~B|LB)∝P(LB|~B)P(~B)∝0.25(1-P(B)) 而西安的出租车10辆中有9辆是绿色的，则给出了先验概率P(B)=0.1，于 是有 P(B|LB)∝0.75×0.1=0.075 P(~B|LB)∝0.25(1-P(B))=0.25×0.9=0.225 P(B|LB)=0.075/0.072+0.225=0.25 P(~B|LB)=0.225/0.072+0.225=0.75 因此肇事车辆为绿色。
Neyman-Pearson准则
问题：先验概率和损失未知
通常情况下，无法确定损失。 先验概率未知，是一个确定的值 某一种错误较另一种错误更为重要。
基本思想：
要求一类错误率控制在很小，在满足此条件的 前提下再使另一类错误率尽可能小。
用lagrange乘子法求条件极值
Neyman-Pearson准则
和绿色的区分的可靠度是75%； 假设随后你又了解到第3条信息：（3）西安的出租车10辆
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0 ，I)，再由它生成一个随机向量作为 0 1，然后看接受概率a, 设先验 ( )为均匀分布，设
建议分布为N( p(x,x' )=p（x'，x），则a min(1,
( ' ) ) ( )
三、MCMC方法的收敛性诊断
要多久链才可以不依赖于其初始值以及需 要多久该链能完全挖掘目标分布函数支撑 的信息。 在一个序列中观测值之间要隔多远才可以 看作是近似独立的。 该链是否近似达到其平稳分布。
诊断方法
观察样本路径 观察自相关性图 方差比收敛性诊断
（1）观察样本路径
产生多条马尔可夫链，观察样本路径（对多个 初始值产生多个马尔可夫链）
样本路径是一个描述迭代数对应 的实现 图。样本路径有时也称为历史图。如果链的混合不 是很好，那么在很多次迭代中它会取 相同或者相近 的数值。一个好的链能够快速地远离初始值，无论 以何值开始。
经典统计学中，对给定的样本容量n，若进 行多次反复的抽样，得到了众多个不同的 区间，其中每个区间，要么包含θ的真值， 要么不包含θ的真值。
三 Bayes区间估计
Bayes区间估计
参数θ是随机变量，其后验分布h(θ| x )（x是 样本观测值），θ的可信度为1-α的区间估计满 足
P( L U x) h( x)d 1
MCMC方法
一、贝叶斯统计的框架分析
后验分布先验信息 似然函数
困难: 后验分布是复杂的、高维的分布
解决方法:马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法
目前，MCMC已经成为一种处理复杂统 计问题的特别流行的工具，尤其在经常需 要复杂的高维积分运算的贝叶斯分析领域 更是如此。在那里，高维积分运算主要是 用来求取普通方法无法得到的后验分布密 度。如果合理的定义和实施，MCMC总能得 到一条或几条收敛的马尔可夫链，该马尔 可夫链的极限分布就是所需的后验分布
以上三种估计统称θ的Bayes估计，记为 或简记为 。它们皆是样本观察值 B x=(x1,x2,…,xn)T 的函数，即
( x) ( x1 , x 2 ,, xn )
在一般场合下，这三种估计是不同的， 当后验分布h(θ| x )对称时，这三种估计 是相等的。
（m）
历史迭代图
不收敛
收敛
(2)观察自相关性图
（m）
自相关性图用于描述（m） 序列在不同迭代 延迟下的相关性，延迟i的自相关性是指相 距i步的两迭代之间的相关性。具有较差的 性质的链随着迭代延迟的增加会表现出较 慢的自相关衰弱。
Bayes Bayes统计推断
Bayes统计推断概述 参数的Bayes点估计 Bayes区间估计 Bayes假设检验
L U
即在得到样本观测值x的条件下，随机变量θ 落入区间[θL ,θU ]的概率是1-α（θL ,θU）样本观测 值x的函数，是确定的量）。
三 Bayes区间估计
经典统计学认为，参数可以有一个取值范 围，但本身不具有随机性，因此未知参数 不是一个随机变量，仅是一个未知数而已。 这是经典统计方法与Bayes统计方法的根本 区别之一。
样本分布f( x |θ)中未知参数为θ；其中 T x=(x1,x2,…,xn) ；设θ的先验分布为π(θ)。 有Bayes公式， θ的后验分布：
h( x) ( ) f ( x ) ( ) L( x )
这个后验分布h(θ| x )是进行θ 的Bayes点估 计的出发点。
一 Bayes统计推断概述
所研究的问题有一个确定的总体，其总体 分布未知或部分未知，通过从该总体中抽 取的样本（观测数据）作出与未知分布有 关的某种结论。
目的：利用问题的基本假定及包含在观测 数据中的信息，作出尽量精确和可靠的结 论。
一 Bayes统计推断概述
Bayes推断
二 参数的Bayes点估计
三 Bayes区间估计
Beyas等尾可信区间 θL =后验分布h(θ| x )的α/ 2分位数；
三 Bayes区间估计
经典区间估计
参数θ是未知常数（非随机变量），其置信 度为1-α的区间估计[θL ,θU]满足
P( L U ) 1
理解为进行了大量重复试验，随机区间 [θL ,θU ]包含常数θ的概率为1-α （θL ,Θu样本x的 函数，是随机变量）。
三 Bayes区间估计
二 参数的Bayes点估计
（1）最大后验估计
设θ∈Θ，使后验分布h(θ| x )达到最大 值的点 MD 称为θ的最大后验估计，即：
h( MD x) sup h( x)
二 参数的Bayes点估计
（2）后验均值估计（后验期望估计） 后验分布h(θ| x )的均值称为θ的后验 均值估计（或后验期望估计），记为， 即： E
（一）预备知识
（二）基本思想
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更 新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
E E ( x) h( x)d
二 参数的Bayes点估计
（3）后验中位数估计 若 Me是后验分布h(θ| x )的中位数， 则 Me称为θ的后验中位数估计。即若
h( x)d 0.5 则后验分布中位数估计
u0.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Me u0.5
二 参数的Bayes点估计
立即更新的Gibbs抽样描述如下：
（0）
（1）选择初始值 （2）逐个生成。
（0） 。
（3）增加m,返回第（2）步。
Metropolis-Hastings抽样
假设数据是N（1,4）的1000个随机数；
0和 0的初值是0和1，用随机移动的正态分布作为建议
分布做法就应该是， 0 = 0 0