全国高考数学复习微专题：求数列的通项公式

求数列的通项公式

一、基础知识——求通项公式的方法 1、累加（累乘法）

（1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=，则可利用累加法求通项公式 ① 等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和 ② 1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式

例：数列{}n a 满足：11a =，且121n

n n a a +-=+，求n a

解：121n

n n a a +-=+

1121n n n a a ---=+

M

12121a a -=+

累加可得：()2

1

1222

1n n a a n --=++++-L

()122112321

n n n n --=

+-=+--

22n n a n ∴=+-

（2）累乘法：如果递推公式形式为：

()1

n n

a f n a +=，则可利用累加法求通项公式 例：已知数列{}n a 满足：11a =，且()11n n na n a +=+，求n a 解：()111

1n n n n a n na n a a n

+++=+?

= 1212112

121n n n n a a a n n a a a n n ----∴

???=???--L L 1

n

a n a ?

= 1n a na n ∴== 2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通

项公式

（1）形如()11,0n n a pa q p q -=+≠≠的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。

例：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式

思路：观察到n a 与1n a -有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对n a 与1n a -分别加上同一个常数λ，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出λ 解：设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+ 对比132n n a a -=+，可得1λ=

()1131n n a a -∴+=+

{}1n a ∴+是公比为3的等比数列

()11113n n a a -∴+=+? 1231n n a -∴=?-

（2）形如1n n n a pa q -=+，此类问题可先处理n q ，两边同时除以n

q ，得

1

1n n n n

a a p q q -=+，进而构造成

111n n n n a p a q q q --=?+，设n n n a b q =，从而变成11n n p

b b q

-=?+，从而将问题转化为第（1）个问题

例：在数列{}n a 中，11a =，1323n

n n a a -=+?

解：1323n

n n a a -=+?

1

1

233n n n n a a --∴

=+ 3n n a ??∴????

是公差为2的等差数列 ()115122333

n n a a n n ∴

=+-?=- 5233n n a n ?

?∴=-? ??

?

小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如()1n n a pa f n -=+（其中()

f n

为关于n 的表达式），可两边同时除以n

p ，

()11n n n n n

f n a a p p p

--=+。设n n n a b p =，即()1n n n

f n b b p

--=

，进而只要

()n

f n p

可进行求和，便可用累加的方法求出n b ，进而求出n b 。

以（1）中的例题为例：

132n n a a -=+Q 1112333n

n n n n a a --??

∴=+? ???

设3n n n a b =

，则11

3

b = 1123n

n n b b -??∴-=? ???

1

12

123n n n b b ---??

-=? ?

??

M

2

21123b b ??

∴-=? ???

1

22311111331111122113333313

n n n n b b --????-?? ???????????????????∴-=+++=?=-???? ? ? ? ?????????????????-L

1112133333n n

n b ????∴=-+=- ? ?????

121231333n

n n n n a a -??∴=-?=?- ???

（3）形如：11n n n n qa pa a a ---=，可以考虑两边同时除以1n n a a -，转化为

1

1n n q p

a a --=的形式，进而可设1

n n

b a =

，递推公式变为11n n qb pb --=，转变为上面的类型求解 例：已知在数列{}n a 中，10,2n a a ≠=，且112n n n n a a a a ++-= 解：1111122n n n n n n

a a a a a a +++-=?

-=-

1

112n n a a -∴

-=- 12112n n a a --∴

-=- L 2111

2a a ∴-=- ∴累加可得：

()1

11

21n n a a -=-- 11115

2222222

n n n n a a ∴

=-+=-+=- 12

5

5422

n a n

n ∴=

=

--

（4）形如()21n n n pa p q a qa k ++-++=，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：()()211n n n n p a a q a a k +++---=的形式，将1n n n b a a +=-，进而可转化为上面所述类型进行求解

例：已知数列{}n a 中，121,3a a ==，且2124n n n a a a ++-+=，求n a 解：()()21211244n n n n n n n a a a a a a a +++++-+=?---= 设1n n n b a a +=-，则14n n b b +-=，且1212b a a =-=

{}n b ∴为公差是4的等差数列 ()11442n b b n n ∴=+-?=-

142n n a a n +∴-=-

()1412n n a a n --=--

M

21412a a -=?-

()()1412121n a a n n ∴-=+++---????L

()()214212422

n n n n n -=?

--=-+

2243n a n n ∴=-+

4、题目中出现关于,n n S a 的等式：一方面可通过特殊值法（令1n =）求出首项，另一方

面可考虑将等式转化为纯n S 或纯n a 的递推式，然后再求出n a 的通项公式。 例：已知数列{}n a 各项均为正数，()1,2

n n n a a S n N ++=

∈，求n a

解：()()

11111,2

2n n n n n n a a a a S S ---++=

=

两式相减，可得：()()

()11111,22

2

n n n n n n a a a a S S n N n --*

-++-=

-

∈≥

222211

112

n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----+-∴=?+=-

()()111n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-

0n a >Q 11n n a a -∴-=

{}n a ∴是公差为1的等差数列

在()12

n n n a a S +=

中，令1n =，可得()1111112

a a S a +=

?=

()11n a a n d n ∴=+-=

5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。（详见例5，例8）以上面的一个例子为例：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式 解：132n n a a -=+Q ① 132n n a a +∴=+ ② ②-①可得：

()113n n n n a a a a +--=-

{}1n n a a +∴-是公比为3的等比数列 21325a a =+=

214a a ∴-=

()11121343n n n n a a a a --+∴-=-?=?

2143n n n a a --∴-=? 31243n n n a a ----=?

M

02143a a -=?

累加后可得：(

)12

1131

4133

423231n n n n a a -----=+++=?=?--L

1231n n a -∴=?-

6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明（详见数学归纳法）

例1：在数列{}n a 中，()2111,23,21

n n n n

a a a n n N n n --==+?∈≥-，求数列{}n a 的通项公式n a

思路：观察递推公式中111n a n n -??

?

?-??

的特点，两边同时除以n 可得211231n n n a a n n --=+?-，进而可将n a n 视为一个整体，利用累加法即可得到n a

n

的表达式，从而求出n a

解：21231n n n n

a a n n --=+?- 211231n n n a a n n --∴=+?-即21231n n n a a n n ---=?- 则有2

1231n n n a a n n ---=?-

3122312

n n n a a n n ----=?--

M

21

221

a a -= 累加可得：()()12

1231213331

n n n a a n ----=+++=

-L 即

111313n n n

a a n

--=+-= 13n n a n -∴=?

例2：已知在数列{}n a 中，11a =，2221

n

n n S a S =-，则{}n a 的通项公式为_________

思路：在本题中很难直接消去n S ，所以考虑n a 用1n n S S --进行表示，求出n S 之后再解出n a 解： Q 当2,n n N *

≥∈时，1n n n a S S -=-

2

22

111222221

n n n n n n n n n

n S S S S S S S S S S ---∴-=?--+=-，整理可得： 112n n n n S S S S ---=

1

11

2n n S S -∴-= 1n S ??∴????

为公差为2的等差数列 ()1111221n n n S S ∴

=+-?=- 121

n S n ∴=- 1

1,22123

1,1

n n a n n n ?-≥?

=--??=? 点评：在,n n S a 同时存在的等式中，

例3：数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，则2015a =_________

思路：只从所给递推公式很难进行变形，所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即

()()121,2,n n a a n n n N *-+=-≥∈，两式相减可得：()112,2,n n a a n n N *+--=≥∈，从

而可得在{}n a 中，奇数项和偶数项分别可构成公差为2的等差数列，所以

2015110072014a a d =+=

答案：2014

例4：已知数列{}n a 满足：13

2

a =，且()1132,21n n n na a n n N a n *--=≥∈+-，则数列{}n a 的通项公式为_________

思路：观察到递推公式的分子只有1n a -，所以考虑两边同取倒数，再进行变形：

111111

31212121

2133333n n n n n n n n n na a n n n n a a n a na n na a a ------+---=

?==+?=++-，从而找到同构

特点，并设为辅助数列：n n

n

b a =

，求出{}n b 通项公式后即可解出n a 解：11321

n n n na a a n --=

+- 11112121

333n n n n a n n a na n na ---+--∴==+ 12133n n n n a a --∴

=+ 设n n n b a =，则112

33

n n b b -=+，11123b a == 而()1112111333n n n n b b b b --=

+?-=- {}1n b ∴-为公比是1

3

的等比数列 ()1

11113n n b b -??∴-=-? ?

??

113n n b ??

∴=- ???

即113n

n n a ??=- ???

331113n

n n

n

n

n a ?∴==-??

- ???

例5：已知数列{}n a 为正项数列，且

1212444222

n

n n S S S S a a a +++=+++L ，求n a 解：

1212444222

n

n n S S S S a a a +++=+++L ①

121

1121444222

n n n S S S S a a a ---+++=+++L ()

2,n n N *≥∈ ② ①-②可得：

2

4422

n n n n n n S a S a a a =?=++，2n ≥

在已知等式中令1n =，可得：

()1

111114422

S S S a a a =?=++ ③，满足上式 2

42n n n S a a ∴=+ ④ 211142n n n S a a ---=+ ⑤

两式相减可得：22

11422n n n n n a a a a a --=+--

()2

2

112n n n n a a a a --?+=-，()()2

2

111n n n n n n a a a a a a ----=+-Q

12n n a a -∴-=

{}n a ∴为公差是2的等差数列，由③可解得：12a = ()112n a a n d n ∴=+-=

例6：已知数列{}n a 的各项均为正数，且112n n n S a a ??=

+ ???

，求n a 思路：所给为,n n S a 的关系，先会想到转为n a 递推公式，()1111122n n n S a n a ---??

=

+≥ ???

，两式相减可得：1111

1111

2n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=+

--?+=-，很难再往下进行。从而考虑化为n S 的递推式：2n ≥时，22

1111112n n n n n n n S S S S S S S ---??=

-+?-= ?-??

，从而{}2

n

S 为公差是1的等差数列，可求出n

S

，进而求出n a

解：112n n n S a a ??=+ ???，当2n ≥，有1111

2n n n n n S S S S S --??=-+ ?-??

1111

11

2n n n n n n n n S S S S S S S S S ----∴=-+

?+=--

2211n n S S -∴-= {}

2

n S ∴为公差是1的等差数列

()2

21

1n

S S n ∴=+- 在112n n n S a a ??

=+ ???

中，

令1n =可得：111112S a a ??=

+ ???

可解得11a = 2n S n ∴=

n S ∴=

11,22

,11,1

n n n n S S n n a a S n n --≥?≥∴=?=?==???

小炼有话说：在处理,n n S a 的式子时，两种处理方向如果一个没有进展，则立刻尝试另一个方向。本题虽然表面来看消去n S 方便，但通过运算发现递推公式无法再进行处理。所以立刻调转方向，去得到n S 的式子，迂回一下再求出n a

例7：已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，求}{n a 的通项公式 解：()()11(1)(1)311n n n n a a a a ++--=---????

()()()()111111*********n n n n n n a a a a a a +++---∴=?-=-?--- 11n a ??∴??-??

是公差为13的等差数列

()111112

111333

n n n a a ∴

=+-=+-- 35

122

n n n a a n n +∴-=

?=

++ 例8：设数列{}n a 中，1122

2,,,11

n n n n n a a a b n N a a *++===∈+-，则数列{}n b 的通项公式为n b =_______

思路：题目中所给的是n a 的递推公式，若要求得n b ，则考虑以n a 作为桥梁得到关于{}n b 的递

推

公

式

：

11121

n n n a b a ++++=

-，代入

121

n n a a +=

+可得：

12

212422221111

n n n n n n n n a a a b b a a a +++++====---+，所以可得{}n b 为等比数列，且

1112

41

a b a +=

=-，从而可得：11122n n n b b -+=?= 答案：1

2n n b +=

例9：在数列{}n a 中，11=a ，求数列{}n a 的

通项n a

()123123......1(2)2n n n

a a a n a a n *-∴++++-=

≥

()112,22n n n n n

na a a n n N *++∴=

-≥∈

11313221n n n n n n a n a a a n +++∴

=?=+

213122122313n n n n n a a a n n a a a n n ------∴

???=????-L L 222

3n n a a n -∴

=?

211a a ==

()2232,n n a n n N n -*?∴=≥∈

2

23,21,1

n n n a n

n -??≥?

∴=??=?

例10：设数列{}n a 满足：121,2a a ==，且对于其中任意三个连续的项11,,n n n a a a -+，都有：

()()11

112n n n n a n a a n

-+-++=

，求{}n a 通项公式

思路：由已知条件可得：()()11211n n n na n a n a -+=-++，观察发现11,n n a a -+的系数和与n a 相等，所以可将2n na 拆为()1n n a -和()1n n a +，从而与11,n n a a -+配对，将原递推公式转化为：

111

1

n n n n a a n a a n +---=-+，进而可将1n n a a +-视为一个整体，设为n b ，则符合累乘的特点。

累乘后可得：()

12

1n n a a n n +-=

+，再进行累加即可得到通项公式

解：()()()()1111112112n n n n

n n n a n a a na

n a n a n

-+-+-++=

?=-++

()()()()1111n n n n n a a n a a +-∴+-=--

()()()()

1111n n n n a a n a a n +---∴=

-+ 设1n n n b a a +=-，即111n n b n b n --=+ ()

1212111212

131n n n n n b b b n n b b b b n n b n n -----∴

???=????=++L L

()

12

1n b b n n ∴=

+ 1211b a a =-=Q

()121

1211n n n a a b n n n n +??∴-==

=- ?++??

()()()112211

1111211212n n n n a a a a a a n n n n ---??∴-+-++-=-+-++- ?---??L L

121n ??

=- ???

即1121n a a n ??-=-

??? 23n a n

∴=- 思路二：本题还可以从递推公式中的“同构入手”，构造辅助数列，

()()()()()11

11112112n n n n n n n a n a a na n a n a n

-+-+-++=

?=-++，此三项具备同构特

点，故设n n b na =，则递推公式变为：112n n n b b b +-=+，所以{}n b 为等差数列，其公差可由12,b b 计算，从而得到{}n b 通项公式以求得n a 解：()()11

112n n n n a n a a n

-+-++=

Q

()()()11211n n n na n a n a -+∴=-++

设n n b na =，则递推公式变为：112n n n b b b +-=+

{}n b ∴为等差数列

11221,24b a b a ==== 213d b b ∴=-=

()1132n b b n d n ∴=+-=- ，即32n na n =- 23n a n

∴=-

小炼有话说：两个思路对比可发现，求数列的通项公式关键在于寻找合适的模型，抓住递推公式的特点构造出辅助数列，选取角度的不同也会导致运算复杂程度的差异