【经典】导数压轴题归类总结

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【经典】导数压轴题归类总结

高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x -1 x +m = e x x +1-1 x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 x +22>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1 t +2=0????-12g ′(t )=0,g (x )单调递增; 所以g (x )min =g (t )=e t -ln(t +2)=1 t +2+t = 1+t 2 t +2>0, 当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2), 所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-(2012全国新课标) (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(,求b a )1(+的最大值。 (1)121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f =

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令

函数与导数压轴题方法归纳与总结

函数与导数压轴题方法归纳与总结 题型与方法 题型一 切线问题 例1 (二轮复习资料p6例2) 归纳总结: 题型二 利用导数研究函数的单调性 例2 已知函数f (x )=ln x -a x . (1)求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在[1,e]上的最小值为3 2,求a 的值; (3)若f (x )

归纳总结: 题型三 已知函数的单调性求参数的围 例 3.已知函数()1 ln sin g x x x θ=+?在[)1,+∞上为增函数, 且()0,θπ∈, ()1 ln ,m f x mx x m R x -=--∈ (1)求θ的值. (2)若[)()()1,f x g x -+∞在上为单调函数,求m 的取值围. 归纳总结:

题型四 已知不等式成立求参数的围 例4..设f (x )=a x +x ln x ,g (x )=x 3-x 2-3. (1)当a =2时,求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程; (2)如果存在x 1,x 2∈[0,2]使得g (x 1)-g (x 2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数M ; (3)如果对任意的s ,t ∈????12,2都有f (s )≥g (t )成立,数a 的取值围. 归纳总结: 跟踪1.已知()ln 1 m f x n x x =++(m,n 为常数)在x=1处的切线为x+y -2=0(10月重点高中联考第22题) (1) 求y=f(x)的单调区间;

(2) 若任意实数x ∈1,1e ?? ???? ,使得对任意的t ∈[1,2]上恒有32()2f x t t at ≥--成立,数a 的取值围。 跟踪2. 设f (x )=-13x 3+12 x 2+2ax .(加强版练习题) (1)若f (x )在(23,+∞)上存在单调递增区间,求a 的取值围; (2)当0

高考导数压轴题型归类总结材料

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x .

所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 3 2)33(- =g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 1 1222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令 以下分两种情况讨论: ①a 若> 3 2 ,则a 2-<2-a .当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在函数 ②a 若<3 2 ,则a 2->2-a ,当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: 所以)(x f .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极大值在函数

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

(完整版)导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题,总结极值点偏移问题的解决方法。 1.设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ (1)试讨论函数()f x 的单调性; (2)()f x m =有两解12,x x (12x x <),求证:122x x a +>. 解析:(1)由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞,所以 ① 若0a >时,当(0,)x a ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; ② 若0a =时,当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立,函数()f x 单调递增; ③ 若0a <时,当(0,)2 a x ∈-时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)2 a x ∈- +∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; (2)要证122x x a +>,只需证12 2 x x a +>, (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证:12 x x ( )()02 f f a +''>=,即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++(*) 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得:

导数压轴题题型归纳

VIP免费欢迎下载 导数压轴题题型归纳 1.高考命题回顾 例1已知函数f(x)= e x- ln(x+ m).( 2013全国新课标n卷) (1)设x = 0是f(x)的极值点,求 m,并讨论f(x)的单调性; ⑵当m<2时,证明f(x)>0. 例 2 已知函数 f(x)= x2+ ax+ b,g(x)= e x(cx + d),若曲线 y= f(x)和曲线 y= g(x)都过点 P(0,2), 且在点P处有相同的切线 y= 4x+2 (2013全国新课标I卷) (I)求 a, b, c, d 的值 (n)若 x>-2 时, f(x)

VIP免费欢迎下载 2.在解题中常用的有关结论探 (1)曲线y4(x)在X%处的切线的斜率等于f (x0),且切线方程为y=f'(x o)(x-x o)+f (x o)。 ⑵若可导函数y£(x)在X =x0处取得极值,则f'(X o)=0。反之,不成立。 ⑶ 对于可导函数f(X),不等式f -(x) ¥牡y勺解集决定函数f(x)的递增(减)区间。 ⑷函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:?爵 f (x)逮(切恒成立(fix)不恒为0). (5)函数f (X)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值,则可等价转化为方程f'(x)m在区间I上 有实根且为非二重根。(若 f (x)为二次函数且I=R,则有△ > 0 )。 (6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数,进而得到f-(x)翅或f'(X)<在I上恒成立 (7)若 , f (X)次恒成立,则 f (x)min 次;若0$ , f (X) <0 恒成立,则f(X)max <0 (8)若玄目,使得f(X0):,则f(X)max ;若3 X0 弓,使得 f (X D)却,则f(x)min 哎. (9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为D,若灯X亡D f(x)》g(x)恒成立, 则有〔f(X)- g(x)]min >0

导数压轴题双变量问题题型归纳总结

导数应用之双变量问题 (一)构造齐次式,换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. (1)求实数,a b 的值; (2)设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点,求证:0F ' <. 【解析】(1)1,1a b ==-; (2)()2 ln f x x x x =+-,()()1ln F x m x x =+-,()11F x m x '=+- , 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点,所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? , 两式相减,得1212ln ln 1x x m x x -+=-, 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ,只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一:因为120x x << ,只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t ,即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<,则()()2 22 12110t h t t t t -'=--=-<, 所以函数()h t 在()0,1上单调递减,()()10h t h >=,即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题,此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数,常把12,x x 的关系变形 为齐次式,设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -= ==-=等,构造函数来解决,可称之为构造比较函数法. 思路二:因为120x x << ,只需证12ln ln 0x x -, 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<,则 () 21 10 Q x x x '= ==<, 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减,()() 20Q x Q x >=,即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】极值点偏移问题中,由于两个变量的地位相同,将待证不等式进行变形,可以构造关于1x (或2x )的一元函数来处理.应用导数研究其单调性,并借助于单调性,达到待证不等式的证明.此乃主元法.

导数压轴题双变量问题题型归纳总结

导数压轴题双变量问题题型 归纳总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

导数应用之双变量问题 (一)构造齐次式,换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. (1)求实数,a b 的值; (2)设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点,求证:0F ' <. 【解析】(1)1,1a b ==-; (2)()2 ln f x x x x =+-,()()1ln F x m x x =+-,()11F x m x '=+- , 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点,所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? , 两式相减,得1212ln ln 1x x m x x -+=-, 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ,只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一:因为120x x << ,只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t = ,即证12ln 0t t t -+>. 令()()1 2ln 01h t t t t t =-+<<,则()()2 22 121 10t h t t t t -'=--=-<, 所以函数()h t 在()0,1上单调递减,()()10h t h >=,即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题,此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数,常把12,x x 的关系变形 为齐次式,设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -===-=等,构造函数来解决,可称之为构造比较函数法. 思路二:因为120x x << ,只需证12ln ln 0x x -, 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<,则 () 2 21 10Q x x x '= ==<, 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减,()()2 0Q x Q x >=,即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <.

导数压轴题之极值点偏移归纳总结

极值点偏移问题 一、问题指引 极值点偏移的含义 众所周知,函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=,则函数)(x f 关于直线m x =对称;可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若)(x f 为单峰函数,则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ,若c x f =)(的两根的中点为 2 2 1x x +,则刚好有02 12 x x x =+,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等,则为极值点偏移:若单峰函数)(x f 的极值点为m ,且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<,则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =,则2 2 1x x +与极值点m 必有确定的大小关系: 若221x x m +< ,则称为极值点左偏;若2 2 1x x m +>,则称为极值点右偏. 如函数x e x x g = )(的极值点10 =x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2 2 1x x +的左边,我们称之为极值点左偏. 以函数函数2x y =为例,极值点为0,如果直线1=y 与它的图像相交,交点的横坐标为1-和1,我

们简单计算: 02 1 1=+-.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处,此时我们称极值点相对中点不偏移. 当然,更多的情况是极值点相对中点偏移,下面的图形能形象地解释这一点. 二、极值点偏移问题的一般题设形式: 1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠,求证:0212x x x >+(0x 为函数)(x f 的极值点); 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =,求证:0212x x x >+(0x 为函数)(x f 的极值点); 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠,令2 2 10x x x += ,求证:0)('0>x f ; 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =,令2 2 10x x x +=,求证:0)('0>x f . 二、方法详解 (一)基本解法之对称化构造 例1是这样一个极值点偏移问题:对于函数()e x f x x -=,已知()()12f x f x =,12x x ≠,证明122x x +>. 再次审视解题过程,发现以下三个关键点: (1)1x ,2x 的范围()1201x x <<<; (2)不等式()()()21f x f x x >->;

导数与函数压轴题之双变量问题归纳总结教师版

导数与函数之双变量问题归纳总结 类型一:齐次划转单变量 例1:已知函数()() 1ln 1 a x f x x x -=- +()2a ≤.设,m n R +∈,且m n ≠, 求证 ln ln 2 m n m n m n -+< -. 解:设m n >,证明原不等式成立等价于证明 ()2ln m n m m n n -<+成立,即证明 21ln 1 m m n m n n ?? - ???<+成立.令m t n =,1t >,即证()()21ln 01t g t t t -=->+.由 (1)得,()g t 在()0,+∞上单调递增,故()()10g t g >=,得证. 变式1:对数函数()x f 过定点?? ? ??21,e P ,函数()()() 为常数m ,n x f m n x g '-=, ()()的导函数为其中x f x f '. (1)讨论()x g 的单调性; (2)若对于()+∞∈?,x 0有()m n x g -≤恒成立,且()()n x x g x h -+=2在 ()2121x x x ,x x ≠=处的导数相等,求证:()()22721ln x h x h ->+. 解:(2)因为()1g n m =-,而()0,x ?∈+∞有()()1g x n m g ≤-=恒成立,知 ()g x 当1x =时有最大值()1g ,有(1)知必有1m =. ∴()()()11 ln ,22ln ,g x n x h x g x x n x x x x =- -=+-=-- 依题意设()()211 12222 11 20,1120 k x x h x h x k k x x ?-+-=??''==??-+-=??∴12111x x += 121212+=4x x x x x x ?≥> ∴()()()()121212*********+ln ln 21ln h x h x x x x x x x x x x x ?? +=-+-+=-- ???

高考数学:导数压轴题的归纳总结方法

高考数学:导数压轴题的归纳总结方法 今天我们来聊聊高考数学导数压轴题的归纳总结方法。在对导数专题归纳总结的时候,可以细分为两个层面。 第一,对题型进行归纳总结。举例说明,下图的题目中的第二小问,如果去做归纳总结的话,很多题目都跟这道题目相类似,这种题目可以概括为一般形式: 如果用归纳总结的思路去做的话,可以细分到之前说的双变量这一类问题的大类,大类下面有一个小类,叫做极值点偏移问题。希望大家在学习导数专题的过程中,不要简单地光做题,而要在做题中能发现这样一类题型。 导数的问题做多了之后就会发现,很多时候都有相似之处,将这些相似之处提取出来,我们就可以将它一般化为这样一种题型,把它抽象出来。 本质上说,我们就是找这样的一般问题,再从一般的角度去解决方法,看这一类的问题有什么具体的解决套路,这样就可以在学习过程中达到事半功倍的效果了。 第二,对解题方法和解题方向进行归纳总结。什么叫做解题方法?就是对于之前已经分好类的xx问题,我们可以第一步xxxxx,第二步xxxxxx……第x步xxxxxx,问题解决。大家可以看出,这样一类问题,方法和套路性比较强。 结合具体例子来谈,还是这个题目,刚刚说可以划归为双变量分类下的极值点偏移这种具体的问题。对于这一类极值点偏移具体的问题,刚才已经提出一般化的解题题型,那么这一类

一般化的解题题型,应该怎样去解决呢?极值点偏移问题三步走: (1)画图观察极值点偏移方向 (2)利用f(x)的单调性转移不等式 (3)构造f(x)=f(x)-f(2a-x)完成证明 在做题的时候,对于这种一般化的问题进行归纳总结,归纳总结出一步一步的套路。当你完成这种从题型到解决方法的归纳总结之后,就会对导数这一类具体问题拍着胸脯说:“考试,考到这样一类问题,把题目做完,应该是一件十拿九稳的事情。” 因为你把一般的问题都做完,考试题目只要是已经归纳总结过的题型,你只需要把已经总结出的方法往上套,结合具体的题目,将一些条件拿过来进行运算,最后就可以将这一类题目做出来。这是第一个层次,从题型和解题方法进行归纳总结。 也可以使用高考数学的教辅书《高考数学题型全归纳》来进行专项训练与突破。可以借用书中张永辉老师的思路来总结整理你自己的思路。 第二层次是从解题方向上进行归纳总结。解题方向是什么呢?我们在做题时考虑方向一,方向二……方向N等等,我们对于每个具体题目而言,已经弄清楚了具体解题步骤,在各个方法的基础上,更进一步去总结一些方向。也就是对于更大的一些问题,可以考虑如何运用不同的方向进行解题。 参考下图题目,这个问题隶属于刚刚讲到的双变量问题这个大类中的一个小类——韦达定理转单变量。两个变量是韦达定理的两个根,可以将两个变量向一个变量转化,就是这样的一个方法。

高考压轴题:导数题型及解题方法总结很全

高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x ); 建立21,x x 的等式关系,12112)()(y y x f x x -='-,12212)()(y y x f x x -='-;求出21,x x ,进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。 例 求曲线2 x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。(答案02=--e y x e ) 二.单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有:(1)在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);(3) 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类;(4) 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。 例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln )(2 +-+ = (1)求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点的大小关系分类) (2)若[]e x ,2∈,求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类) 题型2 已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。 方法1:研究导函数讨论。 方法2:转化为0)(0)(' '≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立问题, 方法3:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集。 注意:“函数)(x f 在()n m ,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是()b a ,”的区别是前者是后者的子集。 例 已知函数2 ()ln f x x a x =++ x 2 在[)+∞,1上是单调函数,求实数a 的取值范围. (答案[)+∞,0) 题型3 已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。 方法1:正难则反,研究在某区间的不单调 方法2:研究导函数是零点问题,再检验。 方法3:直接研究不单调,分情况讨论。 例 设函数1)(2 3 +++=x ax x x f ,R a ∈在区间?? ? ??1,21内不单调,求实数a 的取值范围。 (答案:() 3,2--∈a )) 三.极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。 基本思路:定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。 例 已知函数12 1)1()(2 ++- +-=kx x e k x e x f x x ,求在()2,1-∈x 的极小值。 (利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类) 题型2 已知函数极值,求系数值或范围。 方法:1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。 方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1 )1(3141)(234+----+= x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数p 值。 (答案:1) 题型3 已知最值,求系数值或范围。

导数压轴题分类(6)--- 函数的隐零点问题(含答案)

导数压轴分类(6)---函数的隐零点问题 任务一、完成下面问题,总结隐零点问题的解题方法。 例1. [2013湖北理10] 已知a 为常数,函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点21x x ,,且21x x <,则( ) A.)(1x f >0,)(2x f >21- B. )(1x f <0,)(2x f <2 1- C. )(1x f >0,)(2x f <21- D . )(1x f <0,)(2x f >21- 例2. [2012全国文21] 设函数2)(--=ax e x f x . (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若1=a ,k 为整数,且当x >0时,1)(')(++-x x f k x >0,求k 的最大值。 k 的最大值=2 任务二、完成下面问题,体验隐零点问题的解题方法的应用。 2.1 [2015北京海淀二模理18] 设函数2ln 1)(x x x f -=. (Ⅰ)求函数)(x f 的零点及单调区间; (Ⅱ)求证:曲线x x y ln = 存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标0y <1- 提示解析:(Ⅰ)函数)(x f 的零点为x e =,单调减区间32(0,)e ;单调增区间32(,)e +∞; (Ⅱ)x x y ln =存在斜率为6的切线即存在点000ln (,)x x x 处导数为6,于是020 1ln 6x x -=,即2001ln 60x x --=,令2()1l n 6f x x x =--为增函数,易判断所以01(,1)2x ∈,所以20000000 ln 1616x x y x x x x -===-为减函数,所以0001 2|231x y y =<=-=-

导数压轴题题型梳理归纳

导数题型梳理归纳 题型一:含参分类讨论 类型一:主导函数为一次型 例1:已知函数()ln f x ax a x =--,且()0f x ≥.求a 的值 解:()1 ax f x x -'= .当0a ≤时,()0f x '<,即()f x 在()0,+∞上单调递减,所以当01x ?>时,()()010f x f <=,与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时,因为10x a << 时()0f x '<,当1 x a >时()0f x '>,所以()min 1f x f a ?? = ??? ,又因为()1ln10f a a =--=,所以11a =,解得1a = 类型二:主导函数为二次型 例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解:()f x 的定义域为R ,()()2 3210f x x kx k '=-+<,其开口向上,对称轴 3k x = ,且过()0,1,故03 k k k <<<-,明显不能分解因式,得2412k ?=-. (1)当24120k ?=-≤时,即0k ≤<时,()0f x '≥,所以()f x 在[],k k - 上单调递增; (2)当24120k ?=->时,即k <令()2 3210f x x kx '=-+=,解得: 12x x == ,因为()()210,010f k k f ''=+>=>,所以两根均在[],0k 上. 因此,结合()f x '图像可得:()f x 在,,33k k k k ??? +-?? ????????? 上单 调递增,在???? 上单调递减.

函数与导数压轴题方法归纳与的总结

函数与导数压轴题方法归纳与总结题型与方法 题型一切线问题 例1(二轮复习资料p6例2) 归纳总结: 题型二利用导数研究函数的单调性 例2已知函数f(x)=ln x-a x . (1)求f(x)的单调区间;

(2)若f (x )在[1,e]上的最小值为3 2,求a 的值; (3)若f (x )

归纳总结: 题型四已知不等式成立求参数的范围 例4..设f(x)=a x +x ln x,g(x)=x3-x2-3. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M; (3)如果对任意的s,t∈1 2 ,2都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.

归纳总结: 跟踪 1.已知()ln 1m f x n x x (m,n 为常数)在x=1处的切线为 x+y -2=0(10月重点高中联考第22题) (1)求y=f(x)的单调区间; (2)若任意实数x ∈1 ,1e ,使得对任意的t ∈[1,2]上恒有32() 2f x t t at 成立,求 实数a 的取值范围。 跟踪2. 设f (x )=-1 3x 3+1 2x 2+2ax .(加强版练习题)

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